Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều

Hình vẽ minh họa

Ta có tứ giác A’B’CD là hình bình hành

Do nên tam giác BB’C đều

Do đó nên tứ giác A’B’CD là hình thoi

Ta có

Suy ra

Vậy tứ giác là hình vuông.

Hình vẽ minh họa

Ta có nên .

Hình vẽ minh họa

Do đáy là tam giác đều nên gọi I là trung điểm của BC khi đó AI là đường cao của tam giác đáy.

Theo định lí Pythagore ta có:

Trong tam giác SOA vuông tại O ta có:

Vậy thể tích khối chóp tam giác là:

Gọi M là trung điểm của AD.

Xét tứ giác ABCM có: AM // BC, AM = AB = BC = a,

Suy ra ABCM là hình vuông => MC = AB = a

Xét tam giác ACD có AM là trung tuyến và

Suy ra ACD vuông tại C => AC ⊥ CD

Trong (SAC), dựng AH ⊥ SC

Ta có: mà AH ⊂ (SAC) suy ra CD ⊥ AH.

Ta có:

Ta có:

Từ (1) và (2) suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là góc giữa hai đường thẳng AH và AD.

Xét tam giác ABC vuông tại B có:

Xét tam giác SAC vuông tại A có:

Xét tam giác SAC vuông tại A và nên SAC vuông cân tại A.

Suy ra H là trung điểm SC và

Xét tam giác AHD vuông tại H (vì AH ⊥ (SCD)).

Ta có: suy ra

Vậy

Hình vẽ minh họa

Ta có: AD // BC =>

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB =>

Ta có:

Từ (*) và (**) =>

Hình vẽ minh họa:

Do ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD nên => SO ⊥ (ABCD)

Từ => AC ⊥ (SBD)

Từ => BD ⊥ (SAC)

Như vậy, các khẳng định “SO ⊥ (ABCD)”, “AC ⊥ (SBD)”, “BD ⊥ (SAC)” là các khẳng định đúng.

Khẳng định “BC ⊥ (SAB)” là khẳng định sai. Vì nếu BC ⊥ (SAB) suy ra BC ⊥ SB, cùng với BC ⊥ SO ta có BC ⊥ (SBD), nên qua điểm B có hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng BC (vô lí).

Hình vẽ minh họa:

Theo bài ta có AB là hình chiếu của SB trên (ABC)

Vậy

Mà ∆SBA vuông cân tại A nên

 Kí hiệu hình vẽ như sau:

Gọi H là trung điểm của BD. Khi đó EH // AB, EH ⊥ (BCD)

Góc giữa AB và CE bằng góc giữa EH và EC chính là góc

Ta có:

Ta lại có:

Vậy góc giữa AB và CE là 45⁰

Hình vẽ minh họa

Gọi E là trung điểm cạnh AC. Khi đó ta có: EM // AB.

Ta có: là tứ diện đều cạnh bằng 1 và

Hình vẽ minh họa

Vì là hình lập phương nên và .

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng và

Hình vẽ minh họa

Ta có:

=> Qua I kẻ đường thẳng . Gọi

Ta có: => Qua I kẻ đường thẳng

=> Qua K kẻ đường thẳng . Gọi

=> thiết diện và hình chóp là tứ giác có IK là đường trung trực của MN và PQ.

=> là hình thang cân.

Hình vẽ minh họa

Kẻ

Ta có:

Lại có:

Xét tam giác SAB vuông tại A có:

Đáp án đúng: “Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.”

Hình vẽ minh họa:

Gọi I là giao điểm của A’C và AC’

H là giao điểm của C’D và CD’

Ta có:

=> IH là hình chiếu vuông góc của AC’ và (A’BCD’). Do đó:

Xét tam giác C’HI vuông ta có:

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Vì

Vậy

Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó

Ta có mà

Dựng tại H suy ra

Trong mặt phẳng (SAD) kẻ Hx // AD. Trong mặt phẳng (BC, Hx) qua C kẻ đường thẳng song song với BH cắt Hx tại K thì

Suy ra SK là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (SAD) nên góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD) là góc

Ta có

Trong tam giác SCI có

Suy ra

Mệnh đề “Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau” là sai. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song hoặc trùng nhau.

Mệnh đề “Qua một đường thẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước” là sai. Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước thì có vô số mặt phẳng qua đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng đó. Nếu đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng cho trước thì không có mặt phẳng nào vuông góc với mặt phẳng đó.

Mệnh đề “Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau” là sai. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc cắt nhau (giao truyến vuông góc với mặt phẳng kia).

Vậy mệnh đề đúng là: “Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước.”

Hình vẽ minh họa

Ta có:

mà

Mặt khác

.

Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB

Tam giác SAB đều nên

Ta có:

Vậy SH là đường cao của hình chóp

Xét tam giác AHS vuông tại H ta có:

Thể tích khối chóp là:

Ta có:

Thể tích khối chóp là:

Hình vẽ minh họa:

Kẻ AH ⊥ BC tại H, CK ⊥ BD tại K, HI ⊥ BD tại I.

Theo giả thiết suy ra CK = 8.

Vì (ABC) ⊥ (BCD) AH ⊥ BC nên AH ⊥ (BCD).

Ta có:

=> Góc AIH là góc giữa hai mặt phẳng (ABD) và (BCD).

Xét tam giác ABC vuông tại A

Xét tam giác AHI vuông tại H

=>

Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm cạnh BC.

Ta có tam giác ABC đều cạnh a nên ;

là hình lăng trụ tam giác đều nên

Do đó và theo giao tuyến

Kẻ

Lại có

Mệnh đề đúng: “Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia”.

Ta có:

Vậy đáp án sai là: .

Hình vẽ minh họa

Vì AH vuông góc với (BCD) suy ra (1)

Mà H là trực tâm của tam giác BCD (2)

Từ (1), (2) suy ra:

Do ACC’A’ là hình bình hành nên AC song song với A’C’. Do đó:

Như vậy

Ta có:

Thể tích khối trụ là:

Hình vẽ minh họa:

Gọi N là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABC.

Dựng hình chữ nhật AND

Kẻ GI // BC (I ∈ BD), GH ⊥ A’I (H ∈ A’I)

Ta có: C’N // (A’MB) (do C’N // MB)

=> d(C’, (A’BM)) = d(N, (A’BM))

Mà GN // (A’BM) (do GN // A’M)

=> d(N, (A’BM)) = d(G, (A’BM))

=> d(C’, (A’BM)) = d(G,(A’BM))

Ta có: BD // AN, AN // A’M => BD // A’M => A’, M, B, D đồng phẳng.

BD ⊥ GI (do ANBD là hình chữ nhật)

BD ⊥ A’G (do A’G ⊥ (ABC))

=> BD ⊥ (A’GI) => BD ⊥ GH

Mà A’I ⊥ GH => GH ⊥ (A’MB) => d(G, (A’BM)) = GH

Tính GH: ∆ABC đều, cạnh a

=>

Xét tam giác AA’G vuông tại G

=>

Ta lại có: GNBI là hình chữ nhật =>

Xét tam giác A’GI vuông tại G có GH ⊥ A’I

=>

Suy ra

Hình vẽ minh họa:

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Theo giả thiết ta có: B’O ⊥ (ABCD)

Dó đó

Vì tam giác ABD đều cạnh a =>

Tam giác B’BO vuông ta có:

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.

Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a

=> MD = a; AM = 2a

Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.

Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và

Ta có: (1)

Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)

Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)

Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.

Suy ra và

Tam giác SCM đều cạnh bằng nên

Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).

Ta có:

Ta lại có:

Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)

Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc

Do BC // AD => BC //(SAD)

=>

Trong tam giác vuông BIS ta có:

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Nhận thấy

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Ta có: là hình hộp chữ nhật suy ra

Hình vẽ minh họa:

Theo giả thiết, ABD là tam giác đều.

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.

Do SA = SB = SD nên S nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD suy ra SH ⊥ (ABD) hay SH ⊥ (ABCD).

Do (SBC) ⊥ (SBH) nên từ H kẻ HK ⊥ SB tại K thì HK = d(H, (SBC)) và

=>

Mặt khác d(H, (SBC)) = 2/3d(A, (SBC)) = 2/3d(D, (SBC)) => d(D, (SBC)) =

Gọi O là hình chiếu vuông góc của điểm D trên (SBC).

Khi đó:

Xét tam giác SDO vuông tại O có:

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

(SAB) ⊥ (ABCD)

BC ⊥ BA

=> BC ⊥ (SAB).

Từ B kẻ BK ⊥ SA => d(BC, SA) = BK.

Ta có:

Tam SAB cân tại S, do vậy d(BC, SA) = BK ≠ AB

Hình vẽ minh họa

Ta có: tam giác ABC vuông cân tại B, BM là đường trung tuyến nên cũng là đường cao.

Lại có:

Ta có:

Ta có:

Mà

Hình vẽ minh họa

Ta có: I là trung điểm của AB.

Vì và là tam giác đều nên

Hình vẽ minh họa:

Ta có: O và I lần lượt là trung điểm của AC và SC

=> OI là đường trung bình của tam giác SAC

=> OI // SA

Mà SA ⊥ (ABCD) => OI ⊥ (ABCD)

Ta có: ABCD là hình chữ nhật => BC ⊥ AB

Mà SA ⊥ BC => BC ⊥ SB

Tương tự ta có: CD ⊥ AD, CD ⊥ SA => CD ⊥ SD

Nếu (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD => BD ⊥ AC điều này không thể xảy ra vì ABCD là hình chữ nhật.

Vậy khẳng định sai là: “Mặt phẳng (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD.”

Hình vẽ minh họa:

Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.

Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).

Khi đó các tam giác SOA, SOB, SOC, SOD bằng nhau nên bốn đoạn thẳng OA, OB, OC, OD bằng nhau.

Suy ra O trùng với tâm của hình vuông ABCD, hay O là giao điểm của AC và BD. Vậy chiều cao của hình chóp là: