Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

BC ⊥ AB

BC ⊥ SA

=> BC ⊥ (SAB).

Vì SB ⊂ (SAB) và CD // (SAB) => d(SB, CD) = d(CD, (SAB)) = d(C, (SAB)) = BC = a

Đáp án đúng: “Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.”

Hình vẽ minh họa:

Dựng hình chữ nhật HNAM, suy ra tam giác HNC vuông cân tại N và tam giác HMB vuông cân tại M, suy ra AC ⊥ (SHN) và AB ⊥ (SHM).

Kẻ HE ⊥ SB và HF ⊥ SC, HP ⊥ SN và HK ⊥ SM, suy ra HP ⊥ (SAC), HK ⊥ (SAB).

Ta có:

=> là góc giữa (SAB) và (SBC) bằng 60⁰

Suy ra:

Suy ra

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm BC 

=>AM ⊥ BC và

Gọi K là hình chiếu của A trên SM => AK ⊥ SM (1)

Ta có:

Từ (1) và (2)

Xét tam giác SAM ta có:

Vậy

Hình vẽ minh họa:

Do ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD nên => SO ⊥ (ABCD)

Từ => AC ⊥ (SBD)

Từ => BD ⊥ (SAC)

Như vậy, các khẳng định “SO ⊥ (ABCD)”, “AC ⊥ (SBD)”, “BD ⊥ (SAC)” là các khẳng định đúng.

Khẳng định “BC ⊥ (SAB)” là khẳng định sai. Vì nếu BC ⊥ (SAB) suy ra BC ⊥ SB, cùng với BC ⊥ SO ta có BC ⊥ (SBD), nên qua điểm B có hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng BC (vô lí).

Gọi d là đường thẳng qua M và vuông góc với (P). Do

Giả sử (R) là mặt phẳng chứa d. Mà

Có vô số mặt phẳng (R) chứa d. Do đó có vô số mặt phẳng qua M, vuông góc với (P) và (Q).

Ta có:

Hình vẽ minh họa:

Gọi H là tâm của hình vuông ABCD khi đó

Ta có:

Vì tam giác SBC đều cạnh a và BM là trung tuyến nên

Khi đó:

Có 1 nếu M không thuộc a, có vô số nếu M thuộc a

Gọi I là hình chiếu vuông góc của E lên AB ta có

Ta có:

Trong tam giác vuông SEI có:

=>

Hình vẽ minh họa:

Gọi O = AC ∩BD. Do hình chóp S.ABCD đều => SO ⊥ (ABCD).

Gọi M là trung điểm của SD.

Tam giác SCD đều nên CM ⊥ SD.

Tam giác SBD có SB = SD = a, nên vuông tại S

=> SB ⊥ SD => OM ⊥ SD

=> ((SBD),(SCD)) = (OM, CM) =

Ta có:

Tam giác vuông MOC ta có:

Hình vẽ minh họa:

AB ⊥ BC (hiển nhiên đúng)

Ta có: SA ⊥(ABC) mà BC nằm trong (ABC) => SA ⊥ BC

Ta lại có:

Dễ thấy AH ⊥ AC là khẳng định sai.

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

SA ⊥ (ABC) nên AB là hình chiếu của SA trên mặt phẳng (ABC)

=>

Mặt khác có tam giác ABC vuông tại C:

Vậy (SB, (ABC)) = 30⁰

Hình vẽ minh họa

Gọi góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng là và

Ta có:

Ta có ABCD là hình vuông, BD = 4a nên

Ta có:

Xét tam giác AOA’ có

 Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Giả sử khối chóp tứ giác đều đã cho là

Khi đó ABCD là hình vuông cạnh bằng 1 cm và

Gọi H là tâm hình vuông ABCD thì nên SH là chiều cao của khối chóp .

Tính SH

Xét tam giác ABC vuông tại B ta có:

Nhận thấy nên tam giác SAC vuông tại S

Diện tích đáy của khối chóp là

Thể tích khối chóp là

Hình vẽ minh họa:

Xác định góc 60⁰

Gọi M là trung điểm AB => ADCM là hình vuông => CM = AD = a

Xét tam giác ACB ta có:

=> Tam giác ACB vuông tại C

Lấy điểm E sao cho ACBE là hình chữ nhật

=> AC // BE

=> d(AC, SB) = d(AC, (SBE)) = d(A,(SBE))

Kẻ AK ⊥ SE. Khi đó:

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

(SAB) ⊥ (ABCD)

BC ⊥ BA

=> BC ⊥ (SAB).

Từ B kẻ BK ⊥ SA => d(BC, SA) = BK.

