Giải bài tập Toán 10 SBT bài 3 chương 6

Công thức lượng giác

1 197

Toán 10 - Công thức lượng giác

VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc tài liệu Giải bài tập Toán 10 SBT bài 3 chương 6, tài liệu gồm 7 bài tập trang 193, 194 kèm theo đáp án sẽ là nguồn thông tin hữu ích để giúp các bạn học sinh học tập môn Toán 10 được tốt hơn. Mời các bạn học sinh tham khảo.

Giải bài tập Toán 10 SBT bài 4 chương 5

Giải bài tập Toán 10 SBT ôn tập chương 5

Giải bài tập Toán 10 SBT bài 1 chương 6

Giải bài tập Toán 10 SBT bài 2 chương 6

Giải bài tập Toán 10 SBT bài 3

Bài 16 trang 193 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Cho $\cos \alpha = {1 \over 3}$ tính $sin(\alpha + {\pi \over 6}) - \cos (\alpha - {{2\pi } \over 3})$

Gợi ý làm bài

Ta có:

$sin(\alpha + {\pi \over 6}) - \cos (\alpha - {{2\pi } \over 3})$

$= sin\alpha c{\rm{os}}{\pi \over 6} + \cos \alpha \sin {\pi \over 6} - \cos \alpha \cos {{2\pi } \over 3} - \sin \alpha \sin {{2\pi } \over 3}$

$= {{\sqrt 3 } \over 2}sin\alpha + {1 \over 2}\cos \alpha + {1 \over 2}\cos \alpha - {{\sqrt 3 } \over 2}\sin \alpha$

$= \cos \alpha = {1 \over 3}$

Bài 17 trang 193 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Cho $\sin \alpha = {8 \over {17}},\sin \beta = {{15} \over {17}}$ với $0 < \alpha < {\pi \over 3},0 < \beta < {\pi \over 2}$ . Chứng minh rằng $\alpha + \beta = {\pi \over 2}$

Gợi ý làm bài

Ta có:

Giải bài tập Toán 10 SBT bài 3 chương 6

Do đó:

$\sin (\alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

${8 \over {17}}.{8 \over {17}} + {{15} \over {17}}.{{15} \over {17}} = {{289} \over {289}} = 1$

Vì $0 < \alpha < {\pi \over 3},0 < \beta < {\pi \over 2}$ nên từ đó suy ra $\alpha + \beta = {\pi \over 2}$

Bài 18 trang 193 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Không dùng bảng số và máy tính, chứng minh rằng

a) $\sin {20^0} + 2\sin {40^0} - \sin {100^0} = \sin {40^0}$

b) ${{\sin ({{45}^0} + \alpha ) - c{\rm{os(}}{{45}^0} + \alpha )} \over {\sin ({{45}^0} + \alpha ) + c{\rm{os(}}{{45}^0} + \alpha )}} = \tan \alpha$

c) ${{3{{\cot }^2}{{15}^0} - 1} \over {3 - c{\rm{o}}{{\rm{t}}^2}{{15}^0}}} = - \cot {15^0}$

d) $\sin {200^0}\sin {310^0} + c{\rm{os34}}{{\rm{0}}^0}{\rm{cos5}}{{\rm{0}}^0}{\rm{ = }}{{\sqrt 3 } \over 2}$

Gợi ý làm bài

sin20⁰+2sin40⁰−sin100⁰

=(sin20⁰−sin100⁰)+2sin40⁰

$=2\cos {60^0}\sin ( - {40^0}) + 2\sin {40^0}$

= $- \sin {40^0} + 2\sin {40^0} = \sin {40^0}$

Giải bài tập Toán 10 SBT bài 3 chương 6

$={{2\cos {{45}^0}\sin \alpha } \over {2\sin {{45}^0}\cos \alpha }} = {{\sqrt 2 \sin \alpha } \over {\sqrt 2 \cos \alpha }} = \tan \alpha$

