VnDoc.com Lớp 10 Khóa học Lớp 10 Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 9 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Mô tả thêm:

Đề kiểm tra 45 phút Toán 10 Chương 9 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng sách Chân trời sáng tạo giúp bạn học tổng hợp lại kiến thức của cả nội dung chương. Cùng nhau luyện tập nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài Rủ bạn học

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Vận dụng
Tìm phương trình đường phân giác

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ , cho hai đường thẳng $d_{1}:3x - 4y - 3 = 0$ và $d_{2}:12x + 5y - 12 = 0$ . Phương trình đường phân giác góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ là:
- A.
  $3x + 11y - 3 = 0.$
- B.
  $11x - 3y - 11 = 0.$
- C.
  $3x - 11y - 3 = 0.$
- D.
  $11x + 3y - 11 = 0.$
Các đường phân giác của các góc tạo bởi $d_{1}:3x - 4y - 3 = 0$ và $d_{2}:12x + 5y - 12 = 0$ là:

$\frac{|3x - 4y - 3|}{5} = \frac{|12x + 5y - 12|}{13} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 3x + 11y - 3 = 0 \\ 11x - 3y - 11 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ .$

Gọi $I = d_{1} \cap d_{2} ightarrow I(1;0);\ \ d:3x + 11y - 3 = 0 ightarrow M( - 10;3) \in d,$

Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ lên $d_{1}.$

Ta có: $IM = \sqrt{130},\ \ MH = \frac{| - 30 - 12 - 3|}{5} = 9,$ suy ra

$\sin\widehat{MIH} = \frac{MH}{IM} = \frac{9}{\sqrt{130}} ightarrow \widehat{MIH} > 52^{\circ} ightarrow 2\widehat{MIH} > 90^{\circ}.$

Suy ra $d:3x + 11y - 3 = 0$ là đường phân giác góc tù, suy ra đường phân giác góc nhọn là $11x - 3y - 11 = 0$ .
Câu 2: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Tính góc giữa hai đường thẳng $\left( d_{1} ight):2x - y - 10 = 0$ và $\left( d_{2} ight):x - 3y + 9 = 0$
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $45^{0}$
Ta có:

Vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng lần lượt là $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{1}} = (2; - 1) \\ \overrightarrow{n_{2}} = (1; - 3) \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} = 2.1 + ( - 1).( - 3) = 5 \\ \left| \overrightarrow{n_{1}} ight| = \sqrt{2^{2} + ( - 1)^{2}} = \sqrt{5} \\ \left| \overrightarrow{n_{2}} ight| = \sqrt{1^{2} + ( - 3)^{2}} = \sqrt{10} \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $\cos\left( d_{1};d_{2} ight) = \frac{\left| \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{2}} ight|} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow \widehat{\left( d_{1};d_{2} ight)} = 45^{0}$
Câu 3: Nhận biết
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng $d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = - 3 + 4t \\ y = 2 - 6t \\ \end{matrix} ight.$ và $d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 2 - 2t' \\ y = - 8 + 4t' \\ \end{matrix} ight.$ .
- A.
  Trùng nhau.
- B.
  Song song.
- C.
  Vuông góc với nhau.
- D.
  Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.
$\left. \ \begin{matrix} d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = - 3 + 4t \\ y = 2 - 6t \\ \end{matrix} ight.\ ightarrow A( - 3;2) \in d_{1},\ \ {\overrightarrow{u}}_{1} = (2; - 3) \\ d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 2t' \\ y = 4 + 3t' \\ \end{matrix} ight.\ ightarrow \ \ {\overrightarrow{u}}_{2} = ( - 2;3) \\ \end{matrix} ight\} ightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{2}{- 2} = \frac{- 3}{3} \\ A\boxed{\in}d_{2} \\ \end{matrix} ight.\ ightarrow d_{1}||d_{2}.$
Câu 4: Nhận biết
Điều kiện cần và đủ để ba điểm thẳng hàng.

Cho ba điểm $A,\ B,\ C$ phân biệt. Điều kiện cần và đủ để ba điểm đó thẳng hàng là
- A.
  $\forall M:\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$ .
- B.
  $\forall M:\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ .
- D.
  $\exists k \in R:\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}$ .
Ta có tính chất: Điều kiện cần và đủ để ba điểm $A,\ B,\ C$ phân biệt thẳng hàng là $\exists k \in R:\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}$ .
Câu 5: Thông hiểu
Biểu diễn một vectơ theo hai vectơ khác

Cho tam giác $ABC.$ Hai điểm $M,\ \ N$ chia cạnh $BC$ theo ba phần bằng nhau $BM = MN = NC.$ Tính $\overrightarrow{AM}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}.$
- A.
  $\overrightarrow{AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}.$
- B.
  $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}.$
- C.
  $\overrightarrow{AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}.$
- D.
  $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}.$
Ta có $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} ight) = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}.$
Câu 6: Nhận biết
Tìm điều kiện để ba điểm thẳng hàng

Cho ba điểm $A,\ B,\ C$ phân biệt. Điều kiện cần và đủ để ba điểm đó thẳng hàng là
- A.
  $\forall M:\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$ .
- B.
  $\forall M:\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ .
- D.
  $\exists k \in R:\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}$ .
Ta có tính chất: Điều kiện cần và đủ để ba điểm $A,\ B,\ C$ phân biệt thẳng hàng là $\exists k \in R:\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}$ .
Câu 7: Nhận biết
Tìm điều kiện chính xác

