Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 3 Cánh Diều

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 Cánh Diều Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục nha!
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
  • Câu 1: Nhận biết

    Tìm khoảng liên tục

    Hàm số f(x) =\dfrac{x^{2} + x\cos x + \sin x}{2sinx + 3} liên tục trên:

    Ta có: 2sinx + 3 eq 0,\forall x\mathbb{\in R}

    => Tập xác định D\mathbb{= R}

    Vậy hàm số liên tục trên \mathbb{R}

  • Câu 2: Thông hiểu

    Tính giá trị biểu thức T

    Biết  \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{3x + 1} - 1}{x} = \frac{a}{b}, trong đó a,b là hai số nguyên dương và phân số \frac{a}{b} tối giản. Tính giá trị của biểu thức T = a^{2} + b^{2}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{3x + 1} - 1}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left( \sqrt{3x + 1} - 1 ight)\left( \sqrt{3x + 1} + 1 ight)}{x\left( \sqrt{3x + 1} + 1 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{3x + 1 - 1}{x\left( \sqrt{3x + 1} + 1 ight)} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{3x}{x\left( \sqrt{3x + 1} + 1 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{3x + 1} + 1} = \frac{3}{2}

    \Rightarrow a = 3;b = 2

    \Rightarrow T = 3^{2} + 2^{2} = 13

  • Câu 3: Thông hiểu

    Giới hạn dãy số bằng với số nào sau đây

    \lim\sqrt{4-\frac{\cos2n}{n}} bằng số nào sau đây?

    Ta có: 0 \leqslant \left| {\frac{{\cos 2n}}{n}} ight| \leqslant \frac{1}{n} \to 0

    \Rightarrow \lim \sqrt {4 - \frac{{\cos 2n}}{n}} = 2

  • Câu 4: Nhận biết

    Tính giới hạn

    Tính giới hạn \lim\frac{n^{2} - 4n^{3}}{2n^{3} + 5n - 2}

    Ta có:

    \lim\dfrac{n^{2} - 4n^{3}}{2n^{3} + 5n -2} = \lim\dfrac{\dfrac{1}{n} - 4}{2 + \dfrac{5}{n^{2}} - \dfrac{2}{n^{3}}} =\dfrac{0 - 4}{2 + 0 - 0} = - 2

  • Câu 5: Thông hiểu

    Tính giới hạn của dãy số

    Giới hạn \lim_{}\frac{2^{n} - 3^{n}}{2^{n} + 1} bằng

    Ta có:

    \lim\dfrac{2^{n} - 3^{n}}{2^{n} + 1} =\lim\dfrac{1 - \left( \dfrac{3}{2} ight)^{n}}{1 + \left( \dfrac{1}{2}ight)^{n}}

    = \dfrac{\lim\left( 1 - \left(\dfrac{3}{2} ight)^{n} ight)}{\lim\left( 1 + \left( \dfrac{1}{2}ight)^{n} ight)} = \lim\left( 1 - \left( \dfrac{3}{2} ight)^{n}ight) = - \infty

  • Câu 6: Nhận biết

    Hàm số liên tục tại một điểm

    Hàm số y = \frac{- 5}{x\left( x^{2} - 4 ight)} liên tục tại điểm nào dưới đây?

    Hàm số y = \frac{- 5}{x\left( x^{2} - 4 ight)} có tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 2;0;2 ight\}

    Theo lí thuyết ta có hàm phân thức luôn liên tục trên tập xác định D.

    Khi đó x = 1 \in D suy ra hàm số đã cho liên tục tại điểm x = 1.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Nhận xét tính đúng sai của các phát biểu

    Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 2}{2 - x} = 5 . Đúng||Sai

    b) Phương trình x^{3} - 3x^{2} + 3 = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt. Đúng||Sai

    c) Nếu \lim_{x ightarrow 0}f(x) = 5 thì \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack 3x - 4f(x) ightbrack bằng - 15. Sai||Đúng

    d) Hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{1 + 2x} - 1}{x}\ \ \ khi\ x\ > \ 0 \\1 + 3x\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \leq 0 \\\end{matrix} ight. gián đoạn tại x = 0. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 2}{2 - x} = 5 . Đúng||Sai

    b) Phương trình x^{3} - 3x^{2} + 3 = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt. Đúng||Sai

    c) Nếu \lim_{x ightarrow 0}f(x) = 5 thì \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack 3x - 4f(x) ightbrack bằng - 15. Sai||Đúng

    d) Hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{1 + 2x} - 1}{x}\ \ \ khi\ x\ > \ 0 \\1 + 3x\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \leq 0 \\\end{matrix} ight. gián đoạn tại x = 0. Sai||Đúng

    Ta có: \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 2}{2 - x} = \frac{3.1 + 2}{3 - 1} = 5

    Xét phương trình x^{2} - 3x^{2} + 3 = 0. Đặt x^{2} - 3x^{2} + 3 = f(x) là hàm số liên tục trên \mathbb{R} suy ra hàm số cũng liên tục trên \lbrack - 1;3brack.

