Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ sách CTST
1. Phương trình đường tròn khi biết tâm và bán kính
Định nghĩa
Trong mặt phẳng tọa độ 
\(Oxy\), phương trình đường tròn nhận điểm \(I(a; b)\) làm tâm và có bán kính bằng \(R\):
\({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\)
Ví dụ: Lập phương trình đường tròn có tâm \(I(3;−5)\) bán kính \(R = 2\).
Hướng dẫn giải
Ta có phương trình đường tròn là:
\((x−3)^2 + (y+5)^2 = 2^2\)
\(⇔ x^2 +y^2 −6x+10y+30 = 0\)
2. Dạng khác của phương trình đường tròn
Phương trình dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) là phương trình của một đường tròn khi và chỉ khi
\({a^2} + {b^2} - c > 0\)
Khi đó tâm là \(I(a; b)\), bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c}\)
Ví dụ: Xét xem các phương trình sau có là phương trình của đường tròn không? Hãy xác định tâm và bán kính của các đường tròn đó (nếu có).
a) \(x^2 +y^2 +2x−4y+9 = 0\)(1).
b) \(x^2 +y^2 −6x+4y+13 = 0v\) (2).
c) \(2x^2 +2y^2 −6x−4y−1 = 0\) (3).
d) \(2x^2 +y^2 +2x−3y+9 = 0\)(4).
Hướng dẫn giải
a) Phương trình (1) có dạng \(x^2 +y^2 −2ax−2by+c = 0\) với \(a = −1; b = 2; c = 9\). Ta có \(a^2 +b^2 −c = 1+4−9 < 0\).
Vậy phương trình (1) không phải là phương trình đường tròn.
b) Ta có: \(a^2 +b^2 −c = 9+4−13 = 0\).
Suy ra phương trình (2) không phải là phương trình đường tròn.
c) Ta có:
\({x^2} + {y^2} - 3x - 2y - \frac{1}{2} = 0\)
\(\Leftrightarrow {\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = \frac{5}{2}\)
Vậy phương trình (3) là phương trình đường tròn tâm \(I\left( {\frac{3}{2};1} \right)\) bán kính \(R = \frac{{\sqrt {10} }}{2}\).
d) Phương trình (4) không phải là phương trình đường tròn vì hệ số của \(x^2\) và \(y^2\) khác nhau
B. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\) tại điểm \(M\left( {{x_0};{\text{ }}{y_0}} \right)\) thuộc đường tròn là
\(\left( {{x_0} - a} \right)\left( {x - a} \right) + \left( {{y_0} - a} \right)\left( {y - a} \right) = {R^2}\)
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) tại điểm \(M\left( {{x_0};{\text{ }}{y_0}} \right)\) thuộc đường tròn là
\({x_0}x + {y_0}y - a\left( {{x_0} + x} \right) - b\left( {{y_0} + y} \right) + c = 0\)
Không dùng công thức tách đôi này, ta vẫn có thể viết được phương trình tiếp tuyến bằng cách tìm toạ đoạ độ véc-tơ pháp tuyến của tiếp tuyến này là \(\overrightarrow {IM} = \left( {{x_0} - a;{\text{ }}{y_0} - a} \right)\).
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \((C)\): \((x − 2)^2 + (y + 3)^2 = 5\) tại điểm \(M(3;−1)\).
Hướng dẫn giải
Đường tròn \((C)\) có tâm \(I(2;−3)\).
Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(M(3;−1)\) là:
\((3−2)(x−3) + (−1+3)(y+1) = 0\)
\(⇔x+2y−1 = 0\)
Vậy phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(M(3;−1)\) là \(x+2y−1 = 0\).
