Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều

Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB

Tam giác SAB đều nên

Ta có:

Vậy SH là đường cao của hình chóp tam giác S.ABC

Tam giác SAB đều nên

Tam giác ABC vuông cân tại C nên

Vậy thể tích hình chóp là:

Vì

Tương tự:

Vậy H là trực tâm tam giác ABC.

Hình vẽ minh họa

Giả sử M, N, Q lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB, AC

Mặt khác ta có:

Ta có:

Xét tam giác NAC có:

Xét tam giác MNQ ta có:

Hình vẽ minh họa:

Đặt . Ta có:

Giả sử AN = k.AD. Khi đó:

Vì M là trung điểm của CD nên

Khi đó: BN ⊥ AM =>

Thể tích cần tìm là:

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

=> d(SA, BC) = AB

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Nối suy ra là thiết diện của tạo bởi mặt phẳng và hình chóp .

Vì mà

Tương tự ta cũng có:

Ta có:

Vậy diện tích thiết diện lớn nhất là dấu bằng xảy ra khi

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Trong (SAC) kẻ OK⊥SA(1) ta có:

Từ (1) và (2) ta có OK là đường vuông góc chung của SA và BD

Khi đó

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Do ACC’A’ là hình bình hành nên AC song song với A’C’. Do đó:

Như vậy

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Nhận thấy

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, suy ra SO ⊥ (ABCD).

Ta có:

Do

Tam giác SOC vuông tại O, trung tuyến OM, suy ra

=> Tam giác MOC cân tại M.

=>

Khi đó

Vậy

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.

Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a

=> MD = a; AM = 2a

Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.

Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và

Ta có: (1)

Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)

Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)

Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.

Suy ra và

Tam giác SCM đều cạnh bằng nên

Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).

Ta có:

Ta lại có:

Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)

Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc

Do BC // AD => BC //(SAD)

=>

Trong tam giác vuông BIS ta có:

Hình vẽ minh họa:

Vì BB’ ⊥ (A’B’C’) nên A’B’ là hình chiếu vuông góc của A’B lên (A’B’C’)

=> Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) là

Ta có: A’B’ = BB’ = a nên tam giác B’A’B vuông cân tại B’

=>

Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC

Mặt khác BC ⊥ AB

Suy ra BC ⊥ (SAB) nên hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB) là SB

Vậy (vì tam giác SBC vuông tại B)

 Hình vẽ minh họa

Ta có:

=> Tam giác ABD vuông tại B.

Lại có nên tam giác BCD vuông tại C.

Khi đó: 

Hình vẽ minh họa:

Gọi H, I lần lượt là trung điểm của AB, AC’

Suy ra HI // BC’

Trong mặt phẳng (ABB’A’), tia A’H cắt tia B’B tại S, gọi K là hình chiếu của B trên SH

Dễ thấy BK ⊥ (SCH)

Gọi M là hình chiếu của K trên A’C, chú ý rằng CH = HA’ nên HI ⊥ A’C, do đó KM // HI // BC’

Trong mặt phẳng (BC’MK) lấy điểm N trên BC’ sao cho BKMN là hình bình hành

Khi đó MN là đoạn vuông góc chung cần tìm

Ta có:

Do 2HB = SB nên:

=>

Hình ảnh minh họa:

Do AB // C’D’ nên giao tuyến của (MAB) và (MC’D’) là đường thẳng ∆ // AB // C’D’.

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của D’C’ và AB ta có:

=> MP ⊥ ∆, MQ ⊥ ∆.

Như vậy góc giữa (MAB) và (MC0’’) là góc giữa MP và MQ.

Không mất tính tổng quát, ta cho cạnh hình lập phương là 6.

Khi đó

Áp dụng định lí cosin cho tam giác MPQ ta được:

Góc α là góc giữa hai mặt phẳng (MC’D’) và (MAB) ta có:

Hình vẽ minh họa

Ta có: vuông cân tại C nên mà

Hình chóp S.ABCD đều, O là tâm của đáy nên

ABCD là hình vuông cạnh a nên

Ta có:

Khi đó: với là góc giữa hai mặt phẳng (AMO) và (SAB).

Do suy ra góc giữa SB và (SAC) là góc giữa SB và SO và bằng góc .

