VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề thi học kì 2 Toán 11 Cánh Diều Đề 3

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Mô tả thêm:

Mời các bạn học cùng thử sức với Đề thi cuối học kì 2 Toán lớp 11 Cánh Diều - có đáp án nha!

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Câu 1: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh trong một nhóm học sinh gồm 6 nam và 4 nữ. Gọi X là biến cố “Hai học sinh được chọn đều là nam”. Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overline{X}$ là biến cố “Hai học sinh được chọn là 2 nam hoặc 2 nữ”.
- B.
  $\overline{X}$ là biến cố “Hai học sinh được chọn là 1 nam hoặc 1 nữ”.
- C.
  $\overline{X}$ là biến cố “Hai học sinh được chọn đều là nữ”.
- D.
  $\overline{X}$ là biến cố “Hai học sinh được chọn không phải là hai nữ”.
Sử dụng định nghĩa biến cố đối ta được:

$\overline{X}$ là biến cố “Hai học sinh được chọn đều là nữ”.
Câu 2: Thông hiểu
Tính góc giữa mặt phẳng (SAD) và (SCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), AB = BC = a, AD = 2a. Biết góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45⁰. Tính góc giữa mặt phẳng (SAD) và (SCD).
- A. 90⁰
- B. 30⁰
- C. 60⁰
- D. 45⁰
Tam giác ABC vuông cân tại B, suy ra $AC = AB\sqrt 2 = a\sqrt 2$
Vì $SA \bot \left( {ABCD} ight)$ nên AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD).
Khi đó
$\begin{matrix} \widehat {\left( {SC;\left( {ABCD} ight)} ight)} = \widehat {\left( {SC;AC} ight)} = \widehat {SCA} = {45^0} \hfill \\ \Rightarrow SA = AC = a\sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}$
Gọi M là trung điểm của AD => CM ⊥ AD.
Mà CM ⊥ SA nên CM ⊥ (SAD) => CM ⊥ SD
Hạ CH ⊥ SD . Khi đó SD ⊥ (CMH) => MH ⊥ SD
Ta có:
$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {(SAD) \cap (SCD) = SD} \\ {MH \subset (SAD)} \\ {MH \bot SD} \\ {CH \subset (SCD)} \\ {CH \bot SD} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \widehat {((SAD),(SCD))} = \widehat {(MH,CH)} = \widehat {MHC} \hfill \\ \end{matrix}$
Ta lại có: $SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}} = a\sqrt 6 ;CM = AB = a$
$\begin{matrix} \Delta SAD \sim \Delta MHD \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{SA}}{{SD}} = \dfrac{{MH}}{{MD}} \hfill \\ \Rightarrow MH = \dfrac{{SA.MD}}{{SD}} = \dfrac{{a\sqrt 2 a}}{{a\sqrt 6 }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} \hfill \\ \end{matrix}$
Tam giác MHC vuông tại M
$\Rightarrow \tan \widehat {MHC} = \frac{{CM}}{{MH}} = \frac{a}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{3}}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {MHC} = {60^0}$
Vậy $\left( {\widehat {\left( {SAD} ight);\left( {SCD} ight)}} ight) = {60^0}$
Câu 3: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD. Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  SO ⊥ (ABCD)
- B.
  AC ⊥ (SBD)
- C.
  BD ⊥ (SAC)
- D.
  BC ⊥ (SAB)
Hình vẽ minh họa:
Do ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD nên $\left\{ \begin{matrix}SO\bot AC \\SO\bot BD \\\end{matrix} ight.$ => SO ⊥ (ABCD)
Từ $\left\{ \begin{matrix}SO\bot AC \\AC\bot BD \\\end{matrix} ight.$ => AC ⊥ (SBD)
Từ $\left\{ \begin{matrix}SO\bot BD \\AC\bot BD \\\end{matrix} ight.$ => BD ⊥ (SAC)
Như vậy, các khẳng định “SO ⊥ (ABCD)”, “AC ⊥ (SBD)”, “BD ⊥ (SAC)” là các khẳng định đúng.
Khẳng định “BC ⊥ (SAB)” là khẳng định sai. Vì nếu BC ⊥ (SAB) suy ra BC ⊥ SB, cùng với BC ⊥ SO ta có BC ⊥ (SBD), nên qua điểm B có hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng BC (vô lí).
Câu 4: Vận dụng

Điền đáp án vào ô trống

Tính giá trị biểu thức: $S = f'(1) + f'(2) + f'(3) + ... + f'(2018)$ . Biết hàm số $y = f(x)$ xác định bởi công thức $y = f(x) = \ln\left( \frac{2018x}{x + 1} ight)$ .

Kết quả: $S =$ 2018/2019

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

Đáp án là:

Tính giá trị biểu thức: $S = f'(1) + f'(2) + f'(3) + ... + f'(2018)$ . Biết hàm số $y = f(x)$ xác định bởi công thức $y = f(x) = \ln\left( \frac{2018x}{x + 1} ight)$ .

Kết quả: $S =$ 2018/2019

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

Ta có:

$y = f(x) = \ln\left( \frac{2018x}{x + 1} ight)$

$\Rightarrow f'(x) = \left\lbrack \ln\left( \frac{2018x}{x + 1} ight) ightbrack'$

$= \frac{1}{\frac{2018x}{x + 1}}.\left( \frac{2018x}{x + 1} ight)'$

$= \frac{x + 1}{2018x}.\frac{2018}{(x + 1)^{2}}$

$= \frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$

Khi đó:

$S = f'(1) + f'(2) + f'(3) + ... + f'(2018)$

$S = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2018} - \frac{1}{2019}$

$S = 1 - \frac{1}{2019} = \frac{2018}{2019}$

VD

1
Câu 5: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Cho tứ diện ABCD. Gọi H là trực tâm của tam giác BCD và AH vuông góc với mặt phẳng đáy. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
- A.
  $CD \perp BD$
- B.
  $AC = BD$
- C.
  $AB = CD$
- D.
  $AB \perp CD$
Hình vẽ minh họa
Vì AH vuông góc với (BCD) suy ra $AH⊥CD$ (1)
Mà H là trực tâm của tam giác BCD $⇒BH⊥CD$ (2)
Từ (1), (2) suy ra: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {CD \bot AH} \\ {CD \bot BH} \end{array}} ight.$
$⇒CD⊥(ABH)⇒CD⊥AB$
Câu 6: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Công thức tính thể tích $V$ của khối nón có bán kính $r$ và chiều cao $h$ là:
- A.
  $V = \frac{1}{3}\pi rh$
- B.
  $V = \pi rh$
- C.
  $V = \frac{1}{3}\pi r^{2}h$
- D.
  $V = \pi r^{2}h$
Công thức tính thể tích là: $V = \frac{1}{3}\pi r^{2}h$
Câu 7: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập số thực thỏa mãn $\lim_{x ightarrow 3}\frac{f(x) - f(3)}{x - 3} = 2$ . Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $f'(2) = 3$
- B.
  $f'(x) = 2$
- C.
  $f'(x) = 3$
- D.
  $f'(3) = 2$
Hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại điểm $x_{0}$

$f'\left( x_{0} ight) = \lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} ight)}{x - x_{0}}$

Nên khẳng định đúng là $f'(3) = 2$
Câu 8: Thông hiểu
Xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố W

Khu vực chờ nhận phần thưởng có 6 chiếc ghế được kê thành 1 hàng ngang. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh gồm 3 học sinh lớp 10, 2 học sinh lớp 11 và 1 học sinh lớp 12 ngồi vào chiếc ghế kê thành một hàng ngang sao cho mỗi ghế có đúng 1 học sinh ngồi. Hãy xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố W: “Xếp học sinh lớp 12 chỉ ngồi cạnh học sinh lớp 11”?
- A.
  81
- B.
  120
- C.
  96
- D.
  144
Xét các trường hợp:

TH1: Học sinh lớp 12 ngồi đầu dãy:

Chọn vị trí cho học sinh lớp 12 có 2 cách

Chọn 1 vị trí cho học sinh lớp 11 ngồi cạnh học sinh lớp 12 có 2 cách

Hoán vị các học sinh còn lại cho nhau có 4! Cách.

Trường hợp này được: 2.2.4! = 96 cách.

TH2: Học sinh lớp 12 ngồi giữa hai học sinh lớp 11, ta gộp thành một nhóm, khi đó:

Hoán vị 4 phần tử gồm 3 học sinh lớp 10 và nhóm gồm học sinh lớp 11 và lớp 12 có 4! Cách.

Hoán vị hai học sinh lớp 11 cho nhau có 2! Cách

Trường hợp này được 4!.2! = 48 cách

Như vậy số cách sắp xếp là 48 + 96 = 144

$\Rightarrow n(W) = 144$
Câu 9: Thông hiểu
Xác định góc giữa hai mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\bot(ABC)$ , đáy $ABC$ là tam giác cân tại $A$ . Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ , $J$ là trung điểm của $BM$ . Xác định góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ ?
- A.
  $\widehat{SMA}$
- B.
  $\widehat{SJA}$
- C.
  $\widehat{SBA}$
- D.
  $\widehat{SCA}$
Hình vẽ minh họa

Dễ thấy $(SBC) \cap (ABC) = BC$

Ta có tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC suy ra $AM\bot BC$

Theo giả thiết $SA\bot(ABC)$ . Khi đó $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AM \\ BC\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAM) \Rightarrow BC\bot SM$

Ta được $\left\{ \begin{matrix} (SBC) \cap (ABC) = BC \\ AM\bot BC \\ SM\bot BC \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left( \widehat{(SBC);(ABC)} ight) = \widehat{SMA}$
Câu 10: Nhận biết
Tính số cách chọn

Một nhóm học sinh gồm 15 người. Cần chọn 3 người lần lượt làm các chức vụ nhóm trưởng, nhóm phó và kiểm soát. Số cách chọn là:
- A.
  $455$ cách
- B.
  $15!$ cách
- C.
  $2370$ cách
- D.
  $2730$ cách
Số cách chọn 3 người đảm nhiệm 3 chức vụ khác nhau từ 15 người là:

$A_{15}^{3} = 2730$ (cách)

Vậy có tất cả 2730 cách chọn.
Câu 11: Vận dụng cao
Tính thể tích khối lăng trụ

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có $d(C;BB') = 2a;d(A;BB') = a;d(A;CC') = a\sqrt{3}$ , hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(A'B'C')$ là trung điểm $M$ của $BC$ . Biết $A'M = 2a$ . Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ ?
- A.
  $V = a^{3}$
- B.
  $V = 2a^{3}$
- C.
  $V = 3\sqrt{3}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{2\sqrt{3}}{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi $A_{1};A_{2}$ lần lượt là hình chiếu của A trên BB’ và CC’

Theo đề bài ta có:

$AA_{1} = a;AA_{2} = a\sqrt{3};A_{1}A_{2} = 2a$

Dễ thấy $A{A_{1}}^{2} + A{A_{2}}^{2} = A_{1}{A_{2}}^{2}$ nên tam giác $AA_{1}A_{2}$ vuông tại A

Gọi H là trung điểm của $A_{1}A_{2} \Rightarrow AH = \frac{A_{1}A_{2}}{2} = a$

Ta lại có $MH//BB' \Rightarrow MH\bot\left( AA_{1}A_{2} ight) \Rightarrow MH\bot AH$

$\Rightarrow MH = \sqrt{AM^{2} - AH^{2}} = a\sqrt{3}$

$\Rightarrow \cos\left( (ABC);\left( AA_{1}A_{2} ight) ight) = \cos(MH,AM)$

$= \cos\widehat{HMA} = \frac{MH}{AM} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Suy ra $S_{ABC} = \frac{S_{AA_{1}A_{2}}}{\cos\left( (ABC);\left( AA_{1}A_{2} ight) ight)} = a^{2}$

Vậy $V = AM.S_{ABC} = 2a^{3}$
Câu 12: Nhận biết
Tìm phát biểu sai

Trong một phép thử có không gian mẫu kí hiệu là $\Omega$ và $B$ là một biến cố của phép thử đó. Tìm phát biểu sai trong các phát biểu dưới đây?
- A.
  $P(B) = 0$ khi và chỉ khi $B$ chắc chắn.
- B.
  $P(B) = 1 - P\left( \overline{B} ight)$
- C.
  Xác suất của biến cố $B$ là $P(B) = \frac{n(B)}{n(\Omega)}$
- D.
  $0 \leq P(B) \leq 1$
Khẳng định sai là: “ $P(B) = 0$ khi và chỉ khi $B$ chắc chắn”.

Vì B là biến cố chắc chắn thì P(B) = 1.
Câu 13: Nhận biết
Rút gọn biểu thức H

Đơn giản biểu thức $H = x^{\frac{1}{3}}.\sqrt[6]{x};(x > 0)$ với $x > 0$ ta được kết quả là:
- A.
  $H = \sqrt{x}$
- B.
  $H = x^{\frac{2}{9}}$
- C.
  $H = x^{2}$
- D.
  $H = x^{\frac{81}{5}}$
Ta có: $H = x^{\frac{1}{3}}.\sqrt[6]{x} = x^{\frac{1}{3}}.x^{\frac{1}{6}} = x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = \sqrt{x}$
Câu 14: Thông hiểu
Chọn khẳng định sai

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại C. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB và SB. Khẳng định nào dưới đây là sai?
- A.
  $CH \perp AK$
- B.
  $CH \perp SB$
- C.
  $CH \perp SA$
- D.
  $AK \perp SB$
Hình vẽ minh họa
Vì H là trung điểm của AB, tam giác ABC cân => $CH⊥AB$
Ta có: $SA⊥(ABC)$ => $SA⊥CH$ mà $CH⊥AB$ => $CH⊥(SAB)$
Mặt khác $AK⊂(SAB)$ => CH vuông góc với các đường thẳng $SA,SB,AK$
Và $AK⊥SB$ chỉ xảy ra khi và chỉ khi tam giác SAB cân tại S.
Câu 15: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A.
  Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
- B.
  Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
- C.
  Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
- D.
  Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Mệnh đề “Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau” là sai. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau hoặc cắt nhau (giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba).

