Phương trình lượng giác cơ bản Cánh Diều
Định nghĩa phương trình tương đương
Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
Chú ý: Để chỉ sự tương đương của các phương trình ta dùng kí hiệu "
\(\Leftrightarrow\)"
Nhận xét: Nếu phương trình \(f(x) = g(x)\) tương đương với phương trình \(f_1(x) = g_1(x)\) thì ta viết \(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow {f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\).
Các phép biến đổi tương đương
a) Cộng hoặc trừ hai vế với cùng một số hoặc một biểu thức.
\(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) + h\left( x \right) = g\left( x \right) + h\left( x \right)\)
b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.
\(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right).h\left( x \right) = g\left( x \right).h\left( x \right)\) với \(h\left( x \right) \ne 0\)
Ví dụ: Cho phương trình \({x^2} = 3x\). Trong các phương trình dưới đây, phương trình nào tương đương với phương trình đã cho.
\(\left( a \right):{x^2} + \sqrt {x - 2} = 3x + \sqrt {x - 2}\)
\(\left( b \right):{x^2} + \frac{1}{{x - 3}} = 3x + \frac{1}{{x - 3}}\)
\(\left( c \right):{x^2}\sqrt {x - 3} = 3x\sqrt {x - 3}\)
\(\left( d \right):{x^2} + \sqrt {{x^2} + 1} = 3x + \sqrt {{x^2} + 1}\)
Hướng dẫn giải
\(\begin{matrix}
\left( a \right):{x^2} + \sqrt {x - 2} = 3x + \sqrt {x - 2} \hfill \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x \geqslant 2 \hfill \\
{x^2} - 3x = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = 3 \hfill \\
\end{matrix}\)
\(\begin{matrix}
\left( b \right):{x^2} + \dfrac{1}{{x - 3}} = 3x + \dfrac{1}{{x - 3}} \hfill \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x \ne 3 \hfill \\
{x^2} - 3x = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = 0 \hfill \\
\end{matrix}\)
\(\begin{matrix}
\left( c \right):{x^2}\sqrt {x - 3} = 3x\sqrt {x - 3} \hfill \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x \geqslant 3 \hfill \\
{x^2} - 3x = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = 3 \hfill \\
\end{matrix}\)
\(\begin{matrix}
\left( d \right):{x^2} + \sqrt {{x^2} + 1} = 3x + \sqrt {{x^2} + 1} \hfill \\
\Leftrightarrow {x^2} = 3x \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
x = 3 \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\end{matrix}\)
Vậy phương trình tương đương với phương trình đã cho là phương trình (d).
2. Phương trình sinx = a
Cho phương trình \(\sin x = a\) (1)
+ Nếu \(\left| a \right| > 1\) thì phương trình vô nghiệm
+ Nếu \(\left| a \right| \leqslant 1 \Rightarrow \exists \beta \in \left[ {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right],\sin \beta = a\)
\((1) \Rightarrow \sin x = \sin \beta \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \beta + k2\pi } \\
{x = \pi - \beta + k2\pi }
\end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z})\)
Chú ý: Nếu thỏa mãn điều kiện thì \(\beta = \arcsin a\)
|
Một số phương trình đặc biệt
|
Mở rộng phương trình
|
|
|
\(\begin{matrix}
\sin f(x) = \sin g(x) \hfill \\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{f(x) = g(x) + k2\pi } \\
{f(x) = \pi - g(x) + k2\pi }
\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right. \hfill \\
\end{matrix}\) |
Ví dụ: Giải phương trình:
|
a) |
b) |
Hướng dẫn giải
a) \(\sin \left( {3x - {{30}^0}} \right) = \sin {45^0}\)
\(\begin{matrix}
\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
3x - {30^0} = {45^0} + k{.360^0} \hfill \\
3x - {30^0} = {180^0} - {45^0} + k{.360^0} \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = {25^0} + k{.120^0} \hfill \\
x = {55^0} + k{.120^0} \hfill \\
\end{gathered} \right.;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\
\end{matrix}\)
b) \(\sin \left( {4x - \frac{\pi }{3}} \right) = 0\)
\(\begin{matrix}
\Leftrightarrow 4x - \dfrac{\pi }{3} = k\pi \hfill \\
\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{{12}} + \dfrac{{k\pi }}{4};\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\
\end{matrix}\)
3. Phương trình cosx = a
Cho phương trình \(\cos x = a\) (2)
+ Nếu \(\left| a \right| > 1\) thì phương trình vô nghiệm
+ Nếu \(\left| a \right| \leqslant 1 \Rightarrow \exists \beta \in \left[ {0,\pi } \right],\cos \beta = a\)
