Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Cánh Diều

Hình vẽ minh họa

Xét

Vì

Vì

Vì nên đều song song với điều này suy ra là hình bình hành.

Vậy tất cả các khẳng định đều đúng.

Hình vẽ minh hoạ

Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.

Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.

Sử dụng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

Vậy a song song d

Ta có: S là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (SMN) và (SAC).

Ta có là tâm của hình hình hành

=> (do M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC).

Trong mặt phẳng (ABCD), ta có:

=> O là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng (SMN) và (SAC).

Vậy

Có vô số mặt phẳng chứa và song song với (đó là tất cả các mặt phẳng chứa nhưng không chứa ).

Hình vẽ minh họa

Ta có: nên giao tuyến của hai mặt phẳng sẽ đi qua điểm và song song với .

Do đó giao tuyến sẽ đi qua trung điểm của .

Hình vẽ minh họa

Theo bài ra ta có: lần lượt là ảnh của qua phép chiếu song song phương trên mặt phẳng .

Ta có:

=> là đường trung bình của các tam giác

=>

=> là hình bình hành

=> là hình bình hành.

Hình vẽ minh họa

Giả sử là trung điểm của .

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Với 4 điểm không đồng phẳng có thể xác định được 4 mặt phẳng phân biệt từ các điểm đó là .

Ta có: luôn đúng

=> Hai mặt phẳng không song song với nhau.

Vì số mặt của hình chóp là 5 nên thiết diện tối đa chỉ có 5 cạnh.

=> Không thể là lục giác.

Một hình chóp có đáy là đa giác cạnh thì có đỉnh và cạnh

Tổng số đỉnh và số cạnh bằng 14

=> Số cạnh đáy của hình chóp là: 4.

Mệnh đề sai: "Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng mà hai đường thẳng này lần lượt nằm trên hai mặt phẳng cắt nhau."

Hình vẽ minh họa:

Phép chiếu song song phương phương mặt phẳng chiếu biến điểm thành điểm .

Do đó:

Xét tam giác ta có:

=> là trung điểm của

Từ đó suy ra

Mệnh đề đúng là “Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung ”.

Mệnh đề sai: “Cho điểm nằm ngoài mặt phẳng . Khi đó tồn tại duy nhất một đường thẳng chứa điểm và song song với mặt phẳng .”

Sửa lại mệnh đề: “Cho điểm nằm ngoài mặt phẳng . Khi đó tồn tại vô số đường thẳng chứa điểm và song song với mặt phẳng .

Do đáy hình chóp là bát giác nên số cạnh đáy và số cạnh bên của hình chóp đều bằng 8.

Vậy hình chóp có 16 cạnh.

Hình vẽ minh họa

=> Giao tuyến của với (ABC) là đường thẳng đi qua M, song song với AB và cắt AC tại Q.

=> Giao tuyến của với (BCD) là đường thẳng đi qua M, song song với CD và cắt BD tại N.

=> Giao tuyến của với (ABD) là đường thẳng đi qua N, song song với AB và cắt AD tại P.

=> Thiết diện của hình chóp cắt bởi là tứ giác MNPQ.

Ta lại có:

Vậy thiết diện là hình bình hành MNPQ.

Hình vẽ minh họa

Gọi .

Trong , kẻ .

Do đó là mặt phẳng .

Vì ABCD là hình bình hành nên là trung điểm của .

Do .

Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng theo phương chiếu .

Ta có: là ảnh của hay chính là giao điểm của và ảnh qua phép chiếu này.

Do đó ta xác định như sau:

Trên kéo dài lấy điểm sao cho suy ra là ảnh của trên qua phép chiếu song song.

Gọi . Đường thẳng qua và song song với cắt tại . Ta có: là các điểm cần xác định.

Theo định lí Thales ta có:

Hình vẽ minh họa:

Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh

Ta có:

Suy ra tam giác MCD là thiết diện của mặt phẳng và tứ diện

Tam giác ABD đều cạnh bằng có là trung điểm của

Tam giác ABC đều cạnh bằng có là trung điểm của

Gọi H là trung điểm của CD

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Mặt phẳng qua M, song song với BC nên cắt (ABCD) và (SBC) theo giao tuyến a, qua M và song song BC.