    Ta có: f( - 1) = - 1;f(1) = 1;f(2) = - 1;f(3) = 3

    Khi đó: \left\{ \begin{matrix} f( - 1).f(1) < 0 \\ f(1).f(2) < 0 \\ f(2).f(3) < 0 \\ \end{matrix} ight. nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm

    f(x) = 0 là phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm

    Vậy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm.

    Ta có:

    Nếu \lim_{x ightarrow 0}f(x) = 5 suy ra

    \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack 3x - 4f(x) ightbrack

    = \lim_{x ightarrow 0}(3x) - 4\lim_{x ightarrow 0}f(x) = 3.0 - 4.5 = - 20

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{\sqrt{1 + 2x} - 1}{x} = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{\left( \sqrt{1 + 2x} - 1 ight)\left( \sqrt{1 + 2x} + 1 ight)}{x\left( \sqrt{1 + 2x} + 1 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{2}{\sqrt{1 + 2x} + 1} = 1

    \lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}(1 + 3x) = 1

    Vậy hàm số đã cho liên tục tại x = 0.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Tìm giá trị thực của tham số a

    Tìm giá trị thực của tham số a để hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 1}{x - 1}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x eq 1 \\a\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight. liên tục tại x_{0} = 1.

    Ta có:

    f(1) = a

    \lim_{x ightarrow 1}f(x) = \lim_{xightarrow 1}\frac{x^{2} - 1}{x - 1}= \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x -1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}(x + 1) = 1

    Hàm số f(x) liên tục tại x = 1

    = > a = 2

  • Câu 9: Nhận biết

    Hãy chọn kết luận đúng

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{1 - {x^3}}}{{1 - x}}{\text{ khi }}x < 1} \\ {{\text{1 khi }}x \geqslant 1} \end{array}} ight. . Hãy chọn kết luận đúng.

    Ta có: f(x) = \left\{ \begin{matrix} 1 + x + x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ \end{matrix} ight.

    Lại có:

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( 1 + x + x^{2} ight) = 3

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = 1 eq 3

    => Hàm số liên tục phải tại x = 1

  • Câu 10: Vận dụng cao

    Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số a

    Tìm tất cả các giá trị nguyên của a thuộc (0; 2018) để\lim\sqrt[4]{\dfrac{4^{n} + 2^{n + 1}}{3^{n} + 4^{n+ a}}} \leq \dfrac{1}{1024}

    Ta có:

    \lim\sqrt[4]{\dfrac{4^{n} + 2^{n +1}}{3^{n} + 4^{n + a}}} = \lim\sqrt[4]{\dfrac{1 + 2\left( \dfrac{1}{2}ight)^{n}}{\left( \dfrac{3}{4} ight)^{n} + 4^{n}}}

    \begin{matrix} = \sqrt {\dfrac{1}{{{4^a}}}} = \sqrt {\dfrac{1}{{{{\left( {{2^a}} ight)}^2}}}} = \dfrac{1}{{{2^a}}} \leqslant \dfrac{1}{{1024}} \hfill \\ \Leftrightarrow {2^a} \geqslant 1024 = {2^{10}} \hfill \\ \Leftrightarrow a \geqslant 10 \hfill \\ \end{matrix}

    Mà \left\{ \begin{matrix} a \in (0;2018) \\ a\mathbb{\in Z} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a \in \left\{ 10;11;...;2017 ight\}

    Vậy có tất cả 2008 giá trị nguyên của a thỏa mãn điều kiện đề bài.

  • Câu 11: Vận dụng

    Xác định số nghiệm của phương trình

    Cho hàm số f(x) = x^{3} - 3x - 1. Số nghiệm của phương trình f(x) = 0 trên tập số thực là:

    Hàm số f(x) = x^{3} - 3x - 1 là hàm đa thức có tập xác định \mathbb{R}

    => Hàm số liên tục trên \mathbb{R}

    => Hàm số liên tục trên các khoảng ( - 2; - 1),( - 1;0),(0;2)

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} f( - 2) = - 3 < 0 \\ f( - 1) = 1 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f( - 2).f( - 1) < 0 vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên ( - 2; - 1)

    \left\{ \begin{matrix} f( - 1) = 1 > 0 \\ f(0) = - 1 < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f( - 1).f(0) < 0 vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên ( - 1;0)

    \left\{ \begin{matrix} f(0) = - 1 < 0 \\ f(2) = 1 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(0).f(2) < 0 vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên (0;2)

    Vậy phương trình đã cho có ít nhất ba nghiệm thuộc khoảng ( - 2;2). Tuy nhiên phương trình f(x) = 0 là phương trình bậc ba có nhiều nhất ba nghiệm

    Vậy phương trình f(x) = 0 có đúng ba nghiệm.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{x^2}}}{x}{\text{ khi }}x < 1,x e 0} \\ \begin{gathered} {\text{0 khi }}x = 0 \hfill \\ \sqrt x {\text{ khi }}x \geqslant 1 \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} ight.. Hàm số f(x) liên tục tại:

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Dễ thấy hàm số y = f(x) liên tục trên mỗi khoảng ( - \infty;0),(0;1);(1; + \infty)

    Ta có:

    f(0) = 0

    \lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}\frac{x^{2}}{x} = \lim_{x ightarrow 0^{-}}(x) = 0

