Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 2

Mô tả thêm:

Mời các bạn học cùng thử sức với Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều nha!
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay
  • Câu 1: Vận dụng cao

    Tìm số hạng lớn nhất có ba chữ số

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) biết \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} = 2u_{n - 1} + 3;(n \geq 2) \\ \end{matrix} ight.. Số hạng có ba chữ số lớn nhất của dãy là:

    Tìm số hạng tổng quát của dãy số

    Dự đoán u_{n} = 5.2^{n - 1} - 3;(n \geq 2)

    Ta chứng minh theo phương pháp quy nạp

    Với n = 1 ta có: u_{2} = 5.2 - 3 = 7(tm)

    Giả sử u_{k} = 5.2^{k - 1} - 3, khi đó ta có:

    u_{k + 1} = 2u_{k} + 3

    = 2\left( 5.2^{k - 1} - 3 ight) + 3

    = 5.2^{k} - 3

    Vậy công thức tổng quát được chứng minh theo nguyên lí quy nạp.

    Ta có: u_{n} < 1000 \Rightarrow 2^{n - 1} < \frac{1003}{5} = 200,6

    Mà 2^{7} = 128;2^{8} = 256

    Nên ta chọn 2^{n - 1} = 2^{7} \Rightarrow n = 8

    Vậy u_{8} là số hạng cần tìm.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Tìm mặt phẳng song song với (IJK)

    Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACC’, A’B’C’. Mặt phẳng nào sau đây song song với (IJK)?

     Hình vẽ minh họa

    Tìm mặt phẳng song song với (IJK)

    Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC' và B'C'.

    => \frac{{AI}}{{IM}} = \frac{{AJ}}{{JN}} = 2 (tính chất trọng tâm tam giác)

    => IJ//MN(1)

    Xét mặt phẳng (AA'EM) ta có: \frac{{AI}}{{IM}} = \frac{{A'K}}{{KE}} = 2

    => IK//ME

    Mà ME //BB'

    => IK//BB'(2)

    Từ (1) và (2) => (IJK) và (BB'C)là hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {IJK} ight) e \left( {BB'C'} ight)} \\ {IJ,IK \subset \left( {IJK} ight)} \\ {MN,BB' \subset \left( {BB'C'} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left( {IJK} ight)//\left( {BB'C'} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 3: Nhận biết

    Giải phương trình

    Giải phương trình \sin \left( {\frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3}} ight) = 0?

     Phương trình \sin \left( {\frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3}} ight) = 0 \Leftrightarrow \frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3} = k\pi

    \Leftrightarrow \frac{{2x}}{3} = \frac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + \frac{{k3\pi }}{2}{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight).

  • Câu 4: Thông hiểu

    Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm AD và AC, G là trọng tâm tam giác BCD. Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (GMN) và (BCD).

    Hình vẽ minh họa

    Hai mặt phẳng phân biệt (GMN) và (BCD) chứa hai đường thẳng song song MN và CD, đồng thời có điểm chung là G

    => Giao tuyến của chúng là đường thẳng d qua G và song song với CD (cắt BC, BD lần lượt tại P và Q).

  • Câu 5: Nhận biết

    Tính giới hạn dãy số

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) với u_{n} = \frac{4^{n - 1}}{5^{n - 2}}. Tính \lim_{n ightarrow + \infty}u_{n}.

    Ta có:

    \lim_{n ightarrow + \infty}u_{n} = \lim_{n ightarrow + \infty}\frac{4^{n - 1}}{5^{n - 2}} = \lim_{n ightarrow + \infty}\left( \left( \frac{4}{5} ight)^{n}.\frac{4^{- 1}}{5^{- 2}} ight) = 0

  • Câu 6: Thông hiểu

    Tìm x

    Tìm x để 2;8;x;128 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

    Cấp số nhân 2;8;x;128 theo thứ tự là u_{1};u_{2};u_{3};u_{4} ta có:

    \left\{ \begin{matrix}\dfrac{u_{2}}{u_{1}} = \dfrac{u_{3}}{u_{2}} \\\dfrac{u_{3}}{u_{2}} = \dfrac{u_{4}}{u_{3}} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{8}{2} = \dfrac{x}{8} \\\dfrac{128}{x} = \dfrac{x}{8} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 32 \\x^{2} = 1024 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 32 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x = 32 \\ x = - 32 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow x = 32

  • Câu 7: Nhận biết

    Chọn mệnh đề đúng

    Cho hàm số f(x) = \frac{2x - 3}{x^{2} - 1}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Điều kiện xác định của hàm số f(x) = \frac{2x - 3}{x^{2} - 1} là:

    x^{2} - 1 eq 0 \Rightarrow x eq \pm 1

    Suy ra tập xác định của hàm số là: D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \pm 1 ight\}

    Nên hàm số không liên tục tại các điểm x eq \pm 1.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Tứ giác BCMN là hình gì

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Các điểm A,D qua phép chiếu song song phương SO trên mặt phẳng (SBC) ta thu được ảnh lần lượt là M,N. Khi đó tứ giác BCMN là hình gì?

    Hình vẽ minh họa

    Theo bài ra ta có: M,N lần lượt là ảnh của A,D qua phép chiếu song song phương SO trên mặt phẳng (SBC).

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} SO//AM \\ SO//DN \\ OA = OC \\ \end{matrix} ight.

    => SO là đường trung bình của các tam giác CAM,BDN

    => \left\{ \begin{matrix} AM//DN \\ AM = DN \\ \end{matrix} ight.

    => ADMN là hình bình hành

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} MN//BC \\ MN = BC \\ \end{matrix} ight. => BCMN là hình bình hành.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Xét tính đúng sai của mỗi kết luận

    Biết giới hạn \lim\frac{2n + 1}{- 3n + 2} = a. Khi đó:

    a) Giá trị a lớn hơn 0. Sai||Đúng

    b) Ba số - \frac{5}{3};a;\frac{1}{3} tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng 2. Sai||Đúng

    c) Trên khoảng ( - \pi;\pi) phương trình lượng giác \sin x = a có 3 nghiệm. Sai||Đúng

    d) Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) với công bội q = 3 và u_{1} = a, thì u_{3} = - 6. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Biết giới hạn \lim\frac{2n + 1}{- 3n + 2} = a. Khi đó:

    a) Giá trị a lớn hơn 0. Sai||Đúng

    b) Ba số - \frac{5}{3};a;\frac{1}{3} tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng 2. Sai||Đúng

    c) Trên khoảng ( - \pi;\pi) phương trình lượng giác \sin x = a có 3 nghiệm. Sai||Đúng

    d) Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) với công bội q = 3 và u_{1} = a, thì u_{3} = - 6. Đúng||Sai

    a) Ta có: \lim\frac{2n + 1}{- 3n + 2} = \lim\frac{n\left( 2 + \frac{1}{n} ight)}{n\left( - 3 + \frac{2}{n} ight)} = \lim\frac{2 + \frac{1}{n}}{- 3 + \frac{2}{n}} = \frac{- 2}{3}

    b) Ba số - \frac{5}{3}; - \frac{2}{3};\frac{1}{3} tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng 1

    c) Trên khoảng ( - \pi;\pi) phương trình lượng giác \sin x = a có 2 nghiệm

    d) Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) với công bội q = 3 và u_{1} = a, thì u_{3} = - 6

    Kết luận:

    a) Sai

    b) Sai

    c) Sai

    d) Đúng
  • Câu 10: Thông hiểu

    Tìm hàm số chẵn

    Xác định hàm số chẵn trong các hàm số dưới đây?

    Ta có:

    Hàm số y = \sin x.cos3x có tập xác định D\mathbb{= R} nên \forall x\mathbb{\in R \Rightarrow -}x\mathbb{\in R} và

    y( - x) = \sin( - x).\cos( -3x) = - \sin x.\cos3x = - y(x)

    Suy ra hàm số y = \sin x.\cos3x là hàm số lẻ.

    Hàm số y = \cos2x là hàm số chẵn vì tập xác định D\mathbb{= R} nên \forall x\mathbb{\in R \Rightarrow -}x\mathbb{\in R} và

    y( - x) = \cos( - 2x) = cos2x = y(x)

    Tương tự ta có hàm số y = \sin x là hàm số lẻ, hàm số y = \sin x + \cos x không chẵn cũng không lẻ.

  • Câu 11: Nhận biết

    Tính tổng các giá trị của m

    Biết ba số m;2;m + 3 lập thành một cấp số nhân. Tính tổng các giá trị của m thỏa mãn?

    Để ba số m;2;m + 3 lập thành một cấp số nhân thì m.(m + 3) = 2^{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = - 4 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy tổng các giá trị của m là S = - 3

  • Câu 12: Nhận biết

    Tìm u10?

    Cho dãy số (un) xác định bởi \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5,n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight.. Giá trị u10 là?

    Từ \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5,n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight. ta có un + 1 − un = 5

    ⇒ dãy (un) là một cấp số cộng với công sai d = 5 nên

    u10 = u1 + 9d = 2 + 45 = 47

  • Câu 13: Nhận biết

    Tính số đường thẳng qua một điểm song song với mặt phẳng

    Cho mặt phẳng (P) và điểm A không thuộc mặt phẳng (P). Số đường thẳng đi qua A và song song với (P) là:

    Có vô số đường thẳng đi qua  A  và song song với  (P)  với điểm  A  không thuộc mặt phẳng  (P).

  • Câu 14: Thông hiểu

    Tìm giao điểm của đường thẳng và đường thẳng

    Cho tứ diện ABCD. Trung điểm của các đường thẳng AD,AB,CD lần lượt là H,K,T. Tìm giao điểm của đường thẳng BC với mặt phẳng T.

    Hình vẽ minh họa

    Gọi O là trung điểm của BC.

    Ta có: HT//AC (do HT là đường trung bình của tam giác ACD)

    HT \subset (HKT)

    AC \subset (ABC)

    K \in (HKT) \cap (ABC)

    Vậy (HKT) \cap (ABC) = KO//HT//AC

  • Câu 15: Nhận biết

    Tính giá trị cotx

    Tính giá trị của \cot135^{0}

    Ta có: \cot135^{0} = - \tan45^{0} = -1

  • Câu 16: Vận dụng

    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ các nửa đường thẳng Ax, By, Cz, Dt ở cùng phía so với mặt phẳng (ABCD), song song với nhau và không nằm trong (ABCD). Một mặt phẳng (P) cắt Ax, By, Cz, Dt tương ứng tại A', B', C', D' sao cho AA' = 3, BB' = 5, CC' = 4. Tính DD'.

    Đáp án: 2

    Đáp án là:

    Cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ các nửa đường thẳng Ax, By, Cz, Dt ở cùng phía so với mặt phẳng (ABCD), song song với nhau và không nằm trong (ABCD). Một mặt phẳng (P) cắt Ax, By, Cz, Dt tương ứng tại A', B', C', D' sao cho AA' = 3, BB' = 5, CC' = 4. Tính DD'.

    Đáp án: 2

    Hình vẽ minh họa

    Do (P) cắt mặt phẳng (Ax,By) theo giao tuyến A'B'; cắt mặt phẳng (Cz,Dt) theo giao tuyến C'D', mà hai mặt phẳng (Ax,By) và (Cz,Dt) song song nên A'B'//C'D'.

    Tương tự có A'D'//B'C' nên A'B'C'D' là hình bình hành.

    Gọi O, O' lần lượt là tâm ABCD và A'B'C'D'.

    Dễ dàng có OO' là đường trung bình của hai hình thang AA'C'C và BB'D'D nên OO' = \frac{AA' + CC'}{2} = \frac{BB' + DD'}{2}.

    Từ đó ta có DD' = 2.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Giải phương trình lượng giác

    Phương trình \sin x = \sin \frac{\pi }{3} có nghiệm là:

     Giải phương trình:

    \begin{matrix} \sin x = \sin \dfrac{\pi }{3} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \\ {x = \pi - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \\ {x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \end{array}} ight.;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 18: Nhận biết

    Giới hạn hàm số

    Cho hàm số f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{x^3} - 2x{\text{ }}khi{\text{ }}x \geqslant 1} \\ {{x^3} - 2x{\text{ }}khi{\text{ }}x < 1} \end{array}} ight.. Khi đó \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) bằng:

    Ta có:

    \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {{x^3} - 2x} ight) = - 1

  • Câu 19: Thông hiểu

    Tính số nghiệm của phương trình

    Số nghiệm của phương trình: \sqrt {1 - {x^2}} \sin x = 0

     Điều kiện xác định: x \in \left[ { - 1;1} ight]

    \begin{matrix} \sqrt {1 - {x^2}} \sin x = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt {1 - {x^2}} = 0} \\ {\sin x = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - {x^2} = 0} \\ {x = k\pi } \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \pm 1} \\ {x = k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Với k = 0 => x = 0 (thỏa mãn)

    Vậy phương trình có tất cả 3 nghiệm.

  • Câu 20: Vận dụng

    Ghi đáp án vào ô trống

    Kết quả giới hạn K = \lim_{x ightarrow + \infty}x\left( \sqrt{x^{2} + 2x} - \sqrt[3]{x^{3} + 3x^{2}} ight) = \frac{a}{b}, với \frac{a}{b} là phân số tối giản (a;b > 0). Tổng a + b bằng bao nhiêu?

    Đáp án: 3

    Đáp án là:

    Kết quả giới hạn K = \lim_{x ightarrow + \infty}x\left( \sqrt{x^{2} + 2x} - \sqrt[3]{x^{3} + 3x^{2}} ight) = \frac{a}{b}, với \frac{a}{b} là phân số tối giản (a;b > 0). Tổng a + b bằng bao nhiêu?

    Đáp án: 3

    Ta có

    K = \lim_{x ightarrow + \infty}x\left( \sqrt{x^{2} + 2x} - \sqrt[3]{x^{3} + 3x^{2}} ight)

    = \lim_{x ightarrow + \infty}x\left\lbrack \left( \sqrt{x^{2} + 2x} - x - 1 ight) + \left( x + 1 - \sqrt[3]{x^{3} + 3x^{2}} ight) ightbrack

    = \lim_{x ightarrow + \infty}\lbrack\frac{- x}{\sqrt{x^{2} + 2x} + (x + 1)} + \frac{3x^{2} + x}{(x + 1)^{2} + (x + 1)\sqrt[3]{x^{3} + 3x} + \sqrt[3]{\left( x^{3} + 3x ight)^{2}}}brack

    = \lim_{x ightarrow + \infty}\lbrack\frac{- 1}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + \left( 1 + \frac{1}{x} ight)} + \frac{3 + \frac{1}{x}}{\left( 1 + \frac{1}{x} ight)^{2} + \left( 1 + \frac{1}{x} ight)\sqrt[3]{1 + \frac{3}{x^{2}}} + \sqrt[3]{\left( 1 + \frac{3}{x^{2}} ight)^{2}}}brack

    = - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}.

    Suy ra a + b = 3.

  • Câu 21: Thông hiểu

    Tìm lim?

    Chọn kết quả đúng của \lim\frac{\sqrt{n^{3} - 2n + 5}}{3 + 5n}:

    Ta có :

    \lim\frac{\sqrt{n^{3} - 2n + 5}}{3 + 5n} = \lim\sqrt{n}.\frac{\sqrt{(1 - \frac{2}{n^{2}} + \frac{5}{n^{3}})}}{\frac{3}{n} + 5} = + \infty

    Vì \lim\sqrt{n} = + \infty nên suy ra:

    \lim\frac{\sqrt{\left( 1 - \frac{2}{n^{2}} + \frac{5}{n^{3}} ight)}}{\frac{3}{n} + 5} = \frac{1}{5}

  • Câu 22: Nhận biết

    Tập các định D của hàm số

    Tìm tập các định D của hàm số y =\frac{1}{\sin\left( x - \dfrac{\pi}{2} ight)}

    Hàm số xác định khi và chỉ khi

    \begin{matrix}\sin\left( x - \dfrac{\pi}{2} ight) eq 0 \hfill \\\Rightarrow x - \dfrac{\pi}{2} eq k\pi \hfill \\\Rightarrow x eq \dfrac{\pi}{2} + k\pi,k\mathbb{\in Z} \hfill \\\end{matrix}

    Vậy tập xác định D=\mathbb{R}\backslash\left\{ (1 + 2k)\frac{\pi}{2},k\mathbb{\in Z}ight\}

  • Câu 23: Thông hiểu

    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và E là điểm thuộc cạnh SA thỏa mãn SE = \frac{m}{n}.SA với \frac{m}{n} là phân số tối giản. Biết rằng GE song song với mặt phẳng (SCD). Giá trị của m.n bằng

    Đáp án: 6

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và E là điểm thuộc cạnh SA thỏa mãn SE = \frac{m}{n}.SA với \frac{m}{n} là phân số tối giản. Biết rằng GE song song với mặt phẳng (SCD). Giá trị của m.n bằng

    Đáp án: 6

    Hình vẽ minh họa

    Gọi M là trung điểm của BC, F là giao điểm của AM và CD trong mặt phẳng (ABCD).

