Các quy tắc tính đạo hàm Cánh Diều
1. Đạo hàm của hàm số 
\(\mathbf{y
=}\mathbf{x}^{\mathbf{n}}\mathbf{;}\left( \mathbf{n}\mathbb{\in
N}\mathbf{,}\mathbf{n >}\mathbf{1} \right)\)
- Hàm số \(y = x^{n},\left( n \in
\mathbb{N}^{*} \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và \(\left( x^{n} \right)' = n.x^{n -
1}\).
- \((x)' = 1;\left( x^{2} \right)' =
2x\)
- Đạo hàm của hằng số bằng 0.
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=x^3\) tại điểm \((-1;-1)\).
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(y' = 3{x^2} \Rightarrow y'\left( { - 1} \right) = 3\)
Phương trình tiếp tuyến là: \(y = 3\left( {x + 1} \right) - 1 = 3x + 2\).
2. Đạo hàm của hàm số \(\mathbf{y =}\sqrt{\mathbf{x}}\)
Hàm số \(y = \sqrt{x}\) có đạo hàm tại mọi \(x\in\mathbb{ R},x > 0\) và \(\left( \sqrt{x} \right)' =
\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(\begin{matrix}
\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha .{x^{\alpha - 1}};\left( {\alpha \in \mathbb{R};x > 0} \right) \hfill \\
\left( C \right)' = 0,\left( {C = const} \right) \hfill \\
\left( {\dfrac{1}{x}} \right)' = - \dfrac{1}{{{x^2}}},\left( {x \ne 0} \right) \hfill \\
\end{matrix}\)
3. Đạo hàm của hàm số lượng giác
Công thức đạo hàm hàm lượng giác
| \(\left( \sin x \right)' = \cos
x\) |
\(\left( \cos x \right)' = - \sin
x\) |
| \(\left( \tan x \right)' =\frac{1}{\cos^{2}x}\) với \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) |
\(\left( \cot x \right)' = -\frac{1}{\sin^{2}x}\) với \(x \ne k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) |
Ví dụ: Chứng minh rằng hàm số \(y = \tan x\) thỏa mãn hệ thức \(y' - y^{2} - 1 = 0\).
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\left( \tan x \right)' =\frac{1}{\cos^{2}x}\) với \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Khi đó:
\(y' - y^{2} - 1 = \frac{1}{\cos^{2}x}- \tan^{2}x - 1\)
\(= \frac{1}{\cos^{2}x} -\frac{1}{\cos^{2}x} = 0(dpcm)\)
4. Đạo hàm của hàm số mũ
Công thức đạo hàm hàm số mũ:
- \(\left( e^{x} \right)' =
e^{x}\)
- \(\left( a^{x} \right)' = a^{x}\ln
a\) với \(0 < a \neq 1\)
5. Đạo hàm của hàm số lôgarit
Công thức đạo hàm hàm số lôgarit:
- \(\left( \ln x \right)' =
\frac{1}{x}\) với \(x \in (0; +
\infty)\)
- \(\left( \log_{a}x \right)' =\frac{1}{x\ln a}\) với \(x \in (0; +
\infty),0 < a \neq 1\)
B. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và đạo hàm của hàm hợp
1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
Giả sử các hàm số \(f = f(x),g =
g(x)\) có đạo hàm tại mọi điểm \(x\) thuộc khoảng xác định. Khi đó:
| \((f + g)' = f' +
g'\) |
\((f - g)' = f' -
g'\) |
| \((f.g)' = f'.g +
f.g'\) |
\(\left( \frac{f}{g} \right)' =
\frac{f'g - f.g'}{g^{2}};\left( g = g(x) \neq 0
\right)\) |
Chú ý: Cho hàm số \(f =
f(x)\) là hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định:
- Với \(C\) là hằng số thì \((C.f)' = C.f'\)
- Với \(\left( \frac{1}{f} \right)' = -
\frac{f'}{f^{2}};\left( f = f(x) \neq 0 \right)\)
Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số:
| a) \(y = \frac{2}{x}\) |
b) \(y = \frac{x + 2}{2x -
1}\) |
| c) \(y = \frac{\sqrt{x}}{x +
1}\) |
d) \(y = \frac{1 + x - x^{2}}{1 - x +
x^{2}}\) |
Hướng dẫn giải
a) \(y = \frac{2}{x} \Rightarrow y' =
\frac{- 2}{x^{2}}\)
b) \(y = \frac{x + 2}{2x - 1}\)
\(\Rightarrow y' = \frac{(x +
2)'(2x - 1) - (2x - 1)'(x + 2)}{(2x - 1)^{2}}\)
\(= \frac{2x - 1 - 2(x + 2)}{(2x - 1)^{2}}
= \frac{5}{(2x - 1)^{2}}\)
c) \(y = \frac{\sqrt{x}}{x +
1}\)
\(\Rightarrow y' = \frac{\left(
\sqrt{x} \right)'(x + 1) - (x + 1)'.\sqrt{x}}{(x +
1)^{2}}\)
\(= \dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.(x + 1) -\sqrt{x}}{(x + 1)^{2}} = \frac{1 - x}{2\sqrt{x}(x + 1)^{2}}\)
d) \(y = \frac{1 + x - x^{2}}{1 - x +
x^{2}} = \frac{2}{1 - x + x^{2}} - 1\)
\(\Rightarrow y' = - \frac{2( - 1 +
2x)}{\left( 1 - x + x^{2} \right)^{2}} = \frac{2(1 - 2x)}{\left( 1 - x +
x^{2} \right)^{2}}\)
Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số:
| a) \(y = 5\sin x - 3\cos x\) |
b) \(y = \tan x + \cot x\) |
c) \(y = x.e^{x}\) |
Hướng dẫn giải
a) \(y = 5\sin x - 3\cos x\)
\(\Rightarrow y' = 5\cos x +3\sin x\)
b) \(y = \tan x + \cot x\)
\(\Rightarrow y' = \frac{1}{\cos^{2}x}+ \frac{1}{\sin^{2}x} = \frac{\sin^{2}x +\cos^{2}x}{\sin^{2}x.\cos^{2}x}\)
\(= \dfrac{1}{\dfrac{1}{4}\sin^{2}2x} =\frac{4}{\sin^{2}2x}\)
c) \(y = x.e^{x} \Rightarrow y' =
x'\left( e^{x} \right) + x.\left( e^{x} \right)' = e^{x} +
x.e^{x}\)
2. Đạo hàm của hàm hợp
Hàm số \(f = f\left( g(x) \right)\) được gọi là hàm hợp của hai hàm số \(f =
f(u),u = g(x)\).
Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số:
| a) \(y = \sin\left( x^{2} - 3x + 2
\right)\) |
b) \(y = 2^{x^{2} + 2}\) |
| c) \(y = e^{x^{2} - 2}.\cos x\) |
d) \(y = \ln\left( x^{2} + \sqrt{x^{2} +
1} \right)\) |
Hướng dẫn giải
a) \(y = \sin\left( x^{2} - 3x + 2
\right)\)
\(\Rightarrow y' = \left( x^{2} - 3x +2 \right)'.\cos\left( x^{2} - 3x + 2 \right)\)
\(= (2x - 3).\cos\left( x^{2} - 3x + 2\right)\)
b) \(y = 2^{x^{2} + 2}\)
\(\Rightarrow y' = \left( x^{2} + 2\right)'.2^{x^{2} + 2}.\ln2\)
\(= 2x.2^{x^{2} + 2}.\ln2 = x.2^{x^{2} +3}.\ln2\)
c) \(y = e^{x^{2} - 2}.\cos x\)
\(\Rightarrow y' = \left( e^{x^{2} -2} \right)'.\cos x + e^{x^{2} - 2}.\left( \cos x\right)'\)
\(= 2x.e^{x^{2} - 2}.\cos x - e^{x^{2} -2}.\sin x\)
\(= e^{x^{2} - 2}.\left( 2x.\cos x - \sin x\right)\)
d) \(y = \ln\left( x^{2} + \sqrt{x^{2} + 1}
\right)\)
\(\Rightarrow y' = \frac{\left( x^{2}
+ \sqrt{x^{2} + 1} \right)'}{x^{2} + \sqrt{x^{2} + 1}}\)
\(= \dfrac{2x + \dfrac{\left( x^{2} + 2\right)'}{2\sqrt{x^{2} + 1}}}{x^{2} + \sqrt{x^{2} + 1}} = \dfrac{2x +\dfrac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}}{x^{2} + \sqrt{x^{2} + 1}}\)
\(= \frac{x\left( 2\sqrt{x^{2} + 1} + 1
\right)}{\left( x^{2} + \sqrt{x^{2} + 1} \right)\sqrt{x^{2} +
1}}\)
