Giới hạn của hàm số Cánh Diều
1. Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số
Cho 
\(K\) chứa điểm \(x_{0}\) và hàm số \(f(x)\) xác định trên \(K\) hoặc trên \(K\backslash\left\{ x_{0} \right\}\) . Hàm số \(f(x)\) có giới hạn là số \(L\) khi \(x
\rightarrow x_{0}\) nếu với dãy số \(\left( x_{n} \right)\) bất kì, \(x_{n} \in K\backslash\left\{ x_{0}
\right\}\) và \(x_{n} \rightarrow
x_{0}\) thì \(f\left( x_{n} \right)
\rightarrow L\) .
Kí hiệu \(\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) =
L\) hay \(f(x) \rightarrow L\) khi \(x \rightarrow x_{0}\) .
Chú ý:
- \(\lim_{x \rightarrow x_{0}}x =
x_{0};\lim_{x \rightarrow x_{0}}c = c;(c = const)\)
- Hàm số \(f(x)\) có thể không xác định tại \(x = x_{0}\) nhưng vẫn tồn tại giới hạn của hàm số khi \(x \rightarrow
x_{0}\) .
2. Phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số
Cho \(\lim_{x \rightarrow
x_{0}}f(x) = L\) , \(\lim_{x \rightarrow
x_{0}}g(x) = M\) . Ta có:
| \(\lim_{x \rightarrow x_{0}}\left\lbrack
f(x) + g(x) \right\rbrack = L + M\) |
\(\lim_{x \rightarrow x_{0}}\left\lbrack
f(x).g(x) \right\rbrack = L.M\) |
| \(\lim_{x \rightarrow x_{0}}\left\lbrack
f(x) - g(x) \right\rbrack = L - M\) |
\(\lim_{x \rightarrow
x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M},(M \neq 0)\) |
Định lí 2: Nếu \(\left\{ \begin{gathered}
f\left( x \right) \geqslant 0;\forall x \in \left( {a,b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\} \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L \hfill \\
\end{gathered} \right.\) thì \(\left\{
\begin{matrix}
L \geq 0 \\
\lim\sqrt{f(x)} = \sqrt{L} \\
\end{matrix} \right.\) .
Định lí 3: Nếu \(\lim_{x
\rightarrow x_{0}}f(x) = L\) thì \(\lim_{x \rightarrow x_{0}}\left| f(x) \right| =
|L|\) .
Ví dụ: Tính giới hạn:
| a) \(\lim_{x \rightarrow - 5}\frac{x^{2} +
2x - 15}{x + 5}\) |
b) \(\lim_{x \rightarrow 1}\sqrt{\frac{5x
- 1}{2x + 7}}\) |
| c) \(\lim_{x \rightarrow 1}\frac{x^{3} -
1}{x(x + 5) - 6}\) |
d) \(\lim_{x \rightarrow
1}\frac{\sqrt{2x^{2} + x - 1}}{|x + 1|}\) |
Hướng dẫn giải
a) \(\lim_{x \rightarrow - 5}\frac{x^{2} +
2x - 15}{x + 5} = \lim_{x \rightarrow - 5}\frac{(x + 5)(x - 3)}{x +
5}\)
\(= \lim_{x \rightarrow - 5}(x - 3) = -
8\)
b) \(\lim_{x \rightarrow 1}\sqrt{\frac{5x -
1}{2x + 7}} = \frac{2}{3}\)
c) \(\lim_{x \rightarrow 1}\frac{x^{3} -
1}{x(x + 5) - 6}\)
\(= \lim_{x \rightarrow 1}\frac{(x -
1)\left( x^{2} + x + 1 \right)}{(x - 1)(x + 6)}\)
\(= \lim_{x \rightarrow 1}\frac{x^{2} + x
+ 1}{x + 6} = \frac{3}{7}\)
d) \(\lim_{x \rightarrow
1}\frac{\sqrt{2x^{2} + x - 1}}{|x + 1|} = \frac{\sqrt{2.1^{2} + 1 -
1}}{|1 + 1|} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
3. Giới hạn một phía
Giới hạn trái: Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(\left( a,x_{0} \right)\) .
Số L gọi là giới hạn bên trái của hàm số \(y = f(x)\) khi \(x \rightarrow x_{0}\) nếu với mọi dãy \(\left( x_{n} \right):a < x_{0} <
x_{n}\) mà \(x_{n} \rightarrow
x_{0}\) thì ta có: \(f\left( x_{n}
\right) \rightarrow L\) .
Kí hiệu: \(\lim_{x \rightarrow
{x_{0}}^{-}}f(x) = L\) .
Giới hạn phải: Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(\left( x_{0},b \right)\) .
Số L gọi là giới hạn bên phải của hàm số \(y = f(x)\) khi x dần \(x \rightarrow x_{0}\) nếu với mọi dãy \(\left( x_{n} \right):x_{0} < x_{n} <
b\) mà \(x_{n} \rightarrow
x_{0}\) thì ta có: \(f\left( x_{n}
\right) \rightarrow L\) .
Kí hiệu: \(\lim_{x \rightarrow
{x_{0}}^{+}}f(x) = L\) .
Chú ý:
\(\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) =
L\) khi và chỉ khi \(\lim_{x
\rightarrow {x_{0}}^{+}}f(x) = L\) và \(\lim_{x \rightarrow {x_{0}}^{-}}f(x) =
L\) .
Ví dụ: Tính giới hạn:
| a) \(\lim_{x \rightarrow
2^{+}}\frac{\sqrt{x^{2} + 4x + 4}}{x + 2}\) |
b) \(\lim_{x \rightarrow 3^{-}}\frac{|3 -
x|}{3 - x}\) |
Hướng dẫn giải
a) \(\lim_{x \rightarrow
2^{+}}\frac{\sqrt{x^{2} + 4x + 4}}{x + 2} = \lim_{x \rightarrow
2^{+}}\frac{|x + 2|}{x + 2}\)
\(= \lim_{x \rightarrow 2^{+}}\frac{x +
2}{x + 2} = 1\)
b) \(\lim_{x \rightarrow 3^{-}}\frac{|3 -
x|}{3 - x} = \lim_{x \rightarrow 3^{-}}\frac{3 - x}{3 - x} =
1\)
B. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
Hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \((a, + \infty)\) có giới hạn L khi \(x_{n} \rightarrow + \infty\) nếu với mọi dãy số \(\left( x_{n} \right):x_{n} >
a\) và \(x_{n} \rightarrow +
\infty\) thì \(f\left( x_{n} \right)
\rightarrow L\) .
Kí hiệu \(\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x)
= L\)
Hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(( - \infty,b)\) có giới hạn L khi \(x_{n} \rightarrow - \infty\) nếu với mọi dãy số \(\left( x_{n} \right):x_{n} <
b\) và \(x_{n} \rightarrow -
\infty\) thì \(f\left( x_{n} \right)
\rightarrow L\) .
Kí hiệu \(\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x)
= L\)
Chú ý:
Với c là hằng số ta có: \(\lim_{x
\rightarrow + \infty}c = c;\lim_{x \rightarrow - \infty}c =
c\)
Với k là một số nguyên dương ta có: \(\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{1}{x^{k}} =
0;\lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{1}{x^{k}} = 0\)
Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.
Ví dụ: Tính các giới hạn sau:
| a) \(\lim_{x \rightarrow +
\infty}\frac{x^{2} + x + 1}{2x^{3} + 2x + 5}\) |
b) \(\lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{x
- \sqrt{2x^{2} + 1}}{2x + 3\sqrt{x^{2} + 1}}\) |
Hướng dẫn giải
a) \(\lim_{x \rightarrow +
\infty}\frac{x^{2} + x + 1}{2x^{3} + 2x + 5}\)
\(= \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{x^{2}\left( 1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^{2}}\right)}{x^{3}\left( 2 + x^{2} + \dfrac{5}{x^{3}} \right)}\)
\(= \lim_{x \rightarrow + \infty}\dfrac{1 +\frac{1}{x} + \dfrac{1}{x^{2}}}{x\left( 2 + x^{2} + \dfrac{5}{x^{3}}\right)} = 0\)
b) \(\lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{x -
\sqrt{2x^{2} + 1}}{2x + 3\sqrt{x^{2} + 1}}\)
\(= \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{x -|x|\sqrt{2 + \dfrac{1}{x^{2}}}}{2x + 3|x|\sqrt{1 +\dfrac{1}{x^{2}}}}\)
\(= \frac{1 + \sqrt{2}}{- 1} = - 1 -
\sqrt{2}\)
C. Giới hạn vô cực (một phía) của hàm số tại một điểm
Giới hạn trái: Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(\left( a,x_{0} \right)\) .
Hàm số \(y = f(x)\) có giới hạn dần tới dương vô cực khi \(x \rightarrow x_{0}\) về bên trái với mọi dãy \(\left( x_{n} \right):a <
x_{0} < x_{n}\) mà \(x_{n}
\rightarrow x_{0}\) thì ta có: \(f\left( x_{n} \right) \rightarrow +
\infty\) .
Kí hiệu: \(\lim_{x \rightarrow
{x_{0}}^{-}}f(x) = + \infty\) .
Giới hạn phải: Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(\left( x_{0},b \right)\) .
Hàm số \(y = f(x)\) có giới hạn dần tới dương vô cực khi \(x \rightarrow x_{0}\) về bên phải với mọi dãy \(\left( x_{n} \right):x_{0} <
x_{n} < b\) mà \(x_{n} \rightarrow
x_{0}\) thì ta có: \(f\left( x_{n}
\right) \rightarrow + \infty\) .
Kí hiệu: \(\lim_{x \rightarrow
{x_{0}}^{+}}f(x) = + \infty\) .
Các giới hạn một bên \(\lim_{x \rightarrow
{x_{0}}^{+}}f(x) = - \infty;\lim_{x \rightarrow {x_{0}}^{-}}f(x) = -
\infty\) cũng được định nghĩa tương tự.
Ví dụ: Xác định giới hạn của hàm số \(\lim_{x \rightarrow a^{-}}\frac{1}{x -
a}\) .
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\left\{ \begin{gathered}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} 1 = 1 > 0 \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} \left( {1 - a} \right) = 0 \hfill \\
x - a < 0{\text{ khi }}x \to {a^ - } \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
Vậy \(\lim_{x \rightarrow a^{-}}\frac{1}{x
- a} = - \infty\)
D. Giới hạn vô cực của hàm số tại vô cực.
- Hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \((a, + \infty)\) có giới hạn L khi \(x_{n} \rightarrow + \infty\) nếu với mọi dãy số \(\left( x_{n} \right):x_{n} >
a\) và \(x_{n} \rightarrow +
\infty\) thì \(f\left( x_{n} \right)
\rightarrow L\) .
Kí hiệu \(\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x)
= L\)
- Hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(( - \infty,b)\) có giới hạn L khi \(x_{n} \rightarrow - \infty\) nếu với mọi dãy số \(\left( x_{n} \right):x_{n} <
b\) và \(x_{n} \rightarrow -
\infty\) thì \(f\left( x_{n} \right)
\rightarrow L\) .
Kí hiệu \(\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x)
= L\)
Chú ý:
- Với k là một số nguyên dương ta có: \(\lim_{x \rightarrow + \infty}x^{k} = +
\infty\)
- Với k là một số nguyên dương chẵn ta có: \(\lim_{x \rightarrow - \infty}x^{k} = +
\infty\)
- Với k là một số nguyên dương lẻ ta có: \(\lim_{x \rightarrow - \infty}x^{k} = -
\infty\)
Ví dụ: Tính giới hạn các hàm số sau:
| a) \(\lim_{x \rightarrow -
\infty}\frac{3x^{2} + 4x - 5}{x + 3}\) |
b) \(\lim_{x \rightarrow - \infty}\left( 2
- 3x + 5x^{2} \right)\) |
| c) \(\lim_{x \rightarrow + \infty}\left(
7x^{4} - 4x + 2 \right)\) |
Hướng dẫn giải
a) \(\lim_{x \rightarrow -
\infty}\frac{3x^{2} + 4x - 5}{x + 3}\)
\(\lim_{x \rightarrow - \infty}\dfrac{3 +\dfrac{4}{x} - \dfrac{5}{x^{2}}}{\dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{x^{2}}} = -\infty\)
b) \(\lim_{x \rightarrow - \infty}\left( 2
- 3x + 5x^{2} \right)\)
\(= \lim_{x \rightarrow -
\infty}\left\lbrack x^{2}\left( \frac{2}{x^{2}} - \frac{3}{x} + 5
\right) \right\rbrack = + \infty\)
c) \(\lim_{x \rightarrow + \infty}\left(
7x^{4} - 4x + 2 \right)\)
\(= \lim_{x \rightarrow +
\infty}\left\lbrack x^{4}\left( 7 - \frac{4}{x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}
\right) \right\rbrack = + \infty\)
