VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 9 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Mô tả thêm:

Đề kiểm tra 45 phút Toán 10 Chương 9 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng sách Chân trời sáng tạo giúp bạn học tổng hợp lại kiến thức của cả nội dung chương. Cùng nhau luyện tập nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Câu 1: Thông hiểu
Tìm x biết

Tìm giá trị của x để hai vectơ $\overrightarrow{a} = (3;x)$ và $\overrightarrow{b} = (5; - 3)$ có giá vuông góc với nhau?
- A.
  $x = - 3$
- B.
  $x = 2$
- C.
  $x = 5$
- D.
  $x = 0$
Vì hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ có giá vuông góc với nhau nên ta có:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 0 \Leftrightarrow 3.5 + x.( - 3) = 0 \Leftrightarrow x = 5$

Vậy hai vectơ đã cho có giá vuông góc với nhau khi $x = 5$ .
Câu 2: Nhận biết
Xác định vectơ pháp tuyến của ∆

Một đường thẳng có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{\Delta}} = (12; - 13)$ . Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của $\Delta$ ?
- A.
  $\overrightarrow{n_{\Delta}} = (12;13)$
- B.
  $\overrightarrow{n_{\Delta}} = ( - 13;12)$
- C.
  $\overrightarrow{n_{\Delta}} = (13;12)$
- D.
  $\overrightarrow{n_{\Delta}} = ( - 13; - 12)$
Ta có:

Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (a;b)$ thì sẽ có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n} = ( - b;a)$

Áp dụng vào bài toán ta được:

Vectơ pháp tuyến của $\Delta$ là: $\overrightarrow{n_{\Delta}} = (13;12)$ .
Câu 3: Thông hiểu
Tìm m thỏa mãn điều kiện

Với giá trị nào của $m$ thì hai đường thẳng $d_{1}:2x + y + 4 - m = 0$ và $d_{2}:(m + 3)x + y + 2m - 1 = 0$ song song?
- A.
  $m = 1.$
- B.
  $m = - 1.$
- C.
  $m = 2.$
- D.
  $m = 3.$
Với $m = 4\overset{}{ightarrow}\left\{\begin{matrix}d_{1}:2x + y = 0 \\d_{2}:7x + y + 7 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \overset{}{ightarrow}d_{1} \cap d_{2}eq \varnothing\overset{}{ightarrow}$ loại $m = 4.$

Với $meq 4$ thì

$\left\{ \begin{matrix}d_{1}:2x + y + 4 - m = 0 \\d_{2}:(m + 3)x + y - 2m - 1 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \overset{d_{1}||d_{2}}{ightarrow}\frac{m + 3}{2}= \frac{1}{1}eq \frac{- 2m - 1}{4 - m}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = - 1 \\meq - 5 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m = - 1.$
Câu 4: Vận dụng
Tìm phương trình đường phân giác

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ , cho hai đường thẳng $d_{1}:3x - 4y - 3 = 0$ và $d_{2}:12x + 5y - 12 = 0$ . Phương trình đường phân giác góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ là:
- A.
  $3x + 11y - 3 = 0.$
- B.
  $11x - 3y - 11 = 0.$
- C.
  $3x - 11y - 3 = 0.$
- D.
  $11x + 3y - 11 = 0.$
Các đường phân giác của các góc tạo bởi $d_{1}:3x - 4y - 3 = 0$ và $d_{2}:12x + 5y - 12 = 0$ là:

$\frac{|3x - 4y - 3|}{5} = \frac{|12x + 5y - 12|}{13} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 3x + 11y - 3 = 0 \\ 11x - 3y - 11 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ .$

Gọi $I = d_{1} \cap d_{2} ightarrow I(1;0);\ \ d:3x + 11y - 3 = 0 ightarrow M( - 10;3) \in d,$

Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ lên $d_{1}.$

Ta có: $IM = \sqrt{130},\ \ MH = \frac{| - 30 - 12 - 3|}{5} = 9,$ suy ra

$\sin\widehat{MIH} = \frac{MH}{IM} = \frac{9}{\sqrt{130}} ightarrow \widehat{MIH} > 52^{\circ} ightarrow 2\widehat{MIH} > 90^{\circ}.$

Suy ra $d:3x + 11y - 3 = 0$ là đường phân giác góc tù, suy ra đường phân giác góc nhọn là $11x - 3y - 11 = 0$ .
Câu 5: Nhận biết
Tìm tiêu cự trục lớn

Cho hình elip có phương trình $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ . Hình elip có tiêu cự trục lớn bằng:
- A.
  $12$
- B.
  $6$
- C.
  $4$
- D.
  $16$
Ta có: $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{36} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 8 \\ b = 6 \\ \end{matrix} ight.$

Độ dài trục lớn là: $2a = 2.8 = 16$
Câu 6: Nhận biết
Chọn kết luận sai

Cho parabol (P) có phương trình chính tắc là $y^{2}=2px$ , với $p > 0$ . Khi đó khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  Tọa độ tiêu điểm $F(\frac{p}{2};0)$
- B.
  Phương trình đường chuẩn $Δ:x+\frac{p}{2}=0$
- C.
  Trục đối xứng của parabol là trục $Oy$ .
- D.
  Parabol nằm về bên phải trục $Oy$ .
Đáp án sai: Trục đối xứng của parabol là trục $Oy$ . Đáp án đúng là trục $Ox$ mới là trục đối xứng.
Câu 7: Thông hiểu
Chọn phương án thích hợp

Cho tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $a$ , $H$ là trung điểm cạnh $BC$ . Vectơ $\overrightarrow{CH} + \overrightarrow{CH}$ có độ dài là:
- A.
  $a$ .
- B.
  $\frac{3a}{2}$ .
- C.
  $\frac{2a\sqrt{3}}{3}$ .
- D.
  $\frac{a\sqrt{7}}{2}$ .
Hình vẽ minh họa:

Ta có: $\left| \overrightarrow{CH} + \overrightarrow{CH} \right| = \left| \overrightarrow{CH} + \overrightarrow{HB} \right| = \left| \overrightarrow{CB} \right| = CB = a$ .
Câu 8: Thông hiểu
Tìm m thỏa mãn điều kiện

Với giá trị nào của $m$ thì hai đường thẳng $d_{1}:3mx + 2y + 6 = 0$ và $d_{2}:\left( m^{2} + 2 ight)x + 2my + 6 = 0$ cắt nhau?
- A.
  $m eq - 1$ .
- B.
  $m eq 1$ .
- C.
  $m\mathbb{\in R}$ .
- D.
  $m eq 1\ \ \ và\ \ \ m eq - 1$ .
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} d_{1}:3mx + 2y + 6 = 0 ightarrow {\overrightarrow{n}}_{1} = (3m;2) \\ d_{2}:\left( m^{2} + 2 ight)x + 2my + 6 = 0 ightarrow {\overrightarrow{n}}_{2} = \left( m^{2} + 2;2m ight) \\ \end{matrix} ight.$

$ightarrow \left\lbrack \begin{matrix}m = 0 ightarrow \left\{ \begin{matrix}d_{1}:y + 3 = 0 \\d_{2}:x + y + 3 = 0 \\\end{matrix} ight.\ ightarrow m = 0\ (TM) \\meq 0\overset{d_{1} \cap d_{2} = M}{ightarrow}\frac{m^{2} +2}{3m}\frac{2m}{2} \Leftrightarrow m \pm 1 \\\end{matrix} ight.\ .$
Câu 9: Thông hiểu
Tìm x thỏa mãn điều kiện

Cho $\overrightarrow{a} = (x;2),\ \overrightarrow{b} = ( - 5;1),\ \overrightarrow{c} = (x;7).$ Tìm $x$ biết $\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}$ .
- A.
  $x = - 15.$
- B.
  $x = 3.$
- C.
  $x = 15.$
- D.
  $x = 5.$
Ta có $\left\{ \begin{matrix}2\overrightarrow{a} = (2x;4) \\3\overrightarrow{b} = ( - 15;3) \\\end{matrix} ight.$ $\ \overset{}{ightarrow}2\overrightarrow{a} +3\overrightarrow{b} = (2x - 15;7).$

Để $\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}\overset{}{\leftrightarrow}\left\{ \begin{matrix} x = 2x - 15 \\ 7 = 7 \\ \end{matrix} ight.\ \overset{}{ightarrow}x = 15.$
Câu 10: Thông hiểu
Tìm phương trình chính tắc của elip

Lập phương trình chính tắc của Elip đi qua điểm $B$ và có tâm sai $e = \frac{\sqrt{5}}{3}$ .
- A.
  $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ .
- B.
  $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ .
- C.
  $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ .
- D.
  $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ .
Phương trình chính tắc của Elip có dạng: $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1,(a > b > 0)$ .

Elip đi qua điểm $B$ nên $\frac{0^{2}}{a^{2}} + \frac{2^{2}}{b^{2}} = 1 \Leftrightarrow b^{2} = 4$ .

Tâm sai $e = \frac{\sqrt{5}}{3} \Leftrightarrow \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{3} \Leftrightarrow c = \frac{\sqrt{5}}{3}a$ .

$a^{2} = b^{2} + c^{2} \Leftrightarrow a^{2} = 4 + \left( \frac{\sqrt{5}}{3}a ight)^{2} \Leftrightarrow a^{2} = 9$ .

