Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều

Hình vẽ minh họa:

Vì AH ⊥ (BCD) => AH ⊥ CD (*)

Do H là trực tâm tam giác BCD => BH ⊥ CD (**)

Từ (*) và (**) => CD ⊥ AH, CD ⊥ BH => CD ⊥ (ABH) => CD ⊥ AB

Hình ảnh minh họa:

Do AB // C’D’ nên giao tuyến của (MAB) và (MC’D’) là đường thẳng ∆ // AB // C’D’.

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của D’C’ và AB ta có:

=> MP ⊥ ∆, MQ ⊥ ∆.

Như vậy góc giữa (MAB) và (MC0’’) là góc giữa MP và MQ.

Không mất tính tổng quát, ta cho cạnh hình lập phương là 6.

Khi đó

Áp dụng định lí cosin cho tam giác MPQ ta được:

Góc α là góc giữa hai mặt phẳng (MC’D’) và (MAB) ta có:

Hình vẽ minh họa

Ta có nên .

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm của BC

=>

Gọi N là trung điểm của AC

=>

Kẻ

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Do BD và A’C’ lần lượt nằm trên hai mặt phẳng (ABCD) và (A’B’C’D’) song song với nhau nên d(A’C’, BD) = d((ABCD),(A’B’C’D’)).

Mà ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên ta có d((ABCD), (A’B’C’D’)) = AA’ = a. Vậy d(A’C’, BD) = a.

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là BC. (1)

Ta có: SA ⊥ (ABC), mà đường thẳng BC nằm trong (ABC) => SA ⊥ BC.

Ta có:

Lại có:

Từ (1), (2), (3) =>

Hình vẽ minh họa

Gọi

Ta có:

Ta có:

Ta có:

Thể tích khối chóp là:

Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB

Tam giác SAB cân tại S nên

Ta có:

Vậy SH là đường cao của hình chóp

Xét tam giác AHS vuông tại H ta có:

Vậy thể tích hình chóp là:

Hình vẽ minh họa

Ta có: nên góc giữa hai đường thẳng và là góc giữa và và bằng góc

Với ta có:

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.

Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a

=> MD = a; AM = 2a

Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.

Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và

Ta có: (1)

Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)

Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)

Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.

Suy ra và

Tam giác SCM đều cạnh bằng nên

Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).

Ta có:

Ta lại có:

Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)

Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc

Do BC // AD => BC //(SAD)

=>

Trong tam giác vuông BIS ta có:

Hình vẽ minh họa:

Vì DC // AB nên khoảng cách giữa SB và DC bằng khoảng cách giữa mặt phẳng (SAB) và DC.

Do đó: d(DC, SB) = d(DC, (SAB)) = d(D, (SAB)) = AD =

"a vuông góc với mặt phẳng (P)" sai vì có thể có trường hợp

"a không vuông góc với mặt phẳng (P)" sai vì có thể xảy ra trường hợp

=> "a không thể vuông góc với mặt phẳng (P)" là sai.

Gọi . Do nên suy ra

(vì )

Kẻ ta có:

Từ (1) và (2) , khi đó

Hình vẽ minh họa:

Góc của (P) qua CD’ hợp với (BB’D’D) một góc nhỏ nhất bằng với góc giữa đường thẳng CD’ và (BB’D’D).

Ta có:

=> D là trung điểm của BM.

Kéo dài MD’ cắt BB’ tại N. Đường thẳng CN cắt B’C’ tại I, ta được I là trung điểm B’C’.

Ta được thiết diện cần tìm là tam giác ICD’

Tính được:

Hình vẽ minh họa

Gọi góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng là và

Ta có:

Ta có ABCD là hình vuông, BD = 4a nên

Ta có:

Xét tam giác AOA’ có

Trong không gian cho đường thẳng Δ và điểm O. Qua điểm O có đúng một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng Δ.

Hình vẽ minh họa:

Vì HA = HB, tam giác ABC cân => CH ⊥ AB

Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ CH

Mà CH ⊥ AB => CH ⊥ (SAB)

Mặt khác AK thuộc mặt phẳng (SAB

=> CH ⊥ SA, CH ⊥ SB, CH ⊥ AK

Và AK ⊥ SB chỉ xảy ra khi và chỉ khi tam giác SAB cân tại S.

Có 1 nếu M không thuộc a, có vô số nếu M thuộc a

Hình vẽ minh họa:

Vì M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC’ và C’A

=>

=> MNPQ là hình bình hành

Gọi H là trung điểm của AB

Vì hai tam giác ABC và ABC’ đều nên

=>

Ta có:

Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ABD có AB = AD và

=> Tam giác ABD là tam giác đều

=> (Vì DM là trung tuyến)

Xét tam giác ABC có AB = AC và

=> Tam giác ABC là tam giác đều

=> (Vì CM là trung tuyến)

=> DM = CM nên tam giác MCD cân tại M có MN là trung tuyến (do N là trung điểm của CD)

Suy ra MN là đường cao của tam giác MCD

=> MN ⊥ CD

Chứng minh tương tự:

Vì hai tam giác ACD và BCD bằng nhau (c.c.c) nên hai đường trung tuyến tương ứng AN; BN bằng nhau: AN = BN

=> Tam giác ABN cân tại N có NM là đường trung tuyến nên MN ⊥ AB

Vậy kết luận "MN không vuông góc với AB và CD" là kết luận sai.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Giả sử cạnh của tứ diện đều bằng a

Vì M là trung điểm của CD. Nên AM là đường cao trong tam giác ACD đều.

