Chuyên đề bất đẳng thức lớp 9
Toán lớp 9
1
Chuyên ñề: BẤT ðẲNG THỨC
A.MỤC TIÊU:
1-Học sinh nắm vững một số phương pháp chứng minh bất ñẳng thức.
2-Một số phương pháp và bài toán liên quan ñến phương trình bậc hai sử dụng công
thức nghiệm sẽ cho học sinh học sau.
3-Rèn kỹ năng và pp chứng minh bất ñẳng thức.
B- NỘI DUNG
PHẦN 1 : CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý
1- ðịnh nghĩa
2- Tính chất
3-Một số hằng bất ñẳng thức hay dùng
PhÇn 2:mét sè ph−¬ng ph¸pchøng minh bÊt®¼ng thøc
1-Ph−¬ng ph¸p dïng ®Þnh nghÜa
2- Ph−¬ng ph¸p dïng biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng
3- Ph−¬ng ph¸p dïng bÊt ®¼ng thøc quen thuéc
4- Ph−¬ng ph¸p sö dông tÝnh chÊt b¾c cÇu
5- Ph−¬ng ph¸p dïng tÝnh chÊt tØ sè
6- Ph−¬ng ph¸p lµm tréi
7- Ph−¬ng ph¸p dïng bÊt ®¼ng thøc trong tam gi¸c
8- Ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn sè
9- Ph−¬ng ph¸p dïng tam thøc bËc hai
10- Ph−¬ng ph¸p quy n¹p
11- Ph−¬ng ph¸p ph¶n chøng
PhÇn 3 :c¸c bµi tËp n©ng cao
PHÇN 4 : øng dông cña bÊt ®¼ng thøc
1- Dïng bÊt ®¼ng thøc ®Ó t×m cùc trÞ
2-Dïng bÊt ®¼ng thøc ®Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh vµ bÊt ph−¬ng tr×nh
3-Dïng bÊt ®¼ng thøc gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn
PhÇn I : c¸c kiÕn thøc cÇn l−u ý
2
1-§inhnghÜa
0
0
A B A B
A B A B
≥ ⇔ − ≥
≤ ⇔ − ≤
2-tÝnh chÊt
+ A>B
AB
<
⇔
+ A>B vµ B >C
CA
>
⇔
+ A>B
⇒
A+C >B + C
+ A>B vµ C > D
⇒
A+C > B + D
+ A>B vµ C > 0
⇒
A.C > B.C
+ A>B vµ C < 0
⇒
A.C < B.C
+ 0 < A < B vµ 0 < C <D
⇒
0 < A.C < B.D
+ A > B > 0
⇒
A
n
> B
n
n
∀
+ A > B
⇒
A
n
> B
n
víi n lÎ
+ A > B
⇒
A
n
> B
n
víi n ch½n
+ m > n > 0 vµ A > 1
⇒
A
m
> A
n
+ m > n > 0 vµ 0 <A < 1
⇒
A
m
< A
n
+A < B vµ A.B > 0
⇒
B
A
11
>
3-mét sè h»ng bÊt ®¼ng thøc
+ A
2
≥
0 víi
∀
A ( dÊu = x¶y ra khi A = 0 )
+ A
n
≥
0 víi
∀
A ( dÊu = x¶y ra khi A = 0 )
+ 0≥A víi
A
∀
(dÊu = x¶y ra khi A = 0 )
+ - A < A < A
+
A B A B
+ ≥ +
( dÊu = x¶y ra khi A.B > 0)
+ BABA −≤− ( dÊu = x¶y ra khi A.B < 0)
PhÇn II : mét sè ph−¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc
Ph−¬ng ph¸p 1 : dïng ®Þnh nghÜa
KiÕn thøc : §Ó chøng minh A > B
Ta chøng minh A –B > 0
L−u ý dïng h»ng bÊt ®¼ng thøc M
2
≥
0 víi∀ M
VÝ dô 1 ∀ x, y, z chøng minh r»ng :
3
a) x
2
+ y
2
+ z
2
≥
xy+ yz + zx
b) x
2
+ y
2
+ z
2
≥
2xy – 2xz + 2yz
c) x
2
+ y
2
+ z
2
+3
≥
2 (x + y + z)
Gi¶i:
a) Ta xÐt hiÖu
x
2
+ y
2
+ z
2
- xy – yz - zx
=
2
1
.2 .( x
2
+ y
2
+ z
2
- xy – yz – zx)
=
2
1
[
]
0)()()(
222
≥−+−+− zyzxyx
®óng víi mäi x;y;z
R
∈
V× (x-y)
2
≥
0 víi∀x ; y DÊu b»ng x¶y ra khi x=y
(x-z)
2
≥
0 víi∀x ; z DÊu b»ng x¶y ra khi x=z
(y-z)
2
≥
0 víi∀ z; y DÊu b»ng x¶y ra khi z=y
VËy x
2
+ y
2
+ z
2
≥
xy+ yz + zx
DÊu b»ng x¶y ra khi x = y =z
b)Ta xÐt hiÖu
x
2
+ y
2
+ z
2
- ( 2xy – 2xz +2yz )
= x
2
+ y
2
+ z
2
- 2xy +2xz –2yz
=( x – y + z)
2
0
≥
®óng víi mäi x;y;z
R
∈
VËy x
2
+ y
2
+ z
2
≥
2xy – 2xz + 2yz ®óng víi mäi x;y;z
R
∈
DÊu b»ng x¶y ra khi x+y=z
c) Ta xÐt hiÖu
x
2
+ y
2
+ z
2
+3 – 2( x+ y +z )
= x
2
- 2x + 1 + y
2
-2y +1 + z
2
-2z +1
= (x-1)
2
+ (y-1)
2
+(z-1)
2
≥
0
DÊu(=)x¶y ra khi x=y=z=1
VÝ dô 2: chøng minh r»ng :
a)
2
22
22
+
≥
+ baba
;b)
2
222
33
++
≥
++ cbacba
c) Hy tæng qu¸t bµi to¸n
gi¶i
a) Ta xÐt hiÖu
2
22
22
+
−
+ baba
=
(
)
4
2
4
2
2222
bababa ++
−
+
=
(
)
abbaba 222
4
1
2222
−−−+
=
( )
0
4
1
2
≥− ba
Chuyên đề bất đẳng thức Toán lớp 9
Chuyên đề bất đẳng thức lớp 9 gồm các phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức. Được VnDoc chia sẻ, hy vọng với Chuyên đề bất đẳng thức này sẽ giúp ích cho các bạn học sinh củng cố thêm kiến thức Toán lớp 9. Mời các bạn tải về tham khảo
- Các bài toán thực tế trong đề tuyển sinh vào 10 THPT
- Bài tập căn bậc hai – căn bậc ba
- Sơ đồ tư duy Toán lớp 9
- Tài liệu ôn thi cấp tốc Đại số lớp 9
- Các dạng toán căn bậc ba - Toán lớp 9
....................................
Ngoài Chuyên đề bất đẳng thức lớp 9. Mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học học kì 1 lớp 9, đề thi học học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Hóa, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với đề thi học kì 2 lớp 9 này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tốt
