Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ
1. Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Định nghĩa vectơ chỉ phương
Vectơ 
\(\overrightarrow u\) gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(∆\) nếu \(\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0\) và giá của \(\overrightarrow u\) song song hoặc trùng với \(∆\).
Định nghĩa vectơ pháp tuyến
Vectơ \(\overrightarrow n\) gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(∆\) nếu \(\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0\) và giá của \(\overrightarrow n\) vuông góc với \(∆\).
2. Phương trình tham số
Định nghĩa
Cho đường thẳng \(∆\) đi qua \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {{u_1};{u_2}} \right)\). Phương trình tham số của \(∆\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = {x_0} + t.{u_1}} \\
{y = {y_0} + t.{u_2}}
\end{array}} \right.;\left( {{u_1}^2 + {u_2}^2 > 0;t \in \mathbb{R}} \right)\) (\(t\) là tham số).
Ví dụ: Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường thẳng \(d\) đi qua \(A(1; 2), B(3; 1)\). Viết phương trình tham số đường thẳng \(d\).
Hướng dẫn giải
Đường thẳng \(d\) qua A(1; 2) và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 1} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Vậy phương trình tham số đường thẳng \(d\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + 2t} \\
{y = 2 - t}
\end{array}} \right.\)
3. Phương trình chính tắc
Định nghĩa
Cho đường thẳng \(∆\) đi qua \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {a;b} \right);a.b \ne 0\). Phương trình chính tắc của \(∆\):
\(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b}\)
4. Phương trình tổng quát
Định nghĩa
Phương trình \(Ax + By + C = 0;\left( {{A^2} + {B^2} \ne 0} \right)\) được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.
Ví dụ: Trong mặt phẳng \(Oxy\), viết phương trình tổng quát đường thẳng \(∆\) đi qua điểm \(N(2; 3)\) và vuông góc với đường thẳng \(AB\) với\(A(1; 3), B(2; 1)\).
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 2} \right)\)
Đường thẳng \(∆\) qua \(N(2; 3)\) và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình đường thẳng \(∆\): \(\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 4 = 0\)
Vậy phương trình tổng quát đường thẳng \(∆\): \(x - 2y + 4 = 0\).
Nhận xét
- Nếu đường thẳng \(∆\) có phương trình \(Ax + By = C\) thì đường thẳng \(∆\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {A;B} \right)\), vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - B;A} \right)\).
- Nếu đường thẳng \(∆\) đi qua \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {A;B} \right)\) thì phương trình đường thẳng là: \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) = 0\).
- Đường thẳng \(∆\) đi qua \(A\left( {a,0} \right);B\left( {0,b} \right),\left( {ab \ne 0} \right)\) thì phương trình đường thẳng \(∆\) có dạng: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\). Đây là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.
- Đường thẳng \(∆\) đi qua \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có hệ số góc k thì phương trình đường thẳng \(∆\) có dạng: \(y - {y_0} = k\left( {x - {x_0}} \right)\). Đây là phương trình đường thẳng theo hệ số góc.
- Nếu đường thẳng \(∆\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a,b} \right)\) thì nó có hệ số góc \(k = \frac{a}{b}\). Ngược lại nếu đường thẳng có hệ số góc \(k\) thì một vectơ chỉ phương của đường thẳng là: \(\overrightarrow u = \left( {1;k} \right)\).
B. Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng
1. Vị trí tương đối của đường thẳng
Cho các đường thẳng \(∆\): \(Ax + By + C = 0\) và \(∆ '\): \(A’x + B’y + C’= 0\).
Khi đó ta có \(\overrightarrow n = \left( {A;B} \right)\) và \(\overrightarrow {n'} = \left( {A';B'} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của \(∆\) và \(∆ '\).
a) Để xét vị trí tương đối của \(∆\) và \(∆ '\) trước hết ta dựa vào các vectơ \(\overrightarrow n\) và \(\overrightarrow {n'}\).
Nếu các vectơ \(\overrightarrow n\) và \(\overrightarrow {n'}\) không cộng tuyến thì \(∆\) và \(∆ '\) cắt nhau.
Nếu vectơ \(\overrightarrow n\) và \(\overrightarrow {n'}\) cộng tuyến, nghĩa là \(\frac{A}{{A'}} = \frac{B}{{B'}}\) thì \(∆\) và \(∆ '\) là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Cụ thể ta có:
\(∆\) cắt \(∆ '\) khi và chỉ khi \(\frac{A}{{A'}} \ne \frac{B}{{B'}}\), hơn nữa nếu \(AA’ +BB’ = 0\) thì \(∆ ⊥ ∆’\).
\(∆ ≡ ∆’\) khi và chỉ khi \(\frac{A}{{A'}} = \frac{B}{{B'}} = \frac{C}{{C'}}\).
\(∆ // ∆’\) khi và chỉ khi \(\frac{A}{{A'}} = \frac{B}{{B'}} \ne \frac{C}{{C'}}\).
Ví dụ: Cho các đường thẳng \(∆\): \(2x + 3y − 5 = 0\), \(∆ '\) : \(3x − 2y − 1 = 0\) và điểm \(M(2; 3)\).
a) Xét vị trí tương đối giữa các đường thẳng \(∆\) và \(∆ '\).
b) Biết \(d\) là đường thẳng đi qua điểm M và tạo với các đường thẳng \(∆\), \(∆ '\) một tam giác cân. Tính góc giữa các đường thẳng \(∆\) và \(d\).
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(\overrightarrow n = \left( {2;3} \right)\) và \(\overrightarrow {n'} = \left( {3; - 2} \right)\) là các véc-tơ pháp tuyến của \(∆\) và \(∆ '\).
Ta thấy \(\overrightarrow n\) và \(\overrightarrow {n'}\) không cùng phương vì \(\frac{2}{3} \ne \frac{3}{{ - 2}}\), từ đó suy ra \(∆\) và \(∆ '\) là các đường thẳng cắt nhau.
b) Ta có: \(\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} = 2.3 + 3.\left( { - 2} \right) = 0\) => \(∆\) và \(∆ '\) là các đường thẳng vuông góc với nhau.
Gọi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{A = \Delta \cap \Delta '} \\
{B = \Delta \cap d} \\
{C = d \cap \Delta '}
\end{array}} \right.\)
Khi đó tam giác \(ABC\) là vuông tại \(A\) do đó nếu tam giác \(ABC\) cân thì \(\widehat B = \widehat C = {45^0}\).
=> Góc giữa các đường thẳng \(∆\) và \(d\) là \(45^0\).
2. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng \(∆\): \(Ax + By + C = 0,\left( {{A^2} + {B^2} > 0} \right)\) và \(∆ '\): \(A'x + B'y + C = 0,\left( {A{'^2} + B{'^2} > 0} \right)\) ta có:
\(\cos \left( {\Delta ;\Delta '} \right) = \frac{{\left| {A.A' + B.B'} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} .\sqrt {A{'^2} + B{'^2}} }}\)
Ví dụ: Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường thẳng \(\Delta :kx - y + 1 = 0;\)\(\Delta ':x - y = 0\) bằng \(60^0\).
Hướng dẫn giải
Theo bài ra ta có:
\(\begin{matrix}
\cos \left( {\Delta ;\Delta '} \right) = \cos {60^0} \hfill \\
\Leftrightarrow \dfrac{{\left| {k + 1} \right|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} .\sqrt 2 }} = \dfrac{1}{2} \hfill \\
\Leftrightarrow 2\left( {{k^2} + 1} \right) = {k^2} + 1 \hfill \\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{k = - 2 + \sqrt 3 } \\
{k = - 2 - \sqrt 3 }
\end{array}} \right. \hfill \\
\end{matrix}\)
C. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và đường thẳng \(∆\): \(Ax + By + C = 0\). Khi đó khoảng cách từ M đến đường thẳng \(∆\) được tính bằng công thức:
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}\)
Ví dụ: Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm \(A(1,−3)\) và có khoảng cách đến điểm \(M_0(2,4)\) bằng \(1\).
Hướng dẫn giải
Giả sử đường thẳng \(∆\) đi qua điểm A(1;−3) có hệ số góc k. Khi đó phương trình \(∆\) có dạng:
\(\begin{matrix}
y + 3 = k\left( {x - 1} \right) \hfill \\
\Leftrightarrow kx - y - k - 3 = 0 \hfill \\
\end{matrix}\)
Ta có:
\(\begin{matrix} d\left( {M,\Delta } \right) = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2k - 4 - k - 3} \right|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {k - 7} \right)^2} = {k^2} + 1 \hfill \\ \Leftrightarrow k = \dfrac{{24}}{7} \hfill \\ \end{matrix}\)
Vậy \(\Delta :24x - 7x - 45 = 0\)