    Theo định lý Talet, ta có: \frac{MA}{MF} = \frac{MB}{MC} = 1 \Rightarrow MA = MF \Rightarrow M là trung điểm của AF

    \Rightarrow \frac{AG}{AF} = \frac{AG}{2AM} = \frac{1}{3}

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} GE \subset (SAF) \\ GE//(SCD) \\ (SAF) \cap (SCD) = SF \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow GE//SF

    \Rightarrow \frac{AE}{AS} = \frac{AG}{AF} = \frac{1}{3} \Rightarrow AE = \frac{1}{3}AS

    \Rightarrow SE = \frac{2}{3}SA \Rightarrow \frac{m}{n} = \frac{2}{3} \Rightarrow m.n = 6.

  • Câu 24: Vận dụng cao

    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho các số thực a,\ b,\ c thỏa mãn 4a + b > 8 + 2b và a + b + c < - 1. Khi đó số nghiệm thực phân biệt của phương trình x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0 bằng

    Đáp án: 3

    Đáp án là:

    Cho các số thực a,\ b,\ c thỏa mãn 4a + b > 8 + 2b và a + b + c < - 1. Khi đó số nghiệm thực phân biệt của phương trình x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0 bằng

    Đáp án: 3

    Xét hàm số f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c

    Theo giả thiết 4a + c > 2b + 8 \Leftrightarrow - 8 + 4a - 2b + c > 0 \Rightarrow f( - 2) > 0;

    a + b + c < - 1 \Leftrightarrow 1 + a + b + c < 0 \Rightarrow f(1) < 0

    Ta có f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên \mathbb{R}

    \left\{ \begin{matrix}\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = \lim_{x ightarrow - \infty}\left(x^{3} + ax^{2} + bx + c ight) = - \infty \\f( - 2) > 0 \\\end{matrix} ight.

    Suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên ( - \infty; - 2) (1)

    f( - 2)f(1) < 0 nên phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng ( - 2;1) (2)

    \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^3} + a{x^2} + bx + c} ight) = + \infty \hfill \\ f\left( 1 ight) < 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng (1; + \infty) (3)

    Từ (1); (2) và (3) ta có phương trình f(x) = 0có ít nhất 3 nghiệm.

    Mặt khác f(x) = 0 là phương trình bậc ba nên có tối đa 3 nghiệm

    Vậy phương trình f(x) = 0 có đúng 3 nghiệm.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Chọn khẳng định đúng

    Cho 2\pi < a < \frac{5\pi}{2} . Chọn khẳng định đúng.

    Đặt a = b + 2\pi

    2\pi < a < \frac{5\pi}{2} \Leftrightarrow 2\pi < b + 2\pi < \frac{5\pi}{2} \Leftrightarrow 0 < b < \frac{\pi}{2}

    Có tana = tan(b + 2\pi) = tanb > 0

    cota = \frac{1}{tana} > 0.

    Vậy \tan a > 0,\cot a > 0.

  • Câu 26: Thông hiểu

    Xác định kết luận đúng, kết luận sai

    Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) Biết rằng \lim_{x ightarrow 1}f(x) = 1;\lim_{x ightarrow 1}g(x) = - 2 khi đó \lim_{x ightarrow 1}\left\lbrack f(x) + g(x) ightbrack = - 1 Đúng||Sai

    b) Cho hàm số y = f(x) liên tục trên (a;b). Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên \lbrack a;bbrack là \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x ight) = f\left( a ight);\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ + }} f\left( x ight) = f\left( b ight). Sai||Đúng

    c) \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{3x^{4} - 2x}{5x + 1} = + \infty Sai||Đúng

    d) Cho hàm số f(x) xác định với mọi x eq 0 thỏa mãn f(x) + 2f\left( \frac{1}{x} ight) = 3x;(x eq 0). Khi đó \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } \frac{{f\left( x ight)}}{{x - \sqrt 2 }} = 0 Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) Biết rằng \lim_{x ightarrow 1}f(x) = 1;\lim_{x ightarrow 1}g(x) = - 2 khi đó \lim_{x ightarrow 1}\left\lbrack f(x) + g(x) ightbrack = - 1 Đúng||Sai

    b) Cho hàm số y = f(x) liên tục trên (a;b). Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên \lbrack a;bbrack là \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x ight) = f\left( a ight);\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ + }} f\left( x ight) = f\left( b ight). Sai||Đúng

    c) \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{3x^{4} - 2x}{5x + 1} = + \infty Sai||Đúng

    d) Cho hàm số f(x) xác định với mọi x eq 0 thỏa mãn f(x) + 2f\left( \frac{1}{x} ight) = 3x;(x eq 0). Khi đó \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } \frac{{f\left( x ight)}}{{x - \sqrt 2 }} = 0 Sai||Đúng

    a) Ta có: \lim_{x ightarrow 1}\left\lbrack f(x) + g(x) ightbrack = \lim_{x ightarrow 1}f(x) + \lim_{x ightarrow 1}g(x) = - 1

    b) Ta có:

    Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên \lbrack a;bbrack là \lim_{x ightarrow a^{+}}f(x) = f(a);\lim_{x ightarrow b^{-}}f(x) = f(b)

    c) \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{3x^{4} - 2x}{5x + 1} = \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{x^{4}\left( 3 - \dfrac{2}{x^{3}} ight)}{x\left( 5 +\dfrac{1}{x} ight)} = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( x^{3}.\dfrac{3- \dfrac{2}{x^{3}}}{5 + \dfrac{1}{x}} ight)