Vậy phương trình chính tắc của Elip cần tìm là $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ .
Câu 11: Vận dụng
Xác định giá trị biểu thức P

Trong mặt phẳng $Oxy$ , cho tam giác $ABC$ có tọa độ các điểm $A(1;3),B( - 1; - 1),C(1;1)$ . Gọi $I(a;b)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ . Xác định giá trị biểu thức $P = a + b$ ?
- A.
  $P = 1$
- B.
  $P = 0$
- C.
  $P = 2$
- D.
  $P = 3$
Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên IA = IB = IC $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} IA^{2} = IB^{2} \\ IA^{2} = IC^{2} \\ \end{matrix} ight.$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} IA = \sqrt{(1 - a)^{2} + (3 - b)^{2}} \\ IB = \sqrt{( - 1 - a)^{2} + ( - 1 - b)^{2}} \\ IC = \sqrt{(1 - a)^{2} + (1 - b)^{2}} \\ \end{matrix} ight.$

Từ đó ta suy ra hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} (1 - a)^{2} + (3 - b)^{2} = ( - 1 - a)^{2} + ( - 1 - b)^{2} \\ (1 - a)^{2} + (3 - b)^{2} = (1 - a)^{2} + (1 - b)^{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 4a - 8b = - 8 \\ - 4b = - 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 2 \\ b = 2 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow P = a + b = 0$
Câu 12: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho tọa độ hai điểm $P(1;2)$ và $Q(3; - 4)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{PQ} = (2;6)$
- B.
  $\overrightarrow{PQ} = (2; - 6)$
- C.
  $\overrightarrow{PQ} =(-2;6)$
- D.
  $\overrightarrow{PQ} =(-2;-6)$
Ta có: $\overrightarrow{PQ} = (3 - 1; - 4 - 2) = (2; - 6)$
Câu 13: Thông hiểu
Tìm tâm sai của elip

Trong hệ trục $Oxy,$ cho Elip $(E)$ có các tiêu điểm $F_{1}( - 4;0),F_{2}(4;0)$ và một điểm $M$ nằm trên $(E)$ . Biết rằng chu vi của tam giác $MF_{1}F_{2}$ bằng 18. Xác định tâm sai e của $(E).$
- A.
  $e = \frac{4}{5}$ .
- B.
  $e = \frac{4}{18}$ .
- C.
  $e = - \frac{4}{5}$ .
- D.
  $e = \frac{4}{9}$ .
Ta có $F_{1}( - 4;0) \Rightarrow c = 4$ .

$\begin{matrix} P_{\Delta MF_{1}F_{2}} = \underset{2a}{\overset{MF_{1} + MF_{2}}{︸}} + F_{1}F_{2} \\ \Leftrightarrow \ \ \ 18 = 2a + 2c \Leftrightarrow 18 = 2a + 8 \Leftrightarrow a = 5. \\ \end{matrix}$

Tâm sai $e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5}$ .
Câu 14: Nhận biết
Tính tổng và hiệu các vectơ

Cho 4 điểm $A, B, C, D$ phân biệt. Khi đó $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AD}$ bằng
- A.
  $\overrightarrow{0}$
- B.
  $\overrightarrow{BD}$
- C.
  $\overrightarrow{AC}$
- D.
  $\overrightarrow{DC}$
$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AD} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}-(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC})$ $=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$ .
Câu 15: Thông hiểu
Biểu diễn một vectơ theo hai vectơ

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Biểu diễn $\overrightarrow{AG}$ theo hai vecto $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$
- A.
  $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$
- B.
  $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{6}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$
- C.
  $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{6}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$
- D.
  $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$
Cách 1: Giả sử I là trung điểm của BC
$\begin{matrix} \Rightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AI} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } ight) = \overrightarrow {AI} \hfill \\ \end{matrix}$
Theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác ABC ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AG = \dfrac{2}{3}AI} \\ {\overrightarrow {AG} earrow earrow \overrightarrow {AI} } \end{array}} ight. \Rightarrow \overrightarrow {AG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AI}$
$\begin{matrix} \Rightarrow \overrightarrow {AG} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } ight) \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {AG} = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } ight) \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {AG} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC} \hfill \\ \end{matrix}$
Cách 2: Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA} = 3\overrightarrow {AG} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow 0 = 3\overrightarrow {AG} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 3\overrightarrow {AG} \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } ight) = \overrightarrow {AG} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 16: Vận dụng
Tính độ lớn của lực tổng hợp