=>

Ta có:

=>

=>

Gọi O là giao điểm của AC và BD và M là trung điểm của SA.

Trong hình chữ nhật ABCD ta có

Xét tam giác MAB vuông tại A, ta có:

Xét tam giác MAO vuông tại O, ta có:

Do MO // SC nên góc giữa hai đường thẳng SC và BD là góc giữa hai đường thẳng MO và BD.

Áp dụng định lý cosin vào tam giác MOB ta có

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm của BC.

Do tam giác ABC và tam giác BCD lần lượt là tam giác cân tại A và tại D

=> BC ⊥ MA, BC ⊥ MD

=> BC ⊥ (ADM)

=> BC ⊥ AD

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm CB, ta có: OM ⊥ BC.

Mặt khác vì OA, OB, OC đôi một vuông góc nên OA ⊥ (OBC)

=> OA ⊥ OM. Do đó khoảng cách giữa OA và BC là OM.

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Gọi M, H lần lượt là trung điểm của BC, CD.

Do vuông tại nên hay là tâm đường tròn ngoại tiếp .

Mà nên AH là đường cao kẻ từ xuống hay .

(1)

M, H là trung điểm của BC, CD nên MH là đường trung bình của

Mà nên . (2)

Từ (1), (2) suy ra: .

Suy ra: .

Lại có: .

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Khi đó ta có (1).

Mặt khác ta lại có ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên

(2)

Từ (1) và (2) ta có tại O

Khi đó B’O là hình chiếu của AB’ lên mặt phẳng (BDD’B’).

Suy ra góc tạo bởi đường thẳng AB’ và mặt phẳng (BDD’B’) là

Xét tam giác vuông AB’O có

Vậy

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Mà tam giác ABC là tam giác đều

mà

Hình vẽ minh họa:

Do ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD nên => SO ⊥ (ABCD)

Từ => AC ⊥ (SBD)

Từ => BD ⊥ (SAC)

Như vậy, các khẳng định “SO ⊥ (ABCD)”, “AC ⊥ (SBD)”, “BD ⊥ (SAC)” là các khẳng định đúng.

Khẳng định “BC ⊥ (SAB)” là khẳng định sai. Vì nếu BC ⊥ (SAB) suy ra BC ⊥ SB, cùng với BC ⊥ SO ta có BC ⊥ (SBD), nên qua điểm B có hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng BC (vô lí).

Có một khi a không vuông góc với (P), có vô số khi a vuông góc với (P).

Hình chóp S.ABCD đều, O là tâm của đáy nên

ABCD là hình vuông cạnh a nên

Ta có:

Khi đó: với là góc giữa hai mặt phẳng (AMO) và (SAB).

Do suy ra góc giữa SB và (SAC) là góc giữa SB và SO và bằng góc .

Tam giác SBO vuông tại O nên ta có:

Gọi I là trung điểm của AB. Kẻ OH ⊥ SI (1)

Ta có: (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Vì OI là đường trung bình của tam giác ABD nên

Tam giác SOI vuông tại O, đường cao OH, có

Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến trong các tam giác SAB và SBC, ta có:

Trong tam giác AMC, có:

Hình vẽ minh hoạ

Gọi I là trung điểm của SD

=> OI là đường trung bình tam giác SBD

Suy ra

Ta có:

nên tam giác AOI cân tại I

Gọi H là tung điểm của OA

Xét tam giác OHI có:

Hình vẽ minh họa

Ta có: là hình vuông

Mặt khác

Suy ra

=> SD là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (SAD)

Do đó

Xét tam giác vuông tại ta có:

Từ I kẻ

Gọi K là trung điểm của SD.

Gọi , kẻ

Ta có:

Xét tam giác ICQ có

Xét tam giác SIP vuông tại I có

Hình vẽ minh họa:

Gọi N là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABC.

Dựng hình chữ nhật AND

Kẻ GI // BC (I ∈ BD), GH ⊥ A’I (H ∈ A’I)

Ta có: C’N // (A’MB) (do C’N // MB)

=> d(C’, (A’BM)) = d(N, (A’BM))

Mà GN // (A’BM) (do GN // A’M)

=> d(N, (A’BM)) = d(G, (A’BM))

=> d(C’, (A’BM)) = d(G,(A’BM))

Ta có: BD // AN, AN // A’M => BD // A’M => A’, M, B, D đồng phẳng.

BD ⊥ GI (do ANBD là hình chữ nhật)

BD ⊥ A’G (do A’G ⊥ (ABC))

=> BD ⊥ (A’GI) => BD ⊥ GH

Mà A’I ⊥ GH => GH ⊥ (A’MB) => d(G, (A’BM)) = GH

Tính GH: ∆ABC đều, cạnh a

=>

Xét tam giác AA’G vuông tại G

=>

Ta lại có: GNBI là hình chữ nhật =>

Xét tam giác A’GI vuông tại G có GH ⊥ A’I

=>

Suy ra

Hình vẽ minh họa:

Theo bài ta có AB là hình chiếu của SB trên (ABC)

Vậy

Mà ∆SBA vuông cân tại A nên