    \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3} = - \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{3 - \frac{2}{{{x^3}}}}}{{5 + \frac{1}{x}}}} ight) = \frac{3}{5} > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3{x^4} - 2x}}{{5x + 1}} = - \infty

    d) Ta có:

    f(x) + 2f\left( \frac{1}{x} ight) = 3x;(x eq 0)(*)

    \Rightarrow f\left( \frac{1}{x} ight) + 2f(x) = \frac{3}{x};(x eq 0)(**)

    Từ (*) và (**) ta có:

    \left\{ \begin{matrix}f(x) + 2f\left( \dfrac{1}{x} ight) = 3x \\f\left( \dfrac{1}{x} ight) + 2f(x) = \dfrac{3}{x} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}f(x) + 2f\left( \dfrac{1}{x} ight) = 3x \\2f\left( \dfrac{1}{x} ight) + 4f(x) = \dfrac{6}{x} \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow f(x) = - x + \frac{2}{x}

    Do đó: \lim_{x ightarrow\sqrt{2}}\dfrac{f(x)}{x - \sqrt{2}} = \lim_{x ightarrow \sqrt{2}}\left(\dfrac{- x + \dfrac{2}{x}}{x - \sqrt{2}} ight)

    = \lim_{x ightarrow \sqrt{2}}\frac{- \left( x - \sqrt{2} ight)\left( x + \sqrt{2} ight)}{x\left( x - \sqrt{2} ight)} = \lim_{x ightarrow \sqrt{2}}\frac{- \left( x - \sqrt{2} ight)}{x} = - 2

  • Câu 27: Thông hiểu

    Chọn phương trình thỏa mãn điều kiện

    Phương trình nào dưới đây có nghiệm trong khoảng (0; 1)?

    Xét hàm số f(x) = 3x^{2017} - 8x + 4 liên tục trên \mathbb{R}.

    \left\{ \begin{matrix} f(0) = 4 \\ f(1) = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(0).f(1) = - 4 < 0

    => Phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0;1).

  • Câu 28: Nhận biết

    Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có số hạng đầu và công sai lần lượt là - 2;3. Số hạng thứ 10 bằng:

    Ta có: u_{1} = - 2;d = 3

    \Rightarrow u_{10} = u_{1} + 9d = 25

  • Câu 29: Thông hiểu

    Xác định mệnh đề đúng

    Biết A,B,C là các góc của tam giác ABC, mệnh đề nào sau đây đúng?

    Vì A,B,C là các góc của tam giác ABC nên A + B + C = \pi \Rightarrow A + C = \pi - B.

    Khi đó sin(A + C) = sin(\pi - B) = sinB;cos(A + C) = cos(\pi - B) = - cosB.

    tan(A + C) = tan(\pi - B) = - tanB;cot(A + C) = cot(\pi - B) = - cotB.

  • Câu 30: Nhận biết

    Tính số cạnh của bát giác

    Số cạnh của một hình chóp có đáy là một bát giác là:

    Do đáy hình chóp là bát giác nên số cạnh đáy và số cạnh bên của hình chóp đều bằng 8.

    Vậy hình chóp có 16 cạnh.

  • Câu 31: Vận dụng cao

    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Trên các cạnh AA', BB', CC' lần lượt lấy ba điểm M, N, P sao cho \frac{A'M}{AA'} = \frac{1}{3}, \frac{B'N}{BB'} = \frac{2}{3}, \frac{C'P}{CC'} = \frac{1}{2}. Biết mặt phẳng (MNP) cắt cạnh DD' tại Q. Tính tỉ số \frac{D'Q}{DD'}.

    Đáp án: 1/6 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b).

    Đáp án là:

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Trên các cạnh AA', BB', CC' lần lượt lấy ba điểm M, N, P sao cho \frac{A'M}{AA'} = \frac{1}{3}, \frac{B'N}{BB'} = \frac{2}{3}, \frac{C'P}{CC'} = \frac{1}{2}. Biết mặt phẳng (MNP) cắt cạnh DD' tại Q. Tính tỉ số \frac{D'Q}{DD'}.

    Đáp án: 1/6 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b).

    Hình vẽ minh họa

    Ta có \left\{ \begin{matrix} (BB'C'C)\ //\ (AA'D'D) \\ (MNP) \cap (BB'C'C) = NP \\ (MNP) \cap (AA'D'D) = MQ \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow NP\ //\ MQ.

    Tương tự: \left\{ \begin{matrix} (AA'B'B)\ //\ (CC'D'D) \\ (MNP) \cap (AA'B'B) = MN \\ (MNP) \cap (CC'D'D) = PQ \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow MN\ //\ PQ

    Suy ra mặt phẳng (MNP) cắt hình hộp theo thiết diện là hình bình hành MNPQ.

    Mặt khác \left\{ \begin{matrix} BN = \frac{1}{3}BB' = \frac{1}{3}AA' \\ AM = \frac{2}{3}AA' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \frac{BN}{AM} = \frac{1}{2}.

    Trong mặt phẳng (ABB'A'), gọi E là giao điểm của hai đường thẳng MN và AB thì BN là đường trung bình của tam giác AME \Rightarrow N là trung điểm của đoạn thẳng ME.

    Trong mặt phẳng (MNPQ), gọi F là giao điểm của EP và MQ thì NP là đường trung bình của tam giác MEF (vì NP\ //\ MQ và N là trung điểm EM) \Rightarrow NP = \frac{1}{2}MF

    Mà tứ giác MNPQ là hình bình hành nên NP = MQ \Rightarrow Q là trung điểm MF hay \frac{FQ}{FM} = \frac{1}{2}

    Lại có D'Q\ //\ A'M \Rightarrow \frac{D'Q}{A'M} = \frac{FQ}{FM} = \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow\dfrac{D'Q}{\dfrac{1}{3}AA'} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow\dfrac{D'Q}{DD'} = \frac{1}{2}.\dfrac{1}{3} =\dfrac{1}{6}

  • Câu 32: Thông hiểu

    Tìm x và y để dãy số lập thành cấp số cộng

    Với giá trị nào của x và y thì các số -7; x; 11; y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng?

    Ta có:

    Các số -7; x; 11 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng

    => - 7 + 11 = 2.x \Rightarrow x = 2

    Tương tự các số 2; 11; y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng

    => 2 + y = 2.11 \Rightarrow y = 20

    Vậy x = 2; y = 20

  • Câu 33: Nhận biết

    Số hạng tổng quát của CSC

    Cho cấp số cộng (un) có các số hạng đầu lần lượt là 5; 9; 13; 17; …. Tìm số hạng tổng quát un của cấp số cộng.

    Các số 5; 9; 13; 17; …. theo thứ tự lập thành một cấp số cộng (un) nên:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = - 3} \\ {d = {u_2} - {u_1} = 4} \end{array}\mathop \to \limits^{CTTQ} } ight.{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d = 5 + 4\left( {n - 1} ight) = 4n + 1 \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = 4n + 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 34: Vận dụng

    Xét tính đúng sai của các khẳng định

    Một bệnh nhân hàng ngày phải uống 150mg thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu. Sau một ngày hàm lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể vẫn còn 6\% lượng thuốc của ngày hôm trước. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

    a) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu còn trong cơ thể sau ngày đầu tiên uống thuốc là 9(mg). Đúng||Sai

    b) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 2 là 159(mg). Đúng||Sai

    c) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 4 là 170(mg). Sai||Đúng

    d) Ước tính lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian 30 ngày là 159,57mg. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Một bệnh nhân hàng ngày phải uống 150mg thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu. Sau một ngày hàm lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể vẫn còn 6\% lượng thuốc của ngày hôm trước. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

    a) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu còn trong cơ thể sau ngày đầu tiên uống thuốc là 9(mg). Đúng||Sai

    b) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 2 là 159(mg). Đúng||Sai

    c) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 4 là 170(mg). Sai||Đúng

    d) Ước tính lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian 30 ngày là 159,57mg. Đúng||Sai

    a) Ta có hàm lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau ngày đầu còn 150 \times 6\%= 9(mg), suy ra mệnh đề đúng.

    b) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ 2 là: 150 \times 6\% + 150 = 159(mg) suy ra mệnh đề đúng.

    c) Gọi u_{n} là lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống ở ngày thứ n

    Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ 1 là: u_{1} = 150(mg)

    Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ 2 là:

    u_{2} = u_{1} \times 6\% + 150= 150 \times 6\% + 150 = 150 \times (0,06 + 1)

    Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ 3 là:

    u_{3} = u_{2}.6\% + 150 = 150\times (0,06 + 1) \times 0,06 + 150

    = 150 \times (0,06^{2} + 0,06 + 1)

    Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ 4 là:

    u_{4} = u_{3} \times 6\% + 150= 150 \times (0,06^{2} + 0,06 + 1) \times 0,06 + 150

    = 150 \times (0,06^{3} + 0,06^{2} + 0,06 + 1) = 159,5724(mg)

    Suy ra mệnh đề sai.

    d) Nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong thời gian 30 ngày. Khi đó lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể được ước lượng là:

    S = 150 \times \left( 1 + 0,06 + 0,06^{2} + \ldots + 0,06^{29} ight)

    = 150 \times u_{1}\frac{1 - q^{30}}{1 - q} = 150 \times 1 \times \frac{1 - 0,06^{30}}{1 - 0,06}

    = \frac{7500}{47} \approx 159,57mg

    Vậy lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể được ước lượng trong 30 ngày là 159,57mg, suy ra mệnh đề đúng.

  • Câu 35: Nhận biết

    Chọn mệnh đề đúng

    Trong không gian cho hai đường thẳng song song a và b. Chọn mệnh đề đúng.

    Cho hai đường thẳng a và b song song, nếu đường thẳng c song song với a thì c song song hoặc trùng với b.

  • Câu 36: Vận dụng

    Tính giới hạn dãy số

    Xác định giới hạn của dãy số \lim\left\lbrack \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{n(n + 1)} ightbrack là:

    Ta có:

    \lim\left\lbrack \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{n(n + 1)} ightbrack

    = \lim\left\lbrack 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} ightbrack

    = \lim\left( 1 - \frac{1}{n + 1} ight) = 1

  • Câu 37: Vận dụng cao

    Chọn mệnh đề đúng?

    Hàm số y = sin^{4}x - cos^{4}x đạt giá trị nhỏ nhất tại x = x_{0}. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

    Ta có y = sin^{4}x - cos^{4}x

    = \left(sin^{2}x + cos^{2}x ight)\left( sin^{2}x - cos^{2}x ight) = -cos2x.

    Mà - 1 \leq cos2x \leq 1 \Rightarrow - 1\geq - cos2x \geq 1

    \Rightarrow - 1 \geq y \geq 1

    Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1.

    Đẳng thức xảy ra \Leftrightarrow cos2x =1 \Leftrightarrow 2x = k2\pi \Leftrightarrow x = k\pi\ \left(k\mathbb{\in Z} ight).

  • Câu 38: Vận dụng cao

    Tính giới hạn dãy số

    Kết quả của giới hạn\lim\frac{2^{n + 1} + 3n + 10}{3n^{2} - n + 2} là:

    Ta có:

    \begin{matrix} {2^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} \hfill \\ \Rightarrow {2^n} \geqslant C_n^3 = \dfrac{{n\left( {n - 1} ight)\left( {n - 2} ight)}}{6} \sim \dfrac{{{n^3}}}{6} \hfill \\ \end{matrix}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{n}{2^{n}} ightarrow 0 \\\dfrac{2^{n}}{n^{2}} ightarrow + \infty \\\end{matrix} ight.

