Quy tắc cộng và quy tắc nhân
Định nghĩa
Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có 
\(m\) cách thực hiện, hành động kia có \(n\) cách thực hiện không trùng với bất kỳ cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có \(m + n\) cách thực hiện.
Ví dụ: Một tổ có 4 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Hỏi giáo viên chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn 1 bạn trong tổ để làm tổ trưởng?
Hướng dẫn giải
Phân tích đề: "Công việc" của bài toán là chọn 1 học sinh để làm tổ trưởng.
Vì vậy, chúng ta chỉ cần chọn 1 bạn là công việc sẽ được hoàn thành.
Để chọn 1 bạn nam trong 4 bạn nam để làm tổ trưởng ta có: 4 cách.
Để chọn 1 bạn nữ trong 5 bạn nữ để làm tổ trưởng ta có: 5 cách.
Vậy theo quy tắc cộng ta có: 4 + 5 = 9 cách chọn.
B. Quy tắc nhân
Định nghĩa
Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có \(m\) cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có \(n\) cách thực hiện hành động thứ hai thì có \(m.n\) cách hoàn thành công việc.
Chú ý
Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp.
Ví dụ: Một người có 5 cái quần và 7 cái áo. Người đó cần một bộ đồ đi dự tiệc gồm một quần và một áo, hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau?
Hướng dẫn giải
Để chọn được một bộ quần áo gồm một quần và một áo ta cần:
Chọn 1 quần trong 5 quần có 5 cách.
Chọn 1 áo trong 7 áo có 7 cách.
Theo quy tắc nhân có tất cả 5.7 = 35 cách chọn khác nhau
Ví dụ: Một giá sách có 3 quyển sách tham khảo Toán khác nhau, 2 quyển sách tham khảo Lý khác nhau và 4 quyển sách tham khảo Hóa khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 quyển sách tham khảo trong đó có đầy đủ ba môn?
Hướng dẫn giải
Để chọn được một bộ sách tham khảo gồm ba môn Toán, Lý, Hóa ta lần lượt chọn:
Chọn một quyển sách Toán có 3 cách.
Chọn một quyển sách Lý có 2 cách.
Chọn một quyển sách Hóa có 4 cách.
Theo quy tắc nhân có tất cả 3.2.4 = 24 cách chọn sách thỏa mãn.
Ví dụ: Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau trong đó phải có mặt chữ số 5?
Hướng dẫn giải
Gọi số cần tìm là \(\overline {abc}\)
Trường hợp 1: Nếu a = 5 => a có 1 cách chọn
b có 9 cách chọn
c có 8 cách
Theo quy tắc nhân có 1.9.8 = 72 số.
Trường hợp 2: Nếu b = 5 => b có 1 cách chọn
a có 8 cách chọn
c có 8 cách
Theo quy tắc nhân có 1.8.8 = 64 số.
Trường hợp 3: Nếu c = 4 => c có 1 cách chọn
a có 8 cách chọn
b có 8 cách chọn
Theo quy tắc nhân có 1.8.8 = 64 số.
Vậy có tất cả 72 + 64 + 64 = 200 số.