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{x^{2}}{x} = \lim_{x ightarrow 0^{+}}(x) = 0

    Vậy hàm số liên tục tại x = 0

    Tương tự ta có:

    f(1) = 1

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{x^{2}}{x} = \lim_{x ightarrow 1^{-}}(x) = 1

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\sqrt{x} = 1

    Vậy hàm số liên tục tại x = 1

    Vậy hàm số đã cho liên tục trên tập số thực.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Xác định kết luận đúng, kết luận sai

    Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) \lim_{x ightarrow \infty}\frac{2n + 5}{3n + 7} = \frac{5}{3} Sai||Đúng

    b) \lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} - 2ax + 3 + a^{2} ight) = 3 khi a = - 2 Đúng||Sai

    c) Hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 3}{x - \sqrt{3}}\ \ \ khi\ x\ eq \sqrt{3} \\2\sqrt{3}\ \ \ khi\ x\ = \ \sqrt{3} \\\end{matrix} ight. liên tục tại x = \sqrt{3} Đúng||Sai

    c) \lim\frac{\cos n}{n} = + \infty Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) \lim_{x ightarrow \infty}\frac{2n + 5}{3n + 7} = \frac{5}{3} Sai||Đúng

    b) \lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} - 2ax + 3 + a^{2} ight) = 3 khi a = - 2 Đúng||Sai

    c) Hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 3}{x - \sqrt{3}}\ \ \ khi\ x\ eq \sqrt{3} \\2\sqrt{3}\ \ \ khi\ x\ = \ \sqrt{3} \\\end{matrix} ight. liên tục tại x = \sqrt{3} Đúng||Sai

    c) \lim\frac{\cos n}{n} = + \infty Sai||Đúng

    Ta có: \lim_{x ightarrow\infty}\dfrac{2n + 5}{3n + 7} = \lim_{x ightarrow\infty}\dfrac{\dfrac{2n}{n} + \dfrac{5}{n}}{\dfrac{3n}{n} + \dfrac{7}{n}} =\dfrac{2}{3}

    Ta có: Khi a = - 2 thì \lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} + 4x + 3 + 4 ight) = \lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} + 4x + 7 ight) = 3

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} f\left( {\sqrt 3 } ight) = 2\sqrt 3 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left( {\frac{{{x^2} - 3}}{{x - \sqrt 3 }}} ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left( {x + \sqrt 3 } ight) = 2\sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy hàm số f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \frac{{{x^2} - 3}}{{x - \sqrt 3 }}{\text{ khi x }} e \sqrt 3 \hfill \\ 2\sqrt 3 {\text{ khi x = }}\sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} ight. liên túc tại x = \sqrt{3}

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} \left| {\frac{{\cos n}}{n}} ight| \leqslant \frac{1}{n} \hfill \\ \lim \frac{1}{n} = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \lim \frac{{\cos n}}{n} = 0

  • Câu 14: Nhận biết

    Tính giới hạn

    \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x(\sqrt {{x^2} + 1} - x) bằng

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} ight) \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} ight)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} ight)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} + x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} + x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{1}{{\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} + 1}} = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 15: Thông hiểu

    Xác định khoảng liên tục của hàm số

    Xác định khoảng liên tục của hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} \cos\frac{\pi x}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ |x| \leq 1 \\ x - 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ |x| > 1 \\ \end{matrix} ight.. Mệnh đề nào dưới đây sai?

    Hàm số liên tục trên các khoảng ( - \infty; - 1),(1; + \infty);( - 1;1)

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} ight)}^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} ight)}^ - }} \left( {x - 1} ight) = - 2 \hfill \\ f\left( { - 1} ight) = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    => Hàm số gián đoạn tại x = - 1

    Ta lại có: \left\{ \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} ight) = 0 \hfill \\ f\left( 1 ight) = 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \cos \dfrac{{\pi x}}{2} = 0 \hfill \\ \end{matrix} ight.

    => Hàm số liên tục tại x = 1

  • Câu 16: Vận dụng cao

    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho giới hạn I = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{2x + 1} - \sqrt[3]{x^{2} + 1}}{\sqrt[3]{8 - x} - \sqrt[3]{8 + x}}. Tính giá trị của 100I?

    Đáp án: -600||- 600

    Đáp án là:

    Cho giới hạn I = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{2x + 1} - \sqrt[3]{x^{2} + 1}}{\sqrt[3]{8 - x} - \sqrt[3]{8 + x}}. Tính giá trị của 100I?

    Đáp án: -600||- 600

    Ta có:

    I = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{2x + 1} - \sqrt[3]{x^{2} + 1}}{\sqrt[3]{8 - x} - \sqrt[3]{8 + x}}

    = \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{\sqrt{2x + 1} - \sqrt[3]{x^{2} + 1}}{x}.\frac{x}{\sqrt[3]{8 - x} - \sqrt[3]{8 + x}} ight)

    = \lim_{x ightarrow 0}\left\{ \left( \frac{\sqrt{2x + 1} - 1}{x} + \frac{1 - \sqrt[3]{x^{2} + 1}}{x} ight).\frac{x}{\sqrt[3]{8 - x} - \sqrt[3]{8 + x}} ight\}

    Ta có:

    +) \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{2x + 1} - 1}{x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{2x}{\left( \sqrt{2x + 1} + 1 ight).x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{2}{\left( \sqrt{2x + 1} + 1 ight)} = 1

    +) \lim_{x ightarrow 0}\frac{1 - \sqrt[3]{x^{2} + 1}}{x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{- x^{2}}{\left\lbrack 1 + \sqrt[3]{x^{2} + 1} + \sqrt[3]{\left( x^{2} + 1 ight)^{2}} ightbrack.x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{- x}{\left\lbrack 1 + \sqrt[3]{x^{2} + 1} + \sqrt[3]{\left( x^{2} + 1 ight)^{2}} ightbrack} = 0.

    +) \lim_{x ightarrow 0}\frac{x}{\sqrt[3]{8 - x} - \sqrt[3]{8 + x}}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{x\left\lbrack \left( \sqrt[3]{8 - x} ight)^{2} + \sqrt[3]{8 - x}.\sqrt[3]{8 + x} + \left( \sqrt[3]{8 + x} ight)^{2} ightbrack}{\left( \sqrt[3]{8 - x} ight)^{3} - \left( \sqrt[3]{8 + x} ight)^{3}}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{x\left\lbrack \left( \sqrt[3]{8 - x} ight)^{2} + \sqrt[3]{8 - x}.\sqrt[3]{8 + x} + \left( \sqrt[3]{8 + x} ight)^{2} ightbrack}{- 2x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left\lbrack \left( \sqrt[3]{8 - x} ight)^{2} + \sqrt[3]{8 - x}.\sqrt[3]{8 + x} + \left( \sqrt[3]{8 + x} ight)^{2} ightbrack}{- 2} = - 6.

    Vậy I = (1 + 0).( - 6) = - 6 \Rightarrow 100I = - 600.

  • Câu 17: Nhận biết

    Tính giới hạn của dãy số

    Giới hạn \lim\frac{2}{n - 3} bằng

    Ta có:

    \lim\frac{2}{n - 3} =\lim\dfrac{\dfrac{2}{n}}{1 - \dfrac{3}{n}} = \dfrac{0}{0 - 0} =0

  • Câu 18: Nhận biết

    Tìm khoảng liên tục của hàm số

    Hàm số f(x) = \frac{x + 1}{x^{2} - 5x + 4} liên tục trên khoảng nào sau đây?

    Ta có:

    Hàm số f(x) = \frac{x + 1}{x^{2} - 5x + 4} là hàm phân thứ hữu tỉ có tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1;4 ight\} nên hàm số f(x) liên tục trên các khoảng ( - \infty;1),(1;4),(4; + \infty).

    Do đó f(x) liên tục trên (2;3).

  • Câu 19: Vận dụng

    Tính giá trị của tham số m

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{x};x > 0} \\ {mx + m + \dfrac{1}{4};x \leqslant 0} \end{array}} ight. với m là tham số. Tính giá trị của tham số m để hàm số có giới hạn tại x = 0.

    Hàm số có giới hạn tại x = 0

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x)

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x} = \lim_{x ightarrow 0^{-}}\left( mx + m + \frac{1}{4} ight)

    \Leftrightarrow \frac{1}{4} = m + \frac{1}{4} \Leftrightarrow m = 0

  • Câu 20: Thông hiểu

    Xét tính đúng sai của mỗi kết luận

    Biết giới hạn \lim\frac{2n + 1}{- 3n + 2} = a. Khi đó:

    a) Giá trị a lớn hơn 0. Sai||Đúng

    b) Ba số - \frac{5}{3};a;\frac{1}{3} tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng 2. Sai||Đúng

    c) Trên khoảng ( - \pi;\pi) phương trình lượng giác \sin x = a có 3 nghiệm. Sai||Đúng

    d) Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) với công bội q = 3 và u_{1} = a, thì u_{3} = - 6. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Biết giới hạn \lim\frac{2n + 1}{- 3n + 2} = a. Khi đó:

    a) Giá trị a lớn hơn 0. Sai||Đúng

    b) Ba số - \frac{5}{3};a;\frac{1}{3} tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng 2. Sai||Đúng

    c) Trên khoảng ( - \pi;\pi) phương trình lượng giác \sin x = a có 3 nghiệm. Sai||Đúng

    d) Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) với công bội q = 3 và u_{1} = a, thì u_{3} = - 6. Đúng||Sai

    a) Ta có: \lim\frac{2n + 1}{- 3n + 2} = \lim\frac{n\left( 2 + \frac{1}{n} ight)}{n\left( - 3 + \frac{2}{n} ight)} = \lim\frac{2 + \frac{1}{n}}{- 3 + \frac{2}{n}} = \frac{- 2}{3}

    b) Ba số - \frac{5}{3}; - \frac{2}{3};\frac{1}{3} tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng 1

    c) Trên khoảng ( - \pi;\pi) phương trình lượng giác \sin x = a có 2 nghiệm

    d) Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) với công bội q = 3 và u_{1} = a, thì u_{3} = - 6

    Kết luận:

    a) Sai

    b) Sai

    c) Sai

    d) Đúng
  • Câu 21: Vận dụng

    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 2x - 3}{x + 1}\ \ \ \ khi\ \ x eq - 1 \\2a + 4\ \ \ \ khi\ \ x = - 1 \\\end{matrix} ight.

