Tọa độ của vectơ sách CTST
Định nghĩa
Trục tọa độ (hay trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm 
\(O\) cố định và vectơ đơn vị \(\overrightarrow i\) (\(\left| {\overrightarrow i } \right| = 1\)).
- Điểm \(O\) là gốc tọa độ.
- Hướng vectơ đơn vị là hướng của trục.
- Trục tọa độ như vậy kí hiệu là \(\left( {O;\overrightarrow i } \right)\).
Cho điểm \(M\) tùy ý nằm trên trục\(\left( {O;\overrightarrow i } \right)\). Khi đó có duy nhất một số \(k\) xác định sao cho \(\overrightarrow {OM} = k.\overrightarrow i\).
=> Số \(k\) được gọi là tọa độ của điểm \(M\) đối với trục \(\left( {O;\overrightarrow i } \right)\).
Cho vectơ \(\overrightarrow a\) nằm trên trục \(\left( {O;\overrightarrow i } \right)\). Khi đó có duy nhất một số \(t\) xác định sao cho \(\overrightarrow a = t.\overrightarrow i\).
=> Số \(t\) được gọi là tọa độ của vectơ đối với trục \(\left( {O;\overrightarrow i } \right)\).
Như vậy tọa độ điểm \(M\) là tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {OM}\).
Nếu hai điểm \(A\) và \(B\) nằm trên trục \(Ox\). Khi đó có duy nhất một số \(t\) sao cho \(\overrightarrow {AB} = t.\overrightarrow i\). Ta gọi số \(t\) đó là độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AB}\) đối với trục đã cho, kí hiệu là \(\overline {AB}\). Như vậy \(\overrightarrow {AB} = \overline {AB} .\overrightarrow i\).
Định lí: Trên trục số
Với hai điểm bất kì trên trục, ta có: \(\overline {AB} + \overline {BC} = \overline {AC}\).
Hai vectơ \(\overrightarrow {AB}\) và \(\overrightarrow {CD}\) bằng nhau khi và chỉ khi \(\overline {AB} = \overline {CD}\).
B. Hệ trục tọa độ
Định nghĩa
Hệ trục tọa độ \(\left( {O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)\) gồm hai trục \(\left( {O;\overrightarrow i } \right)\) và \(\left( {O;\overrightarrow j } \right)\) vuông góc với nhau, trong đó:
- Điểm \(O\) gọi là gốc tọa độ
- Trục \(\left( {O;\overrightarrow i } \right)\) là trục hoành, kí hiệu là \(Ox\).
- Trục \(\left( {O;\overrightarrow j } \right)\) là trục tung, kí hiệu là \(Oy\).
- Các vectơ \(\overrightarrow i ;\overrightarrow j\) là các vectơ đơn vị trên trục \(Ox\) và \(Oy\).
- Hệ trục tọa độ còn được kí hiệu là \(Oxy\).
Chú ý: Mặt phẳng trên đó đã chọn một hệ trục tọa độ \(Oxy\) gọi là mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) hay mặt phẳng \(Oxy\).
C. Tọa độ của vectơ đối với hệ trục tọa độ
Định nghĩa
Đối với hệ trục tọa độ \(\left( {O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)\) nếu \(\overrightarrow u = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j\) thì cặp số \(\left( {x,y} \right)\) được gọi là tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u\), kí hiệu là \(\overrightarrow u = \left( {x,y} \right)\).
- Số \(x\) là hoành độ.
- Số \(y\) là tung độ.
Định lí
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {x;y} \right),\overrightarrow b = \left( {x';y'} \right)\)và số thực \(k\). khi đó:
\(\overrightarrow a = \overrightarrow b \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = x'} \\
{y = y'}
\end{array}} \right.\)
\(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {x + x';y + y'} \right)\)
\(\overrightarrow a - \overrightarrow b = \left( {x - x';y - y'} \right)\)
\(k\overrightarrow a = \left( {k.x;k.y} \right)\)
Vectơ \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b ,\left( {\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 } \right)\) cùng phương \(\Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{R}\) sao cho \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = k.x'} \\
{y = k.y'}
\end{array}} \right.\).
Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho \(\overrightarrow a = \left( { - 4;2} \right),\overrightarrow b = \left( {5;8} \right)\). Tính tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow a + \overrightarrow b ,\overrightarrow a - \overrightarrow b ,3\overrightarrow a\)\(,5\overrightarrow a + 2\overrightarrow b ; - \left( {5\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right)\).
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( { - 4 + 5,2 + 8} \right) = \left( {1;10} \right)\)
\(\overrightarrow a - \overrightarrow b = \left( { - 4 - 5,2 - 8} \right) = \left( { - 9; - 6} \right)\)
\(3\overrightarrow a = \left( {3.\left( { - 4} \right),3.2} \right) = \left( { - 12,6} \right)\)
\(5\overrightarrow a + 2\overrightarrow b = \left( {5.\left( { - 4} \right) + 2.5,5.2 + 2.8} \right) = \left( { - 10,26} \right)\)
\(- \left( {5\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right) = - 5\overrightarrow a + 2\overrightarrow b = \left( {30;6} \right)\)
D. Tọa độ của điểm
Định nghĩa
Trong mặt phẳng tọa độ, cho một điểm \(M\) tùy ý. Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {OM}\) được gọi là tọa độ của điểm \(M\). Như vậy \(\left( {x;y} \right)\) là tọa độ của điểm \(M\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow {OM} = \left( {x;y} \right)\)
- Kí hiệu: \(M\left( {x;y} \right)\).
- Số \(x\) là hoành độ, \(y\) là tung độ của điểm \(M\).
Chú ý
Nếu \(H\) và \(K\) lần lượt là hình chiếu của \(Ox\) trên \(Ox\)và \(Oy\) thì:
\(M\left( {x;y} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j = \overrightarrow {OH} + \overrightarrow {OK}\)
Như vậy \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\overrightarrow {OH} = x\overrightarrow i \Rightarrow \overline {OH} = x} \\
{\overrightarrow {OK} = y\overrightarrow j \Rightarrow \overline {OH} = y}
\end{array}} \right.\).
|
Định lí Với hai điểm
|
Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD có A(3; 2), B(2;−1), C(−2;−2). Tìm tọa độ điểm D.
Hướng dẫn giải
Giả sử tọa độ của điểm D là D(x; y).
Ta có: \(\left\{ \begin{gathered}
\overrightarrow {AD} = \left( {x - 3;y - 2} \right) \hfill \\
\overrightarrow {BC} = \left( { - 4; - 1} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
Vì \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC}\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x - 3 = 4} \\
{y - 2 = - 1}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = - 1} \\
{y = 1}
\end{array}} \right.\)
Vậy tọa độ điểm D là (−1; 1).
E. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và tọa độ trọng tâm của tam giác
Định lí
Cho hai điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\). Khi đó trung điểm I của AB có tọa độ:
\(\left\{ \begin{gathered}
{x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2} \hfill \\
{y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
Định lí
Cho hai điểm . Khi đó trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ:
\(\left\{ \begin{gathered}
{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} \hfill \\
{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(−1; 2), B(1; 4), C(−1;−2). Tìm tọa độ trung điểm của đoạn AB và trọng tâm của tam giác ABC.
Hướng dẫn giải
Tọa độ trung điểm I đoạn AB là: \(\left\{ \begin{gathered}
{x_I} = \dfrac{{ - 1 + 1}}{2} = 0 \hfill \\
{y_I} = \dfrac{{2 + 4}}{2} = 3 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow I\left( {0;3} \right)\).
Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ:
\(\left\{ \begin{gathered}
{x_G} = \dfrac{{ - 1 + 1 - 1}}{3} = - \dfrac{1}{3} \hfill \\
{y_G} = \dfrac{{2 + 4 - 3}}{3} = \dfrac{4}{3} \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow G\left( { - \dfrac{1}{3};\dfrac{4}{3}} \right)\)