Cho hai lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ cùng tác động vào một vật đứng tại điểm $O$ , biết hai lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ đều có cường độ là 50 (N) và chúng hợp với nhau một góc 60°. Hỏi vật đó phải chịu một lực tổng hợp có cường độ bằng bao nhiêu?
- A.
  $100N$
- B.
  $50\sqrt{3} (N)$
- C.
  $100\sqrt{3} (N)$
- D.
  Đáp án khác
Đặt $\overrightarrow {AB},\overrightarrow {AC},\overrightarrow {AD}$ tương ứng với các vectơ $\overrightarrow {F}$ như hình vẽ.
Ta có: $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } ight| = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} } ight| = \left| {\overrightarrow {AD} } ight| = AD$ .
Theo đề bài, góc $\widehat{B AC}$ bằng 60 độ. Suy ra $\hat B=120^{\circ}$ .
$A{D^2} = A{B^2} + B{D^2} - 2.AB.BD.\cos 60^\circ = 7500$ . Suy ra $AD=50\sqrt3N$ .
Câu 17: Nhận biết
Tìm hệ số góc k của đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 5 + t \\ y = - 2 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Hệ số góc $k$ của đường thẳng $\Delta$ là:
- A.
  $k = - \frac{1}{3}$
- B.
  $k = 3$
- C.
  $k = \frac{1}{3}$
- D.
  $k = - 3$
Ta có:

Đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 5 + t \\ y = - 2 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}(1;3)$ nên có hệ số góc $k = \frac{3}{1} = 3$ .

Vậy hệ số góc của đường thẳng là $k=3$ .
Câu 18: Vận dụng cao
Tính độ dài vectơ

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 90^{0}$ . Gọi các vectơ $\overrightarrow{\alpha};\overrightarrow{\beta};\overrightarrow{\lambda}$ theo thư tự là các vectơ có giá vuông góc với các đường thẳng $AB.AC,BC$ và $\left| \overrightarrow{\alpha} ight| = AB;\left| \overrightarrow{\beta} ight| = AC;\left| \overrightarrow{\lambda} ight| = BC$ . Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{\alpha} + \overrightarrow{\beta} - \overrightarrow{\lambda}$ , biết $AB = 3,AC = 4$ .
- A.
  $0$
- B.
  $5$
- C.
  $8$
- D.
  $10$
Hình vẽ minh họa:

Gọi D là điểm thuộc miền trong tam giác ABC, dựng các vectơ $\overrightarrow{\alpha} = \overrightarrow{DG};\overrightarrow{\beta} = \overrightarrow{DE};\overrightarrow{\lambda} = \overrightarrow{DF}$ dựng hình chữ nhật DGHE ta có: $\overrightarrow{\alpha} + \overrightarrow{\beta} = \overrightarrow{DH}$

Ta lại có: $\Delta GDH = \Delta ABC \Rightarrow \widehat{GDH} = \widehat{ABC}$

Mặt khác $\widehat{GDF} + \widehat{ABC} = 180^{0}$

$\Rightarrow \widehat{GDF} + \widehat{GDH} = 180^{0}$

=> Ba điểm H, D, F thẳng hàng.

Khi đó: $\left| \overrightarrow{\alpha} + \overrightarrow{\beta} - \overrightarrow{\lambda} ight| = \left| \overrightarrow{DH} + \overrightarrow{FD} ight| = \left| \overrightarrow{FH} ight| = 10$
Câu 20: Nhận biết
Xác định hai vectơ cùng phương

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây cùng phương?
- A.
  $- \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}$ .
- B.
  $\frac{1}{2}\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ và $\frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ .
- C.
  $\frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \sqrt{2}\overrightarrow{b}$ và $\frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b}$ .
- D.
  $- 3\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ và $- \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + 100\overrightarrow{b}$ .
Ta có:

$- \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = - \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} \right)$

Vậy đáp án cần tìm là: ” $- \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}$ .”
Câu 21: Thông hiểu
Tìm phương trình đường tròn

Cho hai đường thẳng $\left( d_{1} ight):x + 3y + 8 = 0$ ; $\left( d_{2} ight):3x - 4y + 10 = 0$ và điểm $A( - 2;1)$ . Phương trình đường tròn có tâm $I \in \left( d_{1} ight)$ , đi qua điểm $A$ và tiếp xúc với $\left( d_{2} ight)$ là:
- A.
  $(C):(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 25$
- B.
  $(C):(x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 9$
- C.
  $(C):(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 4$
- D.
  $(C):(x + 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 16$
Hình vẽ minh họa

Ta có I là tâm đường tròn và $I \in \left( d_{1} ight)$ nên $I( - 3t - 8;t)$

Theo giả thiết bài toán ta có:

$d\left( I;\left( d_{2} ight) ight) = IA$

$\Leftrightarrow \frac{\left| 3( - 3t - 8) - 4t + 10 ight|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \sqrt{( - 3t - 8 + 2)^{2} + (t - 1)^{2}}$

$\Leftrightarrow t = - 3$

Suy ra $I(1; - 3)$ và bán kính $R = IA = 5$

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: $(C):(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 25$ .
Câu 22: Vận dụng
Tính giá trị a+c

Trong mặt phẳng $Oxy$ , cho điểm $C(3;0)$ và elip $(E):\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{1} = 1$ . $A,B$ là $2$ điểm thuộc $(E)$ sao cho $\bigtriangleup ABC$ đều, biết tọa độ của $A\left( \frac{a}{2};\frac{c\sqrt{3}}{2} ight)$ và $A$ có tung độ âm. Tính tổng $a + c$ .
- A.
  $2$ .
- B.
  $5$ .
- C.
  $-3$ .
- D.
  $- 4$ .
Nhận xét: Điểm $C(3;0)$ là đỉnh của elip $(E) \Rightarrow$ điều kiện cần để $\bigtriangleup ABC$ đều đó là $A,B$ đối xứng

Nhau qua $Ox$ .Suy ra $A,B$ là giao điểm của đường thẳng $\Delta:x = x_{0}$ và elip $(E)$ .

+) Ta có elip $(E):\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{1} = 1$ $\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} y = - \frac{1}{3}\sqrt{9 - x^{2}} \\ y = \frac{1}{3}\sqrt{9 - x^{2}} \\ \end{matrix} ight.$ .

+) Theo giả thiết $A$ có tung độ âm nên tọa độ của $A\left( x_{0}; - \frac{1}{3}\sqrt{9 - x_{0}^{2}} ight)$ (điều kiện $x_{0} < 3$ do $A eq C$ )

+) Ta có $AC = \sqrt{(3 - x_{0})^{2} + \frac{1}{9}(9 - x_{0}^{2})}$ và $d_{(C;\Delta)} = |3 - x_{0}|$

+) $\bigtriangleup ABC$ đều $\Leftrightarrow d_{(C;\Delta)} = \frac{\sqrt{3}}{2}AC$ $\Leftrightarrow |3 - x_{0}| = \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{(3 - x_{0})^{2} + \frac{1}{9}\left( 9 - x_{0}^{2} ight)}$

$\Leftrightarrow (3 - x_{0})^{2} = \frac{3}{4}\left\lbrack (3 - x_{0})^{2} + \frac{1}{9}(9 - x_{0}^{2}) ightbrack$

$\Leftrightarrow \frac{1}{3}x_{0}^{2} - \frac{3}{2}x_{0} + \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{0} = \frac{3}{2}(t/m) \\ x_{0} = 3(L) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow A\left( \frac{3}{2}; - \frac{\sqrt{3}}{2} ight) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ c = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + c = 2$ .
Câu 23: Nhận biết
Chọn kết luận đúng

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho đường thẳng $(\Delta):ax + by + c = 0;\left( a^{2} + b^{2} > 0 ight)$ và tọa độ một điểm $A\left( x_{0};y_{0} ight)$ . Ta kí hiệu khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $(\Delta)$ là $d(A;\Delta)$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $d(A;\Delta) = \frac{ax_{0} + by_{0} + c}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$
- B.
  $d(A;\Delta) = \frac{ax_{0} + by_{0} + c}{a^{2} + b^{2}}$
- C.
  $d(A;\Delta) = \frac{\left| ax_{0} + by_{0} + c ight|}{a^{2} + b^{2}}$
- D.
  $d(A;\Delta) = \frac{\left| ax_{0} + by_{0} + c ight|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$
Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng $(\Delta)$ được tính bởi công thức:

$d(A;\Delta) = \frac{\left| ax_{0} + by_{0} + c ight|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Vậy kết luận đúng là: “ $d(A;\Delta) = \frac{\left| ax_{0} + by_{0} + c ight|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ ”.
Câu 24: Nhận biết
Chọn kết quả đúng

Cho 4 điểm $A,B,C, O$ bất kì. Chọn kết quả đúng $\overrightarrow{AB} = ?$
- A.
  $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$ .
- B.
  $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}$ .
- C.
  $\overrightarrow{BA}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB}$ .
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB}$ .
Câu 25: Thông hiểu
Tìm phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Phương trình tiếp tuyến $d$ của đường tròn $(C):(x + 2)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$ tại điểm $M(2;1)$ là:
- A.
  $d: - y + 1 = 0.$
- B.
  $d:4x + 3y + 14 = 0.$
- C.
  $d:3x - 4y - 2 = 0.$
- D.
  $d:4x + 3y - 11 =0.$
Đường tròn (C) có tâm $I( - 2; -2)$ nên tiếp tuyến tại M có VTPT là $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{IM} =(4;3),$ nên có phương trình là: $4(x- 2) + 3(y - 1) = 0 \Leftrightarrow 4x + 3y - 11 = 0.$
Câu 26: Nhận biết
Tìm vectơ

