Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit Cánh Diều
1. Phương trình mũ
Phương trình mũ là phương trình có chứa ẩn ở số mũ của lũy thừa.
Phương trình mũ cơ bản ẩn 
\(x\) có dạng \(a^{x} = b,(a > 0,a \neq
1)\).
- Nếu \(b \leq 0\) thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu \(b > 0\) thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \log_{a}b\).
Nhận xét: Với \(a > 0,a \neq 1,b > 0\) thì \(a^{f(x)} = b \Leftrightarrow f(x) =\log_{a}b\).
Ví dụ: Tìm tập nghiệm của phương trình \(2^{\left| \frac{28}{3}x + 4 \right|} = 16^{x^{2} -
1}\).
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(2^{\left| \frac{28}{3}x + 4 \right|} =
16^{x^{2} - 1} \Leftrightarrow 2^{\left| \frac{28}{3}x + 4 \right|} =
2^{4x^{2} - 4}\)
\(\Leftrightarrow \left| \frac{28}{3}x + 4
\right| = 4x^{2} - 4(*)\)
Trường hợp 1: Nếu \(x >
- \frac{3}{7}\). Phương trình (*) tương đương
\(\Leftrightarrow \frac{28}{3}x + 4 =
4x^{2} - 4\)
\(\Leftrightarrow 4x^{2} - \frac{28}{3}x -8 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 3(tm) \\x = - \dfrac{2}{3}(L) \\\end{matrix} \right.\)
Trường hợp 2: Nếu \(x \leq
- \frac{3}{7}\) . Phương trình (*) tương đương
\(\Leftrightarrow - \frac{28}{3}x - 4 =
4x^{2} - 4\)
\(\Leftrightarrow 4x^{2} + \frac{28}{3}x =0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 0(L) \\x = - \dfrac{7}{3}(tm) \\\end{matrix} \right.\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S =
\left\{ - \frac{7}{3};3 \right\}\).
2. Phương trình lôgarit
- Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn trong biểu thức chứa dấu lôgarit.
- Phương trình lôgarit cơ bản có dạng \(\log_{a}b;(a > 0,a \neq 1)\).
- Phương trình đó có một nghiệm \(x =
a^{b}\).
Nhận xét: Với \(a > 0,a \neq 1\) thì \(\log_{a}f(x) = b \Leftrightarrow f(x) =a^{b}\).
Ví dụ: Giải phương trình \(\log_{2}x + \log_{4}x =\log_{\frac{1}{2}}\sqrt{3}\).
Hướng dẫn giải
Điều kiện \(x > 0\)
Ta có:
\(\log_{2}x + \log_{4}x =\log_{\frac{1}{2}}\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow \log_{2}x + \log_{2^{2}}x= \log_{2^{- 1}}\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow \log_{2}x +\frac{1}{2}\log_{2}x = - \frac{1}{2}\log_{2}3\)
\(\Leftrightarrow 2\log_{2}x + \log_{2}x = -\log_{2}3\)
\(\Leftrightarrow 2\log_{2}x + \log_{2}x +\log_{2}3 = 0\)
\(\Leftrightarrow 3\log_{2}x + \log_{2}3 =0\)
\(\Leftrightarrow \log_{2}x^{3} + \log_{2}3= 0\)
\(\Leftrightarrow \log_{2}\left( 3x^{3}\right) = 0 \Leftrightarrow 3x^{3} = 1\)
\(\Leftrightarrow x^{3} = \frac{1}{3}
\Leftrightarrow x = \sqrt[3]{\frac{1}{3}}(tm)\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x =
\sqrt[3]{\frac{1}{3}}\).
II. Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit
1. Bất phương trình mũ
Định nghĩa
Bất phương trình mũ là bất phương trình có chứa ẩn ở số mũ của lũy thừa.
