Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Cánh Diều

Hình vẽ minh hoạ

Trong mp(ABD) kẻ

Trong mp(ABC) kẻ

Gọi P là điểm đối xứng của C qua D.

Khi đó

=> Tam giác ACP và tam giác BCP lần lượt vuông tại A, B, và có J là trọng tâm tam giác ACP, N là trọng tâm tam giác BCP.

Ta lại có:

Mặt khác

Trong tam giác PAC vuông tại A ta có:

Diện tích tam giác PIM

Với

Có vô số mặt phẳng chứa và song song với (đó là tất cả các mặt phẳng chứa nhưng không chứa ).

Hình vẽ minh họa

Ta có:

với .

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng qua P và song song với AB.

Hình vẽ minh họa

Ta có: nên đường thẳng cắt mặt phẳng tại điểm .

Vậy khẳng định sai là “”

Hình vẽ minh họa

Từ giả thiết bài ra suy ra LK // AC mà (KLN) ∩ (DAC) = d

=> d // AC

Xét mặt phẳng (DAB) qua N dựng d song song AC

=> {P} = AD ∩ d

Xét tam giác DAC vì PN // AC theo định lý Ta-lét ta có:

Ta lại có:

“Ba điểm phân biệt” sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt phẳng chứa 3 điểm thẳng hàng đã cho.

“Một điểm và một đường thẳng” sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho, khi đó ra chỉ có 1 đường thẳng, có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó.

“Bốn điểm phân biệt” sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm không đồng phẳng thì sẽ không tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.

Hình vẽ minh họa

Vì I và J là trung điểm của BC và BD nên IJ//CD (1)

nên giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường thẳng d qua E và song song với CD.

Gọi ta có tứ giác IJEF là thiết diện của tứ diện với mặt phẳng .

Vì EF//IJ nên IJEF là hình thang.

Mệnh đề đúng là “Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung ”.

Hình vẽ minh họa

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD

Ta có:

M là trọng tâm tam giác BCD =>

ABCD là hình bình hành =>

=>

Xét tam giác SAC có:

Theo định lí Ta - lét suy ra

Do (MAB) chứa AB // CD, nên giao tuyến của (MAB) với (SCD) là đường thẳng đi qua M và song song với AB. Đường thẳng này cắt SD tại điểm N.

Vậy thiết diện của (MAB) với hình chóp là tứ giác ABMN, với N là giao điểm của SD với đường thẳng đi qua M và song song với AB.

Hình vẽ minh họa

Xét mặt phẳng ta có:

=>

Vì lần lượt là trung điểm của do đó

Mà hay .

Đáp án: “Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.” đúng vì:

TH1: Hai mặt phẳng phân biệt nếu có một điểm chung thì hai mặt phẳng đó có một đường thẳng chung (giao tuyến của hai mặt phẳng) do đó có hai mặt phẳng có vô số điểm chung.

TH2: Hai mặt phẳng không phân biệt thì chúng có vô số điểm chung (vì hai mặt phẳng trùng nhau)”

Đáp án: “Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất” đúng vì tập hợp các điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt là một đường thẳng.

Đáp án: “Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.” sai vì chưa xét đến trường hợp hai mặt phẳng không phân biệt.

Đáp án: “Nếu ba điểm A, B, C phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì chúng thẳng hàng.” đúng vì khi đó ba điểm A, B, C cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng do đó ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Có 3 vị trí tương đối có thể có giữa a và b là:

a cắt b

a song song với b

a chéo nhau với b

Hình vẽ minh họa

Giả sử CM và DN đồng phẳng.

Khi đó, ta có A, B cùng thuộc mặt phẳng (MNDC)

=> A, B, C, D đồng phẳng, trái giả thiết ABCD là tứ diện.

Vậy CM và DN chéo nhau.

Phép chiếu song song phương lên mặt phẳng sẽ biến thành , biến thành , biến thành , biến thành .

Nên hình chiếu song song của hình lập phương là hình vuông.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (1)

Xét mặt phẳng có:

=> là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng (2)

Từ (1) và (2)

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Suy ra giao tuyến của và là đường thẳng qua song song với ; .

Vì nên hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng với hình hộp là hình thang .

Hình vẽ minh họa

Ta có: . Gọi lần lượt là các giao điểm của với thì .

Do đó là hình vuông và

Vậy diện tích tứ giác là .

Hình vẽ minh họa

Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC' và B'C'.

=> (tính chất trọng tâm tam giác)

=>

Xét mặt phẳng ta có:

=>

Mà

=>

Từ (1) và (2) => và là hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó ta có:

Có duy nhất một mặt phẳng chứa tất cả các đỉnh của tam giác .

Vì số mặt của hình chóp là 5 nên thiết diện tối đa chỉ có 5 cạnh.

=> Không thể là lục giác.

Hình vẽ minh họa

=> Giao tuyến của với (ABC) là đường thẳng qua M, song song với AB, cắt BC tại P.

=> Giao tuyến của với (ADC) là đường thẳng qua M, song song với AD, cắt DC tại N.

Vậy thiết diện là tam giác MNP.

Do là đường trung bình của tam giác nên

Hình vẽ minh họa

Nhận lấy IJ là đường trung bình tam giác ACD suy ra IJ//CD.

Gọi

Ta có:

Suy ra d đi qua G và song song với CD,.

Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện là hình thoi MNPQ cạnh bằng

Mặt khác

Diện tích hình thoi MNPQ là

 Ta có:

Hai đường thẳng a và b chéo nhau nên A, B, C, D không đồng phẳng.

=> Hai đường thẳng AD và BC chéo nhau.

Theo cách xác định mặt phẳng thì “Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau”.

Xét phương án “Nếu và thì ” ta có:

Nếu thì hoặc chéo , vậy phương án sai.

Xét phương án “Nếu và thì .” ta có:

Nếu thì hoặc , vậy phương án sai.

Xét phương án “Nếu và thì .” ta có:

Nếu , vậy phương án đúng.

Xét phương án “Nếu và  thì ” ta có:

Nếu thì hoặc chéo hoặc cắt , vậy phương án sai.

Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng gọi .

Mà nên

Khẳng định sai là: “Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm.”

Sửa lại: “Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.”

Phép chiếu song song không thể biến một tam giác thành một điểm vì khi đó các đoạn thẳng đó phải thẳng hàng và song song với phương chiếu.

Hình vẽ minh họa

Nhận thấy

Do (1), ta giả sử (P) cắt BB’ tại N, suy ra , kết hợp với suy ra , suy ra N thuộc cạnh BB’.

Tương tự, giả sử suy ra .

Kết hợp với (1) suy ra

Tương tự, sao cho ; sao cho ; sao cho .

Từ đó suy ra thiết diện là lục giác .

Hình vẽ minh họa

Xét ΔBFD có OO’ là đường trung bình => OO’ // DF

Mà DF ⊂ (ADF)

=> OO' // (ADF)

Hình vẽ minh họa:

Ta có: là đường trung bình của tam giác ABD suy ra MN//BD

Mặt khác

 Số cạnh của hình chóp tam giác là: 6 cạnh.

Hình vẽ minh họa

Vì I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC

=>

2 mp( IJK) và mp ( ABD) chứa 2 đường thẳng song song là IJ; AB và có điểm K chung

=> Giao tuyến của (IJK) với (ABD) là đường thẳng đi qua K và song song với AB cắt AD tại H.

Vậy

Ta có

Mặt khác

Vậy thiết diện là hình thang cân IJKH.