Gọi E = a ∩ AB. Lúc đó qua E và song song SA nên cắt (SAB) theo giao tuyến b, qua E và song song SA.

Gọi F = b ∩ SB.

Tương tự, ∩ (SBC) = c, với c qua F và song song BC.

Gọi Q = c ∩ SC.

Hình tạo bởi các giao tuyến của với các mặt bên của hình chóp là hình thang MEFQ.

Vì ME = CD > QF nên hình thang MEFQ có đáy lớn là FQ.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Ta lại có: suy ra đường thẳng d đi qua S và song song với AB.

Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đôi một song song hoặc đồng quy.

Hình vẽ minh họa

Vì I và J là trung điểm của BC và BD nên IJ//CD (1)

nên giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường thẳng d qua E và song song với CD.

Gọi ta có tứ giác IJEF là thiết diện của tứ diện với mặt phẳng .

Vì EF//IJ nên IJEF là hình thang.

Hình vẽ minh họa

Giả sử CM và DN đồng phẳng.

Khi đó, ta có A, B cùng thuộc mặt phẳng (MNDC)

=> A, B, C, D đồng phẳng, trái giả thiết ABCD là tứ diện.

Vậy CM và DN chéo nhau.

Phương án "Giao tuyến của (OBC) và (A’B’C’) là A’B’." sai vì A’ không phải là điểm chung của (OBC) và (A’B’C’).

Phương án "Giao tuyến của (ABC) và (OC’A’) là CK, với K là giao điểm của C’B’ với CB." sai vì

Xét giao tuyến của 2 mp (ABC ) và (OC'A') có:

A chung

C chung

=> Giao tuyến của mp(ABC) và mp (OC'A') là AC

Phương án "(ABC) và (A’B’C’) không cắt nhau." sai vì:

Trong (OAB), A’B’ không song song với AB nên sẽ cắt AB, do vậy (ABC) và (A’B’C’) có điểm chung

Phương án "Giao tuyến của (ABC) và (A’B’C’) là MN, với M là giao điểm của AC và A’C’, N là giao điểm của BC và B’C’" đúng vì M là giao điểm của AC và A’C’ nên M là điểm chung của (ABC) và (A’B’C’).

Tương tự N là điểm chung của (ABC) và (A’B’C’).

Vì vậy MN là giao tuyến của (ABC) và (A’B’C’).

Phương án "Hình chóp có tất cả các mặt là hình tam giác" sai vì mặt đáy có thể không là tam giác.

Phương án "Tất cả các mặt bên của hình chóp là hình tam giác" đúng vì theo định nghĩa

Phương án "Tồn tại một mặt bên của hình chóp không phải là hình tam giác" sai vì theo định nghĩa mặt bên của hình chóp luôn là tam giác

Phương án "Số cạnh bên của hình chóp bằng số mặt của nó" sai vì số cạnh bên bằng số mặt bên trong khi các mặt hình chóp gồm các mặt bên và mặt đáy.

Có thể giải thích "Số cạnh bên của hình chóp bằng số mặt của nó" sai vì xét với hình chóp tam giác số cạnh bên bằng 3 nhưng số mặt bằng 4.

Theo lý thuyết ta có: mặt phẳng (R) cắt hai mặt phẳng song song (P) và (Q) theo hai giao tuyến a và b. Khi đó a // b.

Vậy a và b không có điểm chung nào.

Có 3 vị trí tương đối có thể có giữa hai đường thẳng phân biệt và là:

• cắt

• song song với

• chéo nhau với

Mệnh đề đúng là: "Nếu và không song song với nhau, điểm không nằm trên và  thì luôn có duy nhất một đường thẳng đi qua cắt cả và ."

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Trong mặt phẳng (ABCD) kéo dài AD cắt MN tại E.

Ta lại có: suy ra

Hình vẽ minh họa

Theo giả thiết ta có:

Xét tam giác ta có:

mà

Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện là hình thoi MNPQ cạnh bằng

Mặt khác

Diện tích hình thoi MNPQ là

Hình vẽ minh họa

Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD

=> IJ // AB // CD

=> Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)

=> (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD

Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.

G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:

(Với E là trung điểm của AB)

=>

Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên:

Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