Tam giác SBO vuông tại O nên ta có:

Gọi I là trung điểm của AB. Kẻ OH ⊥ SI (1)

Ta có: (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Vì OI là đường trung bình của tam giác ABD nên

Tam giác SOI vuông tại O, đường cao OH, có

Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến trong các tam giác SAB và SBC, ta có:

Trong tam giác AMC, có:

Vì nên AB là hình chiếu của SB trên (ABC)

Vậy .

Ta có nên SA là đường cao của hình chóp

Tam giác ABC đều cạnh x nên

Vậy thể tích hình chóp là:

Quan sát hình vẽ ta thấy

Tam giác đều có cạnh bằng a nên

Do khối lăng trụ là lăng trụ đứng nên đường cao của lăng trụ là

Thể tích khối lăng trụ là

Do ∆BCD là tam giác đều cạnh nên có diện tích là

Trong (SBD), gọi

Ta có BC // AD, áp dụng định lý Ta – let ta được:

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SBD có cát tuyến OMI ta có:

Tam giác SAD vuông tại A có

=>

Mặt khác:

Lại có ABCD là hình thang vuông tại A, B và nên

=>  mà

Kẻ , có (do )

Xét tam giác SAC vuông tại A có , AH là đường cao:

Xét tam giác SBD có:

Xét tam giác DIO có:

Do đó:

Mặt khác:

Ta có:

=> Hình chiếu vuông góc của BC trên mặt phẳng (SAB) là SB

=>

Xét tam giác SAB vuông ta có:

Xét tam giác SBC vuông ta có:

Hình vẽ minh họa

Dựng

Dựng . Dễ thấy

Hình vẽ minh họa

Gọi

Ta có:

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Giả sử khối chóp tứ giác đều đã cho là

Khi đó ABCD là hình vuông cạnh bằng 1 cm và

Gọi H là tâm hình vuông ABCD thì nên SH là chiều cao của khối chóp .

Tính SH

Xét tam giác ABC vuông tại B ta có:

Nhận thấy nên tam giác SAC vuông tại S

Diện tích đáy của khối chóp là

Thể tích khối chóp là

Hình vẽ minh họa:

Gọi D là trung điểm của AB, do giả thiết suy ra CD ⊥ AB.

Trong (ABC) kẻ HM // CD suy ra HM ⊥ AB (1).

Do giả thiết SH ⊥ (ABC) => SH ⊥ AB (2)

Từ (1), (2) suy ra AB ⊥ (SHM)

Trong mặt phẳng (SHM) kẻ HK ⊥ SM (3), theo chứng minh trên => HK ⊥ AB (4)

Từ (3), (4) => HK ⊥ (SAB) => d (H; (SAB)) = HK

Dễ thấy CH ∩ (SAB) = {A}

Do đó

Theo giả thiết ∆ABC đều =>

Xét ∆ABC do HM // CD theo định lý Ta - lét ta có:

Áp dụng hệ thức lượng trong ∆SHM vuông tại H, ta có:

Do AC song song với MN nên góc giữa hai đường thẳng MN và AP là góc giữa hai đường thẳng AC và AP.

Ta tính được:

Dễ thấy rằng BA⊥(ACD), AH⊥(BCD), suy ra góc giữa mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD) bằng góc giữa hai đường thẳng BA và AH, tức là bằng góc

Hình vẽ minh họa:

Vì SA ⊥ (ABCD) => SA ⊥ BD

Mà ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD

=> BD ⊥ (SAC)

Mặt khác SO và SC thuộc mặt phẳng (SAC)

=> BD ⊥ SO, BD ⊥ SC

Và AD, SC là hai đường thẳng chéo nhau

=> AD ⊥ SC là khẳng định sai.

Trong không gian cho đường thẳng a và điểm M. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M vuông góc với a. Khi đó mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) và đi qua M đều vuông góc với a.

=> Vậy có vô số đường thẳng đi qua M và vuông góc với a.

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD.

Các mặt phẳng cách đều A, B, C, D và S là

1) Mặt phẳng qua trung điểm của SA, SB, SC, SD

2) Mặt phẳng qua O và song song (SAB)

3) Mặt phẳng qua O và song song (SAD)

4) Mặt phẳng qua O và song song (SCD)

5) Mặt phẳng qua O và song song (SBC)

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm CB, ta có: OM ⊥ BC.

Mặt khác vì OA, OB, OC đôi một vuông góc nên OA ⊥ (OBC)

=> OA ⊥ OM. Do đó khoảng cách giữa OA và BC là OM.

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Ta có:

Ta có: