Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Hoán vị lặp là gì?

Công thức Toán 11

Bài trước

Tải về

Bài sau

Dạng tài liệu: Toán Lớp 11

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Trong chương Tổ hợp – Xác suất Toán 11, khái niệm hoán vị lặp là kiến thức quan trọng giúp học sinh xử lý các bài toán đếm khi các phần tử không phân biệt hoàn toàn. Đây là nội dung thường gây nhầm lẫn với hoán vị thông thường nếu không nắm rõ bản chất và công thức. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hoán vị lặp là gì, cách nhận dạng và áp dụng đúng trong các bài toán Toán 11.

Công thức hoán vị lặp

Cho tập hợp X có n phần tử gồm n₁ phần tử giống nhau, n₂ phần tử khác lại giống nhau, …, n_k phần tử khác nữa lại giống nhau $\left( n_{1} + n_{2} + ... + n_{k} = n \right)$ . Mỗi cách sắp n phần tử này vào n vị trí là một hoán vị lặp, số hoán vị lặp là $\frac{n!}{n_{1}!n_{2}!...n_{k}!}$ .

Ví dụ hoán vị lặp

Ví dụ. Từ các chữ số 1, 2, 3 lập được bao nhiêu số tự nhiên có đúng 5 chữ số 1, 2 chữ số 2 và 3 chữ số 3.

Hướng dẫn giải

Xem số cần lập có 10 chữ số gồm 5 chữ số 1 giống nhau, 2 chữ số 2 giống nhau và 3 chữ số 3 giống nhau.

Vậy có $\frac{10!}{5!2!3!} = 2520$ số.

Cách giải thường dùng:

+ Bước 1: chọn 5 trong 10 vị trí để sắp 5 chữ số 1 có $C_{10}^{5}$ cách.

+ Bước 2: chọn 2 trong 5 vị trí còn lại để sắp 2 chữ số 2 có $C_{5}^{2}$ cách.

+ Bước 3: sắp 3 chữ số 3 vào 3 vị trí còn lại có 1 cách.

Vậy có $C_{10}^{5}.C_{5}^{2}.1 = 2520$ số.

Ví dụ. Tính số các số tự nhiên gồm 7 chữ số được chọn từ 1, 2, 3, 4, 5 sao cho chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần.

Hướng dẫn giải

Xem số có 7 chữ số như 7 vị trí thẳng hàng.

+ Bước 1: chọn 2 trong 7 vị trí để sắp 2 chữ số 2 (không hoán vị) có $C_{7}^{2} = 21$ cách.

+ Bước 2: chọn 3 trong 5 vị trí còn lại để sắp 3 chữ số 3 (không hoán vị) có $C_{5}^{3} = 10$ cách.

+ Bước 3: chọn 2 trong 3 chữ số 1, 4, 5 để sắp vào 2 vị trí còn lại (có hoán vị) có $A_{3}^{2} = 6$ cách.

Vậy có 21.10.6 = 1260 số.

Ví dụ. Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần?

A. 6720 số. B. 40320 số. C. 5880 số. D. 840 số.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Giả sử các số tự nhiên gồm 8 chữ số tương ứng với 8 ô.

Do chữ số 1 có mặt 3 lần nên ta sẽ coi như tìm số các số thỏa mãn đề bài được tạo nên từ 8 số 0,1,1,1,2,3,4,5

Số hoán vị của 8 số 0,1,1,1,2,3,4,5 trong 8 ô trên là

Mặt khác chữ số 1 lặp lại 3 lần nên số cách xếp là $\frac{8!}{3!}$ kể cả trường hợp số 0 đứng đầu.

Xét trường hợp ô thứ nhất là chữ số 0, thì số cách xếp là $\frac{7!}{3!}$

Mẹo: Bài toán trên là một dấu hiêu của hoán vị lặp. Để biết thêm về hoán vị lặp thì ta sẽ nghiên cứu ở phần đọc thêm.

Mở rộng: Cho k phần tử khác nhau $a_{1};a_{2};a_{3};...;a_{k}$ . Một cách sắp xếp n phân tử trong đó gồm $n_{i}$ phần tử $a_{1};a_{2}$ phần tử $a_{2};a_{3};...;n_{k}$ phần tử $a_{k}$ $\left( n_{1} + n_{2} + n_{3} + ... + n_{k} = n \right)$ theo một thứ tự nào đó được gọi là hoán vị lặp cấp và kiểu $\left( n_{1};n_{2};n_{3};...;n_{k} \right)$ của phần tử. Số các hoán vị lặp dạng như trên là $P_{n}\left( n_{1};n_{2};n_{3};...;n_{k} \right) = \frac{n!}{n_{1}!n_{2}!...n_{k}!}$

Vậy các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là $\frac{8!}{3!} - \frac{7!}{3!} = 5880$ số.

Ví dụ. Cho 8 bạn học sinh A;B;C;D;E;F;G;H. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 8 bạn đó ngồi xung quanh 1 bàn tròn có 8 ghế?

A. 40320 cách. B. 5040 cách. C. 720 cách. D. 40319 cách.

Hướng dẫn giải

Ta thấy ở đây xếp các vị trí theo hình tròn nên ta phải cố định vị trí một bạn.

Ta chọn cố định vị trị của A, sau đó xếp vị trí cho 7 bạn còn lại có 7! cách.

Vậy có 71 = 5040 cách.

------------------------------------------------------

FAQ

Khi nào sử dụng công thức hoán vị lặp?

Công thức hoán vị lặp được áp dụng khi bài toán yêu cầu đếm số cách sắp xếp các đối tượng mà trong đó có các phần tử trùng nhau hoặc không phân biệt được.

Hoán vị lặp khác gì với hoán vị thông thường?

Hoán vị thông thường áp dụng cho các phần tử hoàn toàn khác nhau, còn hoán vị lặp được sử dụng khi tập hợp chứa các phần tử giống nhau. Vì vậy công thức tính cũng khác nhau.

Hoán vị lặp có thuộc chương trình Toán 11 không?

Có. Hoán vị lặp là một nội dung quan trọng thuộc chuyên đề Tổ hợp trong chương trình Toán 11 và thường xuất hiện trong các bài tập vận dụng.

Làm thế nào để nhận biết bài toán hoán vị lặp?

Một dấu hiệu phổ biến là đề bài có các chữ cái hoặc đối tượng bị lặp lại nhiều lần và yêu cầu tính số cách sắp xếp khác nhau của chúng.

Những lỗi thường gặp khi giải bài toán hoán vị lặp là gì?

Một số lỗi phổ biến gồm:

Quên chia cho giai thừa của các phần tử lặp.
Xác định sai số lượng phần tử giống nhau.
Áp dụng nhầm công thức chỉnh hợp hoặc tổ hợp.
Tính toán sai giá trị giai thừa.

-------------------------------------

Qua bài viết Hoán vị lặp là gì?, các em đã hiểu được khái niệm, công thức tính hoán vị lặp và cách vận dụng vào giải các bài toán đếm thường gặp trong chương trình Toán 11. Đây là một nội dung quan trọng của Tổ hợp – Xác suất, giúp học sinh rèn luyện tư duy logic và kỹ năng phân tích bài toán hiệu quả.

Để thành thạo dạng toán này, học sinh nên kết hợp ghi nhớ công thức Toán 11 với việc luyện tập nhiều bài tập có đáp án, từ cơ bản đến nâng cao. Việc thường xuyên thực hành sẽ giúp các em nhận diện nhanh dạng toán, lựa chọn phương pháp giải phù hợp và nâng cao kết quả học tập môn Toán.

Tải về

Chọn file muốn tải về: