VnDoc.com Lớp 10 Khóa học Lớp 10 Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác Sách CTST

Mô tả thêm:

Đề kiểm tra 45 phút Toán 10 Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác sách Chân trời sáng tạo giúp bạn học tổng hợp lại kiến thức của cả nội dung chương. Cùng nhau luyện tập nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Câu 1: Thông hiểu
Tính độ dài cạnh AC

Cho hình thoi $ABCD$ cạnh bằng $1\ \ cm$ và có $\widehat{BAD} = 60{^\circ}$ . Tính độ dài cạnh $AC$ .
- A.
  $AC = \sqrt{3}.$
- B.
  $AC = \sqrt{2}.$
- C.
  $AC = 2\sqrt{3}.$
- D.
  $AC = 2.$
Do $ABCD$ là hình thoi, có $\widehat{BAD} = 60{^\circ} \Rightarrow \widehat{ABC} = 120{^\circ}$ .

Theo định lí hàm cosin, ta có

$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} - 2.AB.BC.cos\widehat{ABC}$

$= 1^{2} + 1^{2} - 2.1.1.cos120{^\circ} = 3$ $\Rightarrow AC = \sqrt{3}$
Câu 2: Nhận biết
Tìm khẳng định sai

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
- A.
  $\cos60^{0} =\sin30^{0}$ .
- B.
  $\cos60^{0} =\sin120^{0}$ .
- C.
  $\cos30^{0} =\sin120^{0}$ .
- D.
  $\sin60^{0} = -\cos120^{0}$ .
Giá trị lượng giác của góc đặc biệt ta có:

$\left\{ \begin{matrix}cos60^{0} = \frac{1}{2} \\ \sin120^{0} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \cos60^{0} \neq \sin120^{0}$
Câu 3: Thông hiểu
Tính độ dài đường cao

Cho tam giác ABC có b = 7; c = 5, $\cos A = \frac{3}{5}$ . Đường cao $h_{a}$ của tam giác ABC là:
- A.
  $\frac{7\sqrt{2}}{2}.$
- B.
  $8.$
- C.
  $8\sqrt{3}\ .$
- D.
  $80\sqrt{3}\ .$
Ta có: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A =$ $7^{2} + 5^{2} - 2.7.5.\frac{3}{5} = 32 \Rightarrow a = 4\sqrt{2}.$

Mặt khác: $sin^{2}A + cos^{2}A = 1 \Rightarrow sin^{2}A = 1 - cos^{2}A$ $= 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \Rightarrow \sin A = \frac{4}{5}$ (Vì $\sin A > 0$ ).

Mà: $S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}b.c.sinA = \frac{1}{2}a.h_{a}$ $\Rightarrow h_{a} = \frac{bc\sin A}{a} = \frac{7.5.\frac{4}{5}}{4\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{2}$ .
Câu 4: Nhận biết
Tính diện tích tam giác

Cho $\Delta ABC$ có $a = 6,b = 8,c = 10.$ Diện tích $S$ của tam giác trên là:
- A.
  $48.$
- B.
  $24.$
- C.
  $12.$
- D.
  $30.$
Ta có: Nửa chu vi $\Delta ABC$ : $p = \frac{a + b + c}{2}$ .

Áp dụng công thức Hê-rông:

$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$ $= \sqrt{12(12 - 6)(12 - 8)(12 - 10)} = 24$ .
Câu 5: Nhận biết
Tính độ dài cạnh còn lại của tam giác

Tam giác $ABC$ có $a = 8,c = 3,\widehat{B} = 60^{0}.$ Độ dài cạnh $b$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $49.$
- B.
  $\sqrt{97}$
- C.
  $7.$
- D.
  $\sqrt{61}.$
Ta có:

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2ac\cos B$

$= 8^{2} + 3^{2} - 2.8.3.\cos60^{0} = 49\Rightarrow b = 7$ .
Câu 6: Nhận biết
Xác định hệ thức sai

