Đạo hàm cấp hai Cánh Diều
Giả sử hàm số 
\(y = f(x)\) có đạo hàm \(y' = f'(x)\) tại mọi điểm \(x \in (a;b)\).
Nếu hàm số \(y' = f'(x)\) tiếp tục có đạo hàm tại \(x\) thì ta gọi đạo hàm của \(y'\) tại \(x\) là đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = f(x)\) tại \(x\).
Kí hiệu: \(y''\) hoặc \(f''(x)\)
Ví dụ: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
| a) \(y = \sin5x.\cos2x\) |
b) \(y = \frac{2x + 1}{x^{2} + x -
2}\) |
c) \(y = \frac{x}{x^{2} - 1}\) |
| d) \(y = \frac{x - 1}{x + 2}\) |
e) \(y = x^{2}\sin x\) |
f) \(y = x\sqrt{x^{2} - 1}\) |
Hướng dẫn giải
a) \(y = \sin5x.\cos2x = \frac{1}{2}(\sin7x +\sin3x)\)
Ta có:
\(y' = \frac{1}{2}(7\cos7x +3\cos3x)\)
\(\Rightarrow y'' = -\frac{1}{2}(49\sin7x + 9\sin3x)\)
b) \(y = \frac{2x + 1}{x^{2} + x - 2} =
\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 2}\)
Ta có:
\(\Rightarrow y' = - \frac{1}{(x -
1)^{2}} - \frac{1}{(x + 2)^{2}}\)
\(\Rightarrow y' = \left\lbrack -
\frac{1}{(x - 1)^{2}} - \frac{1}{(x + 2)^{2}}
\right\rbrack'\)
\(= \frac{\left\lbrack (x - 1)^{2}
\right\rbrack'}{(x - 1)^{4}} + \frac{\left\lbrack (x + 2)^{2}
\right\rbrack'}{(x + 2)^{2}}\)
\(= \frac{2(x - 1)}{(x - 1)^{4}} +
\frac{2(x + 2)}{(x + 2)^{4}}\)
\(= \frac{2}{(x - 1)^{3}} + \frac{2}{(x +
2)^{3}}\)
c) \(y = \frac{x}{x^{2} - 1} =
\frac{1}{2}\left( \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1} \right)\)
\(\Rightarrow y' =
\frac{1}{2}\left\lbrack \frac{- (x + 1)'}{(x + 1)^{2}} + \frac{- (x
- 1)'}{(x - 1)^{2}} \right\rbrack\)
\(= \frac{1}{2}.\left\lbrack - \frac{1}{(x
+ 1)^{2}} - \frac{1}{(x - 1)^{2}} \right\rbrack\)
\(\Rightarrow y'' = \left\{
\frac{1}{2}.\left\lbrack - \frac{1}{(x + 1)^{2}} - \frac{1}{(x - 1)^{2}}
\right\rbrack \right\}'\)
\(= \frac{1}{2}.\left\{ \frac{\left\lbrack
(x + 1)^{2} \right\rbrack'}{(x + 1)^{4}} + \frac{\left\lbrack (x -
1)^{2} \right\rbrack'}{(x - 1)^{4}} \right\}\)
\(= \frac{1}{2}.\left\lbrack \frac{2(x +
1)}{(x + 1)^{4}} + \frac{2(x - 1)}{(x - 1)^{4}}
\right\rbrack\)
\(= \frac{1}{(x + 1)^{3}} + \frac{1}{(x -
1)^{3}}\)
d) \(y = \frac{x - 1}{x + 2} = 1 -
\frac{3}{x + 2}\)
Ta có:
\(y' = \left\lbrack 1 - \frac{3}{x +
2} \right\rbrack' = \left\lbrack - \frac{3}{x + 2}
\right\rbrack'\)
\(= \frac{3(x + 2)'}{(x + 2)^{2}} =
\frac{3}{(x + 2)^{2}}\)
\(\Rightarrow y'' = \left\lbrack
\frac{3}{(x + 2)^{2}} \right\rbrack' = \frac{- 3\left\lbrack (x +
2)^{2} \right\rbrack'}{(x + 2)^{4}}\)
\(= \frac{- 3.2(x + 2)}{(x + 2)^{4}} =
\frac{- 6}{(x + 2)^{3}}\)
e) \(y = x^{2}\sin x\)
\(\Rightarrow y' = \left( x^{2}\sin x
\right)'\)
\(= \left( x^{2} \right)'.\sin x +\left( \sin x \right)'.x^{2}\)
\(= 2x.\sin x + \cos x.x^{2}\)
\(\Rightarrow y'' = (2x.\sin x)'+ \left( \cos x.x^{2} \right)'\)
\(= 2\sin x + 2x.\cos x - \sin x.x^{2} +2x.\cos x\)
\(= \left( 2 - x^{2} \right)\sin x +
4x\cos x\)
f) \(y = x\sqrt{x^{2} - 1}\)
\(\Rightarrow y' = \left( x\sqrt{x^{2}
- 1} \right)'\)
\(= x'.\sqrt{x^{2} - 1} + x\left(
\sqrt{x^{2} - 1} \right)'\)
\(= \sqrt{x^{2} - 1} +
x.\frac{2x}{2\sqrt{x^{2} - 1}}\)
\(= \frac{2x^{2} - 1}{\sqrt{x^{2} -
1}}\)
\(\Rightarrow y'' = \left(
\frac{2x^{2} - 1}{\sqrt{x^{2} - 1}} \right)'\)
\(= \frac{\left( 2x^{2} - 1
\right)'\left( \sqrt{x^{2} - 1} \right) - \left( \sqrt{x^{2} - 1}
\right)'\left( 2x^{2} - 1 \right)}{\left( \sqrt{x^{2} - 1}
\right)^{2}}\)
\(= \dfrac{4x\left( \sqrt{x^{2} - 1}\right) - \dfrac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}.\left( 2x^{2} - 1 \right)}{\left(\sqrt{x^{2} - 1} \right)^{2}}\)
\(= \frac{2x^{3} + 3x}{\left( \sqrt{x^{2}
- 1} \right)^{3}}\)
II. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
Đạo hàm cấp hai \(s''(t)\) là gia tốc tức thời của chuyển động \(s =
s(t)\) tại thời điểm \(t\).
Ví dụ: Một chất điểm chuyển động được xác định bởi phương trình: \(S(t) = 2t^{4} + 6t^{2} - 3t +
1\) trong đó \(t\) tính bằng giây và \(S\) tính bằng mét. Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm \(t =
5(s)\)?
Hướng dẫn giải
Ta có vận tốc của chất điểm chuyển động được tính bằng công thức:
\(v(t) = S'(t) = 8t^{3} + 12t -
3(m/s)\)
Khi đó gia tốc của chất điểm chuyển động được tính bằng công thức:
\(a(t) = v'(t) = s''(t) =
24t^{2} + 12\left( m/s^{2} \right)\)
Tại thời điểm \(t = 5(s)\) gia tốc của chất điểm là:
\(a(5) = 24.5^{2} + 12 = 612\left( m/s^{2}
\right)\).
