Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm Cánh Diều
1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm
a) Bài toán tìm vận tốc tức thời
Một chất điểm chuyển động có phương trình 
\(s = s(x)\).
Khi đó vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm \(x_{0}\) là giới hạn của tỉ số \(\frac{s(x) - s\left( x_{0} \right)}{x -
x_{0}}\) khi \(x \rightarrow
x_{0}\). Hay nói cách khác:
\(v\left( x_{0} \right) = \lim_{x
\rightarrow x_{0}}\frac{s(x) - s\left( x_{0} \right)}{x -
x_{0}}\)
Giá trị của \(v\left( x_{0}
\right)\) là đạo hàm của hàm số \(s =
s(x)\) tại \(x_{0}\).
b) Bài toán tìm cường độ tức thời
Điện lượng \(Q\) truyền trong dây dẫn là hàm số của thời gian \(t\), \(Q = Q(t)\).
Khi đó cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm \(t_{0}\) là giới hạn của tỉ số \(\frac{Q(t) - Q\left( t_{0} \right)}{t -
t_{0}}\) khi \(t \rightarrow
t_{0}\). Hay nói cách khác:
\(I\left( t_{0} \right) = \lim_{t
\rightarrow t_{0}}\frac{Q(t) - Q\left( t_{0} \right)}{t -
t_{0}}\)
Giá trị của \(I\left( x_{0}
\right)\) là đạo hàm của hàm số \(Q =
Q(t)\) tại \(t_{0}\).
2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\) và điểm \(x_{0} \in (a;b)\).
Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn \(\lim_{x
\rightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x -
x_{0}}\) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số \(y = f(x)\) tại \(x_{0}\).
Kí hiệu: \(f'\left( x_{0}
\right)\) hoặc \(y'\left( x_{0}
\right)\).
Nhận xét:
- \(\Delta x = x - x_{0}\) gọi là số gia của biến số tại điểm \(x_{0}\).
- \(\Delta y = f\left( x_{0} + \Delta x
\right) - f\left( x_{0} \right)\) gọi là số gia của hàm số ứng với số gia \(\Delta x\) tại điểm \(x_{0}\). Khi đó:
\(f'\left( x_{0} \right) =
\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f\left( x_{0} + \Delta x \right) -
f\left( x_{0} \right)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow
0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\)
3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
Các bước tính đạo hàm \(f'\left( x_{0}
\right)\) của hàm số \(y =
f(x)\) tại \(x_{0}\):
Bước 1: Xét \(\Delta
x\) là số gia của biến số tại \(x_{0}\). Tính \(\Delta y = f\left( x_{0} + \Delta x \right) -
f\left( x_{0} \right)\).
Bước 2: Rút gọn tỉ số \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\).
Bước 3: Tính \(\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta
y}{\Delta x}\).
Bước 4: Nếu \(\lim_{\Delta
x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = a\) thì \(f'\left( x_{0} \right) = a\).
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số \(y = f(x) = \frac{1}{x^{2} + x + 1}\) tại \(x_{0} = - 2\).
Hướng dẫn giải
Tại \(x_{0} = - 2\) ta có:
\(f(x) - f\left( x_{0} \right) = f(x) - f(
- 2)\)
\(= \frac{1}{x^{2} + x + 1} - \frac{1}{4 -
2 + 1}\)
\(= \frac{1}{3}.\frac{3 - x^{2} - x -
1}{x^{2} + x + 1} = \frac{1}{3}.\frac{- x^{2} - x + 2}{x^{2} + x +
1}\)
\(= \frac{1}{3}.\frac{(x - 1)(x +
2)}{x^{2} + x + 1}\)
\(\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x -
x_{0}} = \frac{f(x) - f( - 2)}{x + 2}\)
\(= \frac{1}{3}.\frac{(x - 1)(x +
2)}{x^{2} + x + 1}.\frac{1}{x + 2}\)
\(= - \frac{1}{3}.\frac{x - 1}{x^{2} + x +
1}\)
\(\Rightarrow f'( - 2) = \lim_{x
\rightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x -
x_{0}}\)
\(= \lim_{x \rightarrow - 2}\left\lbrack -
\frac{1}{3}.\frac{x - 1}{x^{2} + x + 1} \right\rbrack\)
\(= - \frac{1}{3}.\frac{- 2 - 1}{( -
2)^{2} - 2 + 1} = \frac{1}{3}\)
Vậy \(f'( - 2) =
\frac{1}{3}\).
