Tìm m để phương trình có 2 nghiệm

Chuyên đề Toán 9: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt cung cấp cho các em lý thuyết chính kèm một số dạng bài tập tìm tham số m thỏa mãn điều kiện của phương trình bậc hai một ẩn có đáp án đi kèm cho các em tham khảo và vận dụng giải bài tập liên quan hiệu quả. 

A. Cách tìm m để phương trình có hai nghiệm

Các hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm thường được vận dụng giải toán là:

• ${x_1}^2+{x_2}^2={(x_1+x_2)}^2-2x_1.x_2$
• ${x_1}^3+{x_2}^3={(x_1+x_2)}^3-3x_1.x_2(x_1+x_2)$
• ${x_1}^4+{x_2}^4={({x_1}^2+{x_2}^2)}^2-2{x_1}^2.{x_2}^2={[{(x_1+x_2)}^2-2x_1{x}_2]}^2-2{x_1}^2.{x_2}^2$
• $|x_1-x_2|=\sqrt{{(x_1-x_2)}^2}=\sqrt{{(x_1+x_2)}^2-4x_1.x_2}$
• $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{{x_1}^2+{x_2}^2}{x_1.x_2}=\frac{{(x_1+x_2)}^2-2x_1{x}_2}{x_1.x_2}$ với $x_1;x_2\ne 0$
• $\frac{1}{{x_1}^2}+\frac{1}{{x_2}^2}=\frac{{x_1}^2+{x_2}^2}{{\left(x_1{x}_2\right)}^2}=\frac{{(x_1+x_2)}^2-2x_1{x}_2}{{\left(x_1{x}_2\right)}^2}$ với $x_1;x_2\ne 0$
• ${(x_1-x_2)}^2={(x_1+x_2)}^2-4x_1{x}_2$

B. Bài tập tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 x2

Hướng dẫn giải

a. Giải phương trình với $m=\frac{5}{3}$

Với $m=\frac{5}{3}$ ta có phương trình : $x^2-\frac{7}{3}x+\frac{2}{3}=0\iff 3x^2-7x+2=0$

$\mathrm{\Delta }=(-7{)}^2-4.3.2=49-24=25>0\Rightarrow \sqrt{\mathrm{\Delta }}=5$ phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{7-5}{6}=\frac{1}{3};x_2=\frac{7+5}{6}=2$

Vậy với $m=\frac{5}{3}$ phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là $\frac{1}{3};2$

b. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có $\{\begin{array}{c}a=1\\ b=2m-1\\ c=m-1\end{array}$

Ta có: $\mathrm{\Delta }=(2m-1{)}^2-4.1.(m-1)$ $=4m^2-8m+4+1=(2m-2{)}^2+1$

Vì $(2m-2{)}^2\ge 0\mathrm{\forall }m$ $\Rightarrow \mathrm{\Delta }=(2m-2{)}^2+1\ge 1;\mathrm{\forall }m$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị tham số m.

c. Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi $ac<0\iff 1(m-1)<0\iff m<1$

Vậy với $m<1$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu.

d. Tìm m để phương trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau

Vì $(2m-2{)}^2+1\ge 1;\mathrm{\forall }m$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2$với mọi $m$

Theo định lí Viet ta có: $x_1.x_2=\frac{c}{a}=m-1$

Phương trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau khi

$x_1.x_2=1\iff m-1=1\iff m=2$

Vậy với $m=2$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau.

e. Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x₁ + 5x₂ = -1

Vì $(2m-2{)}^2+1\ge 1;\mathrm{\forall }m$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂­ với mọi m

Theo định lí Viet và đề bài ta có: $\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=2m-1(1)\\ x_1.x_2=m-1(2)\\ 2x_1+5x_2=-1(3)\end{array}$

Nhân hai vế của (1) với 5 sau đó trừ các vế tương ứng cho (3) ta được:

$5x_1+5x_2-2x_1-5x_2=10m-5+1$

$\iff 3x_1=10m-4\iff x_1=\frac{10m-4}{3}(4)$

Thay (4) vào (1) ta có:

$\frac{10m-4}{3}+x_2=2m-1\Rightarrow x_2=\frac{1-4m}{3}(5)$

Thay (4) và (5) vào (2) ta được phương trình:

$\frac{10m-4}{3}.\frac{1-4m}{3}=m-1$

$\iff (10m-4).(1-4m)=9(m-1)$

$\iff 10m-40m^2-4+16m=9m-9$

$\iff 40m^2-17m-5=0$

$\mathrm{\Delta }={17}^2-4.40.(-5)=1089>0\Rightarrow \sqrt{\mathrm{\Delta }}=33$

$\Rightarrow [\begin{array}{c}{m}_1={\displaystyle \frac{17-33}{80}}={\displaystyle \frac{1}{5}}\\ m_2={\displaystyle \frac{17+33}{80}}={\displaystyle \frac{5}{8}}\end{array}$

Vậy với $m=\frac{1}{5}$ hoặc $m=\frac{5}{8}$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện đề bài.

f. Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn ${x_1}^2+{x_2}^2=1$

Vì $(2m-2{)}^2+1\ge 1;\mathrm{\forall }m$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂­ với mọi m

Theo định lí Viet ta có : $\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=2m-1(1)\\ x_1.x_2=m-1(2)\end{array}$

Theo đề bài:

${x_1}^2+{x_2}^2=1\iff {x_1}^2+{x_2}^2+2x_1{x}_2-2x_1{x}_2=1$

$\iff {(x_1+x_2)}^2-2x_1{x}_2=1(3)$

Thay (1) và (2) vào (3) ta có (2m – 1)² – 2(m – 1) = 1

$\iff 4m^2-6m+2=0\iff 2m^2-3m+1=0$

Phương trình có dạng a + b + c = 0 nên có hai nghiệm là $m_1=1;m_2=\frac{1}{2}$

Vậy với $m_1=1$ hoặc $m_2=\frac{1}{2}$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện đề bài.

g. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x₁ và x₂ của phương trình

Vì $(2m-2{)}^2+1\ge 1;\mathrm{\forall }m$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂­ với mọi m.

Theo định lí Viet ta có:

$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=2m-1\\ x_1.x_2=m-1\end{array}\iff \{\begin{array}{c}m={\displaystyle \frac{x_1+x_2+1}{2}}\\ m=x_1.x_2+1\end{array}$

$\iff \frac{x_1+x_2+1}{2}=x_1.x_2+1\iff x_1+x_2-2x_1.x_2=1$

Vậy hệ thức cần tìm là $x_1+x_2-2x_1.x_2=1$

h. Tìm GTNN của $|x_1-x_2|$

Vì $(2m-2{)}^2+1\ge 1;\mathrm{\forall }m$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂­ với mọi m

Theo định lí Viet ta có : $\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=2m-1(1)\\ x_1.x_2=m-1(2)\end{array}$

Đặt $A=|x_1-x_2|\ge 0$

$\Rightarrow A^2={|x_1-x_2|}^2={(x_1-x_2)}^2$

$={x_1}^2+{x_2}^2-2x_1{x}_2={(x_1+x_2)}^2-4x_1{x}_2$

Thay (1) và (2) vào ta có

$\Rightarrow A^2=(2m-1{)}^2-4(m-1)=4m^2-4m+1-4m+4=(2m-2{)}^2+1\ge 1$ với mọi m (3)

Mà $A\ge 1;\mathrm{\forall }m$

Dấu bằng xảy ra khi (2m - 2)² = 0 suy ra m = 1

Vậy GTNN của $A=|x_1-x_2|$ là 1 xảy ra khi m = 1

i. Tìm GTLN của ${x_1}^2(1-{x_2}^2)+{x_2}^2(1-4{x_1}^2)$

Vì $(2m-2{)}^2+1\ge 1;\mathrm{\forall }m$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂­ với mọi m

Theo định lí Viet ta có : $\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=2m-1(1)\\ x_1.x_2=m-1(2)\end{array}$

Ta có $A={x_1}^2(1-{x_2}^2)+{x_2}^2(1-4{x_1}^2)={x_1}^2+{x_2}^2-5{x_1}^2{x_2}^2$

$={(x_1+x_2)}^2-2x_1{x}_2-5{x_1}^2{x_2}^2$ (3)

Thay (1) và (2) vào (3) ta được:

$A=(2m-1{)}^2-5(m-1{)}^2-2(m-1)=2-(m-2{)}^2$

Vì $(m-2{)}^2\ge 0;\mathrm{\forall }m\Rightarrow A=2-(m-2{)}^2\le 2;\mathrm{\forall }m$

Dấu bằng xảy ra khi (m – 2)² = 0 hay m = 2

Vậy GTLN của ${x_1}^2(1-{x_2}^2)+{x_2}^2(1-4{x_1}^2)$ là 2 khi m = 2

k. Khi phương trình có hai nghiệm x₁ và x₂ chứng minh biểu thức $B=\frac{x_1-1}{x_1.{x_2}^2}+\frac{x_2-1}{{x_1}^2.x_2}$ không phụ thuộc vào m

Vì $(2m-2{)}^2+1\ge 1;\mathrm{\forall }m$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂­ với mọi m.

Theo định lí Viet ta có: $\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=2m-1(1)\\ x_1.x_2=m-1(2)\end{array}$

Ta có:

$B=\frac{x_1-1}{x_1.{x_2}^2}+\frac{x_2-1}{{x_1}^2.x_2}=\frac{(x_1-1)x_1+(x_2-1)x_2}{{x_1}^2.{x_2}^2}$

$=\frac{{(x_1+x_2)}^2-(x_1+x_2)-2x_1{x}_2}{{x_1}^2.{x_2}^2}$

$=\frac{{(x_1+x_2)}^2-(x_1+x_2)-2x_1{x}_2}{{x_1}^2.{x_2}^2}$

$=\frac{(2m-1{)}^2-(2m-1)-2(m-1)}{(m-1{)}^2}$

$=\frac{4(m-1{)}^2}{(m-1{)}^2}=4$

Vậy biểu thức B không phụ thuộc vào giá trị của m.

Hướng dẫn giải

a. Giải phương trình với m = -5

Thay m = -5 vào phương trình ta có:

$\begin{array}{c}-4x^2+6x=0\iff -2x(2x-3)=0\\ \iff [\begin{array}{c}-2x=0\\ 2x-3=0\end{array}\iff [\begin{array}{c}x=0\\ x=\frac{3}{2}\end{array}\end{array}$

Vậy với m = -5, phương trình có hai nghiệm là 0 và $\frac{3}{2}$

Với m = -1 phương trình trở thành $-2x+4=0\Rightarrow x=2$.

Phương trình có một nghiệm duy nhất x = 2

Với $m\ne -1$ phương trình là phương trình bậc hai có $\{\begin{array}{c}a=m+1\\ b=2(m+2)\\ c=m+5\end{array}$

Ta có:

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=(m+2{)}^2-(m+1)(m+5)$

$=m^2+4m+4-m^2-6m-5=-2m-1$

Phương trình có hai nghiệm $x_1;x_2$ khi nó là phương trình bậc hai có ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }\ge 0$

Tức là $\{\begin{array}{c}m\ne 1\\ -2m-1\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}m\ne 1\\ m\le -\frac{1}{2}\end{array}$

b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm $x_1;x_2$ thỏa mãn $x_1+3x_2=4$

Khi đó theo đề bài và định lí Viet ta có $\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=\frac{2(m+2)}{m+1}(1)\\ x_1.x_2=\frac{m+5}{m+1}(2)\\ x_1+3x_2=4(3)\end{array}$

Từ (1) và (3) ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=\frac{2m+4}{m+1}\\ x_1+3x_2=4\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{x}_1=\frac{m+4}{m+1}\\ x_2=\frac{m}{m+1}\end{array}$

Thay vào (2) ta có phương trình:

$\frac{m+4}{m+1}.\frac{m}{m+1}=\frac{m+5}{m+1}$

$\iff (m+4)m=m+5\iff 2m+5=0\iff m=-\frac{5}{2}(tm)$

Vậy $m=-\frac{5}{2}$ là giá trị cần tìm.

c. Tìm m để phương trình có hai nghiệm mà tích của chúng bằng -1

Khi đó theo định lí Viet ta có$x_1.x_2=\frac{m+5}{m+1}$

Vậy để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn tích hai nghiệm bằng -1 thì m phải thỏa mãn điều kiện (1) và $\frac{m+5}{m+1}=-1\iff m+5=-m-1\iff m=-3(tm)$

Vậy m = -3 là giá trị cần tìm.

d. Khi phương trình có hai nghiệm $x_1;x_2$. Tính theo m giá trị của $A={x_1}^2+{x_2}^2$.