Ta có:

Tam SAB cân tại S, do vậy d(BC, SA) = BK ≠ AB

Ta có:

Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:

Hình vẽ minh họa:

Từ giả thiết ABCD là hình vuông và SB vuông góc với đáy

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Gọi P là trung điểm của BD.

Ta có: lần lượt là đường trung bình của tam giác .

Do đó:

Vì là tứ diện đều

nên tam giác là tam giác đều.

Do góc giữa hai đường thẳng bằng hoặc bù với góc giữa hai vecto chỉ phương của chúng nên đáp án đúng là: 

Đường thẳng Δ được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu Δ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P).

Hình vẽ minh họa:

Gọi H là trung điểm của AB, ta có SH ⊥ AB, CH ⊥ AB

Mà (SAB) ⊥ (ABC) nên SH ⊥ (ABC)

Suy ra

Ta có:

∆SAB = ∆CAB (c.c.c)

=> SH = CH. Do đó ∆SCH vuông cân tại H

Vậy

Hình vẽ minh họa

Gọi , M là trung điểm của CD.

Ta có:

Trong tam giác SMO có

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD.

Các mặt phẳng cách đều A, B, C, D và S là

1) Mặt phẳng qua trung điểm của SA, SB, SC, SD

2) Mặt phẳng qua O và song song (SAB)

3) Mặt phẳng qua O và song song (SAD)

4) Mặt phẳng qua O và song song (SCD)

5) Mặt phẳng qua O và song song (SBC)

Gọi O là giao điểm của AC và BD và M là trung điểm của SA.

Trong hình chữ nhật ABCD ta có

Xét tam giác MAB vuông tại A, ta có:

Xét tam giác MAO vuông tại O, ta có:

Do MO // SC nên góc giữa hai đường thẳng SC và BD là góc giữa hai đường thẳng MO và BD.

Áp dụng định lý cosin vào tam giác MOB ta có

Hình vẽ minh họa:

Gọi N là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABC.

Dựng hình chữ nhật AND

Kẻ GI // BC (I ∈ BD), GH ⊥ A’I (H ∈ A’I)

Ta có: C’N // (A’MB) (do C’N // MB)

=> d(C’, (A’BM)) = d(N, (A’BM))

Mà GN // (A’BM) (do GN // A’M)

=> d(N, (A’BM)) = d(G, (A’BM))

=> d(C’, (A’BM)) = d(G,(A’BM))

Ta có: BD // AN, AN // A’M => BD // A’M => A’, M, B, D đồng phẳng.

BD ⊥ GI (do ANBD là hình chữ nhật)

BD ⊥ A’G (do A’G ⊥ (ABC))

=> BD ⊥ (A’GI) => BD ⊥ GH

Mà A’I ⊥ GH => GH ⊥ (A’MB) => d(G, (A’BM)) = GH

Tính GH: ∆ABC đều, cạnh a

=>

Xét tam giác AA’G vuông tại G

=>

Ta lại có: GNBI là hình chữ nhật =>

Xét tam giác A’GI vuông tại G có GH ⊥ A’I

=>

Suy ra

Có một khi a không vuông góc với (P), có vô số khi a vuông góc với (P).

Hình chiếu của SA lên mặt phẳng (ABC) là AH

=> Góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) là

Tam giác ABC và SBC là các tam giác đều cùng cạnh a

Vậy tan α = 1

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.

Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a

=> MD = a; AM = 2a

Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.

Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và

Ta có: (1)

Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)

Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)

Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.

Suy ra và

Tam giác SCM đều cạnh bằng nên

Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).

Ta có:

Ta lại có:

Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)

Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc

Do BC // AD => BC //(SAD)

=>

Trong tam giác vuông BIS ta có:

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Vậy chính là mặt phẳng . Thiết diện là một hình chữ nhật.

Hình vẽ minh họa

Ta có suy ra SA là hình chiếu của SD lên mặt phẳng (SAB)

Ta có:

Tam giác SAD vuông tại A ta có:

Đáp án "Thuộc một mặt phẳng"  sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng nằm trên nhiều mặt phẳng khác nhau.

Đáp án "Vuông góc với nhau" sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng song song với nhau.

Đáp án "Song song với nhau" sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng cắt nhau.

Đáp án "Song song với một mặt phẳng"  đúng vì chúng đồng phẳng.

Hình vẽ minh họa

Kẻ ta có:

Vậy SH là đường cao của hình chóp

Lại có , tam giác SAC vuông tại S và nên

Thể tích hình chóp là

Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của CD

Vì ABCD là tứ diện đều nên AM ⊥ CD, OM ⊥ CD

Ta có:

=> nên số đo góc giữa AO và CD là 90⁰