Mệnh đề “Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước” là sai. Qua một đường thẳng vô số mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Mệnh đề “Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước” là sai. Qua một điểm có vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Vậy mệnh đề đúng là: “Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.”
Câu 16: Nhận biết
Tìm khẳng định đúng

Rút ngẫu nhiên hai tấm thẻ trong chiếc hộp có 9 tấm thẻ được đánh số thứ tự từ 1 đến 9. Xét các biến cố sau:

A: “Cả hai tấm thẻ đều mang số chẵn”.

B “Chỉ có một tấm thẻ mang số chẵn”.

C: “Tích hai số ghi trên hai tấm thẻ là một số chẵn”

Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $C = A \cup B$
- B.
  $C = A \cap B$
- C.
  $A = C \cup B$
- D.
  $B = C \cup A$
Biến cố C xảy ra khi và chỉ khi trong hai tấm thẻ có ít nhất 1 tấm thẻ mang số chẵn.

Nếu cả hai tấm thẻ ghi số chẵn thì biến cố A xảy ra.

Nếu chỉ có một tấm thử ghi số chẵn thì biến cố B xảy ra.

Vậy biến cố C là biến cố hợp của A và B.

Câu 17: Thông hiểu

Chọn đáp án đúng

Ba xạ thủ cùng bắn vào một bia đỡ một cách độc lập. Xác suất để người thứ nhất, người thứ hai và người thứ ba bắn trúng hồng tâm lần lượt là $0,5;0,6;0,8$ . Xác suất để có đúng hai người bắn trúng hồng tâm là: 0,46||0,24||0,92||0,96

Đáp án là:

Từ giả thiết suy ra xác suất để người thứ nhất, người thứ hai và người thứ ba không bắn trúng hồng tâm lần lượt là $0,5;0,4;0,2$ .

Để có đúng 2 người bắn trúng hồng tâm ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1

+ Người thứ nhất bắn trúng

+ Người thứ hai bắn trúng

+ Người thứ ba không trúng

Xác suất: $0,5.0,6.0,2$

Trường hợp 2

+ Người thứ nhất bắn trúng

+ Người thứ hai không bắn trúng

+ Người thứ ba bắn trúng

Xác suất: $0,5.0,4.0,8$

Trường hợp 3

+ Người thứ nhất không bắn trúng

+ Người thứ hai bắn trúng

+ Người thứ ba bắn trúng

Xác suất: $0,5.0,6.0,8$

Vậy xác suất để có đúng 2 người bắn trúng đích là

$0,5.0,6.0,2 + 0,5.0,4.0,8 + 0,5.0,6.0,8 = 0,46$

Câu 18: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định bởi công thức $f(x) =\left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}\ \ \ khi\ x eq 1 \\- \dfrac{1}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.$ . Tính đạo hàm của hàm số tại $x_{0} = 1$ ?
- A.
  $f'(1) = 0$
- B.
  $f(1) = \frac{- 7}{40}$
- C.
  $f(1) = \frac{- 9}{64}$
- D.
  $∄f(1)$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}f(x) = \lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 1 - 4x^{2}}{(x - 1)\left( \sqrt{3x + 1} + 2x ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{- 4x - 1}{\sqrt{3x + 1} + 2x} = - \frac{5}{4} eq f(1)$

Suy ra hàm số không liên tục tại x = 1 nên không tồn tại đạo hàm của hàm số tại x = 1
Câu 19: Vận dụng cao

Tìm giá trị của x

Một đề thi trắc nghiệm môn Toán lớp 11 gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu hỏi có 4 đáp án và chỉ có đúng 1 đáp án đúng. Nếu trả lời đúng được 0,2 điểm và trả lời sai sẽ không có điểm. Bạn H làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiêu đáp án cho tất cả 50 câu hỏi. Biết rằng xác suất làm đúng $x$ câu hỏi của H đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị của $x$ ?
Đáp án: 12

Đáp án là:

Một đề thi trắc nghiệm môn Toán lớp 11 gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu hỏi có 4 đáp án và chỉ có đúng 1 đáp án đúng. Nếu trả lời đúng được 0,2 điểm và trả lời sai sẽ không có điểm. Bạn H làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiêu đáp án cho tất cả 50 câu hỏi. Biết rằng xác suất làm đúng $x$ câu hỏi của H đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị của $x$ ?
Đáp án: 12

Gọi A là biến cố làm đúng x câu hỏi của bạn H
Ta có xác suất để làm đúng 1 câu là $\frac{1}{4}$ , xác suất làm sai 1 câu là $\frac{3}{4}$
Theo quy tắc nhân xác suất ta có:
Xác suất của biến cố A là $P(A) =C_{50}^{x}.\left( \frac{1}{4} ight)^{x}.\left( \frac{3}{4} ight)^{50- x} = \frac{C_{50}^{x}}{3^{x}}.\left( \frac{3}{4}ight)^{50}$
Xét hệ bất phương trình sau:
$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{C_{50}^{x}}{3^{x}}.\left( \dfrac{3}{4} ight)^{50} \geq\dfrac{C_{50}^{x + 1}}{3^{x + 1}}.\left( \dfrac{3}{4} ight)^{50} \\\dfrac{C_{50}^{x}}{3^{x}}.\left( \dfrac{3}{4} ight)^{50} \geq\dfrac{C_{50}^{x - 1}}{3^{x - 1}}.\left( \dfrac{3}{4} ight)^{50} \\\end{matrix} ight.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3C_{50}^{x} \geq C_{50}^{x + 1} \\C_{50}^{x} \geq 3C_{50}^{x - 1} \\\end{matrix} ight.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3.\dfrac{50!}{x!(50 - x)!} \geq \dfrac{50!}{(x + 1)!(49 - x)!} \\\dfrac{50!}{x!(50 - x)!} \geq \dfrac{50!}{(x - 1)!(51 - x)!} \\\end{matrix} ight.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{3}{50 - x} \geq \dfrac{1}{x + 1} \\\dfrac{1}{x} \geq \dfrac{3}{51 - x} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x \geq \dfrac{47}{4} \\x \leq \dfrac{51}{4} \\\end{matrix} ight.\ ;\left( x\mathbb{\in Z} ight) \Rightarrow x =12$
Câu 20: Thông hiểu
Tính xác suất của biến cố A

Gieo một đồng tiền xu liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố A “ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”?
- A. $\frac{1}{2}$
- B. $\frac{3}{8}$
- C. $\frac{7}{8}$
- D. $\frac{1}{4}$
Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần
=> Số phần tử không gian mẫu là: $n(Ω) = 2 . 2 . 2 = 8$
Ta có:
Biến cố A “ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”
=> Biến cố $\overline A$ "không xuất hiện mặt sấp”
$\overline A = \left\{ {\left( {N;N;N} ight)} ight\}$
=> $n\left( {\overline A } ight) = 1 \Rightarrow P\left( {\overline A } ight) = \frac{1}{8}$
=> $P\left( A ight) = 1 - P\left( {\overline A } ight) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$
Câu 21: Nhận biết
Giải bất phương trình

Tìm tập nghiệm của bất phương trình $\left( \frac{1}{3} ight)^{x + 2} \geq 9$ ?
- A.
  $( - \infty; - 4brack$
- B.
  $\lbrack - 4; + \infty)$
- C.
  $\lbrack 0; + \infty)$
- D.
  $( - \infty;4brack$
Ta có:

$\left( \frac{1}{3} ight)^{x + 2} \geq 9 \Leftrightarrow \left( 3^{- 1} ight)^{x + 2} \geq 3^{2}$

$\Leftrightarrow 3^{- x - 2} \geq 3^{2} \Leftrightarrow - x - 2 \geq 2 \Leftrightarrow x \leq - 4$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $x \in ( - \infty; - 4brack$
Câu 22: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức T

Cho hàm số $f(x)= \log_{2}m$ . Với $m > 0$ , giá trị của biểu thức $T = f\left(\frac{6}{m} ight) + f\left( \frac{8m}{3} ight)$ bằng:
- A.
  $T = 2$
- B.
  $T = 1$
- C.
  $T = 4$
- D.
  $T = 3$
Ta có:
$T = f\left( \frac{6}{m} ight) +f\left( \frac{8m}{3} ight) = f\left( \frac{6}{m}.\frac{8m}{3} ight)= f(16) = 4$
Câu 23: Vận dụng
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có cạnh bên $AA' = a\sqrt{2}$ . Biết đáy ABC là tam giác vuông có BA = BC = a, gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C.
- A.
  $\frac{a\sqrt{5}}{5}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{5}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{2}}{2}$
- D.
  $\frac{a\sqrt{7}}{7}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi N là trung điểm của BB’ => MN // B’C
=> B’C // (AMN)
=> d(AM, B’C) = d(B’C, (AMN)) = d(B’, (AMN)) = d(B, (AMN))
Kẻ BH ⊥ AM, BK ⊥ HN
=> BK ⊥ (AMN)
=> d(AM, B’C) = d(B, (AMN)) = BK
Ta có:
$\frac{1}{BH^{2}} = \frac{1}{AB^{2}} +\frac{1}{BM^{2}}$
$\Rightarrow \frac{1}{BH^{2}} =\frac{1}{a^{2}} + \frac{4}{a^{2}} = \frac{5}{a^{2}}$
$\Rightarrow BH =\frac{a}{\sqrt{5}}$
Ta có: $BN =\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Do tam giác ABM vuông tại B
$\frac{1}{BK^{2}} = \frac{1}{BH^{2}} +\frac{1}{BN^{2}}$
$\Rightarrow \frac{1}{BK^{2}} =\frac{5}{a^{2}} + \frac{2}{a^{2}} = \frac{7}{a^{2}}$
$\Rightarrow BK =\frac{a\sqrt{7}}{7}$
$\Rightarrow d(AM;B'C) =\frac{a\sqrt{7}}{7}$
Câu 24: Vận dụng
Tính giá trị của hàm số