Hai góc nhọn $\alpha$ và $\beta$ phụ nhau, hệ thức nào sau đây là sai?
- A.
  $\sin\alpha = \cos\beta$ .
- B.
  $\tan\alpha = \cot\beta$ .
- C.
  $\cot\beta = \frac{1}{\cot\alpha}$ .
- D.
  $\cos\alpha = - \sin\beta$ .
Ta có:

$\cos\alpha = \cos\left( 90^{0} - \beta \right) = \sin\beta$

Vậy hệ thức sai là: $\cos\alpha = - \sin\beta$ .
Câu 7: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức P

Cho góc $α, (0^0 ≤ α ≤ 180^0)$ với $\tanα = ‒3$ . Giá trị của bằng $P=\frac{6\sinα -7\cosα }{7\sinα +6\cosα }$ bao nhiêu?
- A.
  $P=\frac{4}{3}$
- B.
  $P=-\frac{4}{3}$
- C.
  $P=-\frac{5}{3}$
- D.
  $P=\frac{5}{3}$
Ta có:
$\begin{matrix} P = \dfrac{{6\sin \alpha - 7\cos \alpha }}{{7\sin \alpha + 6\cos \alpha }} \hfill \\ \Rightarrow P = \dfrac{{\dfrac{{6\sin \alpha - 7\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{\dfrac{{7\sin \alpha + 6\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}} \hfill \\ \Rightarrow P = \dfrac{{6\tan \alpha - 7}}{{7\tan \alpha + 6}} = \dfrac{{6.\left( { - 3} ight) - 7}}{{7.\left( { - 3} ight) + 6}} = \dfrac{5}{3} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 8: Thông hiểu
Tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Một tam giác có ba cạnh là $52,56,60$ . Bán kính đường tròn ngoại tiếp là:
- A.
  $\frac{65}{8}.$
- B.
  $40.$
- C.
  $32,5.$
- D.
  $\frac{65}{4}.$
Ta có:

$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{52 + 56 + 60}{2} = 84.$

Suy ra: $S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$

$= \sqrt{84(84 - 52)(84 - 56)(84 - 60)} = 1344$ .

Mà $S = \frac{abc}{4R} \Rightarrow R = \frac{abc}{4S} = \frac{52.56.60}{4.1344} = \frac{65}{2}$ .
Câu 9: Nhận biết
Tinh độ dài cạnh b

Cho $\Delta ABC$ có $B = 60^{0},a = 8,c = 5.$ Độ dài cạnh $b$ bằng:
- A.
  $7.$
- B.
  $129.$
- C.
  $49.$
- D.
  $\sqrt{129}$ .
Ta có:

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2ac\cos B$

$= 8^{2} + 5^{2} - 2.8.5.\cos60^{0} = 49\Rightarrow b = 7$ .
Câu 10: Nhận biết
Hãy chọn kết quả đúng

Điểm cuối của $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây.
- A.
  $\sin\alpha > 0.$
- B.
  $\cos\alpha < 0.$
- C.
  $\tan\alpha < 0.$
- D.
  $\cot\alpha < 0.$
Điểm cuối của $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ nhất $ightarrow \left\{ \begin{matrix} \sin\alpha > 0 \\ \cos\alpha > 0 \\ \tan\alpha > 0 \\ \cot\alpha > 0 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 11: Thông hiểu
Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\tan\left( \frac{3\pi}{2} - \alpha ight) < 0.$
- B.
  $\tan\left( \frac{3\pi}{2} - \alpha ight) > 0.$
- C.
  $\tan\left( \frac{3\pi}{2} - \alpha ight) \leq 0.$
- D.
  $\tan\left( \frac{3\pi}{2} - \alpha ight) \geq 0.$
Ta có : $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} ightarrow 0 < \frac{3\pi}{2} - \alpha < \frac{\pi}{2}\overset{}{ightarrow}$ $\left\{ \begin{matrix} \sin\left( \frac{3\pi}{2} - \alpha ight) > 0 \\ \cos\left( \frac{3\pi}{2} - \alpha ight) > 0 \\ \end{matrix} ight.$ $\overset{}{ightarrow}\tan\left( \frac{3\pi}{2} - \alpha ight) > 0.$
Câu 12: Vận dụng cao
Câu 12: Chọn đáp án đúng