Cho $\overrightarrow{a} e\overrightarrow{0}$ và điểm O. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thỏa mãn $\overrightarrow{OM}=3\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{ON}=-4\overrightarrow{a}$ . Tìm $\overrightarrow{MN}$ .
- A.
  $\overrightarrow{MN}=7\overrightarrow{a}$
- B.
  $\overrightarrow{MN}=-5\overrightarrow{a}$
- C.
  $\overrightarrow{MN}=-7\overrightarrow{a}$
- D.
  $\overrightarrow{MN}=5\overrightarrow{a}$
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {ON} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = - \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = - 3\overrightarrow a + \left( { - 4\overrightarrow a } ight) \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = - 3\overrightarrow a - 4\overrightarrow a = 7\overrightarrow a \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 27: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm C

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho tọa độ hai điểm $A(1;5),B(2;6)$ . Tìm tọa độ điểm $C$ đối xứng với điểm $B$ qua $A$ ?
- A.
  $C(4;4)$
- B.
  $C(0;1)$
- C.
  $C( - 3;2)$
- D.
  $C( - 1;2)$
Gọi tọa độ điểm C là $C(x;y)$

Vì điểm $C$ đối xứng với điểm $B$ qua $A$ suy ra $A$ là trung điểm của $BC$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 = \dfrac{- 2 + x}{2} \\5 = \dfrac{6 + y}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 4 \\y = 4 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow C(4;4)$

Vậy tọa độ điểm C cần tìm là $C(4;4)$ .
Câu 28: Nhận biết
Xác định đẳng thức đúng

Cho tam giác $ABC$ , gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ . Đẳng thức vectơ nào sau đây đúng?
- A.
  $2\overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AG}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AG}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AG}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{GM}$ .
Hình vẽ minh họa:

Ta có: $AM = \frac{3}{2}AG$

Mặt khác $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{AG}$ cùng hướng $\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AG}$ hay $2\overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AG}$ .
Câu 29: Nhận biết
Tìm điểm thuộc đường tròn

Trên hệ trục tọa độ cho đường tròn $(C):(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 4$ . Trong các điểm sau điểm nào nằm trên đường tròn đã cho?
- A.
  $M(1; - 1)$
- B.
  $N( - 1;1)$
- C.
  $P(2;1)$
- D.
  $Q(3; - 1)$
Thay tọa độ điểm $Q(3; - 1)$ vào phương trình đường tròn $(C):(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 4$ ta được:

$(3 - 1)^{2} + ( - 1 + 1)^{2} = 4$

Vậy điểm thuộc đường tròn là $Q(3; - 1)$ .
Câu 30: Vận dụng
Đẳng thức nào sau đây sai?

Gọi $M,\ N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AD,\ BC$ của tứ giác $ABCD$ . Đẳng thức nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB} = 2\overrightarrow{MN}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{MN}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{MN}$ .
- D.
  $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MN}$ .
Do M là trung điểm các cạnh AD nên $\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{0}$

Do N lần lượt là trung điểm các cạnh BC nên $2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MB}$ . Nên $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MN}$ đúng.

Ta có

$2\overrightarrow{MN} =\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MD} +\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB}$ $=\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} + \left( \overrightarrow{MD} +\overrightarrow{MA} ight) = \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{DC} .$

Vậy $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{MN}$ . Nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{MN}$ đúng.

Mà $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC} + \left( \overrightarrow{CB} +\overrightarrow{DC} ight)$ $= \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB}= 2\overrightarrow{MN}$ . Nên $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB} = 2\overrightarrow{MN}$ đúng.

Vậy $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{MN}$ sai.
Câu 31: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Cho tam giác $ABC$ với trung tuyến $AM$ và trọng tâm $G$ . Các mệnh đề sau đúng hay sai ?

a) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}$ . Sai||Đúng

b) $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MB}$ . Đúng||Sai

c) Vectơ $\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GM}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{MG}$ . Đúng||Sai

d) $\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{BC}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho tam giác $ABC$ với trung tuyến $AM$ và trọng tâm $G$ . Các mệnh đề sau đúng hay sai ?

a) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}$ . Sai||Đúng

b) $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MB}$ . Đúng||Sai

c) Vectơ $\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GM}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{MG}$ . Đúng||Sai

d) $\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{BC}$ . Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

a) Sai

Vì $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$ .

b) Đúng

Vì $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}$ .

c) Đúng

Vì $\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GM} = \overrightarrow{AM}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{MG}$ .

d) Sai

Vì $\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{BC}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{MC} - \overrightarrow{MG} = \overrightarrow{BC}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{BC}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC} \Rightarrow A \equiv B$ là sai vì $A$ , $B$ phân biệt.
Câu 32: Nhận biết
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng $d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = 4 + 2t \\ y = 1 - 5t \\ \end{matrix} ight.$ và $d_{2}:5x + 2y - 14 = 0$ .
- A.
  Trùng nhau.
- B.
  Song song.
- C.
  Vuông góc với nhau.
- D.
  Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.
$\left. \ \begin{matrix} d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = 4 + 2t \\ y = 1 - 5t \\ \end{matrix} ight.\ ightarrow A(4;1) \in d_{1},\ \ {\overrightarrow{u}}_{1} = (2; - 5) \\ d_{2}:5x + 2y - 14 = 0 ightarrow \ \ {\overrightarrow{n}}_{2} = (5;2) ightarrow {\overrightarrow{u}}_{2} = (2; - 5) \\ \end{matrix} ight\} ightarrow \left\{ \begin{matrix} {\overrightarrow{u}}_{1} = {\overrightarrow{u}}_{2} \\ A\boxed{\in}d_{2} \\ \end{matrix} ight.\ ightarrow d_{1}||d_{2}.$ Chọn
Câu 33: Thông hiểu
Biểu diễn vectơ qua các vectơ khác

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA và AB. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AE}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AF}$
- B.
  $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AE}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AF}$
- C.
  $\overrightarrow{AG}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AE}+\frac{3}{2}\overrightarrow{AF}$
- D.
  $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AE}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AF}$
Ta có: $\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} )$ $= \frac{1}{3}(2\overrightarrow {AF} + 2\overrightarrow {AE} ) = \frac{2}{3}\overrightarrow {AF} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AE}$ .
Câu 34: Vận dụng cao
Tính bán kính đường tròn

Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a.$ Biết rằng tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $\left| 2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} + 4\overrightarrow{MC} \right| = \left| \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MA} \right|$ là đường tròn cố định có bán kính $R.$ Tính bán kính $R$ theo $a.$
- A.
  $r = \frac{a}{3}.$
- B.
  $r = \frac{a}{9}.$
- C.
  $r = \frac{a}{2}.$
- D.
  $r = \frac{a}{6}.$
Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC.$

Ta có $2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} + 4\overrightarrow{MC} = 2\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} \right) + 3\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} \right) + 4\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} \right).$

Chọn điểm $I$ sao cho $2\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} + 4\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 3\left( \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} \right) + \overrightarrow{IC} - \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0}.$

Mà $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC \Rightarrow \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = 3\ \overrightarrow{IG}.$

Khi đó $9\ \overrightarrow{IG} + \overrightarrow{IC} - \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 9\ \overrightarrow{IG} + \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow 9\ \overrightarrow{IG} = \overrightarrow{CA}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (*).$

Do đó $\left| 2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} + 4\overrightarrow{MC} \right| = \left| \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MA} \right|$

$\Leftrightarrow \left| 9\overrightarrow{MI} + 2\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} + 4\overrightarrow{IC} \right| = \left| \overrightarrow{AB} \right|$

$\Leftrightarrow 9MI = AB.$

Vì $I$ là điểm cố định thỏa mãn $(*)$ nên tập hợp các điểm $M$ cần tìm là đường tròn tâm $I,$ bán kính $r = \frac{AB}{9} = \frac{a}{9}.$
Câu 35: Nhận biết
Tìm tọa độ vecto

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho $\overrightarrow{a} = ( - 1;1),\overrightarrow{b} = (4; - 2)$ . Xác định tọa độ vecto $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{v} = (6;0)$
- B.
  $\overrightarrow{v} = (3; - 1)$
- C.
  $\overrightarrow{v} = (2;0)$
- D.
  $\overrightarrow{v} = (7; - 3)$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a} = ( - 1;1) \Rightarrow 2\overrightarrow{a} = ( - 2;2) \\ \overrightarrow{b} = (4; - 2) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \overrightarrow{v} = \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} = \left( - 2 + 4;2 + ( - 2) ight) = (2;0)$
Câu 36: Nhận biết
Xác định phương trình đường thẳng

Phương trình tham số của đường thẳng nào sau đây có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;3)$
- A.
  $\left\{\begin{matrix}x=t+1\\ y=3t+2\end{matrix}ight.$
- B.
  $\left\{\begin{matrix}x=t+1\\ y=2t+3\end{matrix}ight.$
- C.
  $\left\{\begin{matrix}x=t+2\\ y=t+3\end{matrix}ight.$
- D.
  $\left\{\begin{matrix}x=t+3\\ y=2t+1\end{matrix}ight.$
Đường thẳng có phương trình tham số $\left\{ \begin{gathered} x = t + 1 \hfill \\ y = 3t + 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {1;3} ight)$
Đường thẳng có phương trình tham số $\left\{ \begin{gathered} x = t + 1 \hfill \\ y = 2t + 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {1;2} ight)$ .
Đường thẳng có phương trình tham số $\left\{ \begin{gathered} x = t + 2 \hfill \\ y = t + 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {1;1} ight)$ .
Đường thẳng có phương trình tham số $\left\{ \begin{gathered} x = t + 3 \hfill \\ y = 2t + 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {1;2} ight)$ .
Câu 37: Nhận biết
Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho đường thẳng $d$ có phương trình $2x + 3y - 2 = 0$ . Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đã cho?
- A.
  $(2;3)$
- B.
  $(2; - 3)$
- C.
  $(3;2)$
- D.
  $(3; - 2)$
Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $2x + 3y - 2 = 0$ là: $(2;3)$ .
Câu 38: Nhận biết
Tìm tọa độ tâm và bán kính

Tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của đường tròn $(C):x^{2} + y^{2} = 9$ là:
- A.
  $I(0;0),R = 9.$
- B.
  $I(0;0),R = 4.$
- C.
  $I(0;0),R = 5.$
- D.
  $I(0;0),R = 3.$
$(C):x^{2} + y^{2} = 9\overset{}{ightarrow}I(0;0),\ \ R = \sqrt{9} = 3.$
Câu 39: Vận dụng cao
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho tọa độ $A(1; - 4),B(4;5),C(0; - 7)$ . Một điểm $M \in Ox$ bất kì. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = 2\left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} ight| + 3\left| \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight|$ ?
- A.
  $\sqrt{15}$
- B.
  $2\sqrt{5}$
- C.
  $7\sqrt{10}$
- D.
  $6\sqrt{10}$
Ta có: $M \in Ox \Rightarrow M(x;0)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} = (1 - x; - 4) \\ \overrightarrow{MB} = (4 - x;5) \\ \overrightarrow{MC} = ( - x; - 7) \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} = (9 - 3x;6) \\ \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = (4 - 2x; - 2) \\ \end{matrix} ight.$

Ta có:

$T = 2\left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} ight| + 3\left| \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight|$

$= 2\sqrt{(9 - 3x)^{2} + 6^{2}} + 3\sqrt{(4 - 2x)^{2} + ( - 2)^{2}}$

$= 6\left( \sqrt{(3 - x)^{2} + 2^{2}} + \sqrt{(2 - x)^{2} + ( - 1)^{2}} ight) = 6(ME + MF)$

(Với $E(3;2),F(2; - 1)$ )

Lại có: $\overrightarrow{EF} = ( - 1; - 3) \Rightarrow \left| \overrightarrow{EF} ight| = \sqrt{10}$

Mà $ME + MF \geq EF \Rightarrow T \geq 6\sqrt{10}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của EF và Ox => $M\left( \frac{7}{3};0 ight)$

Vậy biểu thức T đạt giá trị nhỏ nhất là $6\sqrt{10}$ .
Câu 40: Vận dụng
Tìm phương trình đường tròn

Đường tròn $(C)$ có tâm $I$ thuộc đường thẳng $d:x + 3y - 5 = 0$ , bán kính $R = 2\sqrt{2}$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta:\ x - y - 1 = 0$ . Phương trình của đường tròn $(C)$ là:
- A.
  $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 8$ hoặc $(x - 5)^{2} + y^{2} = 8$ .
- B.
  $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 8$ hoặc $(x + 5)^{2} + y^{2} = 8$ .
- C.
  $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 8$ hoặc $(x - 5)^{2} + y^{2} = 8$ .
- D.
  $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 8$ hoặc $(x + 5)^{2} + y^{2} = 8$ .
$I \in d ightarrow I(5 - 3a;a) ightarrow d\lbrack I;\Deltabrack = R = 2\sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{|4 - 4a|}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 0 \\ a = 2 \\ \end{matrix} ight.\ ightarrow \left\lbrack \begin{matrix} I(5;0) \\ I( - 1;2) \\ \end{matrix} ight.\ .$

Vậy các phương trình đường tròn là: $(x - 5)^{2} + y^{2} = 8$ hoặc $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 8.$

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

Chưa làm Đã làm

Tìm bài trong mục này

Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 9 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Đề thi học kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo – Đề 5

Đề thi học kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo – Đề 3

Đề thi học kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo – Đề 4

Đề thi học kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo – Đề 1

Đề thi học kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo – Đề 2

Đề thi giữa học kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo (Đề 5)