Biết đồ thị hàm số $y = f(x)$ đối xứng với đồ thị hàm số $y = \log_{a}x;\ (0 < a eq 1)$ qua điểm $I(2;2)$ . Giá trị của $f\left( 4 - a^{2018} ight)$ là:
- A.
  $- 2020$
- B.
  $2014$
- C.
  $- 2014$
- D.
  $2020$
Gọi $M\left( x;\log_{a}x ight)$ là điểm thuộc đồ thị hàm số $y =\log_{a}x$ thì điểm đối xứng với $M$ qua $I$ là $M'\left( 4 - x;4 - \log_{a}x ight)$ thuộc đồ thị hàm số $y = f(x)$

=> $f(4 - x) = 4 \log_{a}x$

$\Rightarrow f\left( 4 - a^{2018} ight)= 4 - \log_{a}^{2018} = - 2014$
Câu 25: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Tính đạo hàm cấp 5 của hàm số $y = \frac{x^{2} + x + 1}{x + 1}$ là:
- A.
  $- \frac{120}{(x + 1)^{6}}$
- B.
  $\frac{120}{(x + 1)^{6}}$
- C.
  $\frac{60}{(x + 1)^{6}}$
- D.
  $- \frac{60}{(x + 1)^{6}}$
Ta có:

$y = \frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} = x + \frac{1}{x + 1}$

$\Rightarrow y' = 1 - \frac{1}{(x + 1)^{2}}$

$\Rightarrow y'' = \frac{2}{(x + 1)^{3}} \Rightarrow y^{(3)} = \frac{- 6}{(x + 1)^{4}}$

$\Rightarrow y^{(4)} = \frac{24}{(x + 1)^{5}} \Rightarrow y^{(5)} = - \frac{120}{(x + 1)^{6}}$
Câu 26: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy, I là trung điểm của AC, H là hình chiếu của I trên SC. Kí hiệu d(a, b) là khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b. Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  d(BI, SC) = IH
- B.
  d(AB, SC) = BH
- C.
  d(SB, AC) = AB
- D.
  d(SA, BC) = AB
Hình vẽ minh họa:

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} SA\bot BC \\ AB\bot SA \\ AB\bot BC \\ \end{matrix} ight.$ => d(SA, BC) = AB
Câu 27: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho đồ thị hàm số $(C):y = x^{4} - 3x^{3} + 2x^{2} - 1$ . Hỏi có bao nhiêu tiếp tuyến của $(C)$ có hệ số góc $k = 7$ ?
- A.
  $3$
- B.
  $1$
- C.
  $2$
- D.
  $4$
Ta có:

$y' = 4x^{3} - 9x^{2} + 4x$

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình $4x^{3} - 9x^{2} + 4x = 7$

Phương trình có 1 nghiệm nên có 1 tiếp tuyến có hệ số góc bằng 7
Câu 28: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng?
- A.
  Nếu hình hộp có hai mặt là hình vuông thì nó là hình lập phương
- B.
  Nếu hình hộp có ba mặt chung một đỉnh là hình vuông thì nó là hình lập phương
- C.
  Nếu hình hộp có bốn đường chéo bằng nhau thì nó là hình lập phương
- D.
  Nếu hình hộp có sáu mặt bằng nhau thì nó là hình lập phương
Mệnh đề đúng: "Nếu hình hộp có ba mặt chung một đỉnh là hình vuông thì nó là hình lập phương"
Câu 29: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng

Cho hình lăng trụ đứng tam giác $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ vuông tại $a$ . Giả sử $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $AC'$ và mặt phẳng $(BCC'B')$ . Biết rằng $AB = a\sqrt{3};AC = AA' = a$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $\sin\alpha = \frac{\sqrt{10}}{4}$
- B.
  $\sin\alpha = \frac{\sqrt{6}}{3}$
- C.
  $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $\sin\alpha = \frac{\sqrt{6}}{4}$
Hình vẽ minh họa

Hạ $AH\bot BC$ ta có: $AH\bot(BCC'B')$

$\Rightarrow \left( AC';(BCC'B') ight) = \widehat{AC'H}$

Trong tam giác $ABC$ có:

$\frac{1}{AH^{2}} = \frac{1}{AB^{2}} + \frac{1}{AC^{2}} = \frac{4}{3a^{2}}$

$\Rightarrow AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow \sin\widehat{AC'H} = \frac{AH}{AC'} = \frac{a\sqrt{3}}{2a\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

$\Rightarrow \sin\alpha = \frac{\sqrt{6}}{4}$
Câu 30: Thông hiểu
Xác định số nghiệm nguyên của phương trình