Từ hai vị trí $A$ và $B$ của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh $C$ của ngọn núi. Biết rằng độ cao $AB = 70m$ , phương nhìn $AC$ tạo với phương nằm ngang góc $30^{0}$ , phương nhìn $BC$ tạo với phương nằm ngang góc $15^{0}30'$ .
Ngọn núi đó có độ cao so với mặt đất gần nhất với giá trị nào sau đây?
- A.
  $135m$ .
- B.
  $234m$ .
- C.
  $165m$ .
- D.
  $195m$ .
Từ giả thiết, ta suy ra tam giác $ABC$ có $\widehat{CAB} = 60^{0},\ \ \widehat{ABC} = 105^{0}30'$ và $c = 70.$
Khi đó $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^{0}$
$\Leftrightarrow \widehat{C} = 180^{0} - \left( \widehat{A} + \widehat{B} \right) = 180^{0} - 165^{0}30' = 14^{0}30'.$
Theo định lí sin, ta có $\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ hay $\frac{b}{sin105^{0}30'} = \frac{70}{sin14^{0}30'}$
Do đó $AC = b = \frac{70.sin105^{0}30'}{sin14^{0}30'} \approx 269,4\ m$
Gọi $CH$ là khoảng cách từ $C$ đến mặt đất.
Tam giác vuông $ACH$ có cạnh $CH$ đối diện với góc $30^{0}$ nên $CH = \frac{AC}{2} = \frac{269,4}{2} = 134,7\ \ m.$
Vậy ngọn núi cao khoảng $135\ m.$
Câu 13: Nhận biết
Tính diện tích tam giác

Cho tam giác $ABC$ có $AB =4cm;AC = 12cm$ và góc $\widehat{BAC} = 120^{\circ}$ . Tính diện tích tam giác $ABC$ .
- A.
  $12\sqrt{3}\left( {cm}^{2}ight)$ .
- B.
  $24\sqrt{3}\left( {cm}^{2}ight)$
- C.
  $12\left( {cm}^{2}ight)$ .
- D.
  $24\left( {cm}^{2}ight)$ .
$S = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin\widehat{BAC}$

$= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 12 \cdot \sin 120^{\circ}$

$= 12\sqrt{3}\left( {cm}^{2}ight)$
Câu 14: Thông hiểu
Tìm khẳng định sai

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
- A.
  $\sin {0^0} + \cos {0^0} = 0$
- B.
  $\sin {90^0} + \cos {90^0} = 1$
- C.
  $\sin {180^0} + \cos {180^0} = 1$
- D.
  $\sin {60^0} + \cos {60^0} = \frac{{\sqrt 3 + 1}}{2}$
Khẳng định sai là: " $\sin {0^0} + \cos {0^0} = 0$ "
Sửa lại là: " $\sin {0^0} + \cos {0^0} = 1$ "
Câu 15: Vận dụng
Tính diện tích tam giác

Tam giác $ABC$ có $BC = a,\ CA = b,\ AB = c$ và có diện tích $S$ . Nếu tăng cạnh $BC$ lên $2$ lần đồng thời tăng cạnh $AC$ lên $3$ lần và giữ nguyên độ lớn của góc $C$ thì khi đó diện tích của tam giác mới được tạo nên bằng:
- A.
  $2S$ .
- B.
  $3S$ .
- C.
  $4S$ .
- D.
  $6S$ .
Diện tích tam giác $ABC$ ban đầu là:

$S = \frac{1}{2}.AC.BC.sin\widehat{ACB} =\frac{1}{2}.ab.\sin\widehat{ACB}.$

Khi tăng cạnh $BC$ lên $2$ lần và cạnh $AC$ lên $3$ lần thì diện tích tam giác $ABC$ lúc này là

$S_{\Delta ABC} =\frac{1}{2}.(3AC).(2BC).\sin\widehat{ACB}$

$= 6.\frac{1}{2}.AC.BC.\sin\widehat{ACB} =6S$
Câu 16: Thông hiểu
Tính giá trị của biểu thức

Giá trị của $A = \tan5^{{^\circ}}.\tan10^{{^\circ}}.\tan15^{{^\circ}}...\tan80^{{^\circ}}.\tan85^{{^\circ}}$ là
- A.
  $2$ .
- B.
  $1$ .
- C.
  $0$ .
- D.
  $- 1$ .
Ta có:

$A = \tan5^{0}.\tan10^{0}.\tan15^{0}...\tan80^{0}.\tan85^{0}$

$A = \left( \tan 5^{0}.\tan85^{0}\right).\left( \tan10^{0}.\tan80^{0} \right)...\left( \tan40^{0}\tan50^{0}\right).\tan45^{0}$

$A = \left( \tan 5^{0}.\cot5^{0}\right).\left( \tan10^{0}.\cot10^{0} \right)...\left( \tan40^{0}\cot40^{0}\right).\tan45^{0} = 1$ .
Câu 17: Thông hiểu
Tính diện tích mảnh đất

Bà Sáu sở hữu một mảnh đất hình tam giác. Chiều dài của hàng rào $MN$ là $150m$ , chiều dài của hàng rào $MP$ là $230m$ . Góc giữa hai hàng rào $MN$ và $MP$ là $110^{\circ}$ (như hình vẽ)

Diện tích mảnh đất mà gia đình bà Sáu sở hữu là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
- A.
  $15247,6\left( m^{2} ight)$
- B.
  $16209,7\left( m^{2} ight)$
- C.
  $18436,8\left( m^{2} ight)$
- D.
  $17486,3\left( m^{2} ight)$
Diện tích mảnh đất của gia đình bà Sáu (tam giác $MNP$ ) là:

$S = \frac{1}{2}MN \cdot MP \cdot \sin M$

$= \frac{1}{2} \cdot 150 \cdot 230 \cdot \sin110^{\circ} \approx 16209,7\left( {m}^{2}ight)$ .
Câu 18: Nhận biết
Chọn phương án đúng

Giá trị của $\tan30^{0} +\cot30^{0}$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{4}{\sqrt{3}}$ .
- B.
  $\frac{1 + \sqrt{3}}{3}$ .
- C.
  $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .
- D.
  $2$ .
Ta có: $\tan30^{0} + \cot30^{0} =\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ .
Câu 19: Nhận biết
Tính độ dài cạnh a

Cho $\Delta ABC$ có $b = 6,c = 8,\widehat{A} = 60^{0}$ . Độ dài cạnh $a$ là:
- A.
  $2\sqrt{13}.$
- B.
  $3\sqrt{12}.$
- C.
  $2\sqrt{37}.$
- D.
  $\sqrt{20}.$
Ta có: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A$ $= 36 + 64 - 2.6.8.cos60^{0} = 52$

$\Rightarrow a = 2\sqrt{13}$ .
Câu 20: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho góc $\alpha$ tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  $\sin\alpha < 0$ .
- B.
  $\cos\alpha > 0$ .
- C.
  $\tan\alpha > 0$ .
- D.
  $\cot\alpha < 0$ .
Học sinh ghi nhớ bảng xét dấu giá trị lượng giác dưới đây:

Vì góc $\alpha$ tù nên $\alpha > 90^{0}$ nên $\left\{ \begin{matrix} \sin\alpha > 0 \\ \cos\alpha < 0 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \cot\alpha < 0$ .
Câu 21: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Biểu thức: $f(x) = \cos^{4}x +\cos^{2}x.\sin^{2}x + \sin^{2}x$ có giá trị bằng:
- A.
  $1$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $- 2$ .
- D.
  $- 1$ .
Ta có:

