Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều

Hình vẽ minh họa:

Trong mặt phẳng (ABD) qua P kẻ đường thẳng song song AB cắt AD tại Q.

Ta có:

Dễ thấy MN là đường trung bình của ∆ABC

=> MN // AB // PQ

=> 4 điểm M, N, P, Q đồng phẳng và MN = 3a

=> Thiết diện cần tìm chính là hinh thang MNPQ

Do tất cả các cạnh cạnh của tứ diện ABCD bằng 6a => ∆BNP = ∆AMQ.

Vậy MNPQ là hình thang cân.

Ta có:

Kẻ đường cao QI, ta có:

Hình vẽ minh họa:

Từ giả thiết ABCD là hình vuông và SB vuông góc với đáy

Ta có:

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm của BC.

Do tam giác ABC và tam giác BCD lần lượt là tam giác cân tại A và tại D

=> BC ⊥ MA, BC ⊥ MD

=> BC ⊥ (ADM)

=> BC ⊥ AD

Hình vẽ minh họa:

Gọi H là trung điểm của AB, ta có SH ⊥ AB, CH ⊥ AB

Mà (SAB) ⊥ (ABC) nên SH ⊥ (ABC)

Suy ra

Ta có:

∆SAB = ∆CAB (c.c.c)

=> SH = CH. Do đó ∆SCH vuông cân tại H

Vậy

Hình vẽ minh họa:

Vì SA ⊥ (ABCD) => SA ⊥ BD

Mà ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD

=> BD ⊥ (SAC)

Mặt khác SO và SC thuộc mặt phẳng (SAC)

=> BD ⊥ SO, BD ⊥ SC

Và AD, SC là hai đường thẳng chéo nhau

=> AD ⊥ SC là khẳng định sai.

=> Góc BA’C là góc tù.

Dễ thấy các đáp án A’C’ ⊥ BD, A’B ⊥ DC’, BC’ ⊥ A’D đúng

Đáp án BB’ ⊥ BD sẽ bị sai trong trường hợp hình hộp có cạnh bên không vuông góc với mặt đáy

Hình vẽ minh họa

Gọi là tâm hình vuông

Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên

Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên

Trong tam giác SOC vuông tại O ta có:

Vậy thể tích hình chóp là:

Hình vẽ minh họa

Gọi I, K, H lần lượt là trung điểm các cạnh DC, DB, AB.

Khi đó: .

Xét .

Ta có .

Xét . (1)

Xét , ta có: . (2)

Từ là tam giác đều

.

Hình vẽ minh họa

Gọi O là tâm hai đường chéo AC và BD

Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên

Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên

Tam giác SOA vuông tại O nên

Vậy thể tích hình chóp là:

Hình vẽ minh họa

Gọi P là trung điểm của BD.

Ta có: lần lượt là đường trung bình của tam giác .

Do đó:

Vì là tứ diện đều

nên tam giác là tam giác đều.

Hình vẽ minh họa

Ta có nên .

Hình vẽ minh họa

Kẻ

Ta có:

Lại có:

Xét tam giác SAB vuông tại A có:

Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của . Suy ra

Kẻ

Ta có:

Từ (1) và (2) suy ra HK là đoạn vuông góc chung của SA và BC

Do đó

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Mà

Theo giả thiết

Từ (1) và (2) suy ra

Mà

Giả sử cạnh của tam giác đều bằng 2a. Khi đó AB = AD = CB = CD = 2a

Gọi H là trung điểm của AC. Tam giác DAC đều suy ra DH ⊥ AC.

Tương tự BH ⊥ AC.

Ta có:

Gọi K là trung điểm của DB.

Ta có: ABD cân tại A nên

Và CBD cân tại C nên

Ta có:

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (DAB) và (DBC) là góc giữa hai đường thẳng AK và CK.

Ta có nên BDH vuông cân tại H.

Từ đó ta có:

Ta có: mà

Xét tam giác ACK có KH vừa là trung tuyến, vừa là đường cao nên tam giác ACK cân tại K.

Nên ta có: KH là phân giác của góc suy ra

Ta có:

Vậy

Đặt

Do tam giác vuông cân ABC tại C có suy ra:

Ta có:

Vậy

Mặt khác:

Gọi góc giữa hai véctơ và

Theo công thức tích vô hướng của hai véctơ ta có:

Vậy góc giữa hai đường thẳng SM và CN bằng

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Mà tam giác ABC là tam giác đều

mà

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.

Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a

=> MD = a; AM = 2a

Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.

Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và

Ta có: (1)

Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)

Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)

Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.

