Phép tính lôgarit Cánh Diều
1. Định nghĩa
Cho hai số thực dương 
\(a,b\) với \(a \neq 1\). Số thực \(c\) để \(a^{c} =
b\) được cho là lôgarit cơ số \(a\) của \(b\) và kí hiệu là \(\log_{a}b\), nghĩa là:
\(c = \log_{a}b \Leftrightarrow a^{c} =b\)
Chú ý: \(\log_{a}b\) xác định khi và chỉ khi \(a > 0,a \neq 1,b
> 0\).
2. Tính chất
Với số thực dương \(a \neq 1\), số thực dương \(b\), ta có:
| \(\log_{a}1 = 0\) |
\(\log_{a}a = 1\) |
| \(\log_{a}a^{c} = c\) |
\(a^{\log_{a}b} = b\) |
Ví dụ: Tính giá trị của các biểu thức:
| a) \(\log_{3}9^{\frac{1}{5}}\) |
b) \(\log_{10}\frac{1}{\sqrt[3]{10}}\) |
c) \(\left( \frac{1}{25}\right)^{\log_{5}\frac{1}{3}}\) |
Hướng dẫn giải
a) \(\log_{3}9^{\frac{1}{5}} =\log_{3}3^{\frac{2}{5}} = \frac{2}{5}\)
b) \(\log_{10}\frac{1}{\sqrt[3]{10}} =\log_{10}10^{- \frac{1}{3}} = - \frac{1}{3}\)
c) \(\left( \frac{1}{25}\right)^{\log_{5}\frac{1}{3}} = \left( 5^{- 2}\right)^{\log_{5}\frac{1}{3}} = 5^{- 2.\log_{5}\frac{1}{3}}\)
\(= \left( 5^{\log_{5}\frac{1}{3}}\right)^{- 2} = \left( \frac{1}{3} \right)^{- 2} = 3^{2} =9\)
3. Lôgarit thập phân. Lôgarit tự nhiên
- Lôgarit cơ số 10 của số thực dương \(b\) được gọi là lôgarit thập phân của \(b\) và kí hiệu là \(\log b\) hay \(\lg b\).
- Lôgarit cơ số \(e\) của số thực dương \(b\) được gọi là lôgarit tự nhiên của \(b\) và kí hiệu là \(\ln b\).
B. Một số tính chất của phép tính lôgarit
1. Lôgarit của một tích, một thương
Với ba số thực \(a,m,n\) và \(a \neq 1\), ta có:
- \(\log_{a}(mn) = \log_{a}m +\log_{a}n\)
- \(\log_{a}\left( \frac{m}{n} \right) =\log_{a}m - \log_{a}n\)
Chú ý: Với \(a > 0,a
\neq 1,b > 0\) khi đó: \(\log_{a}\left( \frac{1}{b} \right) = -\log_{a}b\).
Ví dụ: Đặt \(\log x =a,\log y = b,\log z = c\) với \(x,y,z >
0\). Biểu thị các biểu thức sau theo \(a,b,c\):
| a) \(\log(xyz)\) |
b) \(\log\frac{x^{3}\sqrt[3]{y}}{100\sqrt{z}}\) |
c) \(\log_{z}\left( xy^{2} \right),(z \neq1)\) |
Hướng dẫn giải
a) \(\log(xyz) = \log x + \log y + \log
z\)
\(= a + b + c\)
b) \(\log\frac{x^{3}\sqrt[3]{y}}{100\sqrt{z}} =
\log\left( x^{3}\sqrt[3]{y} \right) - \log\left( 100\sqrt{z}
\right)\)
\(= \log\left( x^{3}y^{\frac{1}{3}}
\right) - \log\left( 10^{2}.z^{\frac{1}{2}} \right)\)
\(= 3\log x + \frac{1}{3}\log y - 2 -\frac{1}{2}\log z\)
\(= 3a + \frac{1}{2}b - \frac{1}{2}c -
2\)
c) \(\log_{z}\left( xy^{2} \right) =\frac{\log\left( xy^{2} \right)}{\log z}\)
\(= \frac{\log x + 2\log y}{\log z} =\frac{a + 2b}{c}\)
Chú ý: Với \(n\) số thực dương \(b_{1},b_{2},b_{3},...,b_{n}\) và \(a > 0,a \neq 1\) ta có:
\(\log_{a}\left( b_{1}b_{2}b_{3}...b_{n}\right) = \log_{a}\left( b_{1} \right) + \log_{a}\left( b_{2} \right) +... + \log_{a}\left( b_{n} \right)\)
2. Lôgarit của một lũy thừa
Cho \(a > 0,a \neq 1,b > 0\). Với mọi số thực \(\alpha\), ta có:
\(\log_{a}\left( b^{\alpha} \right) =\alpha \log_{a}b\)
Chú ý: Với mọi số nguyên dương \(n \geq 2,a > 0,a \neq 1,b > 0\) ta có:
\(\log_{a}\sqrt[n]{b} =\frac{1}{n}\log_{a}b\)
3. Đổi cơ số của lôgarit
Với \(a,c\) là hai số thực dương khác \(1\) và \(b\) là số thực dương, ta có:
\(\log_{a}b =\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}\)
Nhận xét: Với \(a >
0\) và \(a \neq 1,b > 0\) và \(b \neq 1,c > 0,\alpha \neq 0\) , ta có những công thức sau:
- \(\log_{a}b.\log_{b}c =\log_{a}c\)
- \(\log_{a}b =\frac{1}{\log_{b}a}\)
- \(\log_{a^{\alpha}}b =\frac{1}{\alpha}\log_{a}b\)
Ví dụ: Tính giá trị của các biểu thức sau:
| a) \(\log_{9}\frac{1}{27}\) |
b) \(\log_{8}9.\log_{27}\frac{1}{16}\) |
c) \(\log_{4}27.\log_{3}5.\log_{25}8\) |
Hướng dẫn giải
a) \(\log_{9}\frac{1}{27} =\frac{\log_{3}\dfrac{1}{27}}{\log_{3}9} = \frac{\log_{3}3^{-3}}{\log_{3}3^{2}} = - \frac{3}{2}\)
b) \(\log_{8}9.\log_{27}\frac{1}{16} =\frac{\log_{2}9}{\log_{2}8}.\frac{\log_{2}\frac{1}{16}}{\log_{2}27}\)
\(=\frac{\log_{2}3^{2}}{\log_{2}2^{3}}.\frac{\log_{2}2^{- 4}}{\log_{2}3^{3}} =\frac{2\log_{2}3}{3\log_{2}2}.\frac{- 4\log_{2}2}{3\log_{2}3}\)
\(= \frac{2}{3}.\frac{- 4}{3} = -
\frac{8}{9}\)
c) \(\log_{4}27.\log_{3}5.\log_{25}8\)
\(=\frac{\log_{2}27}{\log_{2}4}.\frac{\log_{2}5}{\log_{2}3}.\frac{\log_{2}8}{\log_{2}25}\)
\(=\frac{\log_{2}3^{3}}{\log_{2}2^{2}}.\frac{\log_{2}5}{\log_{2}3}.\frac{\log_{2}2^{3}}{\log_{2}5^{2}}\)
\(=\frac{3\log_{2}3}{2\log_{2}2}.\frac{\log_{2}5}{\log_{2}3}.\frac{3\log_{2}2}{2\log_{2}5}= \frac{9}{4}\)
