Tích của một số với một vectơ sách CTST
Định nghĩa
Cho số 
\(k \ne 0\) và \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0\). Tích của vectơ \(\overrightarrow a\) với số k là một vectơ, kí hiệu là \(k\overrightarrow a\) được xác định như sau:
- \(k\overrightarrow a\) cùng phương với \(\overrightarrow a\)
- \(k\overrightarrow a\) cùng hướng với \(\overrightarrow a\) khi \(k > 0\)
- \(k\overrightarrow a\) ngược hướng với \(\overrightarrow a\) khi \(k < 0\)
- \(\left| {k\overrightarrow a } \right| = \left| k \right|.\left| {\overrightarrow a } \right|\)
Quy ước: \(0.\overrightarrow a = \overrightarrow 0 ,k.\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0\)
B. Tính chất
Tính chất 1
Cho \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\) bất kì \(k,h \in \mathbb{R}\), khi đó:
- \(k.\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = k.\overrightarrow a + k.\overrightarrow b\)
- \(\left( {k + h} \right).\overrightarrow a = k.\overrightarrow a + h.\overrightarrow b\)
- \(k.\left( {h.\overrightarrow a } \right) = \left( {k.h} \right).\overrightarrow a\)
- \(1.\overrightarrow a = \overrightarrow a ;\left( { - 1} \right).\overrightarrow a = - \overrightarrow a\)
Ví dụ: Cho vectơ \(\overrightarrow u = - 2.\overrightarrow a + 5.\overrightarrow b\). Tìm vectơ đối của \(\overrightarrow u\).
Hướng dẫn giải
Ta có:
Vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow u = - 2.\overrightarrow a + 5.\overrightarrow b\) là vectơ \(\overrightarrow v = - \left( { - 2.\overrightarrow a + 5.\overrightarrow b } \right) = 2.\overrightarrow a - 5.\overrightarrow b\)
Tính chất 2 (Tính chất trung điểm)
Cho \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\), với mọi \(M\) ta có:
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2.\overrightarrow {MI}\)
Tính chất 3 (Tính chất trọng tâm tam giác)
Cho \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) với mọi điểm \(M\) ta có:
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3.\overrightarrow {MG}\)
Ví dụ: Cho tam giác \(ABC\) trọng tâm \(G\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CA} = - 3\overrightarrow {AG}\)
Hướng dẫn giải
Theo bài ra ta có: \(G\) là trọng tâm tam giác
=> \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA} = 3.\overrightarrow {AG}\)
=> \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CA} = - 3.\overrightarrow {AG}\)
C. Điều kiện để hai vectơ cùng phương
Điều kiện
Hai vectơ \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b ,\left( {\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 } \right)\) cùng phương khi và chỉ khi có số \(k\) sao cho \(\overrightarrow a = k.\overrightarrow b\).
Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phươngCho hai vectơ |
Ví dụ: Cho tam giác \(ABC\) trọng tâm \(G\). Phân tích vectơ \(\overrightarrow {AG}\) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AB}\) và \(\overrightarrow {AC}\).
Hướng dẫn giải
Giả sử M là trung điểm của BC
=> \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}\)
Mà \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM}\)
=> \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}.\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}\)
