Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Hoán vị lặp là gì?

Công thức Toán 11

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Trong chương Tổ hợp – Xác suất Toán 11, khái niệm hoán vị lặp là kiến thức quan trọng giúp học sinh xử lý các bài toán đếm khi các phần tử không phân biệt hoàn toàn. Đây là nội dung thường gây nhầm lẫn với hoán vị thông thường nếu không nắm rõ bản chất và công thức. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hoán vị lặp là gì, cách nhận dạng và áp dụng đúng trong các bài toán Toán 11.

Công thức hoán vị lặp

Cho tập hợp X có n phần tử gồm n₁ phần tử giống nhau, n₂ phần tử khác lại giống nhau, …, n_k phần tử khác nữa lại giống nhau $\left( n_{1} + n_{2} + ... + n_{k} = n \right)$ . Mỗi cách sắp n phần tử này vào n vị trí là một hoán vị lặp, số hoán vị lặp là $\frac{n!}{n_{1}!n_{2}!...n_{k}!}$ .

Ví dụ hoán vị lặp

Ví dụ. Từ các chữ số 1, 2, 3 lập được bao nhiêu số tự nhiên có đúng 5 chữ số 1, 2 chữ số 2 và 3 chữ số 3.

Hướng dẫn giải

Xem số cần lập có 10 chữ số gồm 5 chữ số 1 giống nhau, 2 chữ số 2 giống nhau và 3 chữ số 3 giống nhau.

Vậy có $\frac{10!}{5!2!3!} = 2520$ số.

Cách giải thường dùng:

+ Bước 1: chọn 5 trong 10 vị trí để sắp 5 chữ số 1 có $C_{10}^{5}$ cách.

+ Bước 2: chọn 2 trong 5 vị trí còn lại để sắp 2 chữ số 2 có $C_{5}^{2}$ cách.

+ Bước 3: sắp 3 chữ số 3 vào 3 vị trí còn lại có 1 cách.

Vậy có $C_{10}^{5}.C_{5}^{2}.1 = 2520$ số.

Ví dụ. Tính số các số tự nhiên gồm 7 chữ số được chọn từ 1, 2, 3, 4, 5 sao cho chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần.

Hướng dẫn giải

Xem số có 7 chữ số như 7 vị trí thẳng hàng.

+ Bước 1: chọn 2 trong 7 vị trí để sắp 2 chữ số 2 (không hoán vị) có $C_{7}^{2} = 21$ cách.

+ Bước 2: chọn 3 trong 5 vị trí còn lại để sắp 3 chữ số 3 (không hoán vị) có $C_{5}^{3} = 10$ cách.

+ Bước 3: chọn 2 trong 3 chữ số 1, 4, 5 để sắp vào 2 vị trí còn lại (có hoán vị) có $A_{3}^{2} = 6$ cách.

Vậy có 21.10.6 = 1260 số.

Ví dụ. Với các chữ số có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần?

A. số. B. số. C. số. D. số.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Giả sử các số tự nhiên gồm 8 chữ số tương ứng với 8 ô.

Do chữ số 1 có mặt 3 lần nên ta sẽ coi như tìm số các số thỏa mãn đề bài được tạo nên từ 8 số

Số hoán vị của 8 số trong 8 ô trên là

Mặt khác chữ số 1 lặp lại 3 lần nên số cách xếp là $\frac{8!}{3!}$ kể cả trường hợp số 0 đứng đầu.

Xét trường hợp ô thứ nhất là chữ số 0, thì số cách xếp là $\frac{7!}{3!}$

Mẹo: Bài toán trên là một dấu hiêu của hoán vị lặp. Để biết thêm về hoán vị lặp thì ta sẽ nghiên cứu ở phần đọc thêm.

Mở rộng: Cho phần tử khác nhau $a_{1};a_{2};a_{3};...;a_{k}$ . Một cách sắp xếp n phân tử trong đó gồm $n_{i}$ phần tử $a_{1};a_{2}$ phần tử $a_{2};a_{3};...;n_{k}$ phần tử $a_{k}$ $\left( n_{1} + n_{2} + n_{3} + ... + n_{k} = n \right)$ theo một thứ tự nào đó được gọi là hoán vị lặp cấp và kiểu $\left( n_{1};n_{2};n_{3};...;n_{k} \right)$ của phần tử. Số các hoán vị lặp dạng như trên là $P_{n}\left( n_{1};n_{2};n_{3};...;n_{k} \right) = \frac{n!}{n_{1}!n_{2}!...n_{k}!}$

Vậy các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là $\frac{8!}{3!} - \frac{7!}{3!} = 5880$ số.

Ví dụ. Cho 8 bạn học sinh . Hỏi có bao nhiêu cách xếp 8 bạn đó ngồi xung quanh 1 bàn tròn có 8 ghế?

A. cách. B. cách. C. cách. D. cách.

Hướng dẫn giải

Ta thấy ở đây xếp các vị trí theo hình tròn nên ta phải cố định vị trí một bạn.

Ta chọn cố định vị trị của , sau đó xếp vị trí cho 7 bạn còn lại có cách.

Vậy có cách.

------------------------------------------------------

Khi hiểu đúng khái niệm và công thức hoán vị lặp, học sinh sẽ tránh được các sai sót thường gặp và áp dụng hiệu quả vào bài toán đếm. Hy vọng bài viết đã giúp bạn nắm chắc kiến thức Toán 11 và tự tin vận dụng trong học tập.

Tải về

Chọn file muốn tải về: