Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 Cánh Diều Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song nha!
Điểm khả dụng: 0 điểm
Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.
Bạn không đủ điểm để đổi.
Tìm thiết diện của (MAB) với hình chóp
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M là trung điểm của SC. Tìm thiết diện của (MAB) với hình chóp.
Do (MAB) chứa AB // CD, nên giao tuyến của (MAB) với (SCD) là đường thẳng đi qua M và song song với AB. Đường thẳng này cắt SD tại điểm N.
Vậy thiết diện của (MAB) với hình chóp là tứ giác ABMN, với N là giao điểm của SD với đường thẳng đi qua M và song song với AB.
Tìm mệnh đề sai
Trong không gian, cho tam giác 
, lấy điểm trên cạnh kéo dài (trong hình vẽ). Mệnh đề nào sau đây sai?
Ta có:
=>
Do đó mệnh đề sai là: “ không nằm trên mặt phẳng
”.
Tìm khẳng định đúng
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm . Gọi là trung điểm của cạnh . Mặt phẳng chứa và song song với cắt các cạnh lần lượt tại . Tìm khẳng định đúng dưới dây?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: là giao điểm của AI và SO, kẻ đường thẳng qua E song song với BD và cắt SB, SD lần lượt tại M và N. Khi đó:
Dễ thấy E là trọng tâm tam giác SAC nên
Chọn hình vẽ phù hợp yêu cầu bài toán
Hình nào sau đây là hình biểu diễn của hình chóp với là hình bình hành?
Hình biểu diễn của hình chóp đáy là hình bình hành là hình
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Cho hình chóp , biết và . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .
Hình vẽ minh họa
Ta có là điểm chung của hai mặt phẳng
và
.
Vì nên
là điểm chung của hai mặt phẳng
và
.
Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng và
là
.
Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi là trung điểm của cạnh . Lấy điểm đối xứng với qua , cắt tại . Gọi giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng. Xét tính đúng sai các khẳng định sau:
a) . Đúng||Sai
b) Đường và cắt nhau. Sai||Đúng
c) . Đúng||Sai
d) Tỉ số . Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi là trung điểm của cạnh . Lấy điểm đối xứng với qua , cắt tại . Gọi giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng. Xét tính đúng sai các khẳng định sau:
a) . Đúng||Sai
b) Đường và cắt nhau. Sai||Đúng
c) . Đúng||Sai
d) Tỉ số . Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
a) Xét tứ giác có
.
Suy ra tứ giác là hình bình hành
Nên . Vậy khẳng định a đúng
b) Vì là trung điểm
,
là trung điểm
nên
(tính chất đường trung bình).
Vậy khẳng định b sai.
c)
Vậy khẳng định c đúng.
d) Áp dụng định lí Talet cho, ta có:
(1)
Gọi là trung điểm của
, vì
là trung điểm của
nên theo tính chất đường trung
bình, , vậy theo định lí Talet:
. (2)
Từ (1) và (2), ta có .
Vậy khẳng định d sai.
Tìm khẳng định sai
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Đáp án đúng vì MN // AD do trong tam giác SAD có MN là đường trung bình mà BC// AD nên MN // BC
Đáp án đúng vì ON là đường trung bình của tam giác SBD
Đáp án đúng vì OM là đường trung bình của tam giác SAC
Đáp án sai vì giả sử ON //SC mà OM //SC nên M ≡ N vô lí.
Tìm tỉ số độ dài
Cho tứ diện . Trên các cạnh lần lượt lấy các điểm là trung điểm, trên cạnh lấy điểm sao cho . Gọi , khi đó tỉ số độ dài giữa và là:
Hình vẽ minh họa
Từ giả thiết bài ra suy ra LK // AC mà (KLN) ∩ (DAC) = d
=> d // AC
Xét mặt phẳng (DAB) qua N dựng d song song AC
=> {P} = AD ∩ d
Xét tam giác DAC vì PN // AC theo định lý Ta-lét ta có:
Ta lại có:
Tìm khẳng định sai
Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
Giả sử song song với
. Một đường thẳng
song song với
có thể nằm trên
.
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Cho hình chóp , gọi là trung điểm của . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .
Hình vẽ minh họa
Ta có: là điểm chung của mặt phẳng
và
(*)
Ta có:
=> là điểm chung của mặt phẳng
và
(**)
Từ (*) và (**) suy ra
Tìm giao tuyến hai mặt phẳng
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm . Giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng là đường thẳng
Hình vẽ minh họa:
Ta có: suy ra giao tuyến của mặt phẳng
và mặt phẳng
là đường thẳng đi qua điểm S và song song với AB và DC.
Chọn khẳng định đúng
Cho tứ diện , là trọng tâm tam giác . Trên đoạn lấy điểm sao cho . Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Vì nên
.
Chọn mệnh đề sai
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Mệnh đề sai: "Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng mà hai đường thẳng này lần lượt nằm trên hai mặt phẳng cắt nhau."
Chọn khẳng định sai
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không đồng phẳng có tâm lần lượt là I và J. Chọn
khẳng định sai.
Hình vẽ minh họa
Do và
là trung điểm của
và
, nên
mà
, suy ra IJ / /(ADF) và IJ / / DF đúng.
Do và
là trung điểm của
và
, nên
mà
, suy ra IJ / /(CEB) đúng.
Vậy IJ / / ADsai
Tìm đường thẳng song song với MG
Cho tứ diện . Gọi là trọng tâm của tam giác và là điểm trên cạnh sao cho . Đường thẳng song song với
Hình vẽ minh họa
Gọi E là trung điểm của AD. Do G là trọng tâm của tam giác ABD và M là điểm trên cạnh BC sao cho nên trong mặt phẳng (BCE) ta có:
Chọn đáp án đúng
Thiết diện của hình chóp tứ giác (cắt bởi một mặt phẳng) không thể là hình nào dưới đây?
Vì hình chóp tứ giác có tối đa 5 mặt nên thiết diện không thể là lục giác.
Tìm điều kiện của AB và CD thỏa mãn yêu cầu bài toán
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB, CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện của (GIJ) với hình chóp S.ABCD là hình bình hành.
Hình vẽ minh họa
Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD
=> IJ // AB // CD
=> Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)
=> (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD
Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.
G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:
(Với E là trung điểm của AB)
=>
Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên:
Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ
Chọn mệnh đề đúng
Khi điểm M thuộc đường thẳng d, mệnh đề nào sau đây đúng:
Mệnh đề đúng .
Xác định giao tuyến
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?
Hình vẽ minh họa
Xét (SAD) và (SBC) có:
S là điểm chung
=> Giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng đi qua S và song song với AD
Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
Cho hình chóp tứ giác đáy là hình thang đáy nhỏ , , . Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng .
Hình vẽ minh họa
Ta có:
S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (1)
Xét mặt phẳng có:
=> là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng
(2)
Từ (1) và (2)
Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến
Cho hình lập phương cạnh . Mặt phẳng đi qua tâm của hình lập phương và song song với . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện . Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa:
Gọi I là tâm của hình lập phương
=> I là trung điểm của AC’.
Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).
Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.
Khi đó
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện
là hình thoi MNPQ cạnh bằng
Mặt khác
Diện tích hình thoi MNPQ là
Chọn mệnh đề sai
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chúng có thể song song với nhau (khi chúng đồng phẳng) hoặc chéo nhau (khi chúng không đồng phẳng).
Vậy mệnh đề sai: "Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau."
Chọn mệnh đề đúng
Cho hai đường thẳng và lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song và .
Mệnh đề đúng là: "Nếu và
không song song với nhau, điểm
không nằm trên
và
thì luôn có duy nhất một đường thẳng đi qua
cắt cả
và
."
Mối quan hệ giữa hai đường thẳng
Trong không gian, cho 3 đường thẳng , biết , a và c chéo nhau. Khi đó hai đường thẳng b và c:
Giả sử
(mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy hai đường thẳng b và c cắt nhau hoặc chéo nhau.
Ghi đáp án vào ô trống
Cho hình chóp có đáy là hình thang; . là trung điểm của cạnh ; mặt phẳng qua và song song với mp cắt hình chóp theo một thiết diện là hình . Biết . Giá trị của là:
Đáp án: 0,5 (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
Cho hình chóp có đáy là hình thang; . là trung điểm của cạnh ; mặt phẳng qua và song song với mp cắt hình chóp theo một thiết diện là hình . Biết . Giá trị của là:
Đáp án: 0,5 (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
Hình vẽ minh họa
Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh
.
Gọi ta có
thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến của
và
.
Thiết diện là hình thang (vì
).
Ta có , mà
.
Ta có là trung điểm
,
là trung điểm của
nên
.
Tìm đường thẳng song song với giao tuyến hai mặt phẳng
Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật. Tìm đường thẳng song song với giao tuyến hai mặt phẳng và ?
Hình vẽ minh họa
Xét hai mặt phẳng và
ta có:
là điểm chung
Mà với
là đường thẳng đi qua
và song song với
.
Tính số đường thẳng qua một điểm song song với mặt phẳng
Cho mặt phẳng và điểm không thuộc mặt phẳng . Số đường thẳng đi qua và song song với là:
Có vô số đường thẳng đi qua và song song với
với điểm
không thuộc mặt phẳng
.
Chọn khẳng định đúng
Khẳng định nào sau đây đúng khi nói về mặt phẳng?
Theo cách xác định mặt phẳng thì “Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau”.
Tìm thiết diện
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SA. Thiết diện của mặt phẳng (MCD) với hình chóp S.ABCD là hình gì?
Hình vẽ minh họa
Tìm giao tuyến của 2 mp (MCD) và (SAB)
Điểm M chung
=> Giao tuyến của (MCD) và (SAB) là đường thẳng qua M và song song với AB, cắt SB tại N là trung điểm của SB.
Vậy
Mặt khác ( vì
)
Vậy thiết diện là hình thang CNMD.