Cho phương trình $x^{2} + y^{2} – 2ax – 2by + c = 0$ . Điều kiện của $a, b, c$ để phương trình đã cho là phương trình đường tròn là
- A.
  $a^{2} + b^{2} > c^{2}$
- B.
  $c^{2} > a^{2} + b^{2}$
- C.
  $a^{2} + b^{2} > c$
- D.
  $c > a^{2} + b^{2}$
Điều kiện: $a^{2} + b^{2} > c$ .
Câu 8: Vận dụng cao
Tìm tọa độ điểm M thõa mãn điều kiện

Trong hệ tọa độ $Oxy,$ cho ba điểm $A(1;0),\ B(0;3)$ và $C( - 3; - 5).$ Tìm điểm $M$ thuộc trục hoành sao cho biểu thức $P = \left| 2\overrightarrow{MA} - 3\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất.
- A.
  $M(4;0).$
- B.
  $M( - 4;0).$
- C.
  $M(16;0).$
- D.
  $M( - 16;0).$
Ta có

$2\overrightarrow{MA} -3\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} =$ $2\left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight) - 3\left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight) + 2\left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} ight),\ \forall I$

$= \overrightarrow{MI} + 2\left( \overrightarrow{IA} - 3\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC} ight),\ \forall I.$

Chọn điểm $I$ sao cho $2\overrightarrow{IA} - 3\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}.$ $(*)$

Gọi $I(x;y)$ , từ $(*)$ ta có

$\left\{ \begin{matrix}2(1 - x) - 3(0 - x) + 2( - 3 - x) = 0 \\2(0 - y) - 3(2 - y) + 2( - 5 - y) = 0 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - 4 \\y = - 16 \\\end{matrix} ight.\ ight.$ $\ \Rightarrow I( - 4; - 16).$

Khi đó $P = \left| 2\overrightarrow{MA} -3\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} ight|$ $= \left|\overrightarrow{MI} ight| = MI.$

Để $P$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow MI$ nhỏ nhất. Mà $M$ thuộc trục hoành nên $MI$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên trục hoành $\overset{}{ightarrow}M( - 4;0).$
Câu 9: Thông hiểu
Xác định vectơ

Cho bốn điểm $A,\ B,\ C,\ D$ phân biệt. Khi đó vectơ $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{AB}$ bằng:
- A.
  $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AD}$ .
- B.
  $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}$ .
- C.
  $u = \overrightarrow{CD}$ .
- D.
  $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AC}$ .
Ta có:

$\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{AB}$

$= \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{0}$ .
Câu 10: Thông hiểu
Viết phương trình tham số của đường thẳng

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ , cho ba điểm $A(3;2)$ ¸ $P(4;0)$ và $Q(0; - 2)$ . Đường thẳng đi qua điểm $A$ và song song với $PQ$ có phương trình tham số là:
- A.
  $d:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t \\ y = t \\ \end{matrix} ight.\ \left( t\mathbb{\in R} ight).$
- B.
  $d:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 - 2t \\ y = t \\ \end{matrix} ight.\ \left( t\mathbb{\in R} ight).$
- C.
  $d:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t \\ y = - t \\ \end{matrix} ight.\ \left( t\mathbb{\in R} ight).$
- D.
  $d:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + t \\ y = t \\ \end{matrix} ight.\ \left( t\mathbb{\in R} ight).$
Gọi d là đường thẳng qua A và song song với PQ.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} A(3;2) \in d \\ {\overrightarrow{u}}_{d} = \overrightarrow{PQ} = ( - 4; - 2) = - 2(2;1) \\ \end{matrix} ight.\ ightarrow d:\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 2 + t \\ \end{matrix} ight.$

$\overset{t = - 2}{ightarrow}M( - 1;0) \in d ightarrow d:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t \\ y = t \\ \end{matrix} ight.\ \left( t\mathbb{\in R} ight).$
Câu 11: Thông hiểu
Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho đường tròn $(C):x^{2} + y^{2} - 4x - 6y - 12 = 0$ và đường thẳng $d:3x + 4y - 6 = 0$ . Tìm phương trình tiếp tuyến của $(C)$ vuông góc với đường thẳng $d$ ?
- A.
  $4x - 3y + 26 = 0$ hoặc $4x - 3y - 24 = 0$
- B.
  $4x - 3y + 12 = 0$ hoặc $4x - 3y - 5 = 0$
- C.
  $4x - 3y + 4 = 0$ hoặc $4x - 3y - 2 = 0$
- D.
  $4x - 3y + 1 = 0$ hoặc $4x - 3y - 15 = 0$
Ta có:

Phương trình đường tròn (C) có tâm I(2; 3) bán kính R = 5

Phương trình đường thẳng $\Delta_{2}$ vuông góc với d có dạng $4x - 3y + c_{2} = 0$

$\Delta_{2}$ tiếp xúc với $(C)$ nên $d\left( I;\Delta_{2} ight) = R$

Hay $\frac{\left| 4.2 - 3.3 + c_{2} ight|}{\sqrt{4^{2} + ( - 3)^{2}}} = 5 \Leftrightarrow \left| c_{2} - 1 ight| = 25$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c_{2} - 1 = 25 \\ c_{2} - 1 = - 25 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c_{2} = 26 \\ c_{2} = - 24 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy phương trình tiếp tuyến của $(C)$ vuông góc với $(d)$ là: $4x - 3y + 1 = 0$ hoặc $4x - 3y - 15 = 0$ .
Câu 12: Thông hiểu
M là trung điểm của đoạn thẳng nào?

Cho hình bình hành $ABCD$ , điểm $M$ thoả mãn: $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{AB}$ . Khi đó $M$ là trung điểm của:
- A.
  $AB$ .
- B.
  $BC$ .
- C.
  $AD$ .
- D.
  $CD$ .
Ta có: $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MI} = \overrightarrow{AB}$ .

Vậy $M$ là trung điểm của $AD$ .
Câu 13: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai

Cho phương trình $ax + by + c = 0\ \ \ (*)$ với $a^{2} + b^{2} > 0$ . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
- A.
  $(*)$ là phương trình tổng quát của đường thẳng có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}(a;b)$ .
- B.
  $a = 0\ \ \ (*)$ là phương trình đường thẳng song song hoặc trùng với trục $Ox$ .
- C.
  $b = 0\ \ \ (*)$ là phương trình đường thẳng song song hoặc trùng với trục $Oy$ .
- D.
  Điểm $M\left( x_{0};y_{0} ight)$ thuộc đường thẳng $(*)$ khi và chỉ khi $ax_{0} + by_{0} + c eq 0$ .
Mệnh đề sai là: “Điểm $M\left( x_{0};y_{0} ight)$ thuộc đường thẳng $(*)$ khi và chỉ khi $ax_{0} + by_{0} + c eq 0$ .”
Câu 14: Nhận biết
Tìm mệnh đề đúng

Cho Hypebol $(H)$ có phương trình chính tắc là $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ , với $a,b > 0$ . Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  Nếu $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ thì $(H)$ có các tiêu điểm là $F_{1}(c;0)$ , $F_{2}( - c;0)$ .
- B.
  Nếu $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ thì $(H)$ có các tiêu điểm là $F_{1}(0;c)$ , $F_{2}(0; - c)$ .
- C.
  Nếu $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ thì $(H)$ có các tiêu điểm là $F_{1}(c;0)$ , $F_{2}( - c;0)$ .
- D.
  Nếu $\mathbf{c}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{b}^{\mathbf{2}}$ thì $(H)$ có các tiêu điểm là $F_{1}(0;c)$ , $F_{2}(0; - c)$ .
Khẳng định đúng là: Nếu $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ thì $(H)$ có các tiêu điểm là $F_{1}(c;0)$ , $F_{2}( - c;0)$ .
Câu 15: Thông hiểu
Tìm tọa độ đỉnh của elip

Cho phương trình Elip $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$ . Tọa độ đỉnh $A_1$ và $B_1$ của Elip đó là:
- A.
  $A_1(4; 0)$ và $B_1(0; 2)$
- B.
  $A_1(–4; 0)$ và $B_1(0; –2)$
- C.
  $A_1(0; –4)$ và $B_1(–2; 0)$
- D.
  $A_1(0; 4)$ và $B_1(2; 0)$
Ta có: $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$ => a = 4; b = 2
=> Tọa độ các đỉnh của elip là: ${A_1}\left( { - 4;0} ight);{B_1}\left( {0; - 2} ight)$
Câu 16: Thông hiểu
Xác định tọa độ điểm M thỏa mãn yêu cầu

Trong mặt phẳng $Oxy$ , cho các điểm $A( - 3;3),B(1;4),C(2; - 5)$ . Tọa độ điểm $M$ thỏa mãn $2\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{BC} = 4\overrightarrow{CM}$ là:
- A.
  $M\left( \frac{1}{6};\frac{5}{6} \right)$ .
- B.
  $M\left( - \frac{1}{6}; - \frac{5}{6} \right)$ .
- C.
  $M\left( \frac{1}{6}; - \frac{5}{6} \right)$ .
- D.
  $M\left( \frac{5}{6}; - \frac{1}{6} \right)$ .
Ta có: $2\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{BC} = 4\overrightarrow{CM}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2\left( - 3 - x_{M} \right) - (2 - 1) = 4\left( x_{M} - 2 \right) \\ 2\left( 3 - y_{M} \right) - ( - 5 - 4) = 4\left( y_{M} + 5 \right) \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{M} = \frac{1}{6} \\ y_{M} = - \frac{5}{6} \end{matrix} \right.\ \Rightarrow M\left( \frac{1}{6}; - \frac{5}{6} \right)$ .
Câu 17: Nhận biết
Xác định tiêu điểm

Cho một hypebol $(E):\frac{x^{2}}{144} - \frac{y^{2}}{25} = 1$ có hai tiêu điểm là:
- A.
  $F_{1}( - 13;0),F_{2}(13;0)$
- B.
  $F_{1}( - 12;0),F_{2}(12;0)$
- C.
  $F_{1}( - 5;0),F_{2}(5;0)$
- D.
  $F_{1}( - 3;0),F_{2}(3;0)$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} a^{2} = 144 \\ b^{2} = 25 \\ c^{2} = a^{2} + b^{2} = 169 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 12 \\ b = 5 \\ c = 13 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hai tiêu điểm cần tìm là: $F_{1}( - 13;0),F_{2}(13;0)$ .
Câu 18: Vận dụng
Tìm tất cả các giá trị của m

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn $(C):x^{2} + y^{2} - 2x - 2my + m^{2} - 24 = 0$ có tâm $I$ và đường thẳng $\Delta:mx + 4y = 0$ (với m là tham số). Biết đường thẳng $\Delta$ cắt đường tròn $(C)$ tại hai điểm $A;B$ phân biệt sao cho diện tích tam giác $IAB$ bằng $12$ . Có bao nhiêu giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài?
- A.
  $1$
- B.
  $2$
- C.
  $3$
- D.
  $4$
Hình vẽ minh họa

Đường tròn (C) có tâm I(1; m) và bán kính R = 5.