$f(x) = \cos^{2}x\left( \cos^{2}x + \sin^{2}x\right) + \sin^{2}x = \cos^{2}x + \sin^{2}x = 1$ .
Câu 22: Thông hiểu
Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\cot\left( \alpha + \frac{\pi}{2} ight) > 0.$
- B.
  $\cot\left( \alpha + \frac{\pi}{2} ight) \geq 0.$
- C.
  $\tan(\alpha + \pi) < 0.$
- D.
  $\tan(\alpha + \pi) > 0.$
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} ightarrow \frac{\pi}{2} < \alpha + \frac{\pi}{2} < \pi \\ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} ightarrow \pi < \alpha + \pi < \frac{3\pi}{2} \\ \end{matrix} ight.$ $\overset{}{ightarrow}\cot\left( \alpha + \frac{\pi}{2} ight) < 0$ và $\overset{}{ightarrow}\tan(\alpha + \pi) > 0$ .
Câu 23: Nhận biết
Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Cho $\Delta ABC$ có $S = 84,a = 13,b = 14,c = 15$ . Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ của tam giác trên là:
- A.
  $8,125.$
- B.
  $130.$
- C.
  $8.$
- D.
  $8,5.$
Ta có:

$S_{\Delta ABC} = \frac{a.b.c}{4R}$

$\Leftrightarrow R = \frac{a.b.c}{4S} = \frac{13.14.15}{4.84} = \frac{65}{8}$ .
Câu 24: Nhận biết
Tính giá trị của biểu thức

Giá trị của $\tan45^{0} +\cot135^{0}$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $2$ .
- B.
  $0$ .
- C.
  $\sqrt{3}$ .
- D.
  $1$ .
Ta có: $\tan45^{0} + \cot135^{0} = 1 - 1 =0$
Câu 25: Nhận biết
Tính số đo góc B

Cho $\Delta ABC$ thỏa mãn : $2cosB = \sqrt{2}$ . Khi đó:
- A.
  $B = 30^{0}.$
- B.
  $B = 60^{0}.$
- C.
  $B = 45^{0}.$
- D.
  $B = 75^{0}.$
Ta có: $2cosB = \sqrt{2} \Leftrightarrow \cos B = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\Rightarrow \widehat{B} = 45^{0}.$
Câu 26: Nhận biết
Tính độ dài cạnh AB

Tam giác ABC có $\hat B = {60^0},\hat C = {45^0};AC = 5$ . Độ dài cạnh AB là:
- A.
  $\frac{5\sqrt{6}}{2}$
- B.
  $5\sqrt{2}$
- C.
  $5\sqrt{6}$
- D.
  $10\sqrt{2}$
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:
$\begin{matrix} \dfrac{{AC}}{{\sin B}} = \dfrac{{AB}}{{\sin C}} \hfill \\ \Rightarrow AB = \dfrac{{AC.\sin C}}{{\sin B}} = \dfrac{{5.\sin {{45}^0}}}{{\sin {{60}^0}}} = \dfrac{{5\sqrt 6 }}{3} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 27: Vận dụng
Tính giá trị của biểu thức P

Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $\cot\alpha = \frac{1}{3}.$ Tính $P = \frac{3sin\alpha + 4cos\alpha}{2sin\alpha - 5cos\alpha}.$
- A.
  $P = - \frac{15}{13}.$
- B.
  $P = \frac{15}{13}.$
- C.
  $P = - 13.$
- D.
  $P = 13.$
Chia cả tử và mẫu của $P$ cho $\sin\alpha$ ta được $P = \frac{3 + 4cot\alpha}{2 - 5cot\alpha} = \frac{3 + 4.\frac{1}{3}}{2 - 5.\frac{1}{3}} = 13$ .
Câu 28: Vận dụng cao
Xác định số phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị m

Xác định số phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m trong các phương trình dưới đây?

