Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 10 Toán lớp 10 Giải Vở BT Toán 10

Giải SBT Toán 10 kết nối tri thức trang 38 tập 2

Giải Toán 10 KNTT tập 2 Bài 20 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách
Lớp: Lớp 10
Môn: Toán
Dạng tài liệu: Giải bài tập
Bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống
Phân loại: Tài liệu Tính phí

Giải SBT Toán 10 Bài 20 trang 38 Kết nối tri thức Tập 2

Trong hình học tọa độ lớp 10, việc xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng và tính góc, khoảng cách là kỹ năng quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức trang 38 tập 2 – Bài 20 chi tiết, giúp bạn hiểu rõ bản chất và cách làm từng dạng bài.

Giải bài 7.11 trang 38 sách bài tập Toán 10 KNTT Tập 2

Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

a) d: y – 1 = 0 và k: x – y + 4 = 0;

b) a:\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 2t \end{matrix} \right. và b: 3x + y + 1 = 0;

c) m:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 - \sqrt{3}t \end{matrix} \right.\ ;n:\left\{ \begin{matrix} x = 4 - t' \\ y = \sqrt{3}t' \end{matrix} \right.

Hướng dẫn giải:

a) Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng d và k. Từ giả thiết ta có \overrightarrow{n_{d}} = (0;1),\overrightarrow{n_{k}} = (1; - 1). Do đó, theo công thức tính góc của hai đường thẳng thì

\cos\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{n_{d}},\overrightarrow{n_{k}} \right) \right| = \frac{\left| \overrightarrow{n_{d}}.\overrightarrow{n_{k}} \right|}{\left| \overrightarrow{n_{d}} \right|.\left| \overrightarrow{n_{k}} \right|}= \frac{|0.1 + 1. - 1|}{\sqrt{0^{2} + 1^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

⇒ φ=45o.

Vậy góc giữa hai đường thẳng là φ = 45°.

b) Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng a và b. Từ giả thiết ta có \overrightarrow{u_{a}} = (1;2),\overrightarrow{n_{b}} = (3;1) nên \overrightarrow{u_{b}} = (1; - 3). Do đó, theo công thức tính góc của hai đường thẳng thì:

\cos\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{u_{a}},\overrightarrow{u_{b}} \right) \right| = \frac{\left| \overrightarrow{u_{a}}.\overrightarrow{u_{b}} \right|}{\left| \overrightarrow{u_{a}} \right|.\left| \overrightarrow{u_{b}} \right|}= \frac{\left| 1.1 + 2.( - 3) \right|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}.\sqrt{3^{2} + 1^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

⇒ φ=45o

Vậy góc giữa hai đường thẳng a và b là φ = 45°.

c) Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng m và n. Từ giả thiết ta có \overrightarrow{u_{m}} = \left( 1;\sqrt{3} \right);\overrightarrow{u_{n}} = \left( - 1;\sqrt{3} \right). Do đó theo công thức tính góc giữa hai đường thẳng thì:

\cos\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{u_{m}},\overrightarrow{u_{n}} \right) \right| = \frac{\left| \overrightarrow{u_{m}}.\overrightarrow{u_{n}} \right|}{\left| \overrightarrow{u_{m}} \right|.\left| \overrightarrow{u_{n}} \right|}= \frac{\left| 1.( - 1) + \sqrt{3}.\sqrt{3} \right|}{\sqrt{1^{2} + \left( \sqrt{3} \right)^{2}}.\sqrt{( - 1)^{2} + \left( \sqrt{3} \right)^{2}}} = \frac{1}{2}

⇒ φ=60o

Vậy góc giữa hai đường thẳng m và n là φ = 60°.

Giải bài 7.12 trang 38 sách bài tập Toán 10 KNTT Tập 2

Cho hai đường thẳng d: 2x + y + 1 = 0 và k: 2x + 5y – 3 = 0.

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng cắt nhau. Tìm giao điểm của hai đường thẳng đó.

b) Tính tang của góc giữa hai đường thẳng.

Hướng dẫn giải:

a) Xét d: 2x + y + 1 = 0 và k: 2x + 5y – 3 = 0 ta có:

a1 = 2, b1 = 1, c1 = 1

a2 = 2, b2 = 5, c2 = –3

Xét tỉ số:

\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{2}{2} = 1;\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{1}{5};\frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{1}{- 3} = - \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}

Do đó, d và k cắt nhau (điều cần phải chứng minh).

Giao điểm của hai đường thẳng có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:

\left\{ \begin{matrix} 2x + y + 1 = 0 \\ 2x + 5y - 3 = 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = 1 \end{matrix} \right.

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là (–1; 1).

b) Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng d và k.

Từ giả thiết ta có \overrightarrow{n_{d}} = (2;1),\overrightarrow{n_{k}} = (2;5)

Do đó, theo công thức tính góc của hai đường thẳng thì:

\cos\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{n_{d}},\overrightarrow{n_{k}} \right) \right| = \frac{\left| \overrightarrow{n_{d}}.\overrightarrow{n_{k}} \right|}{\left| \overrightarrow{n_{d}} \right|.\left| \overrightarrow{n_{k}} \right|}

= \frac{|2.2 + 1.5|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2}}.\sqrt{2^{2} + 5^{2}}} = \frac{9}{\sqrt{145}}

Vì φ là góc giữa hai đường thẳng nên 0° ≤ φ ≤ 90°, hơn nữa cosφ ≠ 0 và cosφ ≠ 1 nên ta có: 0° < φ < 90°, suy ra tanφ > 0.

Lại có: 1\ + \ tan^{2}\varphi\ = \ \frac{1}{cos^{2}\varphi}.

Do đó, tan2\varphi = \frac{1}{cos^{2}\varphi} - 1 = \frac{145}{81} - 1 = \frac{64}{81} \Rightarrow \tan\varphi = \frac{8}{9}

Giải bài 7.13 trang 38 sách bài tập Toán 10 KNTT Tập 2

Trong mặt phẳng Oxy, tìm điểm M thuộc trục Ox sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆: 3x + y – 3= 0 bằng √10.

Hướng dẫn giải:

Do M thuộc Ox nên toạ độ của M có dạng M(m; 0).

Từ giả thiết ta có:

d(M;\Delta) = \frac{|3m + 0 - 3|}{\sqrt{3^{2} + 1^{2}}} = \sqrt{10}⇔ |3m – 3| = 10 (*)

TH1: 3m – 3 ≥ 0 hay m ≥ 1

Khi đó, ta có:

(*) ⇔ 3m – 3 = 10 ⇔ m = \frac{13}{3} (thỏa mãn)

TH2: 3m – 3 < 0 hay m < 1

Khi đó, ta có:

(*) ⇔ –3m + 3 = 10 ⇔ m = - \frac{7}{3} (thỏa mãn)

Vậy có hai điểm thoả mãn là M_{1}\left( \frac{13}{3};0 \right);M_{2}\left( - \frac{7}{3};0 \right).

Giải bài 7.14 trang 38 sách bài tập Toán 10 KNTT Tập 2

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆: 2x + y – 5 = 0.

a) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(3; 1) và song song với đường thẳng ∆.

b) Viết phương trình đường thẳng k đi qua điểm B(–1; 0) và vuông góc với đường thẳng ∆.

c) Lập phương trình đường thẳng a song song với đường thẳng ∆ và cách điểm O một khoảng bằng √5.

Hướng dẫn giải:

a) Đường thẳng d qua điểm A(3; 1) và song song với đường thẳng ∆ nên nhận vectơ pháp tuyến bằng vectơ pháp tuyến của ∆ là: \overrightarrow{n\ } = (2;1)

Phương trình đường thẳng d là:

2(x – 3) + 1(y – 1) = 0⇔ 2x + y – 6 – 1 = 0⇔ 2x + y – 7 = 0.

b) Đường thẳng k đi qua điểm B(–1; 0) và vuông góc với đường thẳng ∆ nên vectơ pháp tuyến của k vuông góc với vectơ pháp tuyến của ∆.

Do \overrightarrow{n\ } = (2;1) là một vectơ pháp tuyến của ∆ nên \overrightarrow{n'\ } = ( - 1;2) là một vectơ pháp tuyến của d.

Phương trình đường thẳng k là:

1.[x – (–1)] – 2.(y – 0) = 0⇔ x – 2y + 1 = 0.

c) Đường thẳng a song song với đường thẳng ∆ nên nhận vectơ pháp tuyến bằng vectơ pháp tuyến của ∆ là: \overrightarrow{n\ } = (2;1)

Do đó, phương trình đường thẳng a có dạng: 2x + y + c = 0 với c ≠ –5.

Theo công thức tính khoảng cách ta có

d(O;a) = \frac{|2.0 + 0 + c|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2}}} = \sqrt{5}⇔ |c| = 5⇔ c = ±5

Mà c ≠ –5 nên c = 5

Vậy phương trình đường thẳng a là: 2x + y + 5 = 0.

Giải bài 7.15 trang 38 sách bài tập Toán 10 KNTT Tập 2

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(2; –1), B(2; –2) và C(0; –1).

a) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ A.

b) Tính diện tích tam giác ABC.

c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

a) Độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ A chính là khoảng cách từ điểm A đến cạnh BC.

Đường thẳng BC nhận \overrightarrow{BC} = ( - 2;1) là một vectơ chỉ phương. Do đó \overrightarrow{n\ } = (1;2) là một vectơ pháp tuyến của BC.

Đường thẳng BC đi qua đểm B(2; –2) và có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n\ } = (1;2) nên có phương trình tổng quát là:

1(x – 2) + 2.[y – (–2)] = 0⇔ x + 2y – 2 + 4 = 0⇔ x + 2y + 2 = 0

Theo công thức tính khoảng cách, ta có

d(A;BC) = \frac{\left| 2 + 2.( - 1) + 2 \right|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{5}}

Vậy độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ A là: 2√5 (đvđd).

b) \overrightarrow{BC} = ( - 2;1)

Ta có BC = \sqrt{( - 2)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{5} (đvđd)

S_{ABC} = \frac{1}{2}d(A;BC).BC = \frac{1}{2}.2\sqrt{5}.\sqrt{5} = 5 (đvdt).

c) \overrightarrow{AB} = (0; - 1) \Rightarrow AB = \sqrt{0^{2} + ( - 1)^{2}} = 1 (đvđd)

\overrightarrow{AC} = ( - 2;0) \Rightarrow AC = \sqrt{( - 2)^{2} + 0^{2}} = 2 (đvđd)

BC=√5.

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là

r = \frac{S_{ABC}}{p} = \frac{1}{\frac{1 + \sqrt{5} + 2}{2}} = \frac{2}{3 + \sqrt{5}} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} (đvđd).

Giải bài 7.16 trang 38 sách bài tập Toán 10 KNTT Tập 2

Cho đường thẳng d: x – 2y + 1 = 0 và điểm A(–2; 2).

a) Chứng minh A không thuộc đường thẳng d.

b) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng d.

c) Xác định điểm đối xứng của A qua đường thẳng d.

Hướng dẫn giải:

a) Thay toạ độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta có:

–2 – 2.2 + 1 = –5 ≠ 0

Vậy điểm A không thuộc đường thẳng d (điều cần phải chứng minh).

b) Gọi ∆ là đường thẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng d. Khi đó ∆ nhận vectơ chỉ phương →ud=(2;1) của đường thẳng d là một vectơ pháp tuyến nên phương trình ∆ là:

2(x + 2) + 1(y – 2) = 0⇔ 2x + y + 4 – 2 = 0⇔ 2x + y + 2 = 0

Hình chiếu vuông góc H của điểm A trên đường thẳng d là giao điểm của đường thẳng d và ∆. Do đó, toạ độ của điểm H là nghiệm của hệ phương trình:

\left\{ \begin{matrix} x - 2y + 1 = 0 \\ 2x + y + 2 = 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = 0 \end{matrix} \right.

Vậy H(–1; 0).

c) Gọi A'(xA’; yA’) là điểm đối xứng với A qua d. Khi đó H là trung điểm của AA’.

Ta có:

xH = (xA + xA’) : 2 ⇔ xA’ ­­­­­­= 2xH – xA = 2.(–1) – (–2) = 0

yH = (yA + yA’) : 2 ⇔ yA’ ­­­­­­= 2yH – yA = 2.0 – 2 = –2

Vậy A’(0; –2).

Giải bài 7.17 trang 38 sách bài tập Toán 10 KNTT Tập 2

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(–3; 0), B(1; –2) và đường thẳng d: x + y – 1 = 0.

a) Chứng minh rằng hai điểm A và B nằm cùng phía so với đường thẳng d.

b) Điểm M thay đổi trên đường thẳng d. Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác ABM.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có (–3 + 0 – 1).(1 – 2 – 1) = 8 > 0 nên theo tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ta có A, B nằm cùng phía so với đường thẳng d.

b) Dựa vào phương trình đường thẳng d ta có:

x + y – 1 = 0⇔ y = 1 – x

Do M thuộc đường thẳng d nên toạ độ của điểm M có dạng M(t; 1– t).

Chu vi tam giác ABM là: AB + MA + MB

Mà AB luôn không đổi nên chu vi tam giác ABM nhỏ nhất khi và chỉ khi MA + MB nhỏ nhất.

Lấy A’ đối xứng với A qua đường thẳng d. Khi đó ta có:

MA + MB = MA’ + MB ≥ A’B

Dấu bằng xảy ra khi M = A’B ∩ d

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên d. Khi đó AH đi qua điểm A(–3;0) và nhận vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{d}} = (1; - 1) của đường thẳng d là vectơ pháp tuyến nên phương trình của AH là:

1(x + 3) – 1(y – 0) = 0⇔ x – y + 3 = 0

Vậy toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình

\left\{ \begin{matrix} x + y - 1 = 0 \\ x - y + 3 = 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = 2 \end{matrix} \right.

Suy ra H(–1; 2). Mặt khác, H là trung điểm của AA’ nên ta có:

xH = (xA + xA’) : 2 ⇔ xA’ ­­­­­­= 2xH – xA = 2.(–1) – (–3) = 1

yH = (yA + yA’) : 2 ⇔ yA’ ­­­­­­= 2yH – yA = 2.2 – 0 = 4

Do đó, ta có A’(1; 4)

Ta có \overrightarrow{A'B} = (0; - 6) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng A’B. Do đó A’B là đường thẳng đi qua đểm A’(1; 4) và nhận \overrightarrow{n} = (1;0) là một vectơ pháp tuyến. Phương trình của đường thẳng A’B là:

1(x – 1) + 0(y – 4) = 0⇔ x – 1 = 0

Vậy toạ độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình

\left\{ \begin{matrix} x + y - 1 = 0 \\ x - 1 = 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 0 \end{matrix} \right.

Do đó ta có M(1; 0).

-----------------------------------------------

Lời giải SBT Toán 10 trang 38 tập 2 sẽ giúp bạn củng cố kiến thức về vị trí, góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng. Hãy luyện tập thêm để nâng cao độ chính xác và tốc độ làm bài.

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Mua ngay
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
30 lượt tải tài liệu
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
1
Bài viết đã được lưu
Mục lục

Có thể bạn quan tâm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này