Gọi H là trung điểm của dây cung AB. Ta có IH là đường cao của tam giác IAB và

$IH = d(I;\Delta) \Leftrightarrow \frac{|m + 4m|}{\sqrt{m^{2} + 16}} = \frac{|5m|}{\sqrt{m^{2} + 16}}$

$AH = \sqrt{IA^{2} - IH^{2}} = \sqrt{25 - \frac{(5m)^{2}}{m^{2} + 16}} = \frac{20}{\sqrt{m^{2} + 16}}$

Theo bài ra ta có:

$S_{IAB} = 12 \Leftrightarrow 2S_{IAH} = 12$

$\Leftrightarrow d(I;\Delta).AH = 12$

$\Leftrightarrow 25|m| = 3\left( m^{2} + 16 ight)$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}m = \pm 3 \\m = \pm \dfrac{16}{3} \\\end{matrix} ight.$

Vậy có 4 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 19: Vận dụng
Có bao nhiêu đường tròn thỏa mãn

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$ , cho hai đường tròn $\left( \mathbf{C}_{\mathbf{1}} ight)\mathbf{,}\left( \mathbf{C}_{\mathbf{2}} ight)$ có phương trình lần lượt là $(x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 9,\ (x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 4$ và elip $(E)$ có phương trình $16x^{2} + 49y^{2} = 1$ . Có bao nhiêu đường tròn $(C)$ có bán kính gấp đôi độ dài trục lớn của elip $(E)$ và $(C)$ tiếp xúc với hai đường tròn $\left( C_{1} ight)$ , $\left( C_{2} ight)$ ?
- A.
  $2$ .
- B.
  5.
- C.
  7.
- D.
  4.
Ta có $16x^{2} + 49y^{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{\left( \frac{1}{4} ight)^{2}} + \frac{y^{2}}{\left( \frac{1}{7} ight)^{2}} = 1 \Rightarrow (E)$ có độ dài trục lớn là $2a = 2.\frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ .

Khi đó đường tròn $(C)$ có bán kính là $R = 1$ . Gọi $I(a;b)$ là tâm của đường tròn $(C)$ .

Xét $\Delta II_{1}I_{2}$ có $\left\{ \begin{matrix} II_{1} = R + R_{1} = 1 + 3 = 4 \\ II_{2} = R + R_{2} = 1 + 2 = 3 \\ I_{1}I_{2} = R_{1} + R_{2} = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \Delta II_{1}I_{2}$ vuông tại $I$ .

Ta có $\overrightarrow{II_{1}} = ( - 1 - a; - 2 - b)$ , $\overrightarrow{II_{2}} = (2 - a;2 - b)$ . Khi đó điểm $I$ thỏa mãn:

$\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{II_{1}}.\overrightarrow{II_{2}} = 0 \\\overrightarrow{II_{2}} = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}( - 1 - a)(2 - a) + ( - 2 - b)(2 - b) = 0 \\(2 - a)^{2} + (2 - b)^{2} = 9 \\\end{matrix} ight.$

$\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a^{2} + b^{2} - a - 6 = 0 \\a^{2} + b^{2} - 4a - 4b - 1 = 0 \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a^{2} + b^{2} = 6 + a \\6 + a - 4a - 4b - 1 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a^{2} + b^{2} = 6 + a \\a = \frac{5 - 4b}{3} \\\end{matrix} ight.$

$\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\left( \frac{5 - 4b}{3} ight)^{2} + b^{2} - 6 - \frac{5 - 4b}{3} = 0\\a = \frac{5 - 4b}{3} \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 25b^{2} - 28b - 44 = 0 \\ a = \frac{5 - 4b}{3} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} b = 2 \\ b = - \frac{22}{25} \\ \end{matrix} ight.\ \\ a = \frac{5 - 4b}{3} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} a = - 1 \\ b = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} a = \frac{71}{25} \\ b = - \frac{22}{25} \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy có hai phương trình đường tròn $(C)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là

$(C):(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 1$ hoặc $(C):\left( x - \frac{71}{25} ight)^{2} + \left( y + \frac{22}{25} ight)^{2} = 1$ .
Câu 20: Thông hiểu
Thực hiện phép tính

Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a$ . Khi đó $\left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CA} \right| =$
- A.
  $a\sqrt{3}$ .
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .
- C.
  $2a$ .
- D.
  $a$ .
Gọi $I$ là trung điểm $BC$ .

