Hàm số liên tục Cánh Diều
1. Hàm số liên tục tại một điểm
Cho hàm số 
\(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a,b)\) và \(x_{0} \in (a;b)\) . Hàm số \(y = f(x)\) được gọi là liên tục tại \(x_{0}\) nếu \(\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) = f\left( x_{0}
\right)\).
Nhận xét: Hàm số \(y =
f(x)\) không liên tục tại \(x_{0}\) được gọi là gián đoạn tại \(x_{0}\).
Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{matrix}
x^{4} + x^{2} - 1\ \ \ khi\ x \leq - 1 \\
3x + 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x > - 1 \\
\end{matrix} \right.\) tại \(x_{0} =
- 1\).
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\left\{ \begin{gathered}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \left( {{x^4} + {x^2} - 1} \right) = 1 \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \left( {3x + 2} \right) = - 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
Vậy hàm số không liên tục tại \(x_{0} = -
1\).
2. Hàm số liên tục trên một khoảng hoặc một đoạn
- Hàm số \(y = f(x)\) được gọi là liên tục trên khoảng \((a;b)\) nếu hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
- Hàm số \(y = f(x)\) được gọi là liên tục trên đoạn \(\lbrack a;b\rbrack\) nếu hàm số đó liên tục trên khoảng \((a;b)\) và \(\left\{ \begin{gathered}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right) \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right) = f\left( b \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\).
Chú ý: Khái niệm hàm số liên tục trên các tập hợp có dạng \((a;b\rbrack,\lbrack a;b),(a; +\infty)\)\(,\lbrack a; + \infty);( - \infty;a)\)\(,( - \infty;a\rbrack,( -\infty; + \infty)\) được định nghĩa tương tự.
B. Một số định lí cơ bản
1. Tính liên tục của một số hàm sơ cấp cơ bản
- Các hàm đa thức và hai hàm số lượng giác \(y = \sin x,y = \cos x\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
- Các hàm phân thức hữu tỉ và hai hàm số lượng giác \(y = \tan x,y = \cot x\) liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
- Hàm căn thức \(y = \sqrt{x}\) liên tục trên nửa khoảng \(\lbrack 0; +
\infty)\).
Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 3}}{\text{ khi }}x \ne 3 \hfill \\
4{\text{ khi }}x = 3 \hfill \\
\end{gathered} \right.\) trên tập xác định của nó.
Hướng dẫn giải
Tập xác định \(D=\mathbb{ R}\)
Ta có:
Nếu \(x \neq 3\) thì \(f(x) = \frac{x^{2} - 2x - 3}{x - 3}\).
Vì \(f(x)\) là thương của hai đa thức, đồng thời mẫu số \(x - 3 \neq 0\) nên \(f(x)\) liên tục trên các khoảng \(( - \infty;3),(3; + \infty)\) (*)
Nếu \(x = 3\) ta có \(f(3) = 4\) và \(\lim_{x \rightarrow 3}f(x) = \lim_{x
\rightarrow 3}\frac{x^{2} - 2x - 3}{x - 3}\)\(= \lim_{x \rightarrow 3}\frac{(x + 1)(x
- 3)}{x - 3} = \lim_{x \rightarrow 3}(x + 1) = 4\)
Vì \(\lim_{x \rightarrow 3}f(x) = f(3) =
4\) nên hàm số liên tục tại điểm \(x_{0} = 3\) (**)
Từ (*) và (**) suy ra \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
2. Tính liên tục của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục
Giả sử \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) là hai hàm số liên tục tại điểm \(x_{0}\) . Khi đó:
a) Các hàm số \(y = f(x) + g(x)\) , \(y = f(x) - g(x)\) và \(y = f(x).g(x)\) liên tục tại điểm \(x_{0}\).
b) Hàm số \(y = \frac{f(x)}{g(x)}\) liên tục tại điểm \(x_{0}\) nếu \(g\left( x_{0} \right) \neq 0\).
Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
\dfrac{{\sqrt[3]{{3x + 2}} - 2}}{{x - 2}}{\text{ khi }}x \ne 2 \hfill \\
\dfrac{3}{4}{\text{ khi }}x = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\) tại \(x_{0} =
2\).
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\lim_{x \rightarrow 2}\frac{\sqrt[3]{3x
+ 2} - 2}{x - 2}\)
\(= \lim_{x \rightarrow 2}\frac{\left(
\sqrt[3]{3x + 2} - 2 \right)\left( \sqrt[3]{(3x + 2)^{2}} + 2\sqrt[3]{3x
+ 2} + 2x^{2} \right)}{(x - 2)\left( \sqrt[3]{(3x + 2)^{2}} +
2\sqrt[3]{3x + 2} + 2x^{2} \right)}\)
\(= \lim_{x \rightarrow 2}\frac{3x - 6}{(x
- 2)\left( \sqrt[3]{(3x + 2)^{2}} + 2\sqrt[3]{3x + 2} + 2x^{2}
\right)}\)
\(= \lim_{x \rightarrow
2}\frac{3}{\sqrt[3]{(3x + 2)^{2}} + 2\sqrt[3]{3x + 2} +
2x^{2}}\)
\(= \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \neq
\frac{3}{4} = f(2)\)
Vậy hàm số không liên tục tại \(x_{0} =
2\).
Chú ý: Nếu hàm số \(y =
f(x)\) liên tục trên đoạn \(\lbrack
a;b\rbrack\) và \(f(a).f(b) <
0\) thì tồn tại ít nhất một điểm \(c
\in (a;b)\) sao cho \(f(c) =
0\).
Ví dụ: Chứng minh phương trình \(4x^{4} + 2x^{2} - x - 3 = 0\) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng \(( -
1;1)\).
Hướng dẫn giải
Đặt \(f(x) = 4x^{4} + 2x^{2} - x -
3\)
Hàm số \(f(x) = 4x^{4} + 2x^{2} - x -
3\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên liên tục trên \(\lbrack -
1;0\rbrack,\lbrack 0;1\rbrack\).
Ta có:
\(f( - 1) = 4,f(0) = - 3,f(1) =
2\)
Vì \(f( - 1).f(0) < 0\) nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \(( - 1;0)\).
Vì \(f(0).f(1) < 0\) nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \((0;1)\).
Mà \(( - 1;0)\) và \((0;1)\) là hai khoảng phân biệt.
Vậy phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng \(( - 1;1)\).