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của a \in (0;2025) để hàm số gián đoạn tại x = 1

    Đáp án: 2024

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 2x - 3}{x + 1}\ \ \ \ khi\ \ x eq - 1 \\2a + 4\ \ \ \ khi\ \ x = - 1 \\\end{matrix} ight.

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của a \in (0;2025) để hàm số gián đoạn tại x = 1

    Đáp án: 2024

    TXĐ: D\mathbb{= R}

    Ta có:

    f( - 1) = 2a + 4

    \lim_{x ightarrow - 1}f(x) = \lim_{x ightarrow - 1}\frac{x^{2} - 2x - 3}{x + 1}

    = \lim_{x ightarrow - 1}\frac{(x + 1)(x - 3)}{x + 1} = \lim_{x ightarrow - 1}(x - 3) = - 4

    Để hàm số gián đoạn tại x = - 1 thì \lim_{x ightarrow - 1}f(x) eq f(1)

    \Leftrightarrow 2a - 4 eq - 4 \Leftrightarrow a eq - 4

    Vậy có 2024 giá trị nguyên của a \in (0;2025) để hàm số gián đoạn tại x = 1

  • Câu 22: Nhận biết

    Tìm giới hạn?

    Giá trị của \lim\frac{\sqrt{n + 1}}{n + 2} bằng:

    Với mọi số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn n_{a} = \left\lbrack \frac{1}{a^{2}} - 1 ightbrack + 1

    Ta có:

    \frac{\sqrt{n + 1}}{n + 2} < \frac{1}{\sqrt{n + 1}} < a  với mọi n > n_{a}

    Suy ra \lim\frac{\sqrt{n + 1}}{n + 2} = 0

  • Câu 23: Thông hiểu

    Xác định kết luận đúng, kết luận sai

    Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) Biết rằng \lim_{x ightarrow 1}f(x) = 1;\lim_{x ightarrow 1}g(x) = - 2 khi đó \lim_{x ightarrow 1}\left\lbrack f(x) + g(x) ightbrack = - 1 Đúng||Sai

    b) Cho hàm số y = f(x) liên tục trên (a;b). Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên \lbrack a;bbrack là \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x ight) = f\left( a ight);\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ + }} f\left( x ight) = f\left( b ight). Sai||Đúng

    c) \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{3x^{4} - 2x}{5x + 1} = + \infty Sai||Đúng

    d) Cho hàm số f(x) xác định với mọi x eq 0 thỏa mãn f(x) + 2f\left( \frac{1}{x} ight) = 3x;(x eq 0). Khi đó \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } \frac{{f\left( x ight)}}{{x - \sqrt 2 }} = 0 Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) Biết rằng \lim_{x ightarrow 1}f(x) = 1;\lim_{x ightarrow 1}g(x) = - 2 khi đó \lim_{x ightarrow 1}\left\lbrack f(x) + g(x) ightbrack = - 1 Đúng||Sai

    b) Cho hàm số y = f(x) liên tục trên (a;b). Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên \lbrack a;bbrack là \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x ight) = f\left( a ight);\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ + }} f\left( x ight) = f\left( b ight). Sai||Đúng

    c) \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{3x^{4} - 2x}{5x + 1} = + \infty Sai||Đúng

    d) Cho hàm số f(x) xác định với mọi x eq 0 thỏa mãn f(x) + 2f\left( \frac{1}{x} ight) = 3x;(x eq 0). Khi đó \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } \frac{{f\left( x ight)}}{{x - \sqrt 2 }} = 0 Sai||Đúng

    a) Ta có: \lim_{x ightarrow 1}\left\lbrack f(x) + g(x) ightbrack = \lim_{x ightarrow 1}f(x) + \lim_{x ightarrow 1}g(x) = - 1

    b) Ta có:

    Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên \lbrack a;bbrack là \lim_{x ightarrow a^{+}}f(x) = f(a);\lim_{x ightarrow b^{-}}f(x) = f(b)

    c) \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{3x^{4} - 2x}{5x + 1} = \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{x^{4}\left( 3 - \dfrac{2}{x^{3}} ight)}{x\left( 5 +\dfrac{1}{x} ight)} = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( x^{3}.\dfrac{3- \dfrac{2}{x^{3}}}{5 + \dfrac{1}{x}} ight)

    \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3} = - \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{3 - \frac{2}{{{x^3}}}}}{{5 + \frac{1}{x}}}} ight) = \frac{3}{5} > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3{x^4} - 2x}}{{5x + 1}} = - \infty

    d) Ta có:

    f(x) + 2f\left( \frac{1}{x} ight) = 3x;(x eq 0)(*)

    \Rightarrow f\left( \frac{1}{x} ight) + 2f(x) = \frac{3}{x};(x eq 0)(**)

    Từ (*) và (**) ta có:

    \left\{ \begin{matrix}f(x) + 2f\left( \dfrac{1}{x} ight) = 3x \\f\left( \dfrac{1}{x} ight) + 2f(x) = \dfrac{3}{x} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}f(x) + 2f\left( \dfrac{1}{x} ight) = 3x \\2f\left( \dfrac{1}{x} ight) + 4f(x) = \dfrac{6}{x} \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow f(x) = - x + \frac{2}{x}

    Do đó: \lim_{x ightarrow\sqrt{2}}\dfrac{f(x)}{x - \sqrt{2}} = \lim_{x ightarrow \sqrt{2}}\left(\dfrac{- x + \dfrac{2}{x}}{x - \sqrt{2}} ight)

    = \lim_{x ightarrow \sqrt{2}}\frac{- \left( x - \sqrt{2} ight)\left( x + \sqrt{2} ight)}{x\left( x - \sqrt{2} ight)} = \lim_{x ightarrow \sqrt{2}}\frac{- \left( x - \sqrt{2} ight)}{x} = - 2

  • Câu 24: Nhận biết

    Tính giới hạn hàm số

    Tính \lim_{x ightarrow 3^{+}}\frac{- x^{2} + 5}{x - 3}.

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( { - {x^2} + 5} ight) = - 4 < 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {x - 3} ight) = 0 \hfill \\ x - 3 > 0,\forall x > 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Do đó \lim_{x ightarrow 3^{+}}\frac{- x^{2} + 5}{x - 3} = - \infty

  • Câu 25: Vận dụng

    Tính lim

    Giá trị của giới hạn \lim\left\lbrack \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + ... + \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)} ightbrack bằng:

    Với mọi giá trị k \in \mathbb{N}^{*} thì \frac{1}{(2k + 1)(2k - 1)} = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1} ight)

    Do đó:

    \lim\left\lbrack \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + ... + \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)} ightbrack

    = \lim\left\lbrack \frac{1}{2}\left( 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + .. + \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1} ight) ightbrack

    = \lim\left\lbrack \frac{1}{2}\left( 1 - \frac{1}{2n - 1} ight) ightbrack = \frac{1}{2}

  • Câu 26: Thông hiểu

    Tính giới hạn

    \lim\left( 2^{n} + 3^{n} ight) bằng:

    Ta có:

    \lim\left( 2^{n} + 3^{n} ight) = \lim\left\{ 3^{n}.\left\lbrack \left( \frac{2}{3} ight)^{n} + 1 ightbrack ight\} = + \infty

  • Câu 27: Thông hiểu

    Xét tính đúng sai của các khẳng định

    Đặt I = \lim\left( \sqrt{n^{2} + a^{2}n} - \sqrt{n^{2} + (a + 2)n + 1} \right). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Ta biến đổi được I = \lim\frac{n - 1}{\sqrt{n^{2} + n} + \sqrt{n^{2} + 1}}. Sai||Đúng

    b) Nếu I = 0 thì có 3 giá trị a thỏa mãn. Sai||Đúng

    c) Nếu I = 0 thì tổng các giá trị a tìm được bằng 1. Sai||Đúng

    d) Có 2 giá trị a nguyên để I = 1. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Đặt I = \lim\left( \sqrt{n^{2} + a^{2}n} - \sqrt{n^{2} + (a + 2)n + 1} \right). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Ta biến đổi được I = \lim\frac{n - 1}{\sqrt{n^{2} + n} + \sqrt{n^{2} + 1}}. Sai||Đúng

    b) Nếu I = 0 thì có 3 giá trị a thỏa mãn. Sai||Đúng

    c) Nếu I = 0 thì tổng các giá trị a tìm được bằng 1. Sai||Đúng

    d) Có 2 giá trị a nguyên để I = 1. Sai||Đúng

    a) Sai: Ta biến đổi được I = \lim\frac{n - 1}{\sqrt{n^{2} + n} + \sqrt{n^{2} + 1}}

    \sqrt{n^{2} + a^{2}n} - \sqrt{n^{2} + (a + 2)n + 1} \rightarrow = 0\overset{\rightarrow}{}nhân lượng liên hợp.

    Ta có \lim\left( \sqrt{n^{2} + a^{2}n} -\sqrt{n^{2} + (a + 2)n + 1} \right)= \lim\frac{\left( a^{2} - a - 2\right)n - 1}{\sqrt{n^{2} + n} + \sqrt{n^{2} + 1}}

    b) Sai: I = \lim\frac{a^{2} - a - 2 - \frac{1}{n}}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + \sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}}}} = \frac{a^{2} - a - 2}{2}

    Khi I = 0 \Leftrightarrow \frac{a^{2} - a- 2}{2} = 0 \Leftrightarrow a^{2} - a - 2 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}a = - 1 \\a = 2\end{matrix} \right.

    c) Sai: Nếu I = 0 thì tổng các giá trị a tìm được bằng 1. Khi đó - 1 + 2 = 1 \neq 0

    d) Sai: Có 2 giá trị a nguyên để I = 1

    Khi I = 1 \Leftrightarrow \frac{a^{2} - a- 2}{2} = 1\Leftrightarrow a^{2} - a - 4 = 0 \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}a = \frac{1 - \sqrt{17}}{2} \\a = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}\end{matrix} \right.