Ta có:

$\left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CA} \right| = \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right| = 2\left| \overrightarrow{AM} \right| = 2.\frac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$ .
Câu 21: Nhận biết
Chọn đẳng thức thích hợp với hình vẽ

Đẳng thức nào sau đây mô tả đúng hình vẽ bên:
- A.
  $3\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}$ .
- B.
  $3\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}$ .
- C.
  $\overrightarrow{BI} + 3\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{0}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AI} + 3\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}$ .
Ta có $AB = 3AI;\ \ \ \overrightarrow{AI}$ và $\overrightarrow{AB}$ ngược hướng nên $\overrightarrow{AB} = - 3\overrightarrow{AI}$

$\Leftrightarrow 3\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}$

Vậy $3\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}$ .
Câu 22: Vận dụng cao

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Cho hình thoi $ABCD$ tâm $O$ có $AB = 5,\ \widehat{\ ABC} = 60{^\circ}$ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Điểm $M$ thỏa $\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{0}$ thì $M$ là trọng tâm $\Delta ABC$ . Đúng||Sai

b) Tập hợp điểm $N$ thỏa $\left| \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{DC} \right| = \left| \overrightarrow{NO} + \overrightarrow{OB} \right|$ là đường tròn tâm $B$ , bán kính 7,5. Sai||Đúng

c) Giá trị $k$ thỏa $\left| \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AO} \right| = k\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \right|$ là $\sqrt{3}$ . Sai||Đúng

d) Biết $u = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC}$ . Khi đó $\overrightarrow{u}$ cùng phương với $\overrightarrow{v}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình thoi $ABCD$ tâm $O$ có $AB = 5,\ \widehat{\ ABC} = 60{^\circ}$ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Điểm $M$ thỏa $\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{0}$ thì $M$ là trọng tâm $\Delta ABC$ . Đúng||Sai

b) Tập hợp điểm $N$ thỏa $\left| \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{DC} \right| = \left| \overrightarrow{NO} + \overrightarrow{OB} \right|$ là đường tròn tâm $B$ , bán kính 7,5. Sai||Đúng

c) Giá trị $k$ thỏa $\left| \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AO} \right| = k\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \right|$ là $\sqrt{3}$ . Sai||Đúng

d) Biết $u = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC}$ . Khi đó $\overrightarrow{u}$ cùng phương với $\overrightarrow{v}$ . Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

a) Đúng

$\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA} \right) + \left( \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DB} \right) + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$ .

Suy ra $M$ là trọng tâm $\Delta ABC$ .

b) Sai

$\left| \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{DC} \right| = \left| \overrightarrow{NO} + \overrightarrow{OB} \right|$

$\Leftrightarrow \left| \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{DC} \right| = \left| \overrightarrow{NB} \right|$

$\Leftrightarrow OC = NB \Leftrightarrow NB = 2,5$

Vậy tập hợp điểm $N$ là đường tròn tâm $B$ bán kính 2,5.

Nhận xét: $\Delta ABC$ và $\Delta ADC$ đều

$\left| \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AO} \right| = k\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \right|$

$\Leftrightarrow \left| \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{OC} \right| = k\left| \overrightarrow{AC} \right|$

$\Leftrightarrow \left| \overrightarrow{OD} \right| = k\left| \overrightarrow{AC} \right| \Leftrightarrow \frac{5\sqrt{3}}{2} = k.5 \Leftrightarrow k = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

c) Sai

d) Sai

$\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{BH}$ .

$\overrightarrow{v} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DQ}$ .

Chứng minh: $BH$ và $DQ$ không song song

Ta có $AH = OB = DO$ và $AH//DO$ nên $AHDO$ là hình bình hành.

Gọi $I = HO \cap AD$ và $AHDO$ là hình bình hành nên $I$ là trung điểm $AD$ .

Gọi $J = DQ \cap CB$ và $DBQC$ là hình bình hành nên $J$ là trung điểm $CB$

Suy ra tứ giác $DIBJ$ là hình bình hành $\Rightarrow BI//DJ$ .

Do đó $BH$ không song song với $DJ$ hay $BH$ không song song với $DQ$

Vậy $\overrightarrow{u}$ không cùng phương với $\overrightarrow{v}$ .
Câu 23: Thông hiểu
Viết phương trình đường tròn

Phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng $\Delta:x - 2y = 0$ , tiếp xúc với đường thẳng $\Delta':2x - y + 2 = 0$ đồng thời đường tròn đi qua điểm $M(1;3)$ là:
- A.
  $(x + 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 5$ và $\left( x + \frac{23}{4} ight)^{2} + \left( y + \frac{23}{8} ight)^{2} = \frac{1445}{64}$
- B.
  $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 5$ và $\left( x - \frac{23}{4} ight)^{2} + \left( y - \frac{23}{8} ight)^{2} = \frac{1445}{64}$
- C.
  $(x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 5$ và $\left( x - \frac{23}{4} ight)^{2} + \left( y - \frac{23}{8} ight)^{2} = \frac{1445}{64}$
- D.
  $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 5$ và $\left( x - \frac{23}{4}ight)^{2} + \left( y - \frac{23}{8} ight)^{2} =\frac{1885}{16}$
Gọi tâm của đường tròn cần tìm là $I(2t;t) \in \Delta:x - 2y = 0$

Theo giả thiết, ta có:

$MI = d\left( I;\Delta^{'} ight) \Leftrightarrow \sqrt{(2t - 1)^{2} + (t - 3)^{2}} = \frac{|2.2t - t + 2|}{\sqrt{5}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{5t^{2} - 10t + 10}= \dfrac{|3t + 2|}{\sqrt{5}}$

$\Leftrightarrow 8t^{2} - 31t + 23 = 0$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}t = 1 \\t = \dfrac{23}{8} \\\end{matrix} ight.$

Với $t = 1$ thì đường tròn cần tìm có tâm $I(2;1)$ , bán kính $R = IM = \sqrt{5}$ , và có phương trình là: $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 5$

Với $t = \frac{23}{8}$ thì đường tròn cần tìm có tâm $I\left( \frac{23}{4};\frac{23}{8} ight)$ , bán kính $R = IM = \frac{17\sqrt{5}}{8}$ , và có phương trình là: $\left( x - \frac{23}{4} ight)^{2} + \left( y - \frac{23}{8} ight)^{2} = \frac{1445}{64}$

Vậy có hai đường tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

$(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 5\ và\ \left( x - \frac{23}{4} ight)^{2} + \left( y - \frac{23}{8} ight)^{2} = \frac{1445}{64}.$
Câu 24: Nhận biết
Tìm độ dài đường kính

Cho đường tròn $(C):x^{2}+y^{2}+4x+4y-17=0$ , hỏi độ dài đường kính bằng bao nhiêu?
- A.
  8
- B.
  7
- C.
  5
- D.
  10
Ta có tâm $I( - 2; - 2)$ . Suy ra bán kính $R = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {{( - 2)}^2} + 17} = 5$ .
Do đó đường kính bằng $10$ .
Câu 25: Thông hiểu
Xét vị trí tương đối

Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng $d_1:-2x+y+1=0$ và $d_2:4x - 2y - 2 = 0$ .
- A.
  song song
- B.
  trùng nhau
- C.
  cắt nhau
- D.
  vuông góc
Ta có: $\frac{{ - 2}}{4} = \frac{1}{{ - 2}} = \frac{1}{{ - 2}}$ nên hai đường thẳng trùng nhau.
Câu 26: Nhận biết
Chọn phát biểu đúng

Cho hình chữ nhật $ABCD$ , gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ , phát biểu nào là đúng?
- A.
  $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OD}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}$ .
- C.
  $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB}$ .
Hình vẽ minh họa:

Ta có: $\overrightarrow{OA}$ là vectơ đối của $\overrightarrow{OC}$ , $\overrightarrow{OB}$ là vectơ đối của $\overrightarrow{OD}$

Vậy: $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$ .
Câu 27: Vận dụng
Tìm m để hai đường thẳng trùng nhau

Tìm $m$ để hai đường thẳng $d_{1}:3x + 4y + 10 = 0$ và $d_{2}:(2m - 1)x + m^{2}y + 10 = 0$ trùng nhau?
- A.
  $m \pm 2$ .
- B.
  $m = \pm 1$ .
- C.
  $m = 2$ .
- D.
  $m = - 2$ .
$\left\{ \begin{matrix} d_{2}:(2m - 1)x + m^{2}y + 10 = 0 \\ d_{1}:3x + 4y + 10 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\overset{d_{1} \equiv d_{2}}{ightarrow}\frac{2m - 1}{3} = \frac{m^{2}}{4} = \frac{10}{10}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2m - 1 = 3 \\ m^{2} = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m = 2.$
Câu 28: Nhận biết
Tìm điểm không thuộc đường thẳng

Đường thẳng $12x - 7y + 5 = 0$ không đi qua điểm nào sau đây ?
- A.
  $M(1;1)$ .
- B.
  $N( - 1; - 1)$ .
- C.
  $P\left( - \frac{5}{12};0 ight)$ .
- D.
  $Q\left( 1;\frac{17}{7} ight)$ .
Gọi $12x - 7y + 5 = 0$ .

Đặt $f(x;y) = 12x - 7y + 5\overset{}{ightarrow}\left\{ \begin{matrix} f\left( M(1;1) ight) = 10\boxed{=}0 ightarrow M\boxed{\in}d \\ f\left( N( - 1; - 1) ight) = 0 ightarrow N \in d \\ f(P) = 0,\ \ f(Q) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ .$ Chọn $M(1;1)$ .
Câu 29: Vận dụng cao
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ . Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ , lấy các điểm $P,Q,R$ lần lượt là các điểm thay đổi trên các cạnh $BC,AC,AD$ sao cho $\widehat{PMR} = 90^{0}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\left|\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{MQ} + \overrightarrow{MR}ight|$ .
- A.
  $\frac{a\sqrt{5}}{2}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $a\sqrt{2}$
- D.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Hình vẽ minh họa
Đặt $\left| {\overrightarrow {AR} } ight| = x;\left| {\overrightarrow {BP} } ight| = y;\left| {\overrightarrow {ME} } ight| = z;\left| {\overrightarrow {EQ} } ight| = t$
Khi đó $\Delta AMR\sim\Delta BPM$
$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}xy = \dfrac{a^{2}}{4} \\x + y \geq 2\sqrt{xy} = a \\\end{matrix} ight.$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x =y$ hay P, Q là trung điểm của BC, DA
Ta có:
$\left| \overrightarrow{MP} +\overrightarrow{MQ} + \overrightarrow{MR} ight|^{2} = (x + y + z)^{2}+ t^{2} \geq (1 + z)^{2} + t^{2} = \left| \overrightarrow{MH}ight|$
Khi P ≡ P∗, R ≡ R∗, Q thay đổi trên AC, H sẽ thay đổi trên đoạn thẳng DK sao cho tam giác DCK vuông cân tại C.
Ta lại có: $\widehat{MDH} \approx 108^{0}\Rightarrow MH \geq MD = \frac{a\sqrt{5}}{2}$
Câu 30: Nhận biết
Xác định vectơ theo yêu cầu

