Giải SBT Toán 10 kết nối tri thức trang 39 tập 1
Giải SBT Toán 10 Bài 6 trang 39 Kết nối tri thức Tập 1
Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức trang 39 tập 1 cung cấp lời giải chi tiết Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác. Nội dung bám sát chương trình mới, giúp học sinh hiểu bản chất các công thức và vận dụng hiệu quả để học tốt môn Toán 10.
Giải bài 3.9 trang 39 sách bài tập Toán 10 Tập 1 KNTT
Cho tam giác ABC có a = 4, 
\(\widehat C = {60^0}\), b = 5.
a) Tính các góc và cạnh còn lại của tam giác.
b) Tính diện tích của tam giác.
c) Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác.
Hướng dẫn giải:
Áp dụng định lý côsin cho tam giác ABC ta có:
c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC
=> c2 = 42 + 52 – 2.4.5.cos60°
= 16 + 25 – 40. \(\frac{1}{2}\)= 21 \(\Rightarrow c = \sqrt {21}\)
Áp dụng định lý sin ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)
Do đó:
\(\sin B = \frac{{\sin C}}{c}.b = \frac{{\sin {{60}^0}.5}}{{\sqrt {21} }} = \frac{{5\sqrt 7 }}{{14}} \Rightarrow \widehat B \approx {70^0}53'36''\)
\(\sin A = \frac{{\sin C}}{c}.a = \frac{{\sin {{60}^0}.4}}{{\sqrt {21} }} = \frac{{2\sqrt 7 }}{7} \Rightarrow \widehat A \approx {49^0}6'24''\)
b) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta có:
\(S = \frac{1}{2}.ab.\sin C = \frac{1}{2}.4.5.\sin {60^0} = 5\sqrt 3\)
Vậy diện tích tam giác ABC bằng \(5\sqrt{3}\)
c) Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến ta có:
\(\begin{array}{l}
m_a^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{{5^2} + {{\left( {\sqrt {21} } \right)}^2}}}{2} - \frac{{{4^2}}}{4} = 19\\
\Rightarrow {m_a} = \sqrt {19}
\end{array}\)
Vậy độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC là: \(\sqrt {19}\).
Giải bài 3.10 trang 39 sách bài tập Toán 10 Tập 1 KNTT
Một tàu cá xuất phát từ đảo A, chạy 50 km theo hướng N24°E đến đảo B để lấy thêm ngư cụ, rồi chuyển hướng N36°W chạy tiếp 130 km đến ngư trường C.
a) Tính khoảng cách từ vị trí xuất phát A đến C (làm tròn đến hàng đơn theo đơn vị đo kilômét).
b) Tìm hướng từ A đến C (làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị độ).
Hướng dẫn giải:
Ba vị trí đảo A, đảo B và ngư trường C được mô tả như hình vẽ dưới đây:
a) Ta có: \(\widehat {ABC} = \left( {90^\circ - 24^\circ } \right) + \left( {90^\circ - 36^\circ } \right) = 120^\circ\)
Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:
AC2 = AB2 + BC2 – 2.AB.BC.\(\cos \widehat {ABC}\)
= 502 + 1302 – 2.50.130.(\(- \frac{1}{2}\)) = 25 900
\(\Rightarrow AC = 10\sqrt {259} \approx 161\left( {km} \right)\)
Vậy khoảng cách từ đảo A đến ngư trường C khoảng 161 km.
b) Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} = \frac{{AC}}{{\sin \widehat {ABC}}}\\
\Rightarrow \sin \widehat {BAC} = \frac{{BC.\sin \widehat {ABC}}}{{AC}} \approx 0,699\\
\Rightarrow \widehat {BAC} \approx {44^0}
\end{array}\)
Do đó AC có hướng chếch về hướng W một góc 44° – 24° = 22° so với hướng N.
Vậy từ A đến C có hướng N20°W.
Giải bài 3.11 trang 39 sách bài tập Toán 10 Tập 1 KNTT
Một tàu du lịch xuất phát từ bãi biển Đồ Sơn (Hải Phòng), chạy theo hướng N80°E với vận tốc 20 km/h. Sau khi đi được 30 phút, tàu chuyển sang hướng E20°S giữ nguyên vận tốc và chạy tiếp 36 phút nữa đến đảo Cát Bà. Hỏi khi đó tàu du lịch cách vị trí xuất phát bao nhiêu kilômet?
Một tàu du lịch xuất phát từ bãi biển Đồ Sơn (Hải Phòng), chạy theo hướng N80°E với vận tốc 20 km/h. Sau khi đi được 30 phút, tàu chuyển sang hướng E20°S giữ nguyên vận tốc và chạy tiếp 36 phút nữa đến đảo Cát Bà. Hỏi khi đó tàu du lịch cách vị trí xuất phát bao nhiêu kilômet?
Hướng dẫn giải:
Giả sử tàu du lịch xuất phát từ điểm A, chuyển động theo hướng N80°E tới B sau đó chuyển hướng E20°S tới điểm C như hình vẽ dưới đây.
Ta có: \(\widehat {ABC} = 180^\circ - 10^\circ - 20^\circ = 150^\circ\)
Tàu chạy từ A đến B với vận tốc 20 km/h trong 30 phút (= 0,5 giờ) nên:
AB = 20.0,5 = 10 (km).
Tàu chạy từ B đến C với vận tốc 20 km/h trong 36 phút (= 0,6 giờ) nên:
BC = 20.0,6 = 12 (km)
Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta được:
\(A{C^2}\; = {\rm{ }}A{B^2}\; + {\rm{ }}B{C^2}\;-{\rm{ }}2.AB.BC.\cos \widehat {ABC}\)
= 102 + 122 – 2.10.12.cos150°
= 100 + 144 – 240.(\(\frac{{ - \sqrt 3 }}{2}\)) = 452 (km)
Suy ra
Vậy khi tới đảo Cát Bà thì tàu du lịch cách vị trí xuất phát (bãi biển Đồ Sơn) khoảng 21,26 km.
Giải bài 3.12 trang 39 sách bài tập Toán 10 Tập 1 KNTT
Một cây cổ thụ mọc thẳng đứng bên lề một con dốc có độ dốc 10 độ so với phương nằm ngang. Từ một điểm dưới chân dốc, cách gốc cây 31 m người ta nhìn đỉnh ngọn cây dưới một góc 40° so với phương nằm ngang. Hãy tính chiều cao của cây.
Hướng dẫn giải:
Cây cổ thụ và con dốc được mô tả như hình vẽ dưới đây:
Vì con dốc có độ dốc 10° so với phương nằm ngang, người nhìn nhìn đỉnh ngọn cây dưới một góc 40° so với phương nằm ngang nên ta có \(\widehat {BAC} = 40^\circ - 10^\circ = 30^\circ\).
Và \(\;\widehat {ACB} = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\)
Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:
\(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}}\)
\(BC = \frac{{\sin \widehat {BAC}.AB}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{\sin {{30}^0}.31}}{{\sin {{50}^0}}} \approx 20,23\)
Vậy chiều cao của cây khoảng 20,23 m.