Bất phương trình mũ cơ bản là bất phương trình có một trong những dạng sau:
\(a^{x} > b,a^{x} < b,a^{x} \geq
b,a^{x} \leq b\) với \(a > 0,a \neq
1\).
Cách giải bất phương trình mũ
Xét bất phương trình mũ \(a^{x} >
b\) với \(a > 0,a \neq
1\)
- Nếu \(b \leq 0\) , tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(\mathbb{R}\) (vì \(a^{x} > 0 \geq b,\forall x\mathbb{\in
R}\)).
- Nếu \(b > 0\) thì bất phương trình tương đương với \(a^{x} >a^{\log_{a}b}\).
- Với \(a > 1\) nghiệm của bất phương trình là \(a >\log_{a}b\).
- Với \(0 < a < 1\) nghiệm của bất phương trình là \(a <
log_{a}b\).
Giải tương tự với các dạng bất phương trình mũ còn lại.
Ví dụ: Giải bất phương trình \(\left( 3^{x} + 2 \right)\left( 4^{x + 1} - 8^{2x +
1} \right) \leq 0\).
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\left( 3^{x} + 2 \right)\left( 4^{x + 1}
- 8^{2x + 1} \right) \leq 0\)
\(\Leftrightarrow 4^{x + 1} - 8^{2x + 1}
\leq 0 \Leftrightarrow 4.2^{2x} - 8.\left( 2^{2x} \right)^{3} \leq
0\)
\(\Leftrightarrow - 2\left( 2^{2x}
\right)^{3} + 2^{2x} \leq 0(*)\)
Đặt \(2^{2x} = t,(t > 0)\) bất phương trình (*) trở thành:
\(- 2t^{3} + t \leq 0 \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}- \dfrac{\sqrt{2}}{2} \leq t \leq 0 \\t \geq \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} \right.\)
Với điều kiện \(t > 0\) ta được:
\(t \geq \frac{\sqrt{2}}{2}
\Leftrightarrow 2^{2x} \geq \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow 2^{2x}
\geq 2^{- \frac{1}{2}}\)
\(\Leftrightarrow 2x \geq - \frac{1}{2}
\Leftrightarrow x \geq - \frac{1}{4}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S
= \left\lbrack - \frac{1}{4}; + \infty \right)\).
2. Bất phương trình lôgarit
Định nghĩa
- Bất phương trình lôgarit là bất phương trình có chứa ẩn trong biểu thức dưới dấu lôgarit.
- Bất phương trình lôgarit cơ bản là bất phương trình lôgarit có một trong những dạng sau:
\(log_{a}x > b,log_{a}x < b,log_{a}x
\geq b,log_{a}x \leq b\) với \(a >
0,a \neq 1\).
Cách giải bất phương trình lôgarit
Xét bất phương trình \(\log_{a}x >b\) với \(a > 0,a \neq
1\)
Bất phương trình tương đương với \(\log_{a}x> \log_{a}a^{b}\)
- Với \(a > 1\) nghiệm bất phương trình là \(x > a^{b}\).
- Với \(0 < a < 1\) nghiệm của bất phương trình là \(0 < x <
a^{b}\).
Giải tương tự với các bất phương trình còn lại.
Ví dụ: Tìm tập nghiệm của bất phương trình \(2\log_{3}(4x - 3) \leq \log_{3}(18x +27)\).
Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định: \(\left\{
\begin{matrix}
4x - 3 \geq 0 \\
18x + 27 \geq 0 \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x > \frac{3}{4}\)
Khi đó:
\(2\log_{3}(4x - 3) \leq \log_{3}(18x +27)\)
\(\Leftrightarrow \log_{3}(4x - 3)^{2} \leq\log_{3}(18x + 27)\)
\(\Leftrightarrow (4x - 3)^{2} \leq 18x +
27\)
\(\Leftrightarrow - \frac{3}{8} \leq x
\leq 3\)
Kết hợp với điều kiện xác định ta được tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left( \frac{3}{4};3
\right\rbrack\).
