Dãy số Cánh Diều
a) Dãy số vô hạn
Hàm số 
\(u\) xác định trên tập các số nguyên dương \({\mathbb{N}^*}\) được gọi là một dãy số vô hạn (dãy số), nghĩa là:
\(\begin{matrix}
u:{\mathbb{N}^*} \to \mathbb{R} \hfill \\
{\text{ n}} \mapsto {u_n} = u\left( n \right) \hfill \\
\end{matrix}\)
- Kí hiệu là \(u = u\left( n \right)\) (hoặc có thể viết là \(u = {u_n}\)).
- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được viết dưới dạng khai triển là \({u_1};{u_2};{u_3};...;{u_n};....\)
Chú ý:
- Gọi số hạng đầu là \({u_1} = u\left( 1 \right)\) và \({u_n}\) là số hạng thứ \(n\) và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.
- Nếu \(\forall n \in {\mathbb{N}^*};{u_n} = c\) thì \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số không đổi.
b) Dãy số hữu hạn
- Hàm số \(u\) xác định trên tập các số nguyên dương \(M = \left\{ {1;2;3;...;m} \right\},\left( {m \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) được gọi là một dãy số hữu hạn.
- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) hữu hạn được viết dưới dạng khai triển là \({u_1};{u_2};{u_3};...;{u_m}\)
- Gọi số hạng đầu là \({u_1}\) và \({u_m}\) là số hạng thứ cuối của dãy số.
2. Cách cho một dãy số
Ta có thể cho dãy số bằng một trong những cách sau:
- Liệt kê các số hạng của dãy số đó (với những dãy số hữu hạn và có ít số hạng).
- Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số đó.
- Cho công thức của số hạng tổng quát của dãy số đó.
- Cho bằng phương pháp truy hồi.
Ví dụ: Tìm 5 số hạng đầu và xác định số hạng tổng quát theo n của dãy số \(\left\{ \begin{matrix}
u_{1} = 2 \\
u_{n + 1} = 2u_{n} \\
\end{matrix} \right.\).
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\begin{matrix}
& u_{2} = 2u_{1} = 2.2 = 4 = 2^{2} \\
& u_{3} = 2u_{2} = 2.4 = 8 = 2^{3} \\
& u_{4} = 2u_{3} = 2.8 = 16 = 2^{4} \\
& u_{5} = 2u_{4} = 2.16 = 32 = 2^{5} \\
\end{matrix}\)
Từ các số hạng đầu tiên, ta dự đoán số hạng tống quát \(u_{n}\) có dạng: \(u_{n} = 2^{n};\forall n \geq 1(*)\)
Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh công thức (*) đúng.
Với \(n = 1\) , có: \(u_{1} = 2^{1} = 2\) (đúng).
Vậy (*) đúng với \(n = 1\)
Giả sử (*) đúng với \(n = k\) , có nghĩa ta có: \(u_{k} = 2^{k}\) (2)
Ta cần chứng minh (*) đúng với \(n = k +
1\) .
Có nghĩa là ta phải chứng minh: \(u_{k + 1} = 2^{k + 1}\)
Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo (2) ta có:
\(u_{k + 1} = 2.u_{k} = 2.2^{k} = 2^{k +
1}\)
Vậy (*) đúng với \(n = k + 1\) .
Kết luận (*) đúng với mọi số nguyên dương \(n\) .
3. Dãy số tăng, dãy số giảm
- Dãy số \(\left\{ {{u_n}} \right\}\) được gọi là dãy tăng nếu \({u_{n + 1}} > {u_n}\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
- Dãy số \(\left\{ {{u_n}} \right\}\) được gọi là dãy giảm, nếu \({u_{n + 1}} < {u_n}\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Ví dụ: Xét tính tăng giảm của dãy số \(\left( u_{n} \right)\) được xác định bởi công thức: \(u_{n} = \frac{\sqrt{n}}{2^{n}}\).
Hướng dẫn giải
Dễ thấy \(u_{n} > 0\ \forall n \in
N^{*}\) .
Xét tỉ số: \(\frac{u_{n}}{u_{n +
1}}\)
Ta có: \(\frac{u_{n}}{u_{n + 1}} =\frac{\sqrt{n}}{2^{n}} . \frac{2^{n + 1}}{\sqrt{n + 1}} =\frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n + 1}} > 1\ (\forall n \geq 1)\)
Thật vậy: \(\frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n + 1}}> 1 \Leftrightarrow \frac{4n}{n + 1} > 1\)
\(\Leftrightarrow 4n > n+ 1 \Leftrightarrow 3n > 1\) (đúng \(\forall n \geq 1\) )
Kết luận: \(\left( u_{n} \right)\) là một dãy số giảm.
4. Dãy số bị chặn
Dãy số \(\left\{ {{u_n}} \right\}\) được gọi là bị chặn trên, nếu như tồn tại hằng số \(A\) sao cho:
\({u_n} \leqslant A;\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)
Dãy số \(\left\{ {{u_n}} \right\}\) được gọi là bị chặn dưới, nếu như tồn tại hằng số \(B\) sao cho:
\({u_n} \geqslant B,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)
Dãy số \(\left\{ {{u_n}} \right\}\) vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn, tức là tồn tại các số \(A,B\) sao cho:
\(B \leqslant {u_n} \leqslant A;\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)
Ví dụ: Chứng minh dãy số \(\left( u_{n} \right)\) với \({u_n} = \frac{{7n + 5}}{{5n + 7}}\) là một dãy số tăng và bị chặn.
Hướng dẫn giải
Công thức \(u_{n}\) được viết lại: \(u_{n} = \frac{7}{5} - \frac{24}{5(5n +
7)}\)
Xét hiệu số:
\(u_{n + 1} - u_{n} = \left( \frac{7}{5} -
\frac{24}{5\lbrack 5(n + 1) + 7\rbrack} \right) - \left( \frac{7}{5} -
\frac{24}{5(5n + 7)} \right)\)
\(= \frac{24}{5}\left( \frac{1}{5n + 7} -\frac{1}{5(n + 1) + 7} \right) > 0\ \forall n \geq 1\)
\(\Rightarrow u_{n + 1} > u_{n}\)
Vậy dãy số \(\left( u_{n} \right)\) là dãy số tăng.
Ta có: \(0 < \frac{1}{5n + 7} \leq
\frac{1}{12}\ \forall n \geq 1\)
\(\Leftrightarrow 0 > - \frac{24}{5(5n
+ 7)} \geq - \frac{2}{5}\)
\(\Leftrightarrow \frac{7}{5} >
\frac{7}{5} - \frac{24}{5(5n + 7)} \geq \frac{7}{5} -
\frac{2}{5}\)
\(\Leftrightarrow 1 \leq u_{n} <
\frac{7}{5}\)
Suy ra \(\left( u_{n} \right)\) là một dãy số bị chặn.
Kết luận \(\left( u_{n} \right)\) là một dãy số tăng và bị chặn.