    Khi đó:

    \begin{matrix} \lim \dfrac{{{2^{n + 1}} + 3n + 10}}{{3{n^2} - n + 2}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{{2^n}}}{{{n^2}}}.\dfrac{{2 + 3.\dfrac{n}{{{2^n}}} + 10.{{\left( {\dfrac{1}{2}} ight)}^n}}}{{3 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{{{n^2}}}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Vì \left\{ \begin{matrix}\lim\dfrac{2^{n}}{n^{2}} = + \infty \\\lim\dfrac{2 + 3.\dfrac{n}{2^{n}} + 10.\left( \dfrac{1}{2} ight)^{n}}{3 -\dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{n^{2}}} = \dfrac{2}{3} > 0 \\\end{matrix} ight.

    Vậy \lim\dfrac{2^{n + 1} + 3n + 10}{3n^{2}- n + 2} = + \infty

  • Câu 39: Nhận biết

    Xác định cấp số nhân

    Dãy số nào sau đây là cấp số nhân?

    Ta có: \left( u_{n} ight) là cấp số nhân \Leftrightarrow u_{n + 1} = q.u_{n}

    Dãy số lập thành cấp số nhân là \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 1 \\ u_{n + 1} = - 3u_{n};n \geq 1 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 40: Nhận biết

    Tìm hình chiếu của hình lập phương qua phép chiếu song song

    Hình chiếu của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' qua phép chiếu song song phương AA' lên mặt phẳng chiếu (ABCD) là:

    Phép chiếu song song phương AA' lên mặt phẳng (ABCD) sẽ biến A' thành A, biến B' thành B, biến C' thành C, biến D' thành D.

    Nên hình chiếu song song của hình lập phương ABCD.A'B'C'D'là hình vuông.

  • Câu 41: Vận dụng

    Xét tính đúng sai cho mỗi nhận định

    Cho phương trình lượng giác \sin\left\lbrack \frac{\pi}{4}\left( 3x - \sqrt{9x^{2} - 16x - 80} ight) ightbrack = 0, vậy:

    a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình \frac{\pi}{4}\left( 3x - \sqrt{9x^{2} - 16x - 80} ight) = k\pi,\ k\mathbb{\in Z}. Đúng||Sai

    b) Phương trình có 3 nghiệm nguyên dương. Sai||Đúng

    c) Phương trình có 2 nghiệm nguyên dương. Đúng||Sai

    d) Tổng các nghiệm nguyên dương của phương trình bằng 14. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho phương trình lượng giác \sin\left\lbrack \frac{\pi}{4}\left( 3x - \sqrt{9x^{2} - 16x - 80} ight) ightbrack = 0, vậy:

    a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình \frac{\pi}{4}\left( 3x - \sqrt{9x^{2} - 16x - 80} ight) = k\pi,\ k\mathbb{\in Z}. Đúng||Sai

    b) Phương trình có 3 nghiệm nguyên dương. Sai||Đúng

    c) Phương trình có 2 nghiệm nguyên dương. Đúng||Sai

    d) Tổng các nghiệm nguyên dương của phương trình bằng 14. Sai||Đúng

    Điều kiện: 9x^{2} - 16x - 80 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 4.

    Phương trình \Leftrightarrow \frac{\pi}{4}\left( 3x - \sqrt{9x^{2} - 16x - 80} ight) = k\pi,\ k\mathbb{\in Z}

    \Leftrightarrow 3x - \sqrt{9x^{2} - 16x - 80} = 4k

    \Leftrightarrow \sqrt{9x^{2} - 16x - 80} = 3x - 4k

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x \geq \dfrac{4k}{3} \\9x^{2} - 16x - 80 = (3x - 4k)^{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x \geq \dfrac{4k}{3} \\x = \dfrac{2k^{2} + 10}{3k - 2} \\\end{matrix} ight..

    Yêu cầu bài toán \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\dfrac{2k^{2} + 10}{3k - 2} \geq \dfrac{4k}{3} \\x = \dfrac{2k^{2} + 10}{3k - 2} \geq 4 \\\dfrac{2k^{2} + 10}{3k - 2}\mathbb{\in Z} \\\end{matrix} ight..

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} \frac{{2{k^2} + 10}}{{3k - 2}} \geqslant \frac{{4k}}{3} \hfill \\ x = \frac{{2{k^2} + 10}}{{3k - 2}} \geqslant 4 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{ - 6{k^2} + 8k + 30}}{{3k - 2}} \geqslant 0 \hfill \\ \frac{{2{k^2} - 12k + 18}}{{3k - 2}} \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \frac{2}{3} < k \leqslant 3

    Vì k\mathbb{\in Z \Rightarrow}k = 1,2,3.

    k = 1 \Rightarrow \frac{2k^{2} + 10}{3k - 2} = 12\mathbb{\in Z}

    k = 2 \Rightarrow \frac{2k^{2} + 10}{3k - 2} = \frac{9}{2}\mathbb{otin Z}

    k = 3 \Rightarrow \frac{2k^{2} + 10}{3k - 2} = 4\mathbb{\in Z}

    Kết hợp điều kiện, ta có x=4, x= 12 là những giá trị cần tìm.

    Kết luận:

    a) Đúng

    b) Sai

    c) Đúng

    d) Sai
  • Câu 42: Vận dụng

    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 10. N là điểm trên cạnh SB sao cho 3SN = 2SB. Một mặt phẳng (\alpha) đi qua N, song song với AB và AD, cắt hình chóp theo một tứ giác. Gọi S là diện tích tứ giác thiết diện và S = \frac{4a}{b}, với \frac{a}{b} là phân số tối giản, a;b\mathbb{\in N}. Tính giá trị của biểu thức P = a + b + 1 ?