$A={x_1}^2+{x_2}^2$

$={x_1}^2+{x_2}^2+2x_1{x}_2-2x_1{x}_2$

$={(x_1+x_2)}^2-2x_1{x}_2$

$={\left(\frac{2m+4}{m+1}\right)}^2-\frac{2(m+5)}{m+1}$

$=\frac{2m^2+4m+6}{(m+1{)}^2}$

e. Tìm m để A = 6

Ta có: $A=\frac{2m^2+4m+6}{(m+1{)}^2};(m\ne -1;m\le -\frac{1}{2})$

$A=6\iff \frac{2m^2+4m+6}{(m+1{)}^2}=6$

$\iff 2m^2+4m+6=6(m+1{)}^2$

$\iff 4m^2+8m=0\iff [\begin{array}{c}m=0(ktm)\\ m=-2(tm)\end{array}$

Kết hợp với điều kiện ta có m = -2 là giá trị cần tìm.

f. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁ , x₂ trong đó có một nghiệm là $\frac{1}{2}$. Khi đó hãy lập phương trình có hai nghiệm là $\frac{6x_1+1}{3x_2};\frac{6x_2+1}{3x_1}$

Thay $x=\frac{1}{2}$ vào phương trình đã cho ta có:

$(m+1){\left(\frac{1}{2}\right)}^2-2(m+2)\frac{1}{2}+m+5=0$

$\iff m=-13(tm)$

Thay m = -13 phương trình trở thành -12x² + 22x - 8 = 0 6x² - 11x + 4 = 0

Theo định lí Viet: $\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=\frac{11}{6}\\ x_1.x_2=\frac{2}{3}\end{array}$.

Khi đó:

$\frac{6x_1+1}{3x_2}+\frac{6x_2+1}{3x_1}=\frac{6{x_1}^2+x_1+6{x_2}^2+x_2}{3x_1{x}_2}$

$=\frac{6{(x_1+x_2)}^2-12x_1{x}_2+(x_1+x_2)}{3x_1{x}_2}$

$=\frac{6{\left(\frac{11}{6}\right)}^2-12.\frac{2}{3}+\left(\frac{11}{6}\right)}{3.\frac{2}{3}}=7$

Lại có:

$\frac{6x_1+1}{3x_2}.\frac{6x_2+1}{3x_1}=\frac{36x_1{x}_2+6(x_1+x_2)+1}{9x_1{x}_2}$

$=\frac{36.\frac{2}{3}+6\left(\frac{11}{6}\right)+1}{9.\frac{2}{3}}=6$

Do đó phương trình cần tìm có dạng y² - 7y + 6 = 0 (2)

Chú ý:

Phương trình (2) không nên lấy ẩn là x vì dễ gây nhầm lẫn với phương trình của đề bài.

Khi gặp phương trình có tham số (thường là m) ở hệ số a (hệ số của lũy thừa bậc hai) ta cần xét riêng trường hợp hệ số a = 0 để kết luận trường hợp này có thỏa mãn yêu cầu của đề bài hay không. Sau đó xét trường hợp a khác 0, khẳng định đó là phương trình bậc hai rồi mới được tính $\mathrm{\Delta }$.

C. Bài tập tự ôn tập

Câu 1: Cho phương trình $x^2+2(m-2)x+m^2-2m+4=0$. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt $x_1$, $x_2$ thỏa mãn $\frac{2}{x_1^2+x_2^2}-\frac{1}{x_1{x}_2}=\frac{1}{15m}$.

Câu 2: Cho phương trình: x² - 2(m - 1) x -3 - m = 0

a, Chứng tỏ rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

b, Tìm m sao cho nghiệm x₁ ; x₂ thoả mãn điều kiện: x₁² + x₂² $\ge$ 10.

Câu 3: Cho phương trình: x² - 2m x +2m -1 = 0

a, Chứng tỏ rằng phương trình luôn có nghiệm x₁ ; x₂ với mọi m.

b, Đặt A = 2 (x₁² + x₂² ) - 5x₁ x₂

- Chứng minh: A = 8m² - 18m + 9

- Tìm m sao cho A = 27

c, Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia.

Câu 4: Cho phương trình: (m-1)x² - 2(m-1) x -m = 0

a, Xác định m để phương trình có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó.

b, Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm.