Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 8 Khóa học Lớp 8 Toán 8 - Kết nối tri thức với Cuộc sống
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Chuyên đề Đường trung bình của tam giác lớp 8 (Nâng cao)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 15 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 15 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Tính tỉ số hai cạnh BD và AC

    Cho hình thoi ABCD có AB = 13cm;  O là giao điểm của hai đường chéo. Kẻ OH\botAD . Biết OH = 6cm.

    Khi đó tỉ số \frac{BD}{AC}= 2/3

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

    Đáp án là:

    Cho hình thoi ABCD có AB = 13cm;  O là giao điểm của hai đường chéo. Kẻ OH\botAD . Biết OH = 6cm.

    Khi đó tỉ số \frac{BD}{AC}= 2/3

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

     Hình vẽ minh họa

    Vẽ BK⊥ AD.

    Xét ∆BKD có OH//BK (vì cùng vuông góc với AD) và OB = OD nên KH = HD

    Vậy OH là đường trung bình của ∆BKD

    Suy ra OH = \frac{1}{2}BK \Rightarrow BK= 12cm

    Xét ∆ABK vuông tại K có:

    AK^{2} = AB^{2} - BK^{2} = 13^{2} -12^{2} = 25

    \Rightarrow AK = 5cm \Rightarrow KD =8cm

    Xét ∆BKD vuông tại K có:

    BD^{2} = BK^{2} + KD^{2} = 12^{2} +8^{2} = 208

    Xét ∆AOH vuông tại H có:

    OA^{2} = OH^{2} + AH^{2} = 6^{2} + 9^{2}= 117

    \Rightarrow \left( \frac{AC}{2}ight)^{2} = 117 \Rightarrow AC^{2} = 468

    Khi đó: \frac{BD^{2}}{AC^{2}} =\frac{208}{468} = \frac{4}{9} \Rightarrow \frac{BD}{AC} =\frac{2}{3}.

  • Câu 2: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Cho tam giác ABC có I, K lần lượt là trung điểm của AB và AC. Biết IK = 7cm. Ta có: 

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    I, K là trung điểm của AB và AC 

    => IK là đường trung bình tam giác ABC

    \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} IK//BC \hfill \\ IK = \frac{1}{2}BC \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow BC = 2IK = 2.7 = 14\left( {cm} ight)

  • Câu 3: Vận dụng
    Tính số đo góc BEF

    Cho tam giác ABC,(AC < AB);\widehat{A} = 70^{0}. Lấy điểm D \in AB sao cho BD = AC. Gọi các điểm I; E; F lần lượt là trung điểm của CD; AD; CB. Tính số đo góc \widehat{BEF}?

     

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Xét tam giác ADC có E là trung điểm của AD, I là trung điểm của CD

    Suy ra EI là đường trung bình tam giác ADC

    => EI // AC

    => \widehat{IED} = \widehat{A} = 70^{0} và EI = \frac{1}{2}.AC

    Tương tự FI là đường trung bình của tam giác CBD

    \Rightarrow FI//DB;FI = \frac{1}{2}BD

    \Rightarrow \widehat{F_{1}} = \widehat{E_{1}}(so le trong bằng nhau)

    Lại có AC = DB (gt) suy ra EI = FI

    => Tam giác IEF cân tại I

    => \widehat{F_{2}} = \widehat{E_{1}}

    \Rightarrow \widehat{E_{1}} = \widehat{E_{2}} = \frac{1}{2}\widehat{IED} = \frac{1}{2}.70^{0} = 35^{0}

  • Câu 4: Thông hiểu
    Tính chu vi hình thang

    Một hình thang cân có cạnh bên là 2,5cm; đường trung bình là 3cm. Chu vi của hình thang là:

    Hướng dẫn:

    Tổng độ dài hai cạnh đáy là: 3.2=6cm

    Chu vi hình thang cân là: 6+2.2,5=11(cm)

  • Câu 5: Thông hiểu
    Chọn khẳng định đúng

    Cho hình thang ABCD, (AB//CD). Gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của BD, AC, DC. Gọi H là giao điểm của đường thẳng qua E vuông góc với AD và đường thẳng qua F vuông góc với BC. Chọn khẳng định đúng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Chọn khẳng định đúng

    Ta có: E, K lần lượt là trung điểm BD, CD

    => EK là đường trung bình tam giác EFK

    => EK // BC

    Mà FH ⊥ BC => FH ⊥ EK

    Ta có: F, K lần lượt là trung điểm AC, DC

    => FK là đường trung bình tam giác EFK

    => FK // BC

    Mà EH ⊥ AD =>EH ⊥ FK

    => H là trực tâm tam giác EFK.

  • Câu 6: Vận dụng
    Tìm điều kiện để tứ giác là hình chữ nhật

    Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CA. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AD, AF, EF, ED. Khi đó ΔABC có điều kiện gì thì MNPQ là hình chữ nhật?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Đường trung bình trong tam giác

    Xét ΔADE có:

    AM = MD; DQ = EQ

    => MQ là đường trung bình của ΔADE

    \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} MQ//AE \hfill \\ MQ = \frac{1}{2}AE \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Xét ΔAEF có:

    AN = NF; FP = PE (giả thiết)

    => NP là đường trung bình của ΔAEF

    \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} NP//AE \hfill \\ NP = \frac{1}{2}AE \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {MQ//NP\left( {//AE} ight)} \\ {MQ = NP\left( { = \dfrac{1}{2}AE} ight)} \end{array}} ight.

    Tứ giác MNPQ có:

    MQ // NP; MQ = NP

    => MNPQ là hình bình hành

    Để MNPQ là hình chữ nhật thì MN ⊥ PQ (1)

    Ta có: NP // AE (chứng minh trên) (2)

    Ta lại có: AM = MD, AN = NF (gt) => MN // DF

    Mặt khác: AD = DB, AF = FC (gt) => DF // BC

    Vậy MN // BC (3)

    Từ (1), (2), (3) suy ra: AE ⊥ BC

    Mà BE = EC (gt)

    Do đó ΔABC cân tại A (do AE vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến)

  • Câu 7: Vận dụng cao
    Chọn khẳng định đúng

    Cho tam giác ABC, có trung tuyến AM. Lấy điểm D \in AC sao cho DC = 2AD. Gọi I là giao điểm của BD;AM. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi E là trung điểm DC

    Xét tam giác BDC có BM = MC; DE = EC nên ME là đường trung bình của tam giác BDC

    Suy ra BD // ME hay DI // EM

    Xét tam giác AME có: AD = DE; DI // EM nên AI = IM

  • Câu 8: Vận dụng
    Tính tỉ số hai đoạn thẳng BE và ED

    Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC, D là trung điểm của AM. Giao điểm của BD và AC tại điểm E. Tính tỉ số \frac{BE}{ED}?

     

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi F là trung điểm của EC

    Xét tam giác BEC có:

    F là trung điểm của EC, M là trung điểm của BC

    => MF // BE và MF = \frac{1}{2}BE

    Xét tam giác AMF có:

    AD = DM;DE//MF \Rightarrow AE = FE

    => DE là đường trung bình tam giác AMF

    => MF = \frac{1}{2}BE \Rightarrow \frac{BE}{ED} = 4

  • Câu 9: Vận dụng
    Tính tỉ số giữa hai cạnh

    Cho tam giác ABC, các đường cao AK và BD cắt nhau tại G. Vẽ các đường trung trực HE, HF của các cạnh AC, BC. Đường thẳng qua A song song với BG cắt đường thẳng qua B song song với  tại I. Tính tỉ số \frac{AG}{HF}?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có AG // BI và BG // AI nên tứ giác AIBG là hình bình hành, suy ra BG = AI.

    IB // AG => IB⊥BC, mà HF⊥BC, do đó IB // HF.

    Lại có F là trung điểm của BC nên HF đi qua trung điểm của IC.  

    Chứng minh tương tự, HE cũng đi qua trung điểm của IC.

    Từ đó ta được H là trung điểm của IC.

    Trong tam giác AIC, HE là đường trung bình, do đó: HE = \frac{1}{2}AI = \frac{1}{2}BG

    Vậy BG = 2HE.

    Theo chứng minh trên, HF là đường trung bình trong CBI.  

    Suy ra HF = \frac{1}{2}BI = \frac{1}{2}AG (Vì AIBG là hình bình hành).

    Vậy AG = 2HF hay \frac{AG}{HF} = 2

  • Câu 10: Vận dụng
    Tìm điều kiện của hai đường chéo AC và BD

    Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Hai đường chéo AC và BD phải thỏa mãn điều kiện gì để M, N, P, Q là bốn đỉnh của hình vuông.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Hình vuông

    Xét tam giác ABD có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {MA = MB} \\ {QA = QD} \end{array}} ight.

    => QM là đường trung bình của tam giác ABD.

    \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {QM//BD} \\ {QM = \dfrac{1}{2}BD} \end{array}} ight.\left( 1 ight)

    Tương tự ta cũng có NP là đường trung bình của tam giác BCD.

    \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {NP//BD} \\ {NP = \dfrac{1}{2}BD} \end{array}} ight.\left( 2 ight)

    Từ (1) và (2) suy ra MNPQ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

    Tương tự ta cũng có MN là đường trung bình của tam giác BAC \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {MN//AC} \\ {MN = \dfrac{1}{2}AC} \end{array}} ight.

    Để hình bình hành MNPQ là hình vuông

    \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {MN \bot NP} \\ {MN = NP} \end{array}} ight.

    Để {MN \bot NP} => AC ⊥ BD (vì MN // AC, NP // BD)

    Để {MN = NP} => AC = BD (vì \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} MN = \dfrac{1}{2}AC \hfill \\ NP = \dfrac{1}{2}BD \hfill \\ \end{gathered} ight.)

    Vậy điều kiện cần để MNPQ là hình vuông là BD = AC; AC ⊥ BD

  • Câu 11: Vận dụng
    Tính độ dài DC và DI

    Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Trên cạnh AB lấy điểm D và E sao cho AD = DE = EB. Gọi I là giao điểm của CD và AM. Khi đó độ dài DC gấp mấy lần độ dài DI?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    EM là đường trung bình của tam giác BCD

    DC đi qua trung điểm D của AE và song song với EM

    => DC đi qua trung điểm I của AM

    Vì DI là đường trung bình của tam giác AEM nên DI = \frac{1}{2}EM

    Tương tự EM = \frac{1}{2}DC

    \Rightarrow DC = 4DI

  • Câu 12: Vận dụng
    Tính tỉ số cạnh BC và IK

    Cho tam giác ABC. Lấy D, E lần lượt là trung điểm của AC và AB. Trên cạnh BC lấy các điểm M, N sao cho BM = MN = NC. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của AN và CE. Tính tỉ số \frac{BC}{IK}?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có DE là đường trung bình của tam giác ABC => DE // BC

    Gọi G là giao điểm AN và DE.

    Ta có E là trung điểm AB và ED // BN => G là trung điểm AN  

    => EG là đường trung bình tam giác ABN

    Hay EG = \frac{1}{2}BN =\frac{1}{3}BC

    Ta lại có: ED = \frac{1}{2}BC \RightarrowEG = \frac{2}{3}ED

    Vậy G là trọng tâm tam giác ACE

    => AK là trung tuyến tam giác ACE => K là trung điểm EC

    Chứng minh tương tự ta được I là trung điểm của EF

    Gọi F là trung điểm của BC, ta có: DF // AB và DK // AB

    => D, K, F thẳng hàng

    DK = \frac{1}{2}EA = \frac{1}{4}AB =\frac{1}{2}DF=> K là trung điểm của DF

    => IK là đường trung bình của tam giác DEF

    \Rightarrow IK =\frac{1}{2}DE

    Mà DE = \frac{1}{2}BC \Rightarrow IK =\frac{1}{4}BC \Rightarrow \frac{BD}{IK} = 4

  • Câu 13: Vận dụng
    Chọn khẳng định đúng

    Cho góc \widehat {xOy} = {30^0}. Cho một điểm A cố định trên tia Ox sao cho OA = 2cm, một điểm B bất kì trên tia Oy. Trên tia đối của tia BA lấy điểm C sao cho \frac{{BC}}{{BA}} = 2. Hỏi khi điểm B di động trên tia Oy thì điểm C di động trên đường nào?

     

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Đường trung bình của tam giác

    Gọi M là trung điểm của BC.

    Vẽ AH ⊥ Oy; MD ⊥ Oy và CE ⊥ Oy

    Xét tam giác AOH vuông tại H có \widehat O = {30^0} nên

    AH = \frac{1}{2}OA = 1cm

    \Delta MDB = \Delta AHB \Rightarrow MD = AH = 1cm

    Xét tam giác BCE, dễ thấy MD là đường trung bình nên CE =2 MD = 2 cm

    Điểm C cách Oy một khoảng là 2cm nên C di động trên đường thẳng song song với Oy và cách Oy một khoảng bằng 2cm.

  • Câu 14: Thông hiểu
    Tính chu vi tứ giác BCMN

    Cho tam giác ABC đều có AB = 12cm. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB;AC. Tính chu vi tứ giác BCMN?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC

    \Rightarrow MN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}.12 = 6(cm)

    Mặt khác \left\{ \begin{matrix}MB = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}.12 = 6(cm) \\NC = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}.12 = 6(cm) \\\end{matrix} ight.

    Chu vi tứ giác BCNM là:

    BM + MN + NC + BC = 6.3 + 12 = 30(cm)

  • Câu 15: Vận dụng cao
    Tính giá trị lớn nhất của HF + EG

    Cho tứ giác ABCD có chu vi là 40cm. Gọi E, F, G; H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tính giá trị lớn nhất của HF + EG.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi M là trung điểm của BD

    Xét tam giác ABD có HM là đường trung bình nên HM = \frac{1}{2}AB

    Xét tam giác BDC có MF là đường trung bình nên MF = \frac{1}{2}CD

    Xét ba điểm M,H,F có: HF \leq MH + MF = \frac{AB + CD}{2}

    Chứng minh tương tự EG \leq \frac{AD + BC}{2}

    \Rightarrow HF + EG \leq \frac{AB + CD + AD + BC}{2} = \frac{40}{2} = 20

    Vậy giá trị lớn nhất của tổng độ dài hai cạnh cần tìm là 20cm.

0/15
15 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (7%):
    2/3
  • Thông hiểu (20%):
    2/3
  • Vận dụng (60%):
    2/3
  • Vận dụng cao (13%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
35 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này