Cho bốn điểm $A,B,C,D$ phân biệt. Khi đó vectơ $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{DC}$ bằng:
- A.
  $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AD}$ .
- B.
  $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}$ .
- C.
  $u = \overrightarrow{CD}$ .
- D.
  $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AC}$ .
Ta có:

$\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{DC}$

$= \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{0}$ .
Câu 31: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Cho hypebol (H): $4x^{2} – y^{2} = 1$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  Hypebol có tiêu cự bằng $\frac{\sqrt{5}}{2}$ .
- B.
  Hypebol có một tiêu điểm là $F(\sqrt{5};0)$ .
- C.
  Hypebol có trục thực bằng 1.
- D.
  Hypebol có trục ảo bằng $\frac{1}{2}$ .
Ta có:
$\begin{matrix} 4{x^2} - {y^2} = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{\dfrac{1}{4}}} - \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{{{\left( {\dfrac{1}{2}} ight)}^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1 \hfill \\ \Rightarrow a = \dfrac{1}{2};b = 1 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy Hypebol (H) có tiêu cự $2c = \sqrt 5 e \frac{{\sqrt 5 }}{2}$
=> Hai tiêu điểm của (H) là: ${F_1} = \left( { - \frac{{\sqrt 5 }}{2};0} ight);{F_2} = \left( {\frac{{\sqrt 5 }}{2};0} ight)$
Ta có trục thực là: ${A_1}{A_2} = 2a = 2.\frac{1}{2} = 1$
Trục ảo là: $2b = 2.1 = 2 e \frac{1}{2}$
Vậy khẳng định đúng là:" Hypebol có trục thực bằng 1".
Câu 32: Thông hiểu
Chọn đáp án chưa chính xác

Trong hệ trục tọa độ $Oxy$ cho hai điểm $A(3; - 1),B( - 6;2)$ . Chọn đáp án không phải là phương trình tham số của đường thẳng $AB$ .
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 3t \\ y = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 3t \\ y = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 3t \\ y = t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 6 - 3t \\ y = 2 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB} = ( - 9;3)$ suy ra vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = ( - 3;1)$

Phương trình $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 3t \\ y = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ không thỏa mãn vì có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{v} = (3;1)$ không cùng phương với $\overrightarrow{u} = ( - 3;1)$ .
Câu 33: Nhận biết
Tìm phương trình tham số

Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình tham số của đường thẳng?
- A.
  $mx + y - 3 = 0$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 4 - 3t \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $2x - y + 1 = 0$
- D.
  $2x = y + 3$
Phương trình tham số của đường thẳng là: $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 4 - 3t \\ \end{matrix} ight.$
Câu 34: Nhận biết
Tìm vecto chỉ phương của đường thẳng

Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = - 4t + 1 \\ y = - 2 + 3t \\ \end{matrix} ight.$ . Một vectơ chỉ phương của $d$ là:
- A.
  $(1;3)$ .
- B.
  $( - 4;2)$ .
- C.
  $(4; - 3)$ .
- D.
  $( - 1;3)$ .
Một vectơ chỉ phương của $d$ là $( - 4;3)$ hay $(4; - 3)$ .
Câu 35: Thông hiểu
Tìm M để ba điểm A, B, M thẳng hàng

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho tọa độ các điểm $A(2; - 3),B(3;4)$ . Tìm tọa độ điểm $M \in Ox$ sao cho ba điểm $A;B;M$ thẳng hàng?
- A.
  $M(1;0)$
- B.
  $M(4;0)$
- C.
  $M\left( - \frac{5}{3};0 ight)$
- D.
  $M\left( \frac{17}{7};0 ight)$
Theo bài ra ta có: $M \in Ox \Rightarrow M(x;0)$

Lại có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AM} = (x - 2;3) \\ \overrightarrow{BM} = (x - 3; - 4) \\ \end{matrix} ight.$

Ba điểm $A, M, B$ thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{BM}$ cùng phương hay

$\frac{x - 2}{x - 3} = \frac{3}{- 4} \Leftrightarrow - 4(x - 2) = 3(x - 3)$

$\Leftrightarrow 7x = 17 \Leftrightarrow x = \frac{17}{7}(tm)$

Vậy tọa độ điểm M là $M\left( \frac{17}{7};0 ight)$ .
Câu 36: Nhận biết
Tìm tọa độ điểm M

Cho $A(1;2),\ B( - 2;6)$ . Điểm $M$ trên trục $Oy$ sao cho ba điểm $A,B,M$ thẳng hàng thì tọa độ điểm $M$ là:
- A.
  $(0;10)$ .
- B.
  $(0; - 10)$ .
- C.
  $(10;0)$ .
- D.
  $( - 10;0)$ .
Trên trục $Oy \Rightarrow M(0;y)$

Ba điểm $A,B,M$ thẳng hàng khi $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với $\overrightarrow{AM}$

Ta có $\overrightarrow{AB} = ( - 3;4),\ \ \overrightarrow{AM} = ( - 1;y - 2)$ .

Do đó, $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với $\overrightarrow{AM} \Leftrightarrow \frac{- 1}{- 3} = \frac{y - 2}{4} \Rightarrow y = 10$ .

