Phép tính lũy thừa với số mũ thực Cánh Diều
1. Phép tính lũy thừa với số mũ nguyên
Cho 
\(n\) là một số nguyên dương. Với \(a\) là số thực tùy ý khác \(0\) , ta có: \(a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}\)
Chú ý:
- \(0^{0}\) và \(0^{- n}\) (với \(n\) nguyên dương) không có nghĩa.
- Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương.
2. Căn bậc n
a) Định nghĩa
Cho số thực \(a\) và số nguyên dương \(n,(n \geq 2)\). Số \(b\) được gọi là căn bậc \(n\) của số \(a\) nếu \(b^{n} =
a\).
Nhận xét:
- Với \(n\) lẻ và \(a\in\mathbb{ R}\): Có duy nhất một căn bậc \(n\) của \(a\) , kí hiệu là \(\sqrt[n]{a}\) .
- Với \(n\) chẵn, ta xét các trường hợp sau:
-
- \(a < 0\): Không tồn tại căn bậc \(n\) của \(a\).
- \(a = 0\): Có một căn bậc \(n\) của \(a\) là số \(0\).
- \(a > 0\): Có hai căn bậc \(n\) của \(a\) là hai số đối nhau. Kí hiệu giá trị dương là \(\sqrt[n]{a}\), còn giá trị âm là \(- \sqrt[n]{a}\).
b) Tính chất
Với các biểu thức đều có nghĩa ta có:
| \(\sqrt[n]{a^{n}} = \left\{
\begin{matrix}
a\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ n = 2k + 1 \\
|a|\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ n = 2k \\
\end{matrix} \right.\ ;\left( k \in \mathbb{N}^{*} \right)\) |
\(\sqrt[n]{a.b} =
\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}\) |
| \(\sqrt[n]{\frac{a}{b}} =
\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\) |
\(\sqrt[n]{a^{p}} = \left( \sqrt[n]{a}
\right)^{p}\) |
| \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} =
\sqrt[{mn}]{a};\sqrt[n]{a} = \sqrt[{mn}]{a^{m}}\) |
Ví dụ: Tính giá trị các biểu thức:
| a) \(\sqrt[3]{135} -
5\sqrt[3]{5}\) |
b) \(\sqrt[4]{\sqrt[3]{81}} +
3\sqrt[3]{3}\) |
| c) \(\sqrt[4]{\sqrt[5]{16}} + \sqrt[5]{64}
+ 2\sqrt[5]{2}\) |
d) \(\left( \sqrt[4]{5} \right)^{5} -
\sqrt{\sqrt[4]{25}}\) |
Hướng dẫn giải
a) \(\sqrt[3]{135} - 5\sqrt[3]{5} =
\sqrt[3]{3^{3}.5} - 5\sqrt[3]{5}\)
\(= 3\sqrt[3]{5} - 5\sqrt[3]{5} = -
2\sqrt[3]{5}\)
b) \(\sqrt[4]{\sqrt[3]{81}} + 3\sqrt[3]{3}
= \sqrt[4]{\sqrt[3]{3^{4}}} + 3\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{\sqrt[4]{3^{4}}} +
3\sqrt[3]{3}\)
\(= \sqrt[3]{3} + 3\sqrt[3]{3} =
4\sqrt[3]{3}\)
c) \(\sqrt[4]{\sqrt[5]{16}} + \sqrt[5]{64}
+ 2\sqrt[5]{2} = \sqrt[4]{\sqrt[5]{2^{4}}} + \sqrt[5]{2^{6}} +
2\sqrt[5]{2}\)
\(= \sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{4}}} +
2\sqrt[5]{2} + 2\sqrt[5]{2}\)
\(= \sqrt[5]{2} + 2\sqrt[5]{2} +
2\sqrt[5]{2} = 5\sqrt[5]{2}\)
d) \(\left( \sqrt[4]{5} \right)^{5} -
\sqrt{\sqrt[4]{25}} = \sqrt[4]{5^{5}} -
\sqrt{\sqrt[4]{5^{2}}}\)
\(= 5\sqrt[4]{5} - \sqrt[4]{\sqrt{5^{2}}}
= 5\sqrt[4]{5} - \sqrt[4]{5} = 4\sqrt[4]{5}\)
3. Phép tính lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Cho số thực \(a\) dương và số hữu tỉ \(r = \frac{m}{n}\), trong đó \(m\in\mathbb{ Z},n\in\mathbb{ N},n \geq 2\). Lũy thừa của \(a\) với số mũ \(r\) xác định bởi \(a^{r} = a^{\frac{m}{n}} =
\sqrt[n]{a^{m}}\).