Chú ý: Hàm số \(y =
f(x)\) được gọi là có đạo hàm trên khoảng \((a;b)\) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm \(x\) trên khoảng đó.
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số \(y = f(x) = x^{3} - 2x\).
Hướng dẫn giải
Tại \(x_{0}\mathbb{\in R}\) tùy ý ta có:
\(f(x) - f\left( x_{0} \right) = x^{3} -
2x - {x_{0}}^{3} + 2x_{0}\)
\(= \left( x - x_{0} \right)\left( x^{2} +
x.x_{0} + {x_{0}}^{2} - 2 \right)\)
\(\Rightarrow \frac{f(x) - f\left( x_{0}
\right)}{x - x_{0}} = \frac{\left( x - x_{0} \right)\left( x^{2} +
x.x_{0} + {x_{0}}^{2} - 2 \right)}{x - x_{0}}\)
\(= x^{2} + x.x_{0} + {x_{0}}^{2} -
2\)
\(\Rightarrow \lim_{x \rightarrow
x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}} = \lim_{x
\rightarrow x_{0}}\left( x^{2} + x.x_{0} + {x_{0}}^{2} - 2
\right)\)
\(= 3{x_{0}}^{2} - 2\)
Vậy \(y' = 3x^{2} - 2\)
4. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \(s = s(t)\) (là hàm số có đạo hàm)
Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t_{0}\) là đạo hàm của hàm số tại \(t_{0}\) : \(v\left( t_{0} \right) = s'\left( t_{0}
\right)\).
Ví dụ: Một chất điểm chuyển động thẳng biến đổi đều với phương trình \(s(t) = 2t^{2} + t -
1(m)\).
a) Tính vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm \(t = 2s\).
b) Tính vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian từ \(t = 0s\) đến \(t = 2s\).
Hướng dẫn giải
Ta có: \(v(t) = s'(t) = 4t +
1\)
a) Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm \(t = 2s\) là: \(v(2) = 4.2 + 1 = 9(m/s)\)
b) Trong khoảng thời gian từ \(t =
0s\) đến \(t = 2s\) chất điểm di chuyển được quãng đường là:
\(\Delta s = 4.2 + 2 - 1 =
9(m)\)
Suy ra vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian \(2s\) kể từ \(t =
0s\) là:
\(\overline{v} = \frac{\Delta s}{\Delta t}
= \frac{9 - 0}{2 - 0} = 4,5(m/s)\)
B. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
- Đạo hàm của hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \(x_{0}\) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm \(M_{0}\left( x_{0};f\left( x_{0} \right)
\right)\).
- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x_{0} \right)\) tại điểm \(M_{0}\left( x_{0};f\left( x_{0} \right)
\right)\) là:
\(y = f'\left( x_{0} \right)\left( x -
x_{0} \right) + f\left( x_{0} \right)\)
Ví dụ: Cho hàm số \(y =
x^{2} + 2x - 4\) có đồ thị \((C)\)
a) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến \((C)\) tại điểm có hoành độ \(x_{0} = 1\) thuộc \((C)\).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x_{0} = 0\) thuộc \((C)\).
Hướng dẫn giải
Tại \(x_{0}\mathbb{\in R}\) ta có:
\(f(x) - f\left( x_{0} \right) = x^{2} +
2x - 4 - {x_{0}}^{2} - 2x_{0} + 4\)
\(= \left( x - x_{0} \right)\left( x +
x_{0} + 2 \right)\)
\(\Rightarrow \frac{f(x) - f\left( x_{0}
\right)}{x - x_{0}} = \frac{\left( x - x_{0} \right)\left( x + x_{0} + 2
\right)}{x - x_{0}}\)
\(= x + x_{0} + 2\)
\(\Rightarrow \lim_{x \rightarrow
x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}} = \lim_{x
\rightarrow x_{0}}\left( x + x_{0} + 2 \right) = 2x_{0} + 2\)
\(\Rightarrow y' = 2x + 2\)
a) Hệ số góc tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm có hoành độ \(x_{0} = 1\) là:
\(k = y'(1) = 4\)
b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x_{0} = 0\) thuộc \((C)\) là:
\(y = y'(0)(x - 0) + y(0)\)
\(\Leftrightarrow y = 2x - 4\)