    Đáp án: 110

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 10. N là điểm trên cạnh SB sao cho 3SN = 2SB. Một mặt phẳng (\alpha) đi qua N, song song với AB và AD, cắt hình chóp theo một tứ giác. Gọi S là diện tích tứ giác thiết diện và S = \frac{4a}{b}, với \frac{a}{b} là phân số tối giản, a;b\mathbb{\in N}. Tính giá trị của biểu thức P = a + b + 1 ?

    Đáp án: 110

    Hình vẽ minh họa

    Ta kẻ MN\ //\ AB\ \ (M \in SA), NP\ //BC\ \ (P \in SC), MQ\ //\ BC\ //\ AD\ \ (Q \in SD).

    Vì mặt phẳng (\alpha) đi qua N, song song với AB và AD nên M,\ \ P,\ \ Q đều thuộc (\alpha) và thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (\alpha) là tứ giác MNPQ.

    Khi đó MN//AB \Rightarrow \frac{SM}{SA} = \frac{MN}{AB} =\frac{2}{3}.

    Tương tự, ta có được \frac{NP}{BC} = \frac{PQ}{CD} = \frac{QM}{DA} = \frac{2}{3}.

    Suy ra MN = NP = PQ = QM = \frac{2}{3}AB = \frac{20}{3} và MNPQ là hình vuông.

    Suy ra S_{MNPQ} = \left( \frac{20}{3} ight)^{2} = \frac{400}{9}.

    Khi đó a = 100,b = 9

    Vậy P = a + b + 1 = 110.

  • Câu 43: Vận dụng cao

    Tính giá trị P

    Nếu \tan\alpha và \tan\beta là hai nghiệm của phương trình x^{2} - px + q = 0;(q eq 0) thì P = cos^{2}(\alpha + \beta) + p\sin(\alpha + \beta).cos(\alpha + \beta) + qsin^{2}(\alpha + \beta) bằng:

    Ta có: \tan\alpha và \tan\beta là hai nghiệm của phương trình x^{2} - px + q = 0;(q eq 0)nên theo định lí Vi – ét ta có: \left\{ \begin{matrix} \tan\alpha + \tan\beta = p \\ \tan\alpha.tan\beta = q \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha.tan\beta} = \frac{p}{1 - q}

    Khi đó:

    P = \cos^{2}(\alpha + \beta) +p\sin(\alpha + \beta).\cos(\alpha + \beta) + q\sin^{2}(\alpha +\beta)

    P = \cos^{2}(\alpha + \beta).\left\lbrack1 + p\tan(\alpha + \beta) + q\tan^{2}(\alpha + \beta)ightbrack

    P = \frac{1 + p\tan(\alpha + \beta) +q\tan^{2}(\alpha + \beta)}{1 + \tan^{2}(\alpha + \beta)}

    P = \dfrac{1 + p.\dfrac{p}{1 - q} +q.\left( \dfrac{p}{1 - q} ight)^{2}}{1 + \left( \dfrac{p}{1 - q}ight)^{2}}

    P = \dfrac{(1 - q)^{2} + p^{2}(1 - q) +q.p^{2}}{(1 - q)^{2} + p^{2}}

    P = \dfrac{(1 - q)^{2} + p^{2} - p^{2}.q+ q.p^{2}}{(1 - q)^{2} + p^{2}}

    P = 1

  • Câu 44: Vận dụng

    Chọn đáp án đúng

    Nhiệt độ ngoài trời ở một thành phố vào các thời điểm khác nhau trong ngày có thể được mô phỏng bởi công thức h(t)= 29 + 3.\sin\frac{\pi}{12}(t - 9) với h tính bằng \ ^{0}C và t là thời gian trong ngày tính bằng giờ. Thời gian nhiệt độ thấp nhất trong ngày là:

    Do - 1 \leq \sin\frac{\pi}{12}(t - 9) \leq 1,\forall t nên

    \begin{matrix} - 3 \leqslant 3\sin \dfrac{\pi }{{12}}(t - 9) \leqslant 3 \hfill \\ \Leftrightarrow 26 \leqslant 29 + 3\sin \dfrac{\pi }{{12}}(t - 9) \leqslant 32 \hfill \\ \Leftrightarrow 26 \leqslant h(t) \leqslant 32 \hfill \\ \end{matrix}

    Do đó nhiệt độ thấp nhất trong ngày là 26^{0}C.

    Dấu bằng xảy ra\Leftrightarrow \sin\frac{\pi}{12}(t -9) = - 1

    \Leftrightarrow \frac{\pi}{12}(t - 9) = - \frac{\pi}{2} + k2\pi

    \Leftrightarrow t = 3 + 24k(k\mathbb{\in Z})

    Do 0 \leq t \leq 24 \Leftrightarrow 0 \leq 3 + 24k \leq 24 \Leftrightarrow \frac{- 3}{24} \leq k \leq \frac{21}{24}.

    Mà k\mathbb{\in Z} nên k = 0.

    Khi đó t = 3.

    Vậy lúc 3h là thời gian nhiệt độ thấp nhất trong ngày.

  • Câu 45: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) biết u_{n} = \frac{3n - 1}{3n + 1}. Dãy số \left( u_{n} ight) bị chặn trên bởi số nào dưới đây?

    Ta có: u_{n} = \frac{3n - 1}{3n + 1} = 1 - \frac{2}{3n + 1} < 1

    Mặt khác u_{2} = \frac{5}{7} > \frac{1}{2} > 0

    => Dãy số \left( u_{n} ight) bị chặn trên bởi số 1.

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay
Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 2 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Xem đáp án Làm lại
1
17 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 2
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Tìm bài trong mục này
🖼️

Toán 11 - Cánh Diều
Xem thêm