Suy ra và

Tam giác SCM đều cạnh bằng nên

Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).

Ta có:

Ta lại có:

Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)

Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc

Do BC // AD => BC //(SAD)

=>

Trong tam giác vuông BIS ta có:

Hình vẽ minh họa:

Gọi H là hình chiếu của S lên (ABCD).

Ta có:

=> AB ⊥ MH

=> MH là đường trung bình của hình vuông ABCD

Giả sử MH cắt CD tại N, ta có N là trung điểm CD

Ta cũng có SN ⊥ CD nên

Gọi P là trung điểm BC, ta có MP // AC nên AC // (SMP)

Do đó, d(SM, AC) = d(AC,(SMP)) = d(O,(SMP))

Gọi K là hình chiếu của H lên MP (nhận thấy HK // OB), I là hình chiếu của H lên SK

Khi đó d(H, (SMP)) = HI

Áp dụng định lý cosin cho tam giác SMN, ta có:

Xét tam giác vuông SHN ta có:

Xét tam giác SHK vuông tại H, ta có:

Mặt khác:

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Nên tam giác ABC vuông tại A

Suy ra

Vậy

Hình vẽ minh họa:

Vì DC // AB nên khoảng cách giữa SB và DC bằng khoảng cách giữa mặt phẳng (SAB) và DC.

Do đó: d(DC, SB) = d(DC, (SAB)) = d(D, (SAB)) = AD =

Từ I kẻ

Gọi K là trung điểm của SD.

Gọi , kẻ

Ta có:

Xét tam giác ICQ có

Xét tam giác SIP vuông tại I có

Gọi K, I lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BM và SK.

Ta có

Mà

Ta có

Suy ra hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (SBM) là điểm I. Do đó bằng góc giữa hai đường thẳng SA và SI và bằng góc .

Ta có

Có

Ta có

Xét tam giác vuông SAK có

Hình vẽ minh họa

Dựng

Ta có:

=> SE là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (SHD)

Do đó: Số đo của góc giữa SC lên mặt phẳng (SHD) bằng với số đo của góc

Ta có:

Hình vẽ minh họa:

Ta có: Tam giác ABC vuông cân tại A và có

Tam giác vuông tại A suy ra

Ta có:

Suy ra BA’ là hình chiếu của BC’ lên mặt phẳng

=>

Tam giác A’BC’ vuông tại A’ =>

Nếu a ⊥ b, b ⊥ c thì a // c hoặc a cắt c hoặc a trùng với c hoặc a chéo c.

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm BC. Kẻ AK ⊥ SM tại K.

Ta có:

Lại có AK ⊥ SM = (SBC) ∩ (SAM)

=> AK ⊥ (SBC) ⇒ AK ⊥ SB

Kẻ AH ⊥ SB tại H. Suy ra SB ⊥ (AHK) ⇒ SB ⊥ HK

Ta có:

=> ((SAB), (SBC)) = (AH, HK) =

Xét tam giác SAB có:

Xét tam giác SAM có:

Xét tam giác AHK vuông tại K có:

Mỗi đường thẳng a nằm trong (P) đều có đường thẳng b nằm trong (Q) sao cho a vuông góc với b, khi đó (P) và (Q) có thể trùng nhau.

Hình vẽ minh họa

Ta có: suy ra tam giác ABC vuông tại B

Ta có:

Suy ra tam giác SAB và tam giác SAC là các tam giác vuông tại A

Mặt khác suy ra tam giác SBC vuông tại B

Vậy hình chóp có bốn mặt đều là tam giác vuông.

Vì vuông góc với đáy nên

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

=> d(SA, BC) = AB

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

BD ⊥ AC (do ABCD là hình vuông)

BD ⊥ CC’

⇒ BD ⊥ AC’

Do đó góc giữa AC' và BD bằng 90⁰

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Lại có:

=>

Hình vẽ minh họa:

Gọi I là giao điểm của HK và AC

Dễ dàng suy ra HK // BD => HK ⊥ AC

Ta lại có: AC ⊥ SH

=> AC ⊥ (SHK)

=>

Tam giác SIA vuông tại I ta có:

Ta có:

nên SA là chiều cao của hình chóp.

Do tam giác ABC đều cạnh a nên

Ta lại có:

Hình vẽ minh họa:

Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.

Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).

Khi đó các tam giác SOA, SOB, SOC, SOD bằng nhau nên bốn đoạn thẳng OA, OB, OC, OD bằng nhau.

Suy ra O trùng với tâm của hình vuông ABCD, hay O là giao điểm của AC và BD. Vậy chiều cao của hình chóp là: