Không gian mẫu và biến cố

Một trong những khái niệm cơ bản của lí thuyết xác suất là phép thử. Một thí nghiệm, một phép đo hay một sự quan sát hiện tượng nào đó,... được gọi là phép thử.

Để đơn giản ta gọi tắt phép thử ngẫu nhiên là phép thử và trong chương trình toán phổ thông ta
chỉ xét phép thử có hữu hạn kết quả.

Chú ý: Trong chương này ta chỉ xét các phép thử mà không gian mẫu gồm hữu hạn phần tử

Ví dụ: Một đồng xu có hai mặt, trên một mặt có ghi giá trị của đồng xu, thường gọi là mặt sắp, mặt kia là mặt ngửa. Hãy xác định không gian mẫu của mỗi phép thử ngẫu nhiên sau:

a) Tung đồng xu một lần

b) Tung đồng xu hai lần

Hướng dẫn giải

a) Khi tung đồng xu một lần, ta có không gian mẫu là \(\Omega = {S; X}\), trong đó kí hiệu S đề chỉ đồng xu xuất hiện mặt sấp và N để chỉ đồng xu xuất hiện mặt ngửa

b) Khi tung đồng xu hai lần, ta có không gian mẫu là \(\Omega = {SS; SN; NS; VM}\)

Ở đây ta quy ước SN có nghĩa là lần đầu tung được mặt sấp, lần sau tung được mặt ngửa.

Các kí hiệu SS, NS, NN được hiểu một cách tương tự.

2. Biến cố

Chú ý:

• Biến cố có thể được cho dưới dạng một mệnh đề xác định tập hợp. Kí hiệu các biến cố bằng các chữ in hoa \(A, B, C, ...\)
• Khi nói cho các biến cố \(A, B, ...\) mà không nói gì thêm thì ta hiểu chúng cùng liên quan đến một phép thử.

Biến cố \(A\) xảy ra trong một phép thử nào đó khi và chỉ khi kết quả của phép thử đó là một phần tử của \(A\) (hay thuận lợi cho \(A\).

Ví dụ: Xét phép thử gieo hai con xúc xắc.

a) Hãy xác định không gian mẫu của phép thử.

b) Viết tập hợp mô tả biên cố “Tổng số châm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 4”. Có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho biến cố đó?

Hướng dẫn giải

a) Kết quả của phép thử là một cấp số (i; j), trong đó i và j lần lượt là số chấm xuất hiện trên con xúc xắc thứ nhất và thứ hai

Không gian mẫu của phép thử là:

\(\Omega = \{(1;1); (1;2); 1; 3); (1; 4; (1; 5); (1; 6)\) ;

\((2; 1); (2; 2); (2; 3); 2; 4); (2; 5): (2; 6)\);

\((3; 1); (3; 2); (3; 3); (3; 4); (3; 5); (3; 6)\),

\((4; 1); (4; 2); (4; 3); (4; 4); (4; 5); (4: 6)\);

\((5; 1); (5; 2); (5; 3); (5; 4); (5; 5): (5; 6)\);

\((6; 1); (6; 2); (6; 3); (6; 4); (6; 5); (6; 6)\}\)

Ta cũng có thể viết không gian mẫu dưới dạng:

\(\Omega = \left\{ {\left( {i;j} \right)|i,j = 1,2,...6} \right\}\)

b) Gọi A là biến cố “Tổng số châm xuất hiện bằng 4”. Tập hợp mô tả biến cố A là

\(A = \left\{ {\left( {1;3} \right);\left( {2;2} \right);\left( {3;1} \right)} \right\}\)

Như vậy có ba kết quả thuận lợi cho biên cố A

• Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra, kí hiệu là \(\Omega\) .
• Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra, kỉ hiệu là \(\emptyset\) .

Đôi khi ta cần dùng các quy tắc đếm và công thức tổ hợp đề xác định số phần tử của không gian mẫu và số kết quả thuận lợi cho mỗi biến cố.

Ví dụ: Một nhóm có 5 bạn nam và 4 bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên cùng một lúc ra 3 bạn đi làm công tác tình nguyện.

a) Hãy xác định số phần tử của không gian mẫu.

b) Hãy xác định số các kết quả thuận lợi cho biến cố “Trong 3 bạn được chọn có đúng 2 bạn nữ”.

Hướng dẫn giải

a) Do ta chọn ra 3 bạn khác nhau từ 9 bạn trong nhóm và không tính đến thứ tự nên số phần tử của không gian mẫu là \(C_9^3 = 84\).

b) Ta có \(C_4^2\) cách chọn ra 2 bạn nữ từ 4 bạn nữ. Ứng với mỗi cách chọn 2 bạn nữ có \(C_5^1\) cách chọn ra 1 bạn nam từ 5 bạn nam.

Theo quy tắc nhân ta có tất cả \(C_4^2C_5^1\) cách chọn ra 2 bạn nữ và 1 bạn nam từ nhóm bạn.

Do đó số các kết quả thuận lợi cho biến cố '“Trong 3 bạn chọn ra có đúng 2 bạn nữ” là \(C_4^2C_5^1 = 30\)