\((2) \Rightarrow \cos x = \cos \beta \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \beta + k2\pi } \\
{x = - \beta + k2\pi }
\end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z})\)
Chú ý: Nếu thỏa mãn điều kiện thì \(\beta = \arccos a\)
|
Một số phương trình đặc biệt
|
Mở rộng phương trình ta có |
|
|
\(\begin{matrix}
\cos f(x) = \cos g(x) \hfill \\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{f(x) = g(x) + k2\pi } \\
{f(x) = - g(x) + k2\pi }
\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right. \hfill \\
\end{matrix}\) |
Ví dụ: Tìm nghiệm các phương trình sau:
|
a) |
b) |
Hướng dẫn giải
a) \(\cos \left( {\frac{\pi }{6} - 2x} \right) = - \frac{1}{4}\)
\(\begin{matrix}
\Leftrightarrow \cos \left( {\dfrac{\pi }{6} - 2x} \right) = \cos t \hfill \\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\dfrac{\pi }{6} - 2x = t + k2\pi } \\
{\dfrac{\pi }{6} - 2x = - t + k2\pi }
\end{array}} \right. \hfill \\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \dfrac{\pi }{{12}} - \dfrac{t}{2} - k\pi } \\
{x = \dfrac{\pi }{{12}} + \dfrac{t}{2} - k\pi }
\end{array}} \right.;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\
\end{matrix}\)
b) \(\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\)
\(\begin{matrix}
\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
2x + \dfrac{\pi }{3} = x - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\
2x + \dfrac{\pi }{3} = - x + \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = - \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \hfill \\
x = \dfrac{{k2\pi }}{3} \hfill \\
\end{gathered} \right.;\left( {k \notin \mathbb{Z}} \right) \hfill \\
\end{matrix}\)
4. Phương trình tanx = a
Cho phương trình \(\tan x = a\) (3)
+ Với \(\forall m \Rightarrow \exists \alpha \in \left( {\frac{{ - \pi }}{2},\frac{\pi }{2}} \right),\tan \beta = a\)
\(\begin{matrix}
(3) \Leftrightarrow \tan x = \tan \beta \Leftrightarrow x = \beta + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \hfill \\
\beta = \arctan a \hfill \\
\end{matrix}\)
|
Một số phương trình đặc biệt |
Mở rộng phương trình
|
|
|
\(\begin{matrix}
\tan f(x) = \tan g(x) \hfill \\
\Leftrightarrow f(x) = g(x) + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \hfill \\
\end{matrix}\) |
Ví dụ: Giải phương trình \(3\tan \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) = - 1\)
Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định:
\(\begin{matrix}
\cos \left( {3x + \dfrac{\pi }{6}} \right) \ne 0 \hfill \\
\Leftrightarrow 3x + \dfrac{\pi }{6} \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \hfill \\
\Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{9} + \dfrac{{k\pi }}{3};\left( {k \notin \mathbb{Z}} \right) \hfill \\
\end{matrix}\)
\(\begin{matrix}
PT \Leftrightarrow \tan \left( {3x + \dfrac{\pi }{6}} \right) = \dfrac{{ - 1}}{3} = \tan t \hfill \\
\Leftrightarrow 3x + \dfrac{\pi }{6} = t + k\pi \hfill \\
\Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{t}{3} + \dfrac{{k\pi }}{3};\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\
\end{matrix}\)
5. Phương trình cotx = a
Cho phương trình \(\cot x = a\) (4)
+ Với \(\forall m \Rightarrow \exists \alpha \in \left( {0;\pi } \right),\cot \beta = a\)
\(\begin{matrix}
(4) \Leftrightarrow \cot x = \cot \beta \Leftrightarrow x = \beta + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \hfill \\
\beta = \operatorname{arccot} a \hfill \\
\end{matrix}\)
|
Một số phương trình đặc biệt |
Mở rộng phương trình |
|
|
\(\begin{matrix}
\cot f(x) = \cot g(x) \hfill \\
\Leftrightarrow f(x) = g(x) + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \hfill \\
\end{matrix}\) |
Ví dụ: Giải phương trình \(\cot \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cot \left( { - 2x + \frac{\pi }{6}} \right)\)?
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\begin{matrix}
\cot \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \cot \left( { - 2x + \dfrac{\pi }{6}} \right) \hfill \\
\Leftrightarrow x + \dfrac{\pi }{3} = - 2x + \dfrac{\pi }{6} + k\pi \hfill \\
\Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3};\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\
\end{matrix}\)