Phương trình $3\log_{3}(x - 1) - \log_{\frac{1}{3}}(x - 5)^{3} =3$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?
- A.
  $2$
- B.
  $1$
- C.
  $2$
- D.
  $0$
Điều kiện $x > 5$

Ta có:

$3\log_{3}(x - 1) - \log_{\frac{1}{3}}(x -5)^{3} = 3$

$\Leftrightarrow 3\log_{3}(x - 1) +3\log_{3}(x - 5) = 3$

$\Leftrightarrow \log_{3}(x - 1) +\log_{3}(x - 5) = 1$

$\Leftrightarrow \log_{3}\left\lbrack (x -1).(x - 5) ightbrack = 1$

$\Leftrightarrow (x - 1).(x - 5) = 3^{1}$

$\Leftrightarrow x^{2} - 6x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 3 + \sqrt{7} \\ x = 3 - \sqrt{7} \\ \end{matrix} ight.\ (ktm)$ (vì nghiệm cần xét là nghiệm nguyên)

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên.
Câu 31: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Tính giá trị $K = xy + z$ biết $\log_{15}30 = \dfrac{1 +x\log2}{y\log3 + z\log5};\left( x,y,z\in\mathbb{ Z} ight)$ ?
- A.
  $2$
- B.
  $4$
- C.
  $3$
- D.
  $1$
Ta có:

$\log_{15}30 = \dfrac{1 + x\log2}{y\log3 +z\log5}$

Mặt khác

$\log_{15}30 =\frac{\log30}{\log15}$

$= \frac{\log10 + \log3}{\log3 + \log5} =\frac{1 + \log3}{\log3 + \log5}$

$\Rightarrow x = 1;y = 1;z = 1 \Rightarrow K = 2$
Câu 32: Nhận biết
Tính giá trị biểu thức

Cho biết $\log_{2}a= x;\log_{2}b = y$ , biểu thức $\log_{2}\left( 4a^{2}b^{3} ight)$ có giá trị là:
- A.
  $x^{3}y^{2}$
- B.
  $2x + 3y + 2$
- C.
  $x^{2} + y^{3} + 4$
- D.
  $6xy$
Ta có:

$\log_{2}\left( 4a^{2}b^{3} ight) =\log_{2}4 + \log_{2}a^{2} + \log_{2}b^{3}$

$= 2 + 2\log_{2}a + 3\log_{2}b = 2x + 3y +2$
Câu 33: Thông hiểu
Tính khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD;AB = SA = a$ . Tính khoảng cách từ đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(SCD)$ bằng:
- A.
  $\frac{a\sqrt{6}}{2}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{6}}{3}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{6}}{6}$
- D.
  $a$
Hình vẽ minh họa

Gọi O là tâm của đáy $\Rightarrow SO\bot(ABCD)$

Lấy M, N lần lượt là trung điểm AB, CD.

Kẻ $OH\bot SN$

Có $\left\{ \begin{matrix} ON\bot CD \\ CD\bot SO \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow CD\bot(SON)$

$\Rightarrow CD\bot OH \Rightarrow OH\bot(SCD)$

Ta có: $AB//CD \subset (SCD) \Rightarrow AB//(SCD)$

Khi đó $d\left( AB;(SCD) ight) = d\left( M;(SCD) ight) = 2d\left( O;(SCD) ight) = 2OH$

Trong tam giác SON vuông tại O, $OH\bot SN$ có:

$\frac{1}{OH^{2}} = \frac{1}{SO^{2}} + \frac{1}{ON^{2}} \Rightarrow OH = \frac{a\sqrt{6}}{6}$

$\Rightarrow d\left( AB;(SCD) ight) = \frac{a\sqrt{6}}{3}$
Câu 34: Nhận biết
Chọn kết luận đúng

Tìm hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ trong các hàm số dưới đây?
- A.
  $y = \left( \frac{\pi}{2} ight)^{x}$
- B.
  $y = \left( 3 - \sqrt{5} ight)^{x}$
- C.
  $y = \left( \sqrt{3} - 1 ight)^{x}$
- D.
  $y = \left( \frac{e}{5} ight)^{x}$
Xét hàm số $y = \left( \frac{\pi}{2} ight)^{x}$ có $\frac{\pi}{2} > 1$ nên hàm số $y = \left( \frac{\pi}{2} ight)^{x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?
Câu 35: Nhận biết
Tìm kết luận đúng

Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có đáy $ABC$ vuông tại $B$ , $SA\bot(ABC)$ . Khi đó:
- A.
  $CB\bot(SAB)$
- B.
  $SA\bot(SBC)$
- C.
  $AC\bot(ABS)$
- D.
  $CB\bot(ASC)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} CB\bot SA \\ CB\bot AB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow CB\bot(SAB)$
Câu 36: Vận dụng
Tính số cách sắp xếp

Sắp xếp 6 học sinh nam; 5 học sinh nữ cùng một giáo viên chủ nhiệm thành một vòng tròn sao cho giáo viên đứng giữa hai học sinh nam. Tính số cách sắp xếp?
- A.
  $11!$
- B.
  $C_{6}^{2}.2!.10!$
- C.
  $C_{6}^{2}.10!$
- D.
  $C_{6}^{2}.2!.9!$
Ta có:

Cố định giáo viên tại một vị trí

Chọn 2 học sinh nam để xếp cạnh giáo viên => Có $C_{6}^{2}$ cách.

Xếp hai học sinh nam vừa chọn cạnh giáo viên => Có $2!$ cách.

Cuối cùng xếp 9 học sinh còn lại vào các vị trí còn trống => Có $9!$ cách.

Vậy số cách sắp xếp theo yêu cầu bài toán là: $C_{6}^{2}.2!.9!$ .
Câu 37: Thông hiểu
Chọn mô tả biến cố đúng

Một người học bắn cung tên bắn liên tục 4 mũi tên vào mục tiêu. Gọi $M_{k}$ là biến cố cung thủ bắn trúng lần thứ $k,k \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ . Hãy mô tả biến cố lần thứ tư mới bắn trúng mục tiêu qua các biến cố $M_{1};M_{2};M_{3};M_{4}$ .
- A.
  $M = \overline{M_{1}} \cap \overline{M_{2}} \cap M_{3} \cap M_{4}$
- B.
  $M = M_{1} \cap \overline{M_{2}} \cap \overline{M_{3}} \cap M_{4}$
- C.
  $M = \overline{M_{1}} \cap M_{2} \cap \overline{M_{3}} \cap M_{4}$
- D.
  $M = \overline{M_{1}} \cap \overline{M_{2}} \cap \overline{M_{3}} \cap M_{4}$
Gọi M là biến cố lần thứ tư mới bắn trúng mục tiêu

Khi đó $\overline{M_{k}}$ là biến cố lần thứ $k$ bắn không trúng mục tiêu.

Khi đó ta có: $M = \overline{M_{1}} \cap \overline{M_{2}} \cap \overline{M_{3}} \cap M_{4}$
Câu 38: Nhận biết
Xác định góc giữa hai đường thẳng

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh bằng nhau. Hãy tính số đo góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $C'A'$ ?
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: Tam giác $ABC$ là tam giác đều suy ra $\widehat{BAC} = 60^{0}$

Lại có $AC//A'C'$

$\Rightarrow (AB;A'C') = (AB;CA) = \widehat{BAC} = 60^{0}$ .
Câu 39: Nhận biết
Tính đạo hàm cấp hai của hàm số

Tại điểm $x_{0} = 1$ , giá trị đạo hàm cấp hai của hàm số $y = x^{3} + 2x$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $f''(1) = 6$
- B.
  $f''(1) = 8$
- C.
  $f''(1) = 3$
- D.
  $f''(1) = 2$
Ta có: $y = x^{3} + 2x$

$\Rightarrow y'(x) = 3x^{2} + 2$

$\Rightarrow y''(x) = 6x \Rightarrow y''(1) = 6.1 = 6$
Câu 40: Nhận biết
Tính đạo hàm hàm số

Xác định công thức đạo hàm của hàm số $y = \log_{\sqrt{3}}x$ trên khoảng $(0; + \infty)$ ?
- A.
  $y' =\frac{\sqrt{3}}{x\ln3}$
- B.
  $y' =\frac{1}{2x\ln3}$
- C.
  $y' = \frac{1}{x\ln\sqrt{3}}$
- D.
  $y' = \frac{\sqrt{3}}{x}$
Áp dụng công thức $\left( \log_{a}xight)' = \frac{1}{x\ln a}$

Ta có: $y = \log_{\sqrt{3}}x$

$\Rightarrow y' = \frac{1}{x\ln\sqrt{3}}$

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 2 Toán 11 Cánh Diều Đề 3 Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Xem đáp án Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

17 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề thi học kì 2 Toán 11 Cánh Diều Đề 3

Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 Cánh diều
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song
Chương 5: Một số yếu tố thống kê và xác suất
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Đạo hàm
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian. Phép chiếu vuông góc

Lớp 11
Khóa học Lớp 11
Toán 11 - Cánh Diều

Toán 11 - Cánh Diều

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 Cánh Diều tháng 4 - Đề 2
Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 4
Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 6
Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 7
Đề thi học kì 2 Toán 11 Cánh Diều Đề 5
Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 5

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề thi học kì 2 Toán 11 Cánh Diều Đề 3

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 11 - Cánh Diều

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 Cánh Diều tháng 4 - Đề 2

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 4

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 6

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 7

Đề thi học kì 2 Toán 11 Cánh Diều Đề 5

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 5