${{3{{\cot }^2}{{15}^0} - 1} \over {3 - c{\rm{o}}{{\rm{t}}^2}{{15}^0}}} = {{{{\cot }^2}{{30}^0}{{\cot }^2}{{15}^0} - 1} \over {c{\rm{o}}{{\rm{t}}^2}{{30}^0} - {{\cot }^2}{{15}^0}}}$

$={{\cot {{30}^0}\cot {{15}^0} + 1} \over {c{\rm{ot}}{{30}^0} - \cot {{15}^0}}}.{{\cot {{30}^0}\cot {{15}^0} - 1} \over {c{\rm{ot}}{{30}^0} + \cot {{15}^0}}}$

Mặt khác ta có

$\cot (\alpha + \beta ) = {{\cos (\alpha + \beta )} \over {\sin (\alpha + \beta )}} = {{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta } \over {\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta }}$

Chia cả tử và mẫu của biểu thức cho $\sin \alpha \sin \beta$ ta được

$\cot (\alpha + \beta ) = {{\cot \alpha \cot \beta - 1} \over {\cot \alpha + \cot \beta }}$

Tương tự

$\cot (\alpha - \beta ) = {{\cot \alpha \cot \beta + 1} \over {\cot \beta - \cot \alpha }}$

Do đó

$A = \cot ({15^0} - {30^0})\cot ({15^0} + {30^0}) = - \cot {15^0}$

$\sin {200^0}\sin {310^0} + c{\rm{os34}}{{\rm{0}}^0}{\rm{cos5}}{{\rm{0}}^0}$

$= \sin ({180^0} + {20^0})\sin ({360^0} - {50^0}) + c{\rm{os(36}}{{\rm{0}}^0}{\rm{ - 2}}{{\rm{0}}^0}{\rm{)cos5}}{{\rm{0}}^0}$

$= ( - \sin {20^0})( - \sin {50^0}) + \cos {20^0}\cos {50^0}$

$= \cos {50^0}\cos {20^0} + \sin {50^0}\sin {20^0}$

$= \cos ({50^0} - {20^0}) = {{\sqrt 3 } \over 2}$

Bài 19 trang 194 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Chứng minh rằng các biểu thức sau là những hằng số không phụ thuộc $\alpha ,\beta$

a) $\sin 6\alpha \cot 3\alpha - c{\rm{os6}}\alpha$

b) ${{\rm{[}}\tan ({90^0} - \alpha ) - \cot ({90^0} + \alpha ){\rm{]}}^2} - {{\rm{[}}c{\rm{ot(18}}{{\rm{0}}^0} + \alpha ) + \cot ({270^0} + \alpha ){\rm{]}}^2}$

c) $(\tan \alpha - \tan \beta )cot(\alpha - \beta ) - \tan \alpha \tan \beta$

d) $\cot {\alpha \over 3} - \tan {\alpha \over 3})\tan {{2\alpha } \over 3}$

Gợi ý làm bài

sin6αcot3α−cos6α

$= 2\sin 3\alpha \cos 3\alpha .{{\cos 3\alpha } \over {\sin 3\alpha }} - (2{\cos ^2}3\alpha - 1)$

$= 2{\cos ^2}3\alpha - 2{\cos ^2}3\alpha + 1 = 1$

${{\rm{[}}\tan ({90^0} - \alpha ) - \cot ({90^0} + \alpha ){\rm{]}}^2} - {{\rm{[}}c{\rm{ot(18}}{{\rm{0}}^0} + \alpha ) + \cot ({270^0} + \alpha ){\rm{]}}^2}$

$= {(\cot \alpha + \tan \alpha )^2} - {(\cot \alpha - \tan \alpha )^2}$

$= {\cot ^2}\alpha + 2 + {\tan ^2}\alpha - {\cot ^2}\alpha + 2 - {\tan ^2}\alpha = 4$