Vậy $M(0;10)$ .
Câu 37: Vận dụng

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ . Lấy $E$ là trung điểm của $BC$ , điểm $F$ thoả mãn $\overrightarrow{BF} = \frac{3}{4}\overrightarrow{BD}$ . Khi đó:

a) $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{AF} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{5}{4}\overrightarrow{AD}.$ Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{EF} = \frac{- 3}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AD}.$ Đúng||Sai

d) Tam giác $AEF$ vuông cân. Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ . Lấy $E$ là trung điểm của $BC$ , điểm $F$ thoả mãn $\overrightarrow{BF} = \frac{3}{4}\overrightarrow{BD}$ . Khi đó:

a) $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{AF} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{5}{4}\overrightarrow{AD}.$ Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{EF} = \frac{- 3}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AD}.$ Đúng||Sai

d) Tam giác $AEF$ vuông cân. Đúng||Sai

Tổng quan đáp án

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

Ta có: $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$ .

$\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{BD}$

$= \overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}) = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AE} = \left( \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AD} \right) - \left( \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} \right) = \frac{- 3}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AD}.$

Ta có: $\overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{EF} = \left( \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AD} \right) \cdot \left( \frac{- 3}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AD} \right)$

$= \frac{- 3}{16}{\overrightarrow{AB}}^{2} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} + \frac{3}{16}{\overrightarrow{AD}}^{2} = 0$

$\Rightarrow AF\bot EF.$

Ta có:

${\overrightarrow{AF}}^{2} = \left( \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AD} \right)^{2}$

$= \frac{1}{{16}}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{3}{8}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + \frac{9}{{16}}{\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{5}{8}{\overrightarrow {AB} ^2}$ .

${\overrightarrow{EF}}^{2} = \left( \frac{- 3}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AD} \right)^{2}$

$= \frac{9}{16}{\overrightarrow{AB}}^{2} - \frac{3}{8}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} + \frac{1}{16}{\overrightarrow{AD}}^{2} = \frac{5}{8}{\overrightarrow{AB}}^{2}.$

$\Rightarrow AF^{2} = EF^{2} = \frac{5}{8}{\overrightarrow{AB}}^{2} \Rightarrow AF = EF$ .

Vậy tam giác $AEF$ vuông cân tại $F$ .

Chú ý: Ta có thể chứng minh tam giác $AEF$ vuông bằng định lí Pythagore.
Câu 38: Vận dụng
Khẳng định nào sau đây sai?

Cho tam giác $ABC$ vuông cân đỉnh $A$ , đường cao $AH$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $\left| \overrightarrow{AH} + \overrightarrow{HB} ight| = \left| \overrightarrow{AH} + \overrightarrow{HC} ight|.$
- B.
  $\overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AC}.$
- C.
  $\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{HC} - \overrightarrow{HA}.$
- D.
  $\left| \overrightarrow{AH} ight| = \left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AH} ight|.$
Do $\Delta ABC$ cân tại $A$ , $AH$ là đường cao nên $H$ là trung điểm $BC$ .

Xét các đáp án:

Đáp án $\left| \overrightarrow{AH} + \overrightarrow{HB} ight| = \left| \overrightarrow{AH} + \overrightarrow{HC} ight|.$ Ta có $\left\{ \begin{matrix} \left| \overrightarrow{AH} + \overrightarrow{HB} ight| = \left| \overrightarrow{AB} ight| = a \\ \left| \overrightarrow{AH} + \overrightarrow{HC} ight| = \left| \overrightarrow{AC} ight| = a \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left| \overrightarrow{AH} + \overrightarrow{HB} ight| = \left| \overrightarrow{AH} + \overrightarrow{HC} ight|.$

Đáp án $\overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AC}.$ . Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BH} \\ \overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CH} = - \overrightarrow{BH} \\ \end{matrix} ight.\ .$ Do đó đáp án này sai.

Đáp án $\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{HC} - \overrightarrow{HA}.$ . Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AC} \\ \overrightarrow{HC} - \overrightarrow{HA} = \overrightarrow{AC} \\ \end{matrix} ight.\ \overset{}{ightarrow}\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{HC} - \overrightarrow{HA}.$

Đáp án $\left| \overrightarrow{AH} ight| = \left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AH} ight|.$ . Ta có $\left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AH} ight| = \left| \overrightarrow{HB} ight| = \left| \overrightarrow{AH} ight|$ (do $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ ).
Câu 39: Nhận biết
Tìm tọa độ trung điểm

Trong hệ tọa độ $Oxy,$ cho hai điểm $A(2; - 3),\ B(4;7).$ Tìm tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB.$
- A.
  $I(6;4).$
- B.
  $I(2;10).$
- C.
  $I(3;2).$
- D.
  $I(8; - 21).$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} x_{I} = \frac{2 + 4}{2} = 3 \\ y_{I} = \frac{- 3 + 7}{2} = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \overset{}{ightarrow}I(3;2).$
Câu 40: Nhận biết
Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho đường thẳng $d$ có phương trình $2x + 3y - 2 = 0$ . Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đã cho?
- A.
  $(2;3)$
- B.
  $(2; - 3)$
- C.
  $(3;2)$
- D.
  $(3; - 2)$
Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $2x + 3y - 2 = 0$ là: $(2;3)$ .

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 9 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

52 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Chương 9 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Chương 1: Mệnh đề và tập hợp
Chương 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Chương 3: Hàm số bậc hai và đồ thị
Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác
Chương 5: Vectơ
Đề kiểm tra học kì 1
Chương 6: Thống kê
Chương 7: Bất phương trình bậc hai một ẩn
Chương 8: Đại số tổ hợp
Đề thi giữa học kì 2
Chương 9: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Chương 10: Xác suất
Đề thi học kì 2

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 9 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Đổi điểm làm bài

Đổi điểm làm bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!