  • Câu 28: Thông hiểu

    Giá trị của m để hàm số đã cho liên tục

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3x - 5}&{{\text{ }}khi{\text{ }}x \leqslant - 2} \\ {mx + 3}&{{\text{ }}khi{\text{ }}x > - 2} \end{array}} ight.. Giá trị của m để hàm số đã cho liên tục tại x = -2 là:

    Ta có:

     \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ - }} \left( {3x - 5} ight) = -11 \hfill \\ f\left( { - 2} ight) = -11 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ + }} \left( {mx + 3} ight) = - 2m + 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Để hàm số liên tục tại x=-2 thì 

    \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ + }} f\left( x ight) = f\left( { - 2} ight)

    \Leftrightarrow - 2m + 3 = -11 \Rightarrow m = 7

  • Câu 29: Vận dụng

    Tính giá trị của biểu thức

    Cho các số thực a,b,c thỏa mãn c^{2} + a = 18 và \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \sqrt{ax^{2} + bx} - cx ight) = - 2. Tính giá trị biểu thức P = a + b + 5c.

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow + \infty}\left(\sqrt{ax^{2} + bx} - cx ight)= \lim_{x ightarrow +\infty}\frac{\left( a - c^{2} ight).x^{2} + bx}{\sqrt{ax^{2} + bx} +cx}= \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{\left( a - c^{2} ight).x +b}{\sqrt{a + \frac{b}{x}} + c} = - 2

    Khi và chỉ khi: \left\{ \begin{matrix}a - c^{2} = 0 \\\dfrac{b}{\sqrt{a} + c} = - 2 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = c^{2} \\b = - 2\sqrt{a} - 2c \\\end{matrix} ight.\ ight..

    Kết hợp với c^{2} + a = 18

    Khi đó 2c^{2} = 18 \Leftrightarrow c^{2} = 9 ightarrow a = 9 và c= 3 (vì c eq - \sqrt{a})

    Vậy b = - 2\sqrt{a} - 2c = - 2\sqrt{9} - 2.3 = - 12 nên a + b + 5c = 9 - 12 + 5.3 = 12.

  • Câu 30: Nhận biết

    Tính f(0)

    Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên ( - 4; + \infty) với f(x) = \frac{x}{\sqrt{x + 4} - 2} với x eq 0. Tính f(0).

    Ta có hàm số f(x) xác định và liên tục trên ( - 4; + \infty) nên suy ra

    f(0) = \lim_{x ightarrow 0}f(x)

    = \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{x}{\sqrt{x + 4} - 2} ight)

    = \lim_{x ightarrow 0}\left( \sqrt{x + 4} + 2 ight) = 4

  • Câu 31: Thông hiểu

    Xác định giới hạn hàm số f(x)

    Tính giới hạn của hàm số f(x) = \frac{2x + 3}{\sqrt[3]{2x^{2} - 3}} khi x \mapsto - \infty.

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{2x +3}{\sqrt[3]{2x^{2} - 3}} = \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{2 +\dfrac{3}{x}}{- \sqrt{2 - \dfrac{3}{x^{3}}}} = - \sqrt{2}

  • Câu 32: Thông hiểu

    Tính giới hạn của hàm số

    \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x(\sqrt {{x^2} + 5} - x)} ight] bằng:

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {{x^2} + 5} - x} ight) \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {{x^2} + 5 - {x^2}} ight)}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{5x}}{{x\left( {\sqrt {1 + \dfrac{5}{{{x^2}}}} + 1} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{5}{{\sqrt 1 + 1}} = \dfrac{5}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 33: Thông hiểu

    Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định

    Tìm được các giới hạn một bên sau:

    a) \lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{x}{x + 1} = \frac{2}{3} Đúng||Sai

    b) \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{2x - 1}{x - 1} = - \infty Sai||Đúng

    c) \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x^{2} - 3x}{x^{2} - 6x + 9} = + \infty Sai||Đúng

    d) \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack \left( x^{3} - 1 ight)\left( \sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} ight) ightbrack = + \infty Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Tìm được các giới hạn một bên sau:

    a) \lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{x}{x + 1} = \frac{2}{3} Đúng||Sai

    b) \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{2x - 1}{x - 1} = - \infty Sai||Đúng

    c) \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x^{2} - 3x}{x^{2} - 6x + 9} = + \infty Sai||Đúng

    d) \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack \left( x^{3} - 1 ight)\left( \sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} ight) ightbrack = + \infty Sai||Đúng

    a) Ta có:

    \lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{x}{x +1} = \frac{2}{2 + 1} = \frac{2}{3}.

    b) \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{2x - 1}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack (2x - 1) \cdot \frac{1}{x - 1} ightbrack = + \infty (do \lim_{x ightarrow 1^{+}}(2x - 1) = 1 và \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{1}{x - 1} = + \infty).

    c) Ta có:

    \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x^{2}- 3x}{x^{2} - 6x + 9} = \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x(x - 3)}{(x -3)^{2}}