Nhận xét:
- \(a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a};\left( a> 0,n\in\mathbb{ N},n \geq 2 \right)\)
- Lũy thừa với số mũ hữu tỉ của số thực dương có đầy đủ tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên.
Ví dụ: Cho \(a,b\) là những số thực dương. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
| a) \(a^{\frac{1}{3}}.\sqrt{a}\) |
b) \(b^{\frac{1}{2}}.b^{\frac{1}{3}}.\sqrt[6]{b}\) |
| c) \(a^{\frac{4}{3}}:\sqrt[3]{a}\) |
d) \(\sqrt[3]{b}:b^{\frac{1}{6}}\) |
Hướng dẫn giải
a) \(a^{\frac{1}{3}}.\sqrt{a} =
a^{\frac{1}{3}}.a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}} =
a^{\frac{5}{6}}\)
b) \(b^{\frac{1}{2}}.b^{\frac{1}{3}}.\sqrt[6]{b} =
b^{\frac{1}{2}}.b^{\frac{1}{3}}.b^{\frac{1}{6}} = b^{\frac{1}{2} +
\frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = b\)
c) \(a^{\frac{4}{3}}:\sqrt[3]{a} =
a^{\frac{4}{3}}:a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}} =
a\)
d) \(\sqrt[3]{b}:b^{\frac{1}{6}} =
b^{\frac{1}{3}}:b^{\frac{1}{6}} = b^{\frac{1}{3} - \frac{1}{6}} =
b^{\frac{1}{6}}\)
B. Phép tính lũy thừa với số mũ thực
1. Định nghĩa
Cho \(a\) là số thực dương, \(\alpha\) là dãy số hữu tỉ và \(\lim r_{n} = \alpha\). Giới hạn của dãy số \(\left( a^{r_{n}} \right)\) gọi là lũy thừa của \(a\) với số mũ \(\alpha\), kí hiệu \(a^{\alpha}\) , \(a^{\alpha} = \lim a^{r_{n}}\).
Nhận xét: \(1^{\alpha} =
1;\forall\alpha\mathbb{\in R}\)
2. Tính chất
Cho \(a,b\) là những số thực dương; \(\alpha,\beta\) là những số thực tùy ý. Khi đó ta có:
| \(a^{\alpha}.a^{\beta} = a^{\alpha +
\beta}\) |
\(\frac{a^{\alpha}}{a^{\beta}} =
a^{\alpha - \beta}\) |
| \(\frac{a^{\alpha}}{b^{\alpha}} = \left(
\frac{a}{b} \right)^{\alpha}\) |
\((ab)^{\alpha} =
a^{\alpha}.b^{\alpha}\) |
| \(\left( a^{\alpha} \right)^{\beta} =
a^{\alpha\beta}\) |
Nếu \(a > 1\) thì \(a^{\alpha} > a^{\beta} \Leftrightarrow \alpha
> \beta\).
Nếu \(0 < a < 1\) thì \(a^{\alpha} > a^{\beta} \Leftrightarrow \alpha
< \beta\).
Ví dụ: Cho a là số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:
| a) \(\left( a^{\sqrt{6}}
\right)^{\sqrt{24}}\) |
b) \(a^{\sqrt{2}}.\left( \frac{1}{a}
\right)^{\sqrt{2} - 1}\) |
| c) \(a^{- \sqrt{3}}:a^{\left( \sqrt{3} - 1
\right)^{2}}\) |
d) \(\sqrt[3]{a}.\sqrt[4]{a}.\sqrt[12]{a^{5}}\) |
Hướng dẫn giải
a) \(\left( a^{\sqrt{6}}
\right)^{\sqrt{24}} = a^{\sqrt{6.24}} = a^{12}\)
b) \(a^{\sqrt{2}}.\left( \frac{1}{a}
\right)^{\sqrt{2} - 1} = a^{\sqrt{2}}.a^{1 - \sqrt{2}} = a^{\sqrt{2} + 1
- \sqrt{2}} = a\)
c) \(a^{- \sqrt{3}}:a^{\left( \sqrt{3} - 1
\right)^{2}} = a^{- \sqrt{3}}:a^{4 - 2\sqrt{3}} = a^{- \sqrt{3} - 4 +
2\sqrt{3}} = a^{- 4 + \sqrt{3}}\)
d) \(\sqrt[3]{a}.\sqrt[4]{a}.\sqrt[12]{a^{5}} =
a^{\frac{1}{3}}.a^{\frac{1}{4}}.a^{\frac{5}{12}} = a^{\frac{1}{3} +
\frac{1}{4} + \frac{5}{12}} = a\)
