Cấp số cộng Cánh Diều
Cấp số cộng là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi 
\(d\), tức là:
\(u_{n} = u_{n - 1} + d;(n \geq
2)\)
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
Chú ý:
- Nếu \(\left( u_{n} \right)\) là cấp số cộng với công sai \(d\) thì với số tự nhiên \(n
\geq 2\) ta có: \(u_{n} - u_{n - 1} =
d\) .
- Khi \(d = 0\) thì cấp số cộng là một dãy số không đổi.
Ví dụ: Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó:
a) Dãy số \(\left( u_{n} \right)\) với \(u_{n} = 19n - 5\)
b) Dãy số \(\left( u_{n} \right)\) với \(u_{n} = - 3n + 1\)
c) Dãy số \(\left( u_{n} \right)\) với \(u_{n} = n^{2} + n + 1\)
d) Dãy số \(\left( u_{n} \right)\) với \(u_{n} = ( - 1)^{n} + 10n\)
Hướng dẫn giải
a) Dãy số \(\left( u_{n} \right)\) với \(u_{n} = 19n - 5\)
Ta có \(u_{n + 1} - u_{n} = 19(n + 1) - 5 -
(19n - 5) = 19\) .
Vậy \(\left( u_{n} \right)\) là một cấp số cộng với công sai \(d = 19\) và số hạng đầu \(u_{1} = 19.1 - 5 =
14\) .
b) Dãy số \(\left( u_{n} \right)\) với \(u_{n} = - 3n + 1\)
Ta có \(u_{n + 1} - u_{n} = - 3(n + 1) + 1
- ( - 3n + 1) = - 3\) .
Vậy \(\left( u_{n} \right)\) là một cấp số cộng với công sai \(d = - 3\) và số hạng đầu \(u_{1} = - 3.1 + 1 = -
2\) .
c) Dãy số \(\left( u_{n} \right)\) với \(u_{n} = n^{2} + n + 1\)
Ta có
\(u_{n + 1} - u_{n}\)
\(= (n + 1)^{2} + (n + 1) + 1 - \left(
n^{2} + n + 1 \right)\)
\(= 2n + 2\) , phụ thuộc vào \(n\)
Vậy \(\left( u_{n} \right)\) không là cấp số cộng.
d) Dãy số \(\left( u_{n} \right)\) với \(u_{n} = ( - 1)^{n} + 10n\)
Ta có
\(u_{n + 1} - u_{n}\)
\(= ( - 1)^{n + 1} + 10(n + 1) -
\left\lbrack ( - 1)^{n} + 10n \right\rbrack\)
\(= - ( - 1)^{n} + 10 - ( - 1)^{n} = 10 -
2( - 1)^{n}\) , phụ thuộc vào \(n\) .
Vậy \(\left( u_{n} \right)\) không là cấp số cộng.
2. Số hạng tổng quát
Nếu cấp số cộng \(\left( u_{n}
\right)\) có số hạng đầu \(u_{1}\) và công sai \(d\) thì số hạng tổng quát \(u_{n}\) được xác định bởi công thức:
\(u_{n} = u_{1} + (n - 1)d;(n \geq
2)\)
Chú ý: Với \(n \geq
2\) ta có: \(u_{n} = u_{1} + (n - 1)d
\Rightarrow n = \frac{u_{n} - u_{1}}{d} + 1\)
Tính chất
Ba số hạng \(u_{n - 1},u_{n},u_{n +
1}\) là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi \(u_{n} = \frac{u_{n - 1} + u_{n + 1}}{2}\) với \(n \geq 1\) .
Ví dụ: Tìm 3 số hạng liên tiếp của 1 cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 27 và tổng các bình phương của chúng là 293.
Hướng dẫn giải
Gọi 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng: \(u_{1};u_{2};u_{3}\) . Theo đề bài ta có:
\(\left\{ \begin{matrix}
u_{1} + u_{2} + u_{3} = 27\ (1) \\
u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2} = 293\ \ (2) \\
\end{matrix} \right.\)
\(\ \text{(1)~} \Leftrightarrow u_{1} +
u_{1} + d + u_{1} + 2d = 27\)
\(\Leftrightarrow 3u_{1} + 3d = 27
\Leftrightarrow d = 9 - u_{1}\)
\(\text{(2)~} \Leftrightarrow u_{1}^{2} +
\left( u_{1} + d \right)^{2} + \left( u_{1} + 2d \right)^{2} =
293\)
\(\Leftrightarrow u_{1}^{2} + \left( u_{1}
+ 9 - u_{1} \right)^{2} + \left( u_{1} + 18 - 2u_{1} \right)^{2} =
293\)
\(\Leftrightarrow u_{1}^{2} + 81 + \left(
18 - u_{1} \right)^{2} = 293\)
\(\Leftrightarrow 2u_{1}^{2} - 36u_{1} -
112 = 0 \Leftrightarrow u_{1} = 14 \vee u_{1} = 4\)
Với \(\ u_{1} = 14 \Rightarrow d = - 5
\Rightarrow u_{2} = 9;u_{3} = 4.\)
Với \(\ u_{1} = 4 \Rightarrow d = 5
\Rightarrow u_{2} = 9;u_{3} = 14.\)
Ta có thể gọi 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng là \(u_{1} = u - d,u_{2} = u,u_{3} = u + d\) với công sai d.
3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
Cho cấp số cộng \(\left( u_{n}
\right)\) có số hạng đầu \(u_{1}\) và công sai \(d\) . Đặt \(S_{n}
= u_{1} + u_{2} + .... + u_{n}\) . Khi đó:
\(S_{n} = \frac{\left( u_{1} + u_{n}
\right).n}{2}\)
Nhận xét:
Ta có: \(u_{n} =
u_{1} + (n - 1).d\) \(\Rightarrow S_{n} = \frac{\left\lbrack
2u_{1} + (n - 1)d \right\rbrack.n}{2}\)
Ví dụ: Cho cấp số cộng \(\left( u_{n} \right)\) biết \(u_{5} = 18\) và \(4S_{n} = S_{2n}\) . Tìm số hạng đầu \(u_{1}\) và công sai \(d\) của cấp số cộng?
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(u_{5} = 18 \Rightarrow u_{1} + 4d =
18(*)\)
Lại có:
\(4S_{n} = S_{2n}\)
\(\Leftrightarrow 4\left\lbrack n.u_{1} +
\frac{n(n - 1)d}{2} \right\rbrack = \left\lbrack 2n.u_{1} + \frac{2n(2n
- 1)d}{2} \right\rbrack\)
\(\Leftrightarrow 4u_{1} + 2nd - 2d =
2u_{1} + 2nd - d\)
\(\Leftrightarrow 2u_{1} - d =
0(**)\)
Từ (*) và (**) suy ra \(\left\{
\begin{matrix}
u_{1} = 2 \\
d = 4 \\
\end{matrix} \right.\)
