Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp sách CTST

Chú ý

Các hoán vị khác nhau chỉ khác nhau về thứ tự sắp xếp các phần tử. Hoán vị của 3 phần tử \(a, b, c\) gồm: \(a,b,c;a,c,b;b,c,a;...\)

Ví dụ: Một chồng sách gồm 4 quyển sách Toán khác nhau, 3 quyển sách Vật Lý khác nhau, 5
quyển sách Hóa Học khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các quyển sách trên thành một hàng ngang sao cho

a. Các quyển sách cùng môn thì đứng cạnh nhau.

b. Các quyển sách toán đứng gần nhau.

Hướng dẫn giải

a. Xếp 4 quyển sách toán thành một nhóm đứng gần nhau có \(P_4 = 4! = 24\) cách xếp

Xếp 3 quyển sách Vật Lí thành một nhóm gần nhau có \(P_3 = 3! = 6\) cách xếp

Xếp 5 quyển sách Hóa Học thành một nhóm gần nhau có \(P_5 = 5! = 120\) cách xếp.

Xếp 3 nhóm sách trên lên giá sách có \(P_3 = 3! = 6\) cách xếp.

Vậy có \(24.6.120.6 = 103680\) cách xếp các cuốn sách cùng môn thì đứng cạnh nhau.

b. Xếp 4 quyển sách toán thành một nhóm đứng gần nhau có \(P_4 = 4! = 24\) cách xếp.

Coi nhóm sách Toán là một quyển sách lớn, xếp quyển sách lớn đó và 8 quyển sách còn lại có

\(P_9 = 9!\) cách xếp.

Vậy có \(24.9! = 8709120\) cách xếp các cuốn sách Toán đứng gần nhau. 

B. Chỉnh hợp

Định lí Số các chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử \(\left( {1 \leqslant k \leqslant n} \right)\) là: \(A_n^k = n\left( {n - 1} \right)....\left( {n - k + 1} \right)\) Chú ý Với quy ước \(0! = 1\) ta có: \(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}},\left( {1 \leqslant k \leqslant n} \right)\) Mỗi hoán vị của \(n\) phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập \(n\) của \(n\) phần tử đó. Vì vậy \({P_n} = A_n^n\) Khi giải bài toán chọn trên một tập \(X\) có \(n\) phần tử, ta sẽ dùng chỉnh hợp nếu có hai dấu hiệu sau: + Chỉ chọn \(k\) phần tử của \(X\), \(\left( {1 \leqslant k \leqslant n} \right)\). + Có sắp thứ tự các phần tử đã chọn.

Ví dụ: Cho tập \(A = \left \{ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}\right \}\)

a) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau và mỗi số chứa chữ số 5?

b) Trong các số trên, có bao nhiêu số không chia hết cho 5?

Hướng dẫn giải

a) Một số gồm 6 chữ số phân biệt hình thành từ A có dạng \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}}\), với \(\left\{ \begin{gathered} {a_i} \in A;i = \overline {1,6} \hfill \\ {a_i} \ne {a_j};i \ne j \hfill \\ \end{gathered} \right.\)

Để số tìm được phải có mặt chữ số 5, ta thấy: \(5 \in \left\{ {{a_1};{a_2};{a_3};{a_4};{a_5};{a_6}} \right\}\) có 6 cách chọn.

Tiếp theo, mỗi bộ số dành cho năm vị trí còn lại ứng với một chỉnh hợp chập 5 của các phần tử của tập \(A \setminus \left \{ {5} \right \}\) có 8 phần tử.

=> Có \(A_8^5\) cách chọn.

Như vậy ta được \(6A_8^5 = 40320\) số.

b) Trong các số trên, những số chia hết cho 5 có \(a_6 = 5\), tức là có \(A_8^5\) số.

Vậy số các số tìm thấy không chia hết cho 5 là \(6A_8^5 - A_8^5 = 33600\) số.

C. Tổ hợp

Định lí Số tổ hợp chập \(k\) của một tập hợp có \(n\) phần tử \(\left( {1 \leqslant k \leqslant n} \right)\) là: \(C_n^k = \frac{{A_n^k}}{{k!}} = \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)...\left( {n - k + 1} \right)}}{{k!}}\) Với quy ước \(C_1^0 = 1\) thì với mọi số nguyên \(k\) thỏa mãn \(0 \leqslant k \leqslant n\) ta có: \(C_n^k = \frac{{A_n^k}}{{k!}} = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\)

Tính chất: \(C_n^k = C_n^{n - k};\left( {0 \leqslant k \leqslant n} \right)\)

Ví dụ: Có bao nhiêu cách lấy hai lá bài từ bộ bài tú lơ khơ gồm 52 lá?

Hướng dẫn giải

Mỗi cách lấy 2 con bài từ 52 con là một tổ hợp chập 2 của 52 phần tử.

Vậy số cách lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con là \(C_{52}^2 = 1326\).

4. Tính số các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp bằng máy tính cầm tay

Với một số máy tính cầm tay, ta có thể tính toán nhanh số các hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.

Ví dụ

a) Đề tính \({P_8} = 8!\), ta ấn liên tiếp các phím thì nhận được kết quả là 40 320.

b) Để tính \(A_{12}^5\), ta ấn liên tiếp các phím thì nhân được kết quả là 95040.

c) Để tính \(C_{20}^{11}\), ta ấn liên tiếp các phím thì nhận được kêt quả là 167960.