Toán lớp 7 Tập hợp các số hữu tỉ
Chuyên đề Toán học lớp 7: Tập hợp các số hữu tỉ được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán học lớp 7 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.
Chuyên đề: Tập hợp Q các số hữu tỉ
A. Lý thuyết Tập hợp các số hữu tỉ
1. Khái niệm số hữu tỉ
• Số hữu tỉ là số được viết dưới dạng phân số 
\(\frac{a}{b}\) với a, b ∈ ℤ và b ≠ 0
• Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là ℚ.
• Chú ý: Mỗi số hữu tỉ đều có một số đối. Số đối của số hữu tỉ m là số hữu tỉ – m.
• Nhận xét: Các số thập phân đều viết được dưới dạng phân số thập phân nên chúng đều là các số hữu tỉ. Số nguyên, hỗn số cũng là các số hữu tỉ.
Ví dụ 1: \(-\frac35\in \mathbb{Q}; \ \frac{2,5}{3} \notin \mathbb{Q};\)
2. Biểu diễn các số hữu tỉ trên trục số
• Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số: Tương tự như đối với số nguyên, ta có thể biểu diễn mọi số hữu tỉ trên trục số
• Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ m được gọi là điểm m.
• Nhận xét: Trên trục số, hai điểm biểu diễn hai số hữu tỉ đối nhau m và – m nằm về hai phía khác nhau so với điểm O và có cùng khoảng cách đến O.
3. So sánh hai số hữu tỉ
– Ta có thể so sánh hai số hũu tỉ bất kì bằngg cách viết chúng dưới dạng phân số rồi só sánh hai phân số đó
– Với hai số hữu tỉ a, b ta luôn có hoặc a = b hoặc a < b hoặc a > b.
– Cho ba số hữu tỉ a, b và c, ta có: Nếu a < b và b < c thì b < c (tính chất bắc cầu)
– Trên trục số, nếu a < b thì điểm a nằm trước điểm b.
– Chú ý:
• Số hữu tỉ lớn hớn 0 được gọi là số hữu tỉ dương.
• Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 được gọc là số hữu tỉ âm.
• Số 0 không phải là số hữu tỉ dương cũng không phải là số hữu tỉ âm.
B. Bài tập về Tập hợp các số hữu tỉ
1. Dạng 1. Nhận biết các số hữu tỉ, quan hệ trên tập hợp số.
Bài 1: Cho các số sau: \(\frac{5}{4};\ 3\frac{2}{5};\ 6,25;\ \frac{-2}{7};\ \frac{-13}{17};\ \frac{0}{3};\ \frac{3}{0};\ 3,5;\ 0\), số nào là số hữu tỉ?
Lời giải:
Các số hữu tỉ là: \(\frac{5}{4};\ 3\frac{2}{5};\ 6,25;\ \frac{-2}{7};\ \frac{-13}{17};\ \frac{0}{3};\ 3,5;\ 0\)
Bài 2: Điền ∈ và ∉:
| 6,5 ...... ℤ | \(2\frac{4}{7}\) ...... ℚ |
- 0,8 ...... ℚ |
| \(-\frac{0}{8}\) ...... ℚ |
- 5 ...... ℤ | \(\frac{1}{2}\) ...... ℕ |
Lời giải:
| 6,5 ∉ ℤ | \(2\frac{4}{7}\) ∈ ℚ |
- 0,8 ∈ ℚ |
| \(-\frac{0}{8}\) ∈ ℚ |
- 5 ∈ ℤ | \(\frac{1}{2}\) ∉ ℕ |
Bài 3: Tìm số đối của các số sau: \(3\frac{1}{2};\ \left(-5\right);\ \frac{-3}{-4};\ -\left(-8\right)\)
Lời giải:
Các số đối lần lượt là: \(-3\frac{1}{2};\ 5;\ -\frac{3}{4};\ \left(-8\right)\)
Bài 4: Tìm số nguyên x để các số sau là số hữu tỉ.
| a) \(\frac{5}{x-3}\) |
b) \(\frac{-4}{5x+10}\) |
Lời giải:
a) Để \(\frac{5}{x-3}\) là số hữu tỉ thì x - 3 ∈ ℤ và x - 3 ≠ 0
Suy ra x ∈ ℤ và x ≠ 3
b) Để \(\frac{-4}{5x+10}\) là số hữu tỉ thì 5x + 10 ∈ ℤ và 5x + 10 ≠ 0
Suy ra x ∈ ℤ và x ≠ - 2
2. Dạng 2. Biểu diễn số hữu tỉ
Bài 1: Biểu diễn số hữu tỉ \(\frac{3}{4}\) trên trục số.
Lời giải:
Chia các đoạn thẳng đơn vị ra làm 4 phần bằng nhau.
Lấy đoạn thẳng mới làm đơn vị (bằng \(\frac{1}{4}\) đơn vị cũ).
Lấy điểm nằm bên phải điểm 0, cách điểm 0 một đoạn bằng 3 đơn vị mới.
Điểm vừa lấy là điểm phải tìm.
Bài 2: Biểu diễn số hữu tỉ \(\frac{3}{-5}\) trên trục số.