Giải bài 3.13 trang 39 sách bài tập Toán 10 Tập 1 KNTT
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a) \(\cot A + \cot B + \cot C = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4S}}.\)
b) \(m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)
Hướng dẫn giải:
a) Áp dụng định lí côsin ta có:
\(\cos A = \;\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\) (1)
Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta có:
\(S = \frac{1}{2}bc.\sin A \Rightarrow \sin A = \frac{{2S}}{{bc}}\;\) (2)
Từ (1) và (2) ta có:
\(\cot A = \frac{{\cos A}}{{\sin A}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}:\frac{{2S}}{{bc}}\)
\(\cot A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4S}}\)
Chứng minh tương tự ta cũng có:
\(\cot B = \;\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{4S}}\) và \(\cot C = \;\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{4S}}\)
Do đó:
\(\begin{array}{l}
\cot A{\rm{ }} + {\rm{ }}\cot B{\rm{ }} + {\rm{ }}\cot C\\
= \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} + \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{4S}} + \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{4S}}\\
= \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4S}}
\end{array}\)
Vậy \(\cot A + \cot B + \cot C = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4S}}\)
b) Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến ta có:
\(\begin{array}{l}
m_a^2 = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}\\
m_b^2 = \dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{b^2}}}{4}\\
m_c^2 = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \dfrac{{{c^2}}}{4}
\end{array}\)
Do đó:
\(m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4} + \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4}\)
\(= \frac{{2.\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{3} - \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{4}\)
\(= {a^2} + {b^2} + {c^2} - \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{4} = \frac{{3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{4}\)
Vậy: \(m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\) (điều phải chứng minh).
Giải bài 3.15 trang 39 sách bài tập Toán 10 Tập 1 KNTT
Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn \(\frac{{\sin A}}{1} = \frac{{\sin B}}{2} = \frac{{\sin C}}{{\sqrt 3 }}\). Tính số đo các góc của tam giác.
Hướng dẫn giải:
Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:
\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sin A = \frac{a}{{2R}}\\
\sin B = \frac{b}{{2R}}\\
\sin C = \frac{c}{{2R}}
\end{array} \right.\)
Theo bài ra ta có:
\(\frac{{\sin A}}{1} = \frac{{\sin B}}{2} = \frac{{\sin C}}{{\sqrt 3 }}\)\(\Rightarrow \frac{{\frac{a}{{2R}}}}{1} = \frac{{\frac{b}{{2R}}}}{2} = \frac{{\frac{c}{{2R}}}}{{\sqrt 3 }}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{1} = \frac{b}{2} = \frac{c}{{\sqrt 3 }}\)
Đặt \(\frac{a}{1} = \frac{b}{2} = \frac{c}{{\sqrt 3 }} = t\)
Suy ra a = t; b = 2t; c =\(\sqrt 3\) t.
Suy ra a2 = t2; b2 = 4t2; c2 = 3t2.
Ta thấy: a2 + c2 = b2 = 4t2
Theo định lý Pythagore đảo ta có tam giác ABC vuông tại B.
⇒ sinB = 1.
\(\Rightarrow \frac{{\sin A}}{1} = \frac{1}{2} = \frac{{\sin C}}{{\sqrt 3 }}\)
\(\Rightarrow \sin A = \frac{1}{2};\sin C = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
\(\Rightarrow \widehat A = {30^0};\widehat C = {60^0}\)
Vậy \(\widehat A = {30^0};\widehat C = {60^0};\widehat B = {90^0}\)
Bài 3.16 trang 39 sách bài tập Toán 10 Tập 1 KNTT
Cho tam giác ABC có S = 2R2.sin A.sinB. Chứng minh rằng tam giác ABC là một tam giác vuông.
Hướng dẫn giải:
Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:
\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 2R.\sin A\\
b = 2R.\sin B\\
c = 2R.\sin C
\end{array} \right.\)
Theo công thức tính diện tích tam giác ta có:
\(S = \frac{{abc}}{{4R}} = \frac{{\left( {2R\sin A} \right).\left( {2R\sin B} \right).\left( {2R\sin C} \right)}}{{4R}}\)
\(\Rightarrow S = \frac{{8{R^3}\sin A.\sin B.\sin C}}{{4R}}\)\(\Rightarrow S = 2{R^2}\sin A.\sin B.\sin C\)
Mà theo bài S = 2R2.sin A.sinB.
Do đó sinC = 1 \(\Rightarrow \widehat C = {90^0}\)
Vậy tam giác ABC vuông tại C.
--------------------------------------------
Tham khảo lời giải SBT Toán 10 KNTT trang 39 tập 1 sẽ giúp bạn củng cố kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác, nâng cao kỹ năng giải toán và tự tin đạt kết quả cao trong các bài kiểm tra.
