Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 độ sách CTST
Định nghĩa
Với mỗi góc 
\(\alpha\), \(({0^o} \le \alpha \le {180^o})\) có duy nhất điểm \(M({x_0};{y_0})\) trên nửa đường tròn đơn vị để \(\widehat {xOM} = \alpha\). Khi đó:
- \(\sin \alpha = {y_0}\) là tung độ của \(M\)
- \(\cos \alpha = {x_0}\) là hoành độ của \(M\)
- \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{{y_0}}}{{{x_0}}},(x_0 \ne 0)\)
- \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{{x_0}}}{{{y_0}}},(y_0 \ne 0)\)
Chú ý
- Nếu \(\alpha\) là góc nhọn thù các giá trị lượng giác của \(\alpha\) đều dương.
- Nếu \(\alpha\) là góc tù thì \(\sin \alpha > 0,\cos \alpha < 0,\tan \alpha < 0,\cot \alpha > 0\)
- \(\tan \alpha\) chỉ xác định khi \(\alpha \ne {90^0}\)
- \(\cot \alpha\) chỉ xác định khi \(\alpha \ne {0^0};\alpha \ne {180^0}\)
2. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau
a) Hai góc bù nhau
Với mọi góc \(\alpha\) thỏa mãn \({{0^o} \leqslant \alpha \leqslant {{180}^o}}\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha } \\
{\cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \cos \alpha } \\
{\tan \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \tan \alpha ,(\alpha \ne {{90}^o})} \\
{\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \cot \alpha ,({0^o} < \alpha < {{180}^o})}
\end{array}\)
b) Hai góc phụ nhau
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \cos \alpha } \\
{\cos \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha } \\
{\tan \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \cot \alpha ,(\alpha \ne {{90}^o},{0^o} < \alpha < {{180}^o})} \\
{\cot \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \tan \alpha ,(\alpha \ne {{90}^o},{0^o} < \alpha < {{180}^o})}
\end{array}\)
Ví dụ: Rút gọn biểu thức \(A = \cos \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) + \cos \left( {2\pi - x} \right) + \cos \left( {3\pi + x} \right)\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\begin{matrix}
\left\{ \begin{gathered}
\cos \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = - \sin x \hfill \\
\cos \left( {2\pi - x} \right) = \cos x \hfill \\
\cos \left( {3\pi + x} \right) = - \cos x \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\Rightarrow A = - \sin x + \cos x - \cos x = - \sin x \hfill \\
\end{matrix}\)
Ví dụ: Cho tam giác ABC, chứng minh rằng \(\sin(A+B+2C) = −\sin C\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(A+B+C = 180^0\)
\(⇒ A+B+2C = 180^0 +C\)
\(⇒ \sin(A+B+2C) = \sin(180^0 +C) = −\sin C\)
c) Dấu của các giá trị lượng giác
Ví dụ: Xác định dấu của các biểu thức
a) \(A = \sin {50^0}.\cos \left( { - {{100}^0}} \right)\)
b) \(B = \sin {195^0}.\tan \frac{{20\pi }}{7}\)
Hướng dẫn giải
a) \(A = \sin {50^0}.\cos \left( { - {{100}^0}} \right)\)
Ta có:
Điểm cuối của cung \(50^0\) thuộc góc phần tư thứ \(I\) nên \(\sin50^0 > 0\).
Điểm cuối của cung \(−100^0\) thuộc góc phần tư thứ \(III\) nên \(\cos(−100^0) < 0\).
=> \(A < 0\)
b) \(B = \sin {195^0}.\tan \frac{{20\pi }}{7}\)
Ta có:
Điểm cuối của cung 1950 thuộc góc phần tư thứ \(III\) nên \(\sin195^0 < 0\).
Điểm cuối của cung \(\frac{{20\pi }}{7} = \frac{{6\pi }}{7} + 2\pi\) thuộc góc phần tư thứ \(II\) nên tan \(\tan \frac{{20\pi }}{7} < 0\).
=> \(B > 0\)
3. Các giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt
Bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt
Biểu diễn giá trị một số góc đặc biệt bằng vòng tròn lượng giác
4. Sử dụng máy tính cầm tay để tính các giá trị lượng giác của một góc
a) Tính các giá trị lượng giác của góc
Bước 1: Cài đặt đơn vị đo góc (độ hoặc radian)
Bước 2: Vào chế độ tính toán
Chú ý: Để tính\(\cot \alpha\) ta tính \(\frac{1}{{\tan \alpha }}\).
b) Xác định số đo của góc khi biết giá trị lượng giác của góc đó
Để tìm \(\alpha\) khi biết \(\cot \alpha\) ta tính \(\tan \alpha = \frac{1}{{\cot \alpha }}\) rồi tính \(\alpha\) sau.