Bổ sung điều kiện cho hình chóp tứ giác
Cho hình chóp tứ giác , đáy là hình bình hành tâm . Các điểm qua phép chiếu song song phương trên mặt phẳng ta thu được ảnh lần lượt là . Hình chóp cần thêm điều kiện gì để tứ giác là hình vuông?
Hình vẽ minh họa
Theo bài ra ta có: lần lượt là ảnh của
qua phép chiếu song song phương
trên mặt phẳng
.
Ta có:
=> là đường trung bình của các tam giác
=>
=> là hình bình hành
=>
là hình bình hành.
Để là hình vuông thì
suy ra hình chóp
có mặt bên
vuông cân tại
.
Tính độ dài GG'
Cho mảnh bìa như hình vẽ sau, biết là hình vuông cạnh . Các tam giác là các tam giác cân bằng nhau. Gọi lần lượt là trọng tâm của hai tam giác và . Người ta xếp mảnh bìa này thành hình chóp tứ giác (các điểm trùng vào đỉnh ). Khi đó tính độ dài đoạn thẳng .
Sau khi gấp lại ta được hình chóp như hình vẽ dưới đây:
Từ giả thiết ta có:
Tìm hình chiếu của hình lập phương qua phép chiếu song song
Hình chiếu của hình lập phương qua phép chiếu song song phương lên mặt phẳng chiếu là:
Phép chiếu song song phương lên mặt phẳng
sẽ biến
thành
, biến
thành
, biến
thành
, biến
thành
.
Nên hình chiếu song song của hình lập phương là hình vuông.
Tìm ảnh của A, B' qua phép chiếu song song
Cho hình hộp . Ảnh của qua phép chiếu song song với phương mặt phẳng chiếu lần lượt là:
Hình vẽ minh họa
Do
Nên phương chiếu không cắt mặt phẳng chiếu
.
Vì vậy ta không xác định được ảnh của A, B’ qua phép chiếu song song phương mặt phẳng chiếu
.
Chọn đáp án đúng
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Trung điểm của các cạnh lần lượt là . Chọn đáp án đúng.
Ta có:
Xác định giao tuyến hai mặt phẳng
Cho tứ diện . Lấy lần lượt là trung điểm của và và là trọng tâm của tam giác . Khi đó giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng là đường thẳng đi qua điểm
Hình vẽ minh họa
Nhận lấy IJ là đường trung bình tam giác ACD suy ra IJ//CD.
Gọi
Ta có:
Suy ra d đi qua G và song song với CD,.
Tìm giao tuyến hai mặt phẳng
Cho hình chóp có đáy là hình thang . Gọi lần lượt là trung điểm của . Giao tuyến của mặt phẳng và là:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
nên Q là điểm chung thứ nhất của mặt phẳng
và
Mặt khác
Vậy giao tuyến của mặt phẳng và
là đường thẳng qua Q và song song với AB.
Tìm khẳng định đúng
Tìm khẳng định đúng.
Qua phép chiếu song song chỉ có thể biến hình chóp cụt thành một đa giác.
Loại phương án – có thể là một đoạn thẳng, có thể là một điểm.
ảnh của một hình qua phép chiếu song song không thể là một hình đa diện – loại phương án có thể là một hình chóp cụt.
=> Chọn phương án – có thể là một hình tam giác.
Chọn mệnh đề đúng
Cho tứ diện . Gọi và lần lượt là trọng tâm của tam giác và . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Giả sử là trung điểm của
.
Ta có:
Tìm mặt phẳng song song với (IJK)
Cho hình lăng trụ . Gọi lần lượt là trọng tâm của các tam giác . Mặt phẳng nào sau đây song song với ?
Hình vẽ minh họa
Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC' và B'C'.
=> (tính chất trọng tâm tam giác)
=>
Xét mặt phẳng ta có:
=>
Mà
=>
Từ (1) và (2) => và
là hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó ta có:
Khẳng định nào sau đây là đúng
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có tâm lần lượt là O, O’ và không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi M là trung điểm của AB.
(I) (ADF) // (BCE)
(II) (MOO’) // (ADF)
(III) (MOO’) // (BCE)
(IV) (AEC) // (BDF)
Khẳng định nào sau đây là đúng
Ta có: BC // AD; BE // AF (ABCD và ABEF là hình bình hành)
=> BC // (ADF); BE // (ADF)
Mà BC ∩∩ BE = B
=. (ADF) // (BEC).
O và O’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và ABEF nên O và O’ là trung điểm của BF và BD
Xét tam giác ABF có MO’ là đường trung bình nên MO’ // AF
MO’ // (ADF) (1)
Tương tự MO là đường trung bình của tam giác ABD nên MO // AD
MO // (ADF) (2)
Từ (1) và (2) suy ra (MOO’) // (ADF)
Chứng minh tương tự ta cũng có (MOO’) // (BCE).
Hai mặt phẳng (AEC) và (BDF) có:
AC ∩ DB = O ; AE ∩ BF = O’
Suy ra (AEC) ∩ (BDF) = OO’.
Vậy khẳng định (I); (II); (III) đúng.
Điểm khả dụng: 0 điểm
Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.
Bạn không đủ điểm để đổi.
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:
