Tính chất ba đường cao của tam giác
Chuyên đề Toán học lớp 7: Tính chất ba đường cao của tam giác được VnDoc sưu tầm và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán học lớp 7 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.
Chuyên đề: Tính chất ba đường cao của tam giác
A. Lý thuyết
1. Đường cao của tam giác
• Trong một tam giác, đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao của tam giác đó.
Ví dụ: Đoạn thẳng AI là một đường cao của tam giác ABC, còn nói AI là đường cao xuất phát từ đỉnh A (của tam giác ABC).
• Mỗi tam giác có ba đường cao.
2. Tính chất ba đường cao của một tam giác
– Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác.
Ví dụ: H là giao điểm ba đường cao của tam giác ABC. H là trực tâm của tam giác ABC
3. Về các đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác của tam giác cân
– Tính chất của tam giác cân: Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó.
– Nhận xét:
• Trong một tam giác, nếu hai trong bốn loại đường (đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao cùng xuất phát từ một đỉnh và đường trung trực ứng với cạnh đối diện của đỉnh này) trùng nhau thì tam giác đó là một tam giác cân
• Đặc biệt đối với tam giác đều, từ tính chất trên suy ra: Trong tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.
B. Trắc nghiệm & Tự luận
I. Câu hỏi trắc nghiệm
Bài 1: Cho Δ ABC, hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H. Em hãy chọn phát biểu đúng:
A. H là trọng tâm của Δ ABC
B. H là tâm đường tròn nội tiếp Δ ABC
C. CH là đường cao của Δ ABC
D. CH là đường trung trực của Δ ABC
Trả lời: Vì hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H nên CH là đường cao của ΔABC và H là trực tâm tam giác ΔABC nên A, B, D sai, C đúng.
Chọn đáp án C
Bài 2: Cho ΔABC cân tại A có AM là đường trung tuyến khi đó
A. AM ⊥ BC
B. AM là đường trung trực của BC
C. AM là đường phân giác của góc BAC
D. Cả A, B, C đều đúng
Trả lời: Vì ΔABC cân tại A có AM là đường trung tuyến nên AM cũng là đường cao, đường trung trực và đường phân giác của tam giác ABC
Chọn đáp án D
Bài 3: Cho ΔABC nhọn, hai đường cao BD và CE. Trên tia đối của tia BD lấy điểm I sao cho BI = AC. Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho CK = AB. Chọn câu đúng
A. AI > AK
B. AI < AK
C. AI = 2AK
D. AI = AK
Bài 4: Cho ΔABC nhọn, hai đường cao BD và CE. Trên tia đối của tia BD lấy điểm I sao cho BI = AC . Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho CK = AB. ΔAIK là tam giác gì?
A. ΔAIK là tam giác cân tại B
B. ΔAIK là tam giác vuông cân tại A
C. ΔAIK là tam giác vuông
D. ΔAIK là tam giác đều
II. Bài tập tự luận
Bài 1: Cho hai đường thẳng xx' và yy' cắt nhau tại O. Trên Ox, Ox' lần lượt lấy các điểm B, D sao cho OA = OB, OC = OD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD
Chứng minh M, O, N thẳng hàng
Ta có: OA = OB (gt)
Nên ΔOAB cân tại O
OC = OD (gt) ⇒ ΔOCD cân tại O
Trong ΔOAB cân tại O có AM là đường trung tuyến và OM cũng là đường phân giác của góc O
Tương tự ON là đường phân giác của góc O
OM, ON là hai tia phân giác của hai góc đối đỉnh
Vậy O, M, N thẳng hàng.
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Qua A kẻ đường thẳng song song với đáy BC. Các đường phân giác của góc B và góc C lần lượt cắt d tại E và F. Chứng minh rằng:
a) d là phân giác ngoài của góc A
b) AE = AF
Nên AI là đương cao của tam giác cân IFE nên cũng là đường trung tuyến
Vậy AE = AF
Bài 3: Cho tam giác ABC đều. Ba đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại O. Chứng minh rằng:
a) OA = OB = OC
b) O là trọng tâm của tam giác ABC.
c) AM = BN = CP
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH và trung tuyến AM. Chứng minh trực tâm của tam giác ABC, tam giác MAB và tam giác MAC thẳng hàng.
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH. Lấy I là trung điểm của AC.
a) Chứng minh I là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác AHC.
b) Gọi K và D lần lượt là trung điểm của AH và HC. Chứng minh KD // AC
c) Chứng minh BK vuông góc với AD.
