Dấu của tam thức bậc hai sách CTST
Định nghĩa
Đa thức bậc hai 
\(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) với \(a, b, c\) là hệ số, \(a \ne 0\) và \(x\) là biến số được gọi là tam thức bậc hai.
- Nghiệm của tam thức bậc hai là nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\).
- Biểu thức \(\Delta = {b^2} - 4ac,\Delta ' = {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} - ac\) lần lượt là biệt thức và biểu thức thu gọn của \(f(x)\).
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\), \(a \ne 0\). Khi thay \(x\) bằng giá trị \(x_0\) vào \(f(x)\), ta được \(f\left( {{x_0}} \right) = a{x_0}^2 + b{x_0} + c\), gọi là giá trị của tam thức bậc lai tại \(x_0\).
- Nếu \(f\left( {{x_0}} \right) > 0\) thì ta nói \(f(x)\) đương tại \(x_0\).
- Nếu \(f\left( {{x_0}} \right) < 0\) thì ta nói \(f(x)\) âm tại \(x_0\).
- Nếu \(f(x)\) đương (âm) tại mọi điểm x thuộc một khoảng hoặc một đoạn thì ta nói \(f(x)\) dương (âm) trên khoảng hoặc đoạn đó.
Ví dụ: \(f\left( x \right) = - {x^2} + 3x + 4;f\left( x \right) = 5{x^2} - x;...\)
2. Định lí về dấu của tam thức bậc hai
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c,\left( {a \ne 0} \right)\). Đặt \(\Delta = {b^2} - 4ac\)
Nếu \(\Delta < 0\) thì \(a.f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)
Nếu \(\Delta = 0\) thì \(a.f\left( x \right) \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{b}{{2a}}\)
Nếu \(\Delta > 0\) thì \(f\left( x \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1} < {x_2}\) và
- \(a.f\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( { - \infty ,{x_1}} \right) \cup \left( {{x_2}, + \infty } \right)\)
- \(a.f\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( {{x_1},{x_2}} \right)\)
Chú ý
a) Để xét dấu tam thức bậc hai f(x) = \(a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\), ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính và xác định đâu của biệt thức \(\Delta\).
Bước 2: Xác định nghiệm của \(f\left( x \right)\) (nếu có).
Bước 3: Xác định đâu của hệ sô a.
Bước 4: Xác định dâu của \(f\left( x \right)\).
b) Khi xét dấu của tam thức bậc hai, ta có thể đùng biệt thúc thu gọn \(\Delta '\) thay cho biệt thức \(\Delta\).
Ví dụ: Xét dấu của tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - 5x - 6\)
Hướng dẫn giải
Ta có: \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = - 1} \\
{x = 6}
\end{array}} \right.\)
Do \(a > 0\) nên
\(f\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( { - \infty , - 1} \right) \cup \left( {6, + \infty } \right)\)
\(f\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( { - 1;6} \right)\)
3. Tìm điều kiện để tam thức bậc hai luôn mang một dấu
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c,\left( {a \ne 0} \right)\)
- \(f(x) > 0\) vô nghiệm \(\Leftrightarrow f\left( x \right) \leqslant 0\) nghiệm đúng với \(\forall x \in \mathbb{R}\).
Nghĩa là \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a < 0} \\
{\Delta \leqslant 0}
\end{array}} \right.\)
- \(f(x) < 0\) vô nghiệm \(\Leftrightarrow f\left( x \right) \geqslant 0\) nghiệm đúng với \(\forall x \in \mathbb{R}\).
Nghĩa là \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a > 0} \\
{\Delta \leqslant 0}
\end{array}} \right.\)
- \(f(x) \geqslant 0\) vô nghiệm \(\Leftrightarrow f\left( x \right) < 0\) nghiệm đúng với \(\forall x \in \mathbb{R}\).
Nghĩa là \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a < 0} \\
{\Delta < 0}
\end{array}} \right.\)
- \(f(x) \leqslant 0\) vô nghiệm \(\Leftrightarrow f\left( x \right) > 0\) nghiệm đúng với \(\forall x \in \mathbb{R}\).
Nghĩa là \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a > 0} \\
{\Delta < 0}
\end{array}} \right.\)
Ví dụ: Cho \(f\left( x \right) = \left( {{m^2} + 2} \right) - 2\left( {m + 1} \right)x + 1\). Tìm các giá trị của tham số m để f(x) luôn dương với mọi x.
Hướng dẫn giải
Để f(x) luôn dương với mọi x
\(\begin{matrix}
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a > 0} \\
{\Delta ' < 0}
\end{array}} \right. \hfill \\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{m^2} + 2 > 0} \\
{{{\left( {m + 1} \right)}^2} - \left( {{m^2} + 2} \right) < 0}
\end{array}} \right. \hfill \\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{m^2} + 2 > 0} \\
{2m - 1 < 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow m < \dfrac{1}{2} \hfill \\
\end{matrix}\)
