Cộng, trừ đa thức một biến

Cộng, trừ đa thức một biến là phần nội dung quan trọng trong chương trình Toán 7. Để giúp các em nắm vững kiến thức phần này, VnDoc gửi tới các bạn Chuyên đề Toán học lớp 7: Cộng, trừ đa thức một biến. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán học lớp 7 hơn. Mời các bạn tham khảo.

A. Lý thuyết Cộng trừ đa thức một biến

Ví dụ: Cho hai đa thức P(x) = x⁵ – 2x⁴ + x² – x + 1; Q(x) = 6 – 2x + 3x³ + x⁴ – 3x⁵. Tính P(x) – Q(x).

Ta có: P(x) – Q(x)

= (x⁵ – 2x⁴ + x² – x + 1) – (6 – 2x + 3x³ + x⁴ – 3x⁵)

= x⁵ – 2x⁴ + x² – x + 1 – 6 + 2x – 3x³ – x⁴ + 3x⁵

= 4x⁵ – 3x⁴ – 3x³ + x² + x⁵

B. Trắc nghiệm & Tự luận Cộng trừ đa thức một biến

I. Câu hỏi trắc nghiệm

Bài 1: Tìm hai đa thức P(x) và Q(x) sao cho P(x) + Q(x) = x² + 1

A. P(x) = x²; Q(x) = x + 1

B. P(x) = x² + x; Q(x) = x + 1

C. P(x) = x²; Q(x) = – x + 1

D. P(x) = x² – x; Q(x) = x + 1

Lời giải: Ta có với P(x) = x² – x; Q(x) = x + 1

P(x) + Q(x) = x² – x + x + 1 = x² + 1

Chọn đáp án D.

Bài 2: Cho f(x) = x⁵ – 3x⁴ + x² – 5 và g(x) = 2x⁴ + 7x³ – x² + 6. Tìm hiệu f(x) – g(x) rồi sắp xếp kết quả theo lũy thừa tăng dần của biến ta được:

A. 11 + 2x² + 7x³ – 5x⁴ + x⁵

B. – 11 + 2x² – 7x³ – 5x⁴ + x⁵

C. x⁵ – 5x⁴ – 7x³ + 2x² – 11

D. x⁵ – 5x⁴ – 7x³ + 2x² + 11

Ta có: f(x) – g(x)

= x⁵ – 3x⁴ + x² – 5 – (2x⁴ + 7x³ – x² + 6)

= x⁵ – 3x⁴ + x² – 5 – 2x⁴ – 7x³ + x² – 6

= x⁵ + (– 3x⁴ – 2x⁴) – 7x³ + (x² + x)² – 6 – 5

= x⁵ – 5x⁴ – 7x³ + 2x² – 11

Sắp xếp theo lũy thừa tăng dần của biến ta được

– 11 + 2x² – 7x³ – 5x⁴ + x⁵

Chọn đáp án B

Bài 3: Cho p(x) = 5x⁴ + 4x³ – 3x² + 2x – 1 và q(x) = – x⁴ + 2x³ – 3x² + 4x – 5

Tính p(x) + q(x) rồi tìm bậc của đa thức thu được

A. p(x) + q(x) = 6x³ – 6x² + 6x – 6 có bậc là 6

B p(x) + q(x) = 4x⁴ + 6x³ – 6x² + 6x + 6 có bậc là 4

C. p(x) + q(x) = 4x⁴ + 6x³ – 6x² + 6x – 6 có bậc là 4

D. P(x) + q(x) = 4x⁴ + 6x³ + 6x – 6 có bậc là 4

Ta có p(x) + q(x)

= 5x⁴ + 4x³ – 3x² + 2x – 1 + (– x⁴ + 2x³ – 3x² + 4x – 5)

= 5x⁴ + 4x³ – 3x² + 2x – 1 – x⁴ + 2x³ – 3x² + 4x – 5

= (5x⁴ – x⁴) + (4x³ + 2x³) + (– 3x² – 3x²) + (2x + 4x) + (– 1 – 5)

= 4x⁴ + 6x³ – 6x² + 6x – 6

Bậc của đa thức p(x) + q(x) = 4x⁴ + 6x³ – 6x² + 6x – 6 có bậc là 4

Chọn đáp án C

Bài 4: Tìm đa thức h(x) biết f(x) – h(x) = g(x) biết

f(x) = x² + x + 1; g(x) = 4 – 2x³ + x⁴ + 7x⁵

A. h(x) = – 7x⁵ – x⁴ + 2x³ + x² + x – 3

B. h(x) = 7x⁵ – x⁴ + 2x³ + x² + x + 3

C. h(x) = – 7x⁵ – x⁴ + 2x³ + x² + x + 3

D. h(x) = 7x⁵ + x⁴ + 2x³ + x² + x + 3

Ta có f(x) – h(x) = g(x) ⇒ h(x) = f(x) – g(x)

Mà f(x) = x² + x + 1; g(x) = 4 – 2x³ + x⁴ + 7x⁵ 

h(x) = x² + x + 1 – (4 – 2x³ + x⁴ + 7x⁵)

= x² + x + 1 – 4 + 2x³ – x⁴ – 7x⁵

Vậy h(x) = – 7x⁵ – x⁴ + 2x³ + x² + x – 3

Chọn đáp án A

Bài 5: Tìm hệ số cao nhất của đa thức k(x) biết f(x) + k(x) = g(x) và f(x) = x⁴ – 4x² + 6x³ + 2x – 1; g(x) = x + 3

A. –1

B. 1

C. 4

D. 6

Ta có f(x) + k(x) = g(x) ⇒ k(x) = g(x) – f(x)

= x + 3 – (x⁴ – 4x² + 6x³ + 2x – 1)

= x + 3 – x⁴ + 4x² – 6x³ – 2x + 1

= – x⁴ – 6x³ + 4x² – x + 4

Nhận thấy số hạng có lũy thừa cao nhất của biến là – x⁴ nên hệ số cao nhất là – 1

Chọn đáp án A

Bài 6: Tìm hệ số tự do của hiệu f(x) – 2.g(x) với

f(x) = 5x⁴ + 4x³ – 3x² + 2x – 1; g(x) = – x⁴ + 2x³ – 3x² + 4x + 5

A. 7

B. 11

C. –11

D. 4

Ta có:

Hệ số cần tìm là – 11

Chọn đáp án C

II. Bài tập tự luận

Bài 1: Cho đa thức P(x) = – 9x³ + 5x⁴ + 8x² – 15x³ – 4x² – x⁴ + 15 – 7x³

Tính P(1), P(0), P(– 1)

Đáp án

Trước hết ta thu gọn đa thức:

Khi đó ta có:

Bài 2: Cho đa thức

A = – 3x³ + 4x² – 5x + 6

B = 3x³ – 6x² + 5x – 4

a) Tính C = A + B, D = A – B, E = C – D

b) Tính các giá trị của đa thức A, B, C, D tại x = – 1

Đáp án

a) Ta có:

b) Tính giá trị biểu thức tại x = -1