Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sách CTST

Ví dụ: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y > 10\\x - y \le 7\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}x + 3y \le 5\\x - 2y > 7\\2x > 3\end{array} \right.\)

• Cặp số \(({x_0};{y_0})\) là nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn khi \(({x_0};{y_0})\) đồng thời là nghiệm của tất cả các ất phương trình trong hệ đó.

Ví dụ: Cặp số \((7;0)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y > 10\\x - y \le 7\end{array} \right.\).

2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn 

Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), tập hợp các điểm \((x_0; y_0)\) có tọa độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn được gọi là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.

Miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

Cho hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x, y\) có miền nghiệm là miền đa giác \({A_1}{A_2}...{A_n}.\)

Khi đó: Giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của biểu thức \(F(x;y) = mx + ny\), với \((x;y)\) là tọa độ các điểm thuộc miền đa giác \({A_1}{A_2}...{A_n}\), đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác đó.

Ví dụ: Một công ty cần thuê xe để chở 150 người và 10 tấn hàng. Hiện tại bên cho thuê xe có hai loại xe \(M\) có 10 chiếc và xe \(N\) có 9 chiếc. Giá thuê một chiếc xe \(M\) là 4 triệu, một chiếc xe \(N\) cho thuê với giá 3 triệu đồng. Hỏi phải thuê bao nhiêu chiếc xe mỗi loại để chi phí bỏ ra là nhỏ nhất? Biết rằng mỗi xe loại \(M\) có thể chở tối đa 20 người và 0,8 tấn hàng, mỗi xe loại \(N\) có thể chở tối đa được 10 người và 2 tấn hàng.

Hướng dẫn giải

Gọi \(x, y\) lần lượt là số xe loại \(M\) và \(N\). Khi đó số tiền cần bỏ ra để thuê xe là \(f(x; y) = 4x+3y\).

Điều kiện: \(\left\{ \begin{gathered} 0 \leqslant x \leqslant 10 \hfill \\ 0 \leqslant y \leqslant 9 \hfill \\ \end{gathered} \right.\), \(x;y \in \mathbb{Z}\)

Ta có: \(x\) xe loại \(M\) sẽ chở được \(20x\) người và \(0,8x\) tấn hàng; \(y\) xe loại \(N\) sẽ chở được \(10y\) người và \(2y\) tấn hàng.

=> \(x\) xe loại \(M\) và \(y\) xe loại \(N\) sẽ chở được \(20x+10y\) người và \(0,8x+2y\) tấn hàng.

Ta có hệ bất phương trình sau:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {20x + 10y \geqslant 150} \\ {0,8x + 2y \geqslant 10} \\ {0 \leqslant x \leqslant 10} \\ {0 \leqslant y \leqslant 9} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x + y \geqslant 15} \\ {2x + 5y \geqslant 25} \\ {0 \leqslant x \leqslant 10} \\ {0 \leqslant y \leqslant 9} \end{array}} \right. (*)\)

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x;y)\) trên miền nghiệm của hệ (*).

Miền nghiệm của hệ (*) là tứ giác ABCD (kể cả biên).

Hình vẽ minh họa

Hàm số \(f(x; y) = 4x+3y\) sẽ đạt giá trị nhỏ nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) khi \((x;y)\) là tọa độ của một trong các đỉnh: \(A = \left( {\frac{{25}}{4};\frac{5}{2}} \right);B = \left( {10,1} \right);\) \(C = \left( {3,9} \right);D = \left( {10,9} \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{gathered} f\left( {\frac{{25}}{4};\frac{5}{2}} \right) = 32,5 \hfill \\ f\left( {10,1} \right) = 43 \hfill \\ f\left( {3,9} \right) = 39 \hfill \\ f\left( {10,9} \right) = 67 \hfill \\ \end{gathered} \right.\)

=> Giá trị của \(f(x;y)\) nhỏ nhất khi \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;9} \right)\). Như vậy để chi phí vận chuyển thấp nhất cần thuê 3 xe loại \(M\) và 9 xe loại \(N\).