Chuyên đề Đường trung bình của tam giác lớp 8 (Nâng cao)

Hình vẽ minh họa:

Ta có DE là đường trung bình của tam giác ABC =>

Gọi G là giao điểm AN và DE.

Ta có E là trung điểm AB và => G là trung điểm AN  

=> EG là đường trung bình tam giác ABN

Hay

Ta lại có:

Vậy G là trọng tâm tam giác ACE

=> AK là trung tuyến tam giác ACE => K là trung điểm EC

Chứng minh tương tự ta được I là trung điểm của EF

Gọi F là trung điểm của BC, ta có: và

=> thẳng hàng

=> K là trung điểm của DF

=> IK là đường trung bình của tam giác

Mà

Hình vẽ minh họa

Gọi E là trung điểm CD

Suy ra BD = DE = EC

Từ E kẻ

Ta có:

=> F là trung điểm của DK

=> EF là đường trung bình của tam giác DKC

=>

Xét tam giác vuông BDH và tam giác vuông EFD có:

Do đó (cạnh huyền – góc nhọn)

=> BH = EF

Vậy hay CK = 2BH là khẳng định đúng.

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ADC có E là trung điểm của AD, I là trung điểm của CD

Suy ra EI là đường trung bình tam giác ADC

=> EI // AC

=> và

Tương tự FI là đường trung bình của tam giác CBD

(so le trong bằng nhau)

Lại có AC = DB (gt) suy ra EI = FI

=> Tam giác IEF cân tại I

=>

Hình vẽ minh họa

Ta có là đường trung bình của tam giác nên

Tam giác có nên I là trung điểm của BD.

Tương tự K là trung điểm của CE. Hình thang BEDC có I, K là trung điểm của hai đường chéo.

Từ đó suy ra

Hình vẽ minh họa

Vì AH là tia phân giác góc BAC, AH vuông góc với BD nên tam giác ABD cân tại A

Do tam giác ABD cân tại H nên AH là đường phân giác đồng thời là đường trung tuyến tam giác ABD

=> H là trung điểm của BD

Ta có:

Xét tam giác BAC có H là trung điểm của BD, M là trung điểm của BC nên HM là đường trung bình tam giác BDC

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm của BD thì:

∆ABC cân tại A, AH là đường cao nên

Ta có HM là đường trung bình của ∆BCD =>

⇒ Tứ giác ADHM là hình thang

Hình thang HMAD có hai đường chéo bằng nhau nên là hình thang cân.

(vì là góc ngoài tam giác BDC) (1)

Đặt

Vậy tam giác ABC có

 Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của CD.

Xét tam giác có là đường trung bình nên do đó (vì ).

Tứ giác có và nên là hình bình hành.

Hình bình hành này có góc nên là hình chữ nhật. Suy ra và

Xét tam giác AKM vuông tại K có KO là đường trung tuyến nên

Xét tam giác KBD có KO là đường trung tuyến mà

Suy ra tam giác KBD vuông tại K

=>

Hình vẽ minh họa

Dễ dàng chứng minh được

Ta có

Ta lại có:

Suy ra

Mặt khác

Vậy DA là phân giác góc

Tam giác có DA vừa là phân giác vừa là đường cao 

=> Tam giác cân tại D.

=> DA cũng là trung tuyến tam giác

=> A là trung điểm MC

Tam giác có A là trung điểm MC và (cùng vuông góc BE)

=> AH là đường trung bình của tam giác MCK

Đáp án đúng: "Đường trung bình của tam giác là đoạn nối trung điểm hai cạnh của tam giác."

Ta có:

EM là đường trung bình của tam giác BCD

DC đi qua trung điểm D của AE và song song với EM

=> DC đi qua trung điểm I của AM

Vì DI là đường trung bình của tam giác AEM nên

Tương tự

Gọi O là trung điểm của BC.

Xét ∆EBC có OM là đường trung bình

Xét ∆DBC có ON là đường trung bình

Ta có: (so le trong).

Xét tam giác ∆APQ cân tại A