    = \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x}{x - 3} = \lim_{x ightarrow 3^{-}}\left( x\frac{1}{x - 3} ight) = - \infty

    Do \lim_{x ightarrow 3^{-}}x = 3 và \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{1}{x - 3} = - \infty.

    d) Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack \left( x^{3} - 1 ight)\left( \sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} ight) ightbrack

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack (x - 1)\left( x^{2} + x + 1 ight)\sqrt{\frac{x}{(x - 1)(x + 1)}} ightbrack

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack \left( x^{2} + x + 1 ight)\sqrt{\frac{x(x - 1)^{2}}{(x - 1)(x + 1)}} ightbrack

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack \left( x^{2} + x + 1 ight)\sqrt{\frac{x(x - 1)}{x + 1}} ightbrack = 3 \cdot \sqrt{\frac{0}{2}} = 0

  • Câu 34: Nhận biết

    Tìm giới hạn hàm số

    Cho hàm số y = f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}. Tính \lim_{x ightarrow - \infty}f(x).

    Hàm số đã cho xác định trên ( - \infty;1) và (1; + \infty)

    Giả sử \left( x_{n} ight) là một dãy số bất kì, thỏa mãn x_{n} < 1;x_{n} ightarrow - \infty

    Ta có: \lim f\left( x_{n} ight) =\lim\dfrac{2x_{n} + 3}{x_{n} - 1} = \lim\dfrac{2 + \dfrac{3}{x_{n}}}{1 -\dfrac{1}{x_{n}}} = 2

    Vậy \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{2x + 3}{x - 1} = 2

  • Câu 35: Nhận biết

    Tính giới hạn của dãy số

    \lim \frac{{3{n^4} - 2n + 3}}{{4{n^4} + 2n + 1}} bằng:

    Ta có:

    \begin{matrix} \lim \dfrac{{3{n^4} - 2n + 3}}{{4{n^4} + 2n + 1}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{3 - \dfrac{2}{{{n^3}}} + \dfrac{3}{{{n^4}}}}}{{4 + \dfrac{2}{{{n^3}}} + \dfrac{1}{{{n^4}}}}} = \dfrac{3}{4} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 36: Vận dụng

    Chọn mệnh đề đúng

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) với u_{n} = \sqrt{2} + \left( \sqrt{2} ight)^{2} + ... + \left( \sqrt{2} ight)^{n}. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây?

    Ta có:

    \sqrt{2};\left( \sqrt{2} ight)^{2};...;\left( \sqrt{2} ight)^{n}lập thành một cấp số nhân có nên

    u_{n} = \sqrt{2}.\frac{1 - \left( \sqrt{2} ight)^{n}}{1 - \sqrt{2}}

    = \left( 2 - \sqrt{2} ight).\left\lbrack \left( \sqrt{2} ight)^{n} - 1 ightbrack

    \Rightarrow \lim u_{n} = + \infty vì \left\{ \begin{matrix} a = 2 - \sqrt{2} > 0 \\ q = \sqrt{2} > 1 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 37: Nhận biết

    Tính giới hạn?

    Giá trị của {D = \lim}\frac{4n + 1}{\sqrt{n^{2} + 3n + 2}} bằng:

    Ta có:

    \lim\frac{4n + 1}{\sqrt{n^{2} + 3n + 2}}= \lim \dfrac{4+\dfrac{1}{n}}{\sqrt{1+\dfrac{3}{n}+\dfrac{2}{n^2}}}=4

  • Câu 38: Thông hiểu

    Tìm m để hàm số liên tục tại một điểm

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}}}&{{\text{ }}khi{\text{ }}x e 2} \\ m&{{\text{ }}khi{\text{ }}x = 2} \end{array}} ight.. Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho liên tục tại x = 2?

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\left( {x - 2} ight)\left( {x - 1} ight)}}{{x - 2}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x - 1} ight) = 1 \hfill \\ \end{matrix}

    Để hàm số liên tục tại x=2 thì \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x ight) = f\left( 2 ight) = 1

  • Câu 39: Thông hiểu

    Tính giới hạn?

    Tính giới hạn của \lim\frac{1 + 3 + 5 + \ldots + (2n + 1)}{3n^{2} + 4}

    Ta có:

    \lim\frac{1 + 3 + 5 + \ldots + (2n +1)}{3n^{2} + 4}

    = \lim\dfrac{n^{2}}{3n^{2} + 4}

    = \lim\dfrac{1}{3 +\dfrac{4}{n^{2}}} = \frac{1}{3}

  • Câu 40: Nhận biết

    Tính giới hạn hàm số

    Tìm giới hạn \lim_{x ightarrow ( - 3)^{+}}\frac{3 + 2x}{x + 3}.

    Ta có \lim_{x ightarrow ( - 3)^{+}}(3 + 2x) = - 3, \lim_{x ightarrow ( - 3)^{+}}(x + 3) = 0 và x + 3 > 0 nên \lim_{x ightarrow ( - \ 3)^{+}}\frac{3 + 2x}{x + 3} = - \infty.

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 3 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Xem đáp án Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
36 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 3 Cánh Diều
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Tìm bài trong mục này