(tanα−tanβ)cot(α−β)−tanαtanβ

$= {{\tan \alpha - \tan \beta } \over {\tan (\alpha - \beta )}} - \tan \alpha \tan \beta$

$=1 + \tan \alpha \tan \beta - \tan \alpha \tan \beta = 1$

Giải bài tập Toán 10 SBT bài 3 chương 6

Bài 20 trang 194 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Không sử dụng bảng số và máy tính, hãy tính

a) ${\sin ^4}{\pi \over {16}} + {\sin ^4}{{3\pi } \over {16}} + {\sin ^4}{{5\pi } \over {16}} + {\sin ^4}{{7\pi } \over {16}}$

b) $\cot 7,{5^0} + \tan 67,{5^0} - \tan 7,{5^0} - \cot 67,{5^0}$

Gợi ý làm bài

a) ${\sin ^4}{\pi \over {16}} + {\sin ^4}{{3\pi } \over {16}} + {\sin ^4}{{5\pi } \over {16}} + {\sin ^4}{{7\pi } \over {16}}$

Giải bài tập Toán 10 SBT bài 3 chương 6

Bài 21 trang 194 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Rút gọn các biểu thức

a) ${{\sin 2\alpha + \sin \alpha } \over {1 + c{\rm{os2}}\alpha {\rm{ + cos}}\alpha }}$

b) ${{4{{\sin }^2}\alpha } \over {1 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}{\alpha \over 2}}}$

c) ${{1 + c{\rm{os}}\alpha - \sin \alpha } \over {1 - c{\rm{os}}\alpha - {\rm{sin}}\alpha }}$

d) ${{1 + \sin \alpha - 2{{\sin }^2}({{45}^0} - {\alpha \over 2})} \over {4c{\rm{os}}{\alpha \over 2}}}$

Gợi ý làm bài

a) ${{\sin 2\alpha + \sin \alpha } \over {1 + c{\rm{os2}}\alpha {\rm{ + cos}}\alpha }} = {{\sin \alpha (2\cos \alpha + 1)} \over {2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha {\rm{ + cos}}\alpha }}$

$= {{\sin \alpha (2\cos \alpha + 1)} \over {c{\rm{os}}\alpha (2{\rm{cos}}\alpha + 1)}} = \tan \alpha$

b) ${{4{{\sin }^2}\alpha } \over {1 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}{\alpha \over 2}}} = {{16{{\sin }^2}{\alpha \over 2}{{\cos }^2}{\alpha \over 2}} \over {{{\sin }^2}{\alpha \over 2}}}$ $= 16{\cos ^2}{\alpha \over 2}$

c) ${{1 + c{\rm{os}}\alpha - \sin \alpha } \over {1 - c{\rm{os}}\alpha - {\rm{sin}}\alpha }}$ $= {{2{{\cos }^2}{\alpha \over 2} - 2\sin {\alpha \over 2}\cos {\alpha \over 2}} \over {2si{n^2}{\alpha \over 2} - 2\sin {\alpha \over 2}\cos {\alpha \over 2}}}$

$= {{2\cos {\alpha \over 2}(\cos {\alpha \over 2} - \sin {\alpha \over 2})} \over {2\sin {\alpha \over 2}(sin{\alpha \over 2} - \cos {\alpha \over 2})}} = - \cot {\alpha \over 2}$

d) ${{1 + \sin \alpha - 2{{\sin }^2}({{45}^0} - {\alpha \over 2})} \over {4c{\rm{os}}{\alpha \over 2}}}$ $= {{\sin \alpha + \cos ({{90}^0} - \alpha )} \over {4\cos {\alpha \over 2}}}$

$={{\sin \alpha + \sin \alpha } \over {4\cos {\alpha \over 2}}}$ $= {{4\sin {\alpha \over 2}\cos {\alpha \over 2}} \over {4\cos {\alpha \over 2}}} = \sin {\alpha \over 2}$