Tích vô hướng của hai vectơ sách CTST

Hình vẽ minh họa

Chú ý

• Nếu \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {90^0}\) thì ta nói rằng \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\) vuông góc với nhau, ký hiệu là \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b\) hoặc \(\overrightarrow b \bot \overrightarrow a\).
• Nếu \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\) cùng hướng thì \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {0^0}\).
• Nếu \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\) ngược hướng thì \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {180^0}\).

B. Tích vô hướng của hai vectơ

Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\) bằng vectơ \(\overrightarrow 0\) ta quy ước \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow 0\).

a) Với \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\) khác vectơ ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a \bot \overrightarrow b\).

b) Khi \(\overrightarrow a = \overrightarrow b\) tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow a\) được kí hiệu là \({\overrightarrow a ^2}\) và số này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ \(\overrightarrow a\). Ta có: \({\overrightarrow a ^2} = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow a } \right|.\cos \left( {{0^0}} \right) = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}\).

Ví dụ: Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(2a\sqrt 2\). Tính tích vô hướng của \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}\).

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)

Ta có: \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {45^0}\) (theo tính chất hình vuông)

Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = 16{a^2}\)

=> \(AC = 4a\)

=> \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 2a\sqrt 2 .4a.\cos \left( {{{45}^0}} \right) = 8{a^2}\)

C. Tính chất của tích vô hướng

Ví dụ: Cho bốn điểm \(A, B, C, D\) bất kì. Chứng minh rằng:

\(\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB} = 0\)

Hướng dẫn giải

Đẳng thức cần chứng minh tương đương với

\(\begin{matrix} \overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB} \hfill \\ = \overrightarrow {DA} .\left( {\overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DB} } \right) + \overrightarrow {DB} .\left( {\overrightarrow {DA} - \overrightarrow {DC} } \right) + \overrightarrow {DC} .\left( {\overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DA} } \right) \hfill \\ = \overrightarrow {DA} .\overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DA} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {DA} - \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {DA} \hfill \\ = \left( {\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {DA} } \right) + \left( { - \overrightarrow {DA} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {DA} } \right) + \left( { - \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {DB} } \right) \hfill \\ = 0 + 0 + 0 \hfill \\ = 0 \hfill \\ \end{matrix}\)

Nhận xét Từ các tính chất của tích vô hướng hai vectơ ta suy ra \({\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = {\overrightarrow a ^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2}\) \({\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)^2} = {\overrightarrow a ^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2}\) \(\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right).\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) = {\overrightarrow a ^2} - {\overrightarrow b ^2}\)