Lời giải:
Ta có \(\frac{3}{-5}=\frac{-3}{5}\)
Chia các đoạn thẳng đơn vị ra làm 5 phần bằng nhau.
Lấy đoạn thẳng mới làm đơn vị (bằng \(\frac{1}{5}\) đơn vị cũ).
Lấy điểm nằm bên trái điểm 0, cách điểm 0 một đoạn bằng 3 đơn vị mới.
Điểm vừa lấy là điểm phải tìm.
Bài 3: cho các phân số \(\frac{-21}{27};\ \frac{-14}{19};\ \frac{-42}{-54};\ \frac{35}{-45};\ \frac{-5}{7};\ \frac{-28}{36}\). Những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ \(\frac{-7}{9}\)?
Lời giải:
Các phân số biểu diễn số hữu tỉ \(\frac{-7}{9}\) là: \(\frac{-21}{27};\ \frac{35}{-45};\ \frac{-28}{36}\)
3. Dạng 3. So sánh các số hữu tỉ
|
Các phương pháp so sánh: + Viết các số hữu tỉ dưới dạng phân số có cùng mẫu dương: So sánh các tử số, phân số nào có tử nhỏ hơn thì phân số đó nhỏ hơn. + So sánh các số trung gian (0; 1) + So sánh với phần hơn hoặc phần bù + So sánh thương hai số hữu tỉ (khác 0) với 1 + Áp dụng tính chất bắc cầu và các bất đẳng thức đã chứng minh trong bài |
Bài 1: So sánh hai số hữu tỉ \(\frac{-11}{6}\) và \(\frac{8}{-9}\)
Lời giải:
Ta có: \(\frac{-11}{6}=\frac{-33}{18};\ \frac{8}{-9}=\frac{-16}{18}\)
Vì \(\frac{-33}{18}<\frac{-16}{18}\) nên \(\frac{-11}{6}<\frac{8}{-9}\)
Bài 2: So sánh các số sau:
a) \(\frac{-25}{20}\) và \(\frac{20}{25}\)
b) \(\frac{15}{21}\) và \(\frac{21}{49}\)
c) \(\frac{-19}{49}\) và \(\frac{-23}{47}\)
Lời giải:
a) Ta có: \(\frac{-25}{20}<0;\ \frac{20}{25}>0\) nên \(\frac{-25}{20}<\frac{20}{25}\)
b) Ta có: \(\frac{15}{21}=\frac{5}{7};\ \ \frac{21}{49}=\frac{3}{7}\)
Vì \(\frac{5}{7}>\frac{3}{7}\) nên \(\frac{15}{21}>\frac{21}{49}\)
c) Ta có: \(\frac{-19}{49}>\frac{-23}{49}\) và \(\frac{-23}{49}>\frac{-23}{47}\)
Do đó \(\frac{-19}{49}>\frac{-23}{47}\)
Bài 3: So sánh hai số hữu tỉ: \(\frac{998}{555}\) và \(\frac{999}{556}\)
Lời giải:
Ta có: \(\frac{998}{555}-1=\frac{443}{555}\)
\(\frac{999}{556}-1=\frac{443}{556}\)
Vì \(\frac{443}{555}>\frac{443}{556}\) nên \(\frac{998}{555}>\frac{999}{556}\)
Bài 4: Cho hai số hữu tỉ \(\frac{m}{n}\) và \(\frac{p}{q}\) với n, q > 0. Chứng tỏ rẳng: nếu mq < np thì \(\frac{m}{n}<\frac{p}{q}\)
Lời giải:
Ta có: \(\frac{m}{n}=\frac{mq}{nq};\ \frac{p}{q}=\frac{np}{nq}\)
Mặt khác: mq < np và nq > 0 nên \(\frac{mq}{nq}<\frac{np}{nq}\) hay \(\frac{m}{n}<\frac{p}{q}\)
4. Dạng 4: Tìm điều kiện để một số hữu tỉ là số âm (dương) hay số nguyên
Bài 1: Cho số hữu tỉ \(x=\frac{20m+11}{-2019}\). Với giá trị nào của m thì:
a) x là số dương
b) x là số âm
Lời giải:
a) Số hữu tỉ \(x=\frac{20m+11}{-2019}\) là số dương khi:
\(\frac{20m+11}{-2019}>0\)
⇒ 20m + 11 < 0
⇒ \(m<-\frac{11}{20}\)
b) Số hữu tỉ \(x=\frac{20m+11}{-2019}\) là số âm khi:
\(\frac{20m+11}{-2019}<0\)
⇒ 20m + 11 > 0
⇒ \(m>-\frac{11}{20}\)
Bài 2: Tìm tất cả các số nguyên x để số hữu tỉ \(A=\frac{x+1}{x-2}\) (x ≠ 2) có giá trị là số nguyên.
Lời giải:
Ta có: \(\frac{x+1}{x-2}=\frac{x-2+3}{x-2}=1+\frac{3}{x-2}\)
Để số hữu tỉ A có giá trị là số nguyên thì 3 chia hết cho (x - 2)
Hay (x - 2) ∈ Ư(3) = {- 3; - 1; 1; 3}
Khi đó x ∈ {- 1; 1; 3; 5} thì số hữu tỉ A có giá trị là số nguyên.
------------------
