Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều

Khẳng định đúng là “AB vuông góc với mặt phẳng (SAD)”

Thật vậy, do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB

Mặt khác AB ⊥ AD.

Từ đó suy ra AB ⊥ (SDA)

Hình vẽ minh họa

Ta có: là hình vuông

Mặt khác

Suy ra

=> SD là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (SAD)

Do đó

Xét tam giác vuông tại ta có:

Ta có:

Thể tích khối chóp là:

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Khi đó ta có (1).

Mặt khác ta lại có ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên

(2)

Từ (1) và (2) ta có tại O

Khi đó B’O là hình chiếu của AB’ lên mặt phẳng (BDD’B’).

Suy ra góc tạo bởi đường thẳng AB’ và mặt phẳng (BDD’B’) là

Xét tam giác vuông AB’O có

Vậy

"Nếu ba vecto cùng vuông góc với vecto khác thì chúng đồng phẳng"

Giải thích:

Giả sử không đồng phẳng, khi đó tồn tại duy nhất bộ số thực sao cho:

Nhân cả hai vế với ta có:

(Mâu thuẫn với giả thiết)

Hình vẽ minh họa

Ta có: O là tâm hình thoi ABCD

Mặt khác (tính chất tam giác cân)

Và (tính chất hình thoi)

Từ (1) và (2) suy ra

Hình vẽ minh họa:

Ta có AD // (IJ) ⇒ IJ // (SAD) ⇒ d(IJ, SD) = d(IJ, (SAD)) = d(I, (SAD)) = IA = a/2

Mệnh đề sai là: "Nếu a // (P) và b ⊥ a thì b ⊥ (P)"

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Theo giả thiết ta có:

Từ (1) và (2) suy ra

Mà nên

Hình vẽ minh họa

Gọi P là trung điểm của BD.

Ta có: lần lượt là đường trung bình của tam giác .

Do đó:

Vì là tứ diện đều

nên tam giác là tam giác đều.

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Lại có:

=>

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

OC ⊥ BD

OC ⊥ CC’

=> OC là đoạn vuông góc chung của CC’ và BD.

Vậy d(CC’, BD) = OC = AC/2 = 2a/2 = a

Mệnh đề đúng: Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a // b

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Nhận thấy

Hình vẽ minh họa

Theo giả thiết ta có:

là đường trung bình của tam giác nên

Vì

Gọi M là trung điểm của AD.

Xét tứ giác ABCM có: AM // BC, AM = AB = BC = a,

Suy ra ABCM là hình vuông => MC = AB = a

Xét tam giác ACD có AM là trung tuyến và

Suy ra ACD vuông tại C => AC ⊥ CD

Trong (SAC), dựng AH ⊥ SC

Ta có: mà AH ⊂ (SAC) suy ra CD ⊥ AH.

Ta có:

Ta có:

Từ (1) và (2) suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là góc giữa hai đường thẳng AH và AD.

Xét tam giác ABC vuông tại B có:

Xét tam giác SAC vuông tại A có:

Xét tam giác SAC vuông tại A và nên SAC vuông cân tại A.

Suy ra H là trung điểm SC và

Xét tam giác AHD vuông tại H (vì AH ⊥ (SCD)).

Ta có: suy ra

Vậy

Hình vẽ minh họa

Gọi hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2t là S.ABCD với I là tâm của đáy ta có:

lần lượt vuông tại S; B; D

I là trung điểm của AC suy ra

Vậy thể tích hình chóp là:

Hình vẽ minh họa:

Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.

Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).

Khi đó các tam giác SOA, SOB, SOC, SOD bằng nhau nên bốn đoạn thẳng OA, OB, OC, OD bằng nhau.

Suy ra O trùng với tâm của hình vuông ABCD, hay O là giao điểm của AC và BD. Vậy chiều cao của hình chóp là:

Hình vẽ minh họa

Gọi góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng là và

Ta có:

Ta có ABCD là hình vuông, BD = 4a nên

Ta có:

Xét tam giác AOA’ có

Hình vẽ minh họa:

Từ A kẻ AH vuông góc với SB (H ∈ SB).

Ta có:

Mà AH ⊥ SB suy ra AH ⊥ (SBC).

Từ A kẻ AK vuông góc với SD (K ∈ SD), tương tự, chứng minh được AK ⊥ (SCD).

Khi đó SC ⊥ (AHK) suy ra ((SBC); (SCD)) = (AH; AK) = = 60⁰.

Lại có ∆SAB = ∆SAD => AH = AK mà = 60⁰ suy ra tam giác AHK đều.

Tam giác SAB vuông tại S ta có:

Vì HK // BD suy ra

=> x = a

Đặt

Khi đó: với x + y + z = 1. Ta có:

Tương tự ta được:

Ta biết rằng H là chân đường cao kẻ từ đỉnh O của tứ diện vuông OABC khi và chỉ khi H là trực tâm của tam giác ABC. Hơn nữa

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi OM = OH hay M trùng với H

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 2 khi và chỉ khi M trùng với H hay M là trực tâm của tam giác ABC

Vì vuông góc với đáy nên

Hình vẽ minh họa

Vì

Mà

Tam giác SAB có đường cao

Mà

Tương tự chứng minh ta được:

Hình vẽ minh họa

Khối lăng trụ đã cho có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2a nên diện tích là và chiều cao (vì lăng trụ là lăng trụ đứng)

Vậy thể tích hình lăng trụ là:

Hình vẽ minh họa:

Do I là trung điểm của SC và O là trung điểm AC nên IO ∥ SA. Do SA ⊥ (ABCD) nên IO ⊥ (ABCD), hay khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABCD) bằng độ dài đoạn thẳng IO

Đặt

Do tam giác vuông cân ABC tại C có suy ra:

Ta có:

Vậy

Mặt khác:

Gọi góc giữa hai véctơ và

Theo công thức tích vô hướng của hai véctơ ta có:

Vậy góc giữa hai đường thẳng SM và CN bằng

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.

Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a

=> MD = a; AM = 2a

Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.

Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và

Ta có: (1)

Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)

Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)

Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.

Suy ra và

Tam giác SCM đều cạnh bằng nên

Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).

Ta có:

Ta lại có:

Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)

Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc

Do BC // AD => BC //(SAD)

=>

Trong tam giác vuông BIS ta có:

Hình vẽ minh họa:

Gọi M’ là trung điểm OC.

Khi đó MM’ // SO => MM’ ⊥ (ABCD).

Theo công thức diện tích hình chiếu, ta có:

Mệnh đề sai là: “(P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nếu nó đi qua ba điểm phân biệt cách đều A và B.”

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm BC 

=>AM ⊥ BC và

Gọi K là hình chiếu của A trên SM => AK ⊥ SM (1)

Ta có:

Từ (1) và (2)

Xét tam giác SAM ta có:

Vậy

Hình vẽ minh họa:

Gọi H, I lần lượt là trung điểm của AB, AC’

Suy ra HI // BC’

Trong mặt phẳng (ABB’A’), tia A’H cắt tia B’B tại S, gọi K là hình chiếu của B trên SH

Dễ thấy BK ⊥ (SCH)

Gọi M là hình chiếu của K trên A’C, chú ý rằng CH = HA’ nên HI ⊥ A’C, do đó KM // HI // BC’

Trong mặt phẳng (BC’MK) lấy điểm N trên BC’ sao cho BKMN là hình bình hành

Khi đó MN là đoạn vuông góc chung cần tìm

Ta có:

Do 2HB = SB nên:

=>

Ta có:

Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:

Hình vẽ minh họa:

Gọi D là trung điểm của AB, do giả thiết suy ra CD ⊥ AB.

Trong (ABC) kẻ HM // CD suy ra HM ⊥ AB (1).

Do giả thiết SH ⊥ (ABC) => SH ⊥ AB (2)

Từ (1), (2) suy ra AB ⊥ (SHM)

Trong mặt phẳng (SHM) kẻ HK ⊥ SM (3), theo chứng minh trên => HK ⊥ AB (4)

Từ (3), (4) => HK ⊥ (SAB) => d (H; (SAB)) = HK

Dễ thấy CH ∩ (SAB) = {A}

Do đó

Theo giả thiết ∆ABC đều =>

Xét ∆ABC do HM // CD theo định lý Ta - lét ta có:

Áp dụng hệ thức lượng trong ∆SHM vuông tại H, ta có:

Hình vẽ minh họa

Gọi

Ta có:

Ta có:

Hình vẽ minh họa:

Kẻ Mk // SO

Theo bài ra ta có: SO ⊥ (ABCD) => MK ⊥ (ABCD)

=>

Ta có:

Xét tam giác CNK có:

Xét tam giác MNK vuông ta có:

Hình chiếu của SA lên mặt phẳng (ABC) là AH

=> Góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) là

Tam giác ABC và SBC là các tam giác đều cùng cạnh a

Vậy tan α = 1

Ta có tam giác SAB vuông tại A nên

Ta có:

Xét tam giác MDA vuông tại A theo định lí Pytago ta có:

Ta có

Gọi N là giao của AB và CD. Gọi P là trung điểm AD nên ABCP là hình vuông

=>

Ta có (hai đường chéo hình vuông)

Mặt khác BP // CD.

Do đó tam giác ACD vuông tại nên tam giác ACN vuông tại C, mặt khác nên B là trung điểm AN.

Ta có AB giao (SCB) tại N nên

Ta có

Trong (SAC) kẻ

Xét tam giác SAC vuông tại A nên

Do đó

Hình vẽ minh họa

Vì tam giác SAB là tam giác cân tại S nên

Ta có: