Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Cánh Diều

Khẳng định sai là: "Phép chiếu song song có thể biến trọng tâm tam giác thành một điểm không phải là trọng tâm tam giác hình chiếu." vì phép chiếu song song bảo toàn tỉ lệ các đoạn thẳng cùng nằm trên một đoạn thẳng.

Hình vẽ minh họa

Gọi

Ta thấy tam giác MIH là thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng.

Ta có M, C lần lượt là trung điểm của AB, BE nên H là trọng tâm ∆ABE.

Suy ra . Chứng minh tương tự ta có: . Do đó ta có:

Tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 nên

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ta có:

Áp dụng công thức Hê- rông tính diện tích tam giác ta được:

Hình vẽ minh hoạ

Trong mp(ABD) kẻ

Trong mp(ABC) kẻ

Gọi P là điểm đối xứng của C qua D.

Khi đó

=> Tam giác ACP và tam giác BCP lần lượt vuông tại A, B, và có J là trọng tâm tam giác ACP, N là trọng tâm tam giác BCP.

Ta lại có:

Mặt khác

Trong tam giác PAC vuông tại A ta có:

Diện tích tam giác PIM

Với

Khẳng định sai: "Nếu 3 đường thẳng chắn trên hai cát tuyến những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì ba đường thẳng đó song song với nhau."

Sau khi gấp lại ta được hình chóp như hình vẽ dưới đây:

Từ giả thiết ta có:

 Phát biểu sai: "Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau."

Hình vẽ minh họa

Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC' và B'C'.

=> (tính chất trọng tâm tam giác)

=>

Xét mặt phẳng ta có:

=>

Mà

=>

Từ (1) và (2) => và là hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó ta có:

Hình vẽ minh họa

Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.

Mệnh đề sai: "Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì cắt mặt phẳng còn lại." vì hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng có thể cắt nhau.

Hình vẽ minh họa

Ta có thiết diện của S.ABCD cắt bởi
mặt phẳng (IJK) là ngũ giác

Hình vẽ minh họa

Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD

=> IJ // AB // CD

=> Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)

=> (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD

Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.

G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:

(Với E là trung điểm của AB)

=>

Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên:

Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ

Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện là hình thoi MNPQ cạnh bằng

Mặt khác

Diện tích hình thoi MNPQ là

Vì hình chóp tứ giác có tối đa 5 mặt nên thiết diện không thể là lục giác.

Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trên cùng một mặt phẳng và không có điểm chung.

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng (hai đường thẳng không có điểm chung thì hai đường thẳng có thể song song hoặc chéo nhau).

Hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng có điểm chung duy nhất.

Hình vẽ minh họa:

Gọi là trung điểm của

Khi đó (vì lần lượt là trọng tâm của hai tam giác và )

Suy ra

Vậy khẳng định sai là .

Mặt phẳng và tứ diện theo một diện diện là tam giác

Dễ thấy đồng quy tại điểm M.

Hình vẽ minh họa

Xét có lần lượt là trung điểm

=> là đường trung bình của

=> mà

Ta có: luôn đúng

=> Hai mặt phẳng không song song với nhau.

Hình vẽ minh họa

Do các mặt bên của hình chóp là các tam giác đều nên tam giác đều.

Gọi là trọng tâm tam giác .

Ta có

Nên là hình chiếu song song theo phương của trên .

Lại do tam giác đều nên vừa là trọng tâm, vừa là tâm đường tròn ngoại tiếp, vừa là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác .

Hình vẽ minh họa

Gọi I là giao điểm của AC và BM

Ta có: I và S là hai điểm chung của hai mặt phẳng (MSB) và (SAC)

=> Giao tuyến cần tìm chính là đường thẳng SI.

Trong tam giác CAD có S và N lần lượt là trung điểm của AC và CD

Suy ra SN là đường trung bình của tam giác CAD

=> SN // AD (1)

Tương tự MR cũng là đường trung bình của tam giác ABD

=> MR // AD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: SN // MR nên đáp án "MN, SN song song với nhau"

Chứng minh tương tự ta cũng có: SM // NR //BC

Do đó tứ giác MRNS là hình bình hành nên đáp án "MRNS là hình bình hành"

Hai đường chéo SR và MN cắt nhau tại G với G là trung điểm của mỗi đường chéo.

Lại có: NQ // MP (//AC) và MQ // NP //BD

=> Tứ giác MQNP là hình bình hành

=> Hai đường chéo QP và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà G là trung điểm của MN

Do đó G cũng là trung điểm của QP

Vậy ba đường thẳng MN, PQ, SR đồng quy tại G.

Đáp án "MN, PQ, RS đồng quy'

Đáp án "6 điểm M, N, P, Q, R, S đồng phẳng" sai vì P và Q cùng thuộc một mặt phẳng với M và N nhưng không cùng thuộc một mặt phẳng với hai điểm S và R.

Hình vẽ minh họa

Nhận lấy IJ là đường trung bình tam giác ACD suy ra IJ//CD.

Gọi

Ta có:

Suy ra d đi qua G và song song với CD,.

Hình chóp ngũ giác có 10 cạnh.

Gọi M là điểm bất kì nằm trên a.

Giả sử d là đường thẳng qua M cắt cả b và c.

Khi đó, d là giao tuyến của mặt phẳng tạo bởi M và b với mặt phẳng tạo bởi M và c.

Với mỗi điểm M ta được một đường thẳng d.

Vậy có vô số đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng a, b, c.

Giả sử cắt các mặt của tứ diện và theo hai giao tuyến và .

Ta có:

Theo định lí Ta – lét ta có:

=> là hình bình hành

Do đó hình tạo bởi các giao tuyến của tứ diện và mặt phẳng là hình bình hành .

Hình vẽ minh họa:

Gọi là trung điểm của .

Xét tam giác có:

Theo định lí đảo của định lí Thales, ta có (1).

Mặt khác là đường trung bình của tam giác

=> (2)

Từ (1) và (2) ta có .

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.

Ta có:

Do đáy hình chóp là bát giác nên số cạnh đáy và số cạnh bên của hình chóp đều bằng 8.

Vậy hình chóp có 16 cạnh.

Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một và chỉ một mặt phẳng. Nếu ba điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng chứa ba điểm.

Phép chiếu song song không thể biến một tam giác thành một điểm vì khi đó các đoạn thẳng đó phải thẳng hàng và song song với phương chiếu.

Hình vẽ minh họa

Ta có S là điểm chung thứ nhất.

Gọi I là giao điểm của AB và CD suy ra I là điểm chung thứ hai.

Vậy (SAB) ∩ (SCD) = SI

Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng SI với I là giao điểm của AB và CD.

Giả sử song song với . Một đường thẳng song song với có thể nằm trên .

Hình vẽ minh họa:

Mặt phẳng qua và song song với

=> Mặt phẳng cắt mặt phẳng theo giao tuyến song song với .

Mặt khác, song song với nên cắt và theo các giao tuyến và với

=> Hình tạo bởi các giao tuyến là tứ giác .

Mặt khác

=> Tứ giác là hình bình hành.

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của và các mặt của hình chóp là hình bình hành.

Hình vẽ minh họa

Do là đường trung bình của tam giác .

Hình vẽ minh họa:

Gọi N, P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng và các cạnh SB, SC.

Vì nên theo định lí Talet, ta có .

Khi đó cắt hình chóp S.ABC theo thiết diện là tam giác MNP ðồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số .

Vậy .

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Mà