Mệnh đề sách CTST

Chú ý

• Các câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh không phải là mệnh đề.
• Mệnh đề thường được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa.

Ví dụ: Q: "8 chia hết cho 2".

• Một câu mà chưa thể nói đúng hay sai nhưng chắc chắn nó chỉ đúng hoặc sai, không thể vừa đúng vừa sai cũng là một mệnh đề.

Ví dụ: "Có sự sống ngoài Trái Đất" là mệnh đề.

• Trong thực tế, có những mệnh đề mà tính đúng sai của nó luôn gắn với một thời gian và địa điểm cụ thể: đúng ở thời gian hoặc địa điểm này nhưng sai ở thời gian hoặc địa điểm khác. Nhưng ở bất kì thời điểm nào, địa điểm nào cũng luôn có giá trị chân lí đúng hoặc sai.

Ví dụ: Sáng nay bạn Linh đi chơi.

2. Mệnh đề chứa biến

Ví dụ: Cho \(P\left( x \right):{x^2} > 1\) với x là số thực. Khi đó: \(P\left( {\frac{1}{2}} \right)\) là mệnh đề sai và \(P\left( 3 \right)\) là mệnh đề đúng.

3. Mệnh đề phủ định

• Mệnh đề \(P\) và mệnh đề phủ định là \(\overline P\) hai câu khẳng định trái ngược nhau. Nếu \(P\) đúng thì \(\overline P\) sai, nếu P sai thì \(\overline P\) đúng.
• Mệnh đề phủ định của \(P\) có thể diễn đạt theo nhiều cách khác nhau.

Ví dụ: Xét mệnh đề \(P\): "1 là số lẻ". Khi đó, mệnh đề phủ định của \(P\) có thể phát biểu là \(\overline P\) : "1 không phải là số lẻ" hoặc "1 là số chẵn".

4. Mệnh đề kéo theo

• Mệnh đề kéo theo chỉ sai khi \(P\) đúng \(Q\) sai.
• \(P ⇒ Q\) còn được phát biểu là "\(P\) kéo theo \(Q\)", "\(P\) suy ra \(Q\)" hay "Vì \(P\) nên \(Q\)".

Nhận xét

Khi mệnh đề \(P ⇒ Q\) là định lí, ta nói:

• \(P\) là giả thiết, \(Q\) là kết luận của định lí;
• \(P\) là điều kiện đủ để có \(Q\);
• \(Q\) là điều kiện cần để có \(P\).

Chú ý

• Trong toán học, định lí là một mệnh đề đúng, thường có dạng: \(P ⇒ Q\). Khi đó ta nói \(P\) là giả thiết, \(Q\) là kết luận của định lí, hoặc \(P\) là điều kiện đủ để có \(Q\), hoặc \(Q\) là điều kiện cần để có \(P\).
• Trong logic toán học, khi xét giá trị chân lí của mệnh đề \(P ⇒ Q\) người ta không quan tâm đến mối quan hệ về nội dung của hai mệnh đề \(P\), \(Q\). Không phân biệt trường hợp \(P\) có phải là nguyên nhân để có \(Q\) hay không mà chỉ quan tâm đến tính đúng, sai của chúng.

Ví dụ: "Nếu mặt trời quay quanh trái đất thì Việt Nam nằm ở châu Âu" là một mệnh đề đúng. Vì ở đây hai mệnh đề \(P\): "Mặt trời quay xung quanh trái đất" và \(Q\): "Việt Nam nằm ở châu Âu” đều là mệnh đề sai.

5. Mệnh đề đảo. Hai mệnh đề tương đương

Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là một mệnh đề đúng.

• Mệnh đề \(P ⇔ Q\) đúng khi cả hai mệnh đề \(P ⇒ Q\) và \(Q ⇒ P\) cùng đúng hoặc cùng sai. (Hay \(P ⇔ Q\) đúng khi cả hai mệnh đề \(P\) và \(Q\) cùng đúng hoặc cùng sai)
• \(P ⇔ Q\) còn được phát biểu là "\(P\) khi và chỉ khi \(Q\)", "\(P\) tương đương với \(Q\)", hay "\(P\) là điều kiện cần và đủ để có \(Q\)".
• Hai mệnh đề \(P\), \(Q\) tương đương với nhau hoàn toàn không có nghĩa là nội dung của chúng như nhau, mà nó chỉ nói lên rằng chúng có cùng giá trị chân lí (cùng đúng hoặc cùng sai).

Ví dụ: Cho tứ giác \(ABCD\). Xét hai mệnh đề:

\(P\): "Tứ giác \(ABCD\) là hình vuông".

\(Q\): "Tứ giác \(ABCD\) là hình thoi có hai đường chéo bằng nhau".

Phát biểu mệnh đề \(P ⇔ Q\) bằng hai cách và cho biết mệnh đề đó đúng hay sai.

Hướng dẫn giải

Phát biểu mệnh đề:

Cách 1. "Tứ giác \(ABCD\) là hình vuông khi và chỉ khi nó là hình thoi có hai đường chéo bằng nhau".

Cách 2. "Tứ giác \(ABCD\) là hình vuông là điều kiện cần và đủ để nó là hình thoi có hai đường chéo bằng nhau".

Nhận xét: Mệnh đề này đúng theo tính chất và dấu hiệu nhận biết hình vuông.

6. Mệnh đề chứa kí hiệu ∀, ∃

Chú ý

• Phủ định của mệnh đề "\(\forall x \in X,P\left( x \right)\)"  là mệnh đề "\(\exists x \in X,\overline {P\left( x \right)}\)" .
• Phủ định của mệnh đề " \(\exists x \in X,P\left( x \right)\)  là mệnh đề "\(\forall x \in X,\overline {P\left( x \right)}\)" 

Ví dụ: Xét tính đúng - sai của các mệnh đề sau và tìm mệnh đề phủ định của nó:

a) \(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} + 6 > 0\)

b) \(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} + x + 1 = 0\)

Hướng dẫn giải

a) Mệnh đề đúng.

Phủ định là \(\overline A :\overline \exists x \in \mathbb{R},{x^2} + 6 < 0\)

b) Mệnh đề sai vì phương trình \({x^2} + x + 1 = 0\) vô nghiệm trong \(\mathbb{R}\).

Phủ định là \(\overline B :\forall x \in \mathbb{R},{x^2} + x + 1 \ne 0\)