Hàm số bậc hai sách CTST

2. Đồ thị hàm số bậc hai

Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai Bước 1: Xác định đỉnh \(I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\) Bước 2: Vẽ trục đối xứng \(x = - \frac{b}{{2a}}\) Bước 3: Lập bảng giá trị \(x\) \({x_1}\) \({x_2}\) \(- \frac{b}{{2a}}\)  \({x_3}\) \({x_4}\) \(y\) \(y\left( {{x_1}} \right)\) \(y\left( {{x_2}} \right)\) \(- \frac{\Delta }{{4a}}\) \(y\left( {{x_3}} \right)\) \(y\left( {{x_4}} \right)\) Chú ý Đồ thị của hàm số \(y = f(x) = a{x^2} + bx + c ,(a \ne 0)\) cắt trục tung tại điểm \((0; c)\). Đồ thị của hàm số \(y = f(x) = a{x^2} + bx + c ,(a \ne 0)\) cắt trục hoành (nếu có) tại điểm có tọa độ \((x_0; 0)\) với \(x_0\) là nghiệm của phương trình \(ax^2 +bx+c = 0\).  Bước 4: Vẽ parabol.

Chú ý: Khi vẽ cần chú ý đến dấu của hệ số a (a > 0 bề lõm quay lên trên, a < 0 bề lõm quay xuống dưới).

3. Sự biến thiên của hàm số bậc hai

Dựa vào đồ thị của hàm số \(y = f(x) = a{x^2} + bx + c ,(a \ne 0)\), ta có bảng biến thiên của nó trong hai trường hợp \(a > 0\) và \(a<0\) như sau:
Với \(a > 0\) ta có:

Với \(a<0\) ta có:

Ví dụ: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=x^2-2x\).

Hướng dẫn giải

Ta có \(a = 1,b = −2, c = 0\). Suy ra tọa độ đỉnh là \(I(1;-1)\).

Vậy bảng biến thiên là 

=> Hàm số nghịch biến trên khoảng \((−∞; 1)\) và đồng biến trên khoảng \((1;+∞)\).

Vẽ đồ thị:

Ta có đỉnh là \(I(1;-1)\) và trục đối xứng là \(x=1\).

Bảng giá trị

x	-1	0	1	2	3
y	3	0	-1	0	3

Ta có đồ thị của hàm số \(y = x^2 −2x\) là 

4. Phương trình hoành độ giao điểm

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị là \((C_1)\) và hàm số \(y=g(x)\) có đồ thị là \((C_2)\). Khi đó nếu \(M(x;y)\) là giao điểm của \((C_1)\) và \((C_2)\) thì tọa độ của \(M\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = f\left( x \right)} \\ {y = g\left( x \right)} \end{array}} \right. \Rightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) (*)\)

Phương trình \((*)\) được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị \((C_1)\) và \((C_2)\). 

Để giải một bài toán về tính chất giao điểm của hai đồ thị \((C_1)\) và \((C_2)\) ta có thể tiến hành theo các bước như sau:

• Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị \((C_1)\) và \((C_2)\).
• Biến đổi phương trình về dạng bậc hai đơn giản.
• Dựa vào điều kiện ban đầu của bài toán để chuyển về điều kiện cho phương trình hoành độ giao điểm.

5. Định lí Vi - ét

Định lí

Cho phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0;\left( {a \ne 0} \right)\)

a) Nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thì ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {S = {x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}} \\ {P = {x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}} \end{array}} \right.\).

b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi \(P<0\).

c) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta > 0} \\ {S > 0} \\ {P > 0} \end{array}} \right.\).

d) Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta > 0} \\ {S < 0} \\ {P > 0} \end{array}} \right.\).

e) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác \(x_0\) khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta > 0} \\ {a{x_0}^2 + b{x_0} + c \ne 0} \end{array}} \right.\).

6. Ứng dụng của hàm số bậc hai

Trong đó:

\(g\) là giá tốc trọng trường \(( \approx 9,8\;m/{s^2})\)

\(\alpha\) là góc phát cầu (so với phương ngang của mặt đất)

\({v_0}\) là vận tốc ban đầu của cầu

\({y_0}\) là khoảng cách từ vị trí phát cầu đến mặt đất

Quỹ đạo chuyển động của cầu lông là một parabol.

Vị trí cao nhất tại đỉnh parabol, gọi là tầm bay cao;

Khoảng cách từ nơi đứng phát cầu đến điểm chạm đất, gọi là tầm bay xa.