$\left| \sin x ight| = \frac{m}{m^{2} + 1}\ \ (i)$

$\sin x = \frac{2m}{m^{2} + 1}\ \ (ii)$

$\tan x = \frac{2m}{m^{2} + 1}\ \ (iii)$

$\sin x = \frac{|m|}{m^{2} + 1}\ \ (iv)$
- A.
  $1$
- B.
  $2$
- C.
  $3$
- D.
  $4$
Với $m < 0$ thì $(i)$ vô nghiệm.

Vì với mọi giá trị thực của m ta có: $m^{2} - 2|m| + 1 \geq 0$ nên $m^{2} + 1 \geq 2|m| \geq |m|$

Từ đó suy ra $\left\{ \begin{matrix}- 1 \leq \dfrac{2m}{m^{2} + 1} \leq 1 \\0 \leq \dfrac{|m|}{m^{2} + 1} \leq 1 \\\end{matrix} ight.$ vậy phương trình $(ii),(iv)$ luôn có nghiệm.

Phương trình $(iii)$ luôn có nghiệm với mọi giá trị thực của m.
Câu 29: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng

Chọn đáp án sai: Một tam giác giải được nếu biết:
- A.
  Độ dài $3$ cạnh
- B.
  Độ dài $2$ cạnh và $1$ góc bất kỳ
- C.
  Số đo $3$ góc
- D.
  Độ dài $1$ cạnh và $2$ góc bất kỳ
Ta có: Một tam giác giải được khi ta biết $3$ yếu tố của nó, trong đó phải có ít nhất một yếu tố độ dài (tức là yếu tố góc không được quá $2$ ).
Câu 30: Thông hiểu
Tính độ dài BC

Tam giác ABC có góc A nhọn, AB = 5, AC = 8, diện tích bằng 12. Độ dài cạnh BC là khoảng:
- A.
  $2\sqrt{3}$
- B.
  $3\sqrt{2}$
- C.
  4
- D.
  5
Ta có:
$\begin{matrix} {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat A \hfill \\ \Rightarrow \sin \widehat A = \dfrac{{2S}}{{AB.AC}} = \dfrac{3}{5} \hfill \\ \Rightarrow \widehat A \approx {36^0}52\prime \hfill \\ \end{matrix}$
Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có:
$\begin{matrix} B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A \hfill \\ \Rightarrow B{C^2} = {5^2} + {8^2} - 2.5.8.\cos {36^0}52\prime \hfill \\ \Rightarrow B{C^2} \approx 25 \hfill \\ \Rightarrow BC \approx 5\left( {cm} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 31: Nhận biết
Xác định câu sai

Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:
- A.
  $cos75^{0} > cos50^{0}$ .
- B.
  $sin80^{0} > sin50^{0}$ .
- C.
  $tan45^{0} < tan60^{0}$ .
- D.
  $cos30^{0} = sin60^{0}$ .
Đáp án sai là: $cos75^{0} > cos50^{0}$ .
Câu 32: Nhận biết
Xác định bất đẳng thức đúng

Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?
- A.
  $\sin90^{0} <\sin100^{0}$ .
- B.
  $\cos95^{0} >\cos100^{0}$ .
- C.
  $\tan85^{0} <\tan125^{0}$ .
- D.
  $\cos145^{0} >\cos125^{0}$ .
Câu đúng là: $\cos95^{0} > \cos100^{0}$ .
Câu 33: Nhận biết
Tính bán kính R

Tam giác ABC có BC = 10 và $\widehat{A}=30°$ . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
- A.
  $R=5$
- B.
  $R=10$
- C.
  $R=\frac{10}{\sqrt{3}}$
- D.
  $R=10\sqrt{3}$
Ta có: $\frac {BC}{\sin A}=2R \Leftrightarrow R= \frac{BC}{2\sin A} =\frac {10}{2.sin30^{\circ} }=10$ .
Câu 34: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức A

Cho $\cot\alpha = \frac{1}{3}$ . Giá trị của biểu thức $A = \frac{3\sin\alpha +4\cos\alpha}{2\sin\alpha - 5\cos\alpha}$ là:
- A.
  $- \frac{15}{13}$ .
- B.
  $- 13$ .
- C.
  $\frac{15}{13}$ .
- D.
  $13$ .
Ta có:

$A = \frac{3\sin\alpha +4sin\alpha.\cot\alpha}{2sin\alpha - 5\sin\alpha.\cot\alpha} = \frac{3 +4\cot\alpha}{2 - 5\cot\alpha} = 13$ .
Câu 35: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho $\tan\alpha + \cot\alpha = m$ . Tìm $m$ để $\tan^{2}\alpha + \cot^{2}\alpha = 7$ .
- A.
  $m = 9$ .
- B.
  $m = 3$ .
- C.
  $m = - 3$ .
- D.
  $m = \pm 3$ .
Ta có:

$7 = \tan^{2}\alpha + \cot^{2}\alpha =\left( \tan\alpha + \cot\alpha \right)^{2} - 2$

$\Rightarrow m^{2} = 9 \Leftrightarrow m = \pm 3$ .
Câu 36: Thông hiểu
Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tamgiác

Tam giác với ba cạnh là $5;12;13$ có bán kính đường tròn ngoại tiếp là?
- A.
  $6.$
- B.
  $8.$
- C.
  $\frac{13}{2}$ .
- D.
  $\frac{11}{2}$ .
Ta có: $5^{2} + 12^{2} = 13^{2} \Rightarrow R = \frac{13}{2}.$ (Tam giác vuông bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng $\frac{1}{2}$ cạnh huyền).
Câu 37: Nhận biết
Tính độ dài bán kính đường tròn nội tiếp

Cho $\Delta ABC$ có $S = 10\sqrt{3}$ , nửa chu vi $p = 10$ . Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp $r$ của tam giác trên là:
- A.
  $3.$
- B.
  $2.$
- C.
  $\sqrt{2}.$
- D.
  $\sqrt{3}\ .$
Ta có: $S = pr$ $\Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{10\sqrt{3}}{10} = \sqrt{3}.$
Câu 38: Vận dụng
Tính giá trị của biểu thức P

Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $\sin(\pi + \alpha) = - \frac{1}{3}$ và $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ . Tính $P = \tan\left( \frac{7\pi}{2} - \alpha ight)$ .
- A.
  $P = 2\sqrt{2}.$
- B.
  $P = - 2\sqrt{2}.$
- C.
  $P = \frac{\sqrt{2}}{4}.$
- D.
  $P = - \frac{\sqrt{2}}{4}.$
Ta có $P = \tan\left( \frac{7\pi}{2} - \alpha ight) = \tan\left( 3\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha ight)$ $= \tan\left( \frac{\pi}{2} - \alpha ight) = \cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ .

Theo giả thiết: $\sin(\pi + \alpha) = - \frac{1}{3}$ $\Leftrightarrow - \sin\alpha = - \frac{1}{3} \Leftrightarrow \sin\alpha = \frac{1}{3}$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} \cos\alpha = \pm \sqrt{1 - sin^{2}\alpha} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} \\ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \\ \end{matrix} ight.$ $\overset{}{ightarrow}\cos\alpha = - \frac{2\sqrt{2}}{3}\overset{}{ightarrow}P = - 2\sqrt{2}.$
Câu 39: Vận dụng
Chọn đáp án chính xác

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ và nội tiếp trong đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ . Gọi $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ . Khi đó tỉ số $\frac{R}{r}$ bằng:
- A.
  $1 + \sqrt{2}$ .
- B.
  $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .
- C.
  $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$ .
- D.
  $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ .
Giả sử $AC = AB = a \Rightarrow BC = a\sqrt{2}$ .

Suy ra $R = \frac{BC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

Ta có:

$p = \frac{AB + BC + CA}{2} = a\left( \frac{2 + \sqrt{2}}{2} \right)$ .

Diện tích tam giác vuông $S = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{a^{2}}{2}$ .

Lại có $S = p.r \Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{a}{2 + \sqrt{2}}$

Vậy $\frac{R}{r} = 1 + \sqrt{2}$ .
Câu 40: Vận dụng cao
Tính giá trị biểu thức

Cho tam giác $ABC$ có diện tích $S$ , lấy $G$ là trọng tâm và $\widehat{GAB} = \alpha;\widehat{GBC} = \beta;\widehat{GCA} = \gamma$ . Giả sử $AB = c;BC = a;AC = b$ , tính giá trị biểu thức $\cot\alpha + \cot\beta + \cot\gamma$ theo $a;b;c;S$ ?
- A.
  $\frac{3\left( a^{2} + b^{2} - c^{2} ight)}{4S}$
- B.
  $\frac{3\left( b^{2} + c^{2} - a^{2} ight)}{4S}$
- C.
  $\frac{3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight)}{4S}$
- D.
  $\frac{3\left( a^{2} + c^{2} - b^{2} ight)}{4S}$
Hình vẽ minh họa

Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$ . Kẻ $MH\bot AB$

Tam giác $AMH$ vuông => $\cos\alpha = \frac{AH}{AM}$

Tam giác $BMH$ vuông => $\cos B = \frac{BH}{BM} = \frac{2BH}{a}$

Ta có: $AB = AH + HB$

$\Rightarrow c = AM.cos\alpha + \frac{a}{2}.cos\beta$

$\Rightarrow \cos\alpha =\frac{1}{AM}\left( c - \frac{a}{2}.\cos\beta ight)(*)$

Mặt khác áp dụng định lí sin cho tam giác AMB ta được:

$\frac{MB}{\sin\alpha} = \frac{MA}{\sin B} \Rightarrow \sin\alpha = \frac{MB.sinB}{MA} = \frac{a.sinB}{2MA}(**)$

Từ (*) và (**) ta được:

$\cot\alpha = \dfrac{c - \dfrac{a}{2}\cos B}{\dfrac{a}{2}\sin B} = \dfrac{2c - a\cos B}{b}$

$= \dfrac{R\left( 4c - 2a\cos Bight)}{ab} = \dfrac{4c^{2} - 2ac\cos B}{\dfrac{abc}{R}}$

$\Rightarrow \cot\alpha = \frac{3c^{2} + b^{2} - a^{2}}{4S}$

Chứng minh tương tự ta có: $\left\{\begin{matrix}\cot\beta = \dfrac{3a^{2} + c^{2} - b^{2}}{4S} \\\cot\gamma = \dfrac{3b^{2} + b^{2} - c^{2}}{4S} \\\end{matrix} ight.$

Do đó:

$\cot\alpha + \cot\beta + \cot\gamma$

$= \frac{3c^{2} + b^{2} - a^{2}}{4S} + \frac{3a^{2} + c^{2} - b^{2}}{4S} + \frac{3b^{2} + b^{2} - c^{2}}{4S}$

$= \frac{3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight)}{4S}$

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác Sách CTST Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

22 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác Sách CTST

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Chương 1: Mệnh đề và tập hợp
Chương 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Chương 3: Hàm số bậc hai và đồ thị
Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác
Chương 5: Vectơ
Đề kiểm tra học kì 1
Chương 6: Thống kê
Chương 7: Bất phương trình bậc hai một ẩn
Chương 8: Đại số tổ hợp
Đề thi giữa học kì 2
Chương 9: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Chương 10: Xác suất
Đề thi học kì 2

Lớp 10
Khóa học Lớp 10
Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Đề thi giữa học kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo (Đề 5)
Đề thi học kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo – Đề 1
Đề thi học kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo – Đề 3
Đề thi học kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo – Đề 5
Đề thi học kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo – Đề 2
Đề thi học kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo – Đề 4

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác Sách CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Đề thi giữa học kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo (Đề 5)

Đề thi học kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo – Đề 1

Đề thi học kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo – Đề 3

Đề thi học kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo – Đề 5

Đề thi học kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo – Đề 2

Đề thi học kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo – Đề 4