VnDoc.com

Đề thi Olympic lớp 11 môn Toán năm 2018 - 2019 trường THPT Kim Liên - Hà Nội

Đề thi Olympic Toán 11 có đáp án

Câu 1(3,0 ). :

5

5 2

2cos .sin 2sin .cos sin 4 .x x x x x

Câu 2 (2,0 ).

2

2 6.

3

x

Câu 3 (4,0 ). Cho

(

0;1)

a

và

( )

n

u

xác :

1

3

1

( ) :

1

n

u

u au a

*

,

.

n

a)

( )

n

v

3

1

n

v

u

(

)

n

v

nhân

b)

a

3 3 3

1 2

l

im( ... ) 4

n

u

u u n

.

Câu 4 (3.0

). 25

ó

6

5

,

Toán Anh.

Câu

5 (6.0

). Cho ABC

D.A’B’C’D’

I

AB, E

DD’ sao ch

o

' ,(0 1)AI D E x x

.

IE

'A C

.

b) Tìm

x

'

AC

và

DI

0

60 .

,M N

, ' '.

AB A D

K

( )CMN

'

B

C

'

.

' '

B K

B C

Câu

6 (2.0

).

,

a

b c

2

2 2

3

0

a

b c b

.

2 2 2

1

4 8

1.

1 2 3a b c

-------

------

-

------------

c s d ng tài li i thích gì thêm.

H và tên thí sinh:

……

…………………....................................................….

SBD:

..

.............................

– 2019

Môn: TO

ÁN -

11

: 150 phút

1

TRƯỜNG THPT KIM LI£N

ĐÁP ÁN ĐỀ OLYMPIC MÔN TOÁN LỚP 11

NĂM HỌC 2018 – 2019

C¢U

NỘI DUNG

ĐIỂM

1

(3 điểm)

5 5 2

2 2 2 2 2

22

2cos .sin 2sin .cos sin 4

2cos .sin (cos sin )(cos sin ) sin 4

1

sin 2 .cos 2 sin 4 sin 4 sin 4

2

x x x x x

x x x x x x x

x x x x x



   

   

1,5

4

sin 4 0

4 2 , .

1

6 24 2

sin 4

2

5

42

24 2

6

xk

x

x k x k k

x

xk



  





















       

















1,5

2

(2 điểm)

Điều kiện xác định:

0; 9.xx

2

22

2 6 2(3 ) 2.

3 3 3 3

x x x x



         



   



1,0

2

26

3

8 2 7.

3

1

3

x

xx

x

xx

x









  





    

















1,0

3

(4,0 điểm)

a) Ta có

 



      

3 3 3 3

11

1 1 1

n n n n

u au a u a u

. Suy ra

1

.

nn

v av





1,0

Như vậy dãy số

 

n

v

là cấp số nhân với công bội a nên nó là cấp số nhân lùi vô hạn.

1,0

b) Ta được

 



   



12

21

...

1

n

a

v v v

a

 



     



3 3 3

12

21

...

1

n

a

u u u n

a

 

    

3 3 3

12

lim ... 4

n

u u u n

 







21

lim 4

1

n

a

1,0

Vì

01a

nên

 

21

2 2 1

lim 4 .

1 1 1 2

n

a

a a a



    

  

1,0

4

(3,0 điểm)

T là phép thử ‘Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh trong số 25 học sinh’. Ta có :

3

25

.C

Gọi A là biến cố : 3 học sinh được chọn luôn có học sinh dự thi môn Toán và học sinh dự thi

môn Anh. Ta có các trường hợp sau thuận lợi cho biến cố A :

0,5

 Có 1 học sinh chọn môn Toán, 2 học sinh chọn môn Anh có :

12

65

.CC

khả năng

 Có 2 học sinh chọn môn Toán, 1 học sinh chọn môn Anh có :

21

65

.CC

khả năng

 Có 1 học sinh chọn môn Toán, 1 học sinh chọn môn Anh, 1 học sinh chọn môn khác

(Văn, Tin, Sinh học, Lịch sử, Vật Lí, Hóa, Địa lý) có :

1 1 1

6 5 14

.C C C

khả năng.

2,0

1 2 2 1 1 1 1

6 5 6 5 6 5 14

..

A

C C C C C C C   

Vậy xác suất của biến cố A là

555 111

( ) .

2300 460

A

PA



  



0,5

2

5

(6,0 điểm)

Đặt

' ' ; ' ' ; ' .A B a A D b A A c  

a) Ta có:

'.A C a b c  

Lại có:

IE IA AD DE  

(1 ) .xa b x c    

Xét:

   

2 2 2

' . . (1 )

(1 ) 1 (1 ) 0.

A C IE a b c xa b x c

xa b x c x x

      

          

Suy ra

'.A C IE

F

N

M

A'

A

B'

B

D'

D

C'

C

K

M'

I

E

3.0

b) Ta có:

0

2

. ' ( )( ')

1

cos60

. ' . '

1 . 3

DI AC DA AI AD AB AA

x

DI AC DI AC

x

  



  



.

Suy ra:

2

1

8 1 0 4 15.

2

1 . 3

x

x x x

x



       



1,5

c) Gọi M’ là trung điểm cạnh A’B’.

Trong

( ' ' ' ') :A B C D

kẻ đường thẳng đi qua

N

và song song với

''CM

cắt đường thẳng

''BC

tại

.K

Khi đó

K

là giao điểm của mặt phẳng

()CMN

với đường thẳng

' '.BC

Áp dụng định lí Ta-lét ta tính được:

'5

.

' ' 2

BK

BC



1,5

6

(2 điểm)

Đặt

     

2 2 2

1 4 8

1 2 3

P

a b c

  

  

.

Ta thấy:

     

2 2 2

2 4 2 6 1 2 1 0a b c a b c a b c            

, theo giả thiết

thì

2 2 2

3a b c b  

. Suy ra

3 2 4 2 6 0b a b c    

hay

2 2 10 16a b c   

.

0,5

Với hai số

,0xy

ta có:

22

2 2 2 2 2

2

( )( ) 8 .

( ) 4

x y xy

x y x y x y

x y xy







   









Do đó:

 

2

22

1 1 8

(1)

xy





Áp dụng (1) ta có:

   

2 2 2

1 4 8

12

2

ab

b

a













;

 

2 2 2

1 1 8

3

25

22

c

bb

a a c





   

    

   

   

.

0,5

   

2

2 2 2 2

8 8 8 16

8.

3 2 2 10

25

22

P

c a b c

bb

a a c

    

   

   

    

   

   

.

Theo giả thiết và chứng minh trên thì

0 2 2 10 16a b c    

,

1P

.

0,5

Khi

1, 2, 1a b c  

thì

1P 

.

0,5

Học sinh làm theo cách khác, nếu đúng vẫn được đủ điểm tối đa như đáp án qui định.

……………….HÕt………………...

Đề thi Olympic môn Toán lớp 11 năm 2018 - 2019

VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc Đề thi Olympic lớp 11 môn Toán năm 2018 - 2019 trường THPT Kim Liên - Hà Nội. Tài liệu gồm 6 câu hỏi bài tập, thời gian làm bài 150 phút, đề thi có đáp án. Mời các bạn tham khảo.

---------------------------

Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới các bạn Đề thi Olympic lớp 11 môn Toán năm 2018 - 2019 trường THPT Kim Liên - Hà Nội. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc mời các bạn học sinh tham khảo Giải bài tập Sinh học lớp 11, Giải bài tập Vật lý lớp 11, Giải bài tập Hóa học lớp 11, Giải bài tập Toán lớp 11, Tài liệu học tập lớp 11 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.