Bài toán thực tế về Hằng đẳng thức đáng nhớ
Bên cạnh các dạng bài tập về Hằng đẳng thức đáng nhớ, các bài toán thực tế đòi hỏi người học phải biết cách vận dụng kiến thức vào đời sống. Bài viết này tập trung làm rõ các phương pháp giải hiệu quả, phù hợp chương trình Toán 8.
Toán thực tế về Hằng đẳng thức
A. Các phương pháp giải bài toán thực tế
1. Dạng 1: Toán thực tế liên quan đến hiệu hai bình phương, bình phương của một tổng hay một hiệu
Phương pháp: Vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ:
Hiệu hai bình phương:
A2 - B2 = (A - B)(A + B).
Bình phương của một tổng:
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2.
Bình phương của một hiệu:
(A - B)2 = A2 - 2AB + B2.
Ví dụ 1: Một mảnh đất hình vuông có cạnh dài 66 m. Người ta cắt đi một miếng đất hình vuông cạnh 34 m từ mảnh đất hình vuông đó để sử dụng vào việc khác. Tính diện tích phần còn lại của miếng đất.
Lời giải:
Diện tích phần còn lại của mảnh đất là:
S = 662 - 342 = (66 - 34)(66 + 34) = 32 . 100 = 3200 (m2).
2. Bài toán liên quan đến lập phương của một tổng hay một hiệu
Phương pháp: Vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ:
Lập phương của một tổng:
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
Lập phương của một hiệu:
(A - B)3 = A3 - 3 A2B + 3AB2 - B3
Ví dụ 2: Từ một khối lập phương có cạnh bằng x + 1, ta cắt bỏ một khối lập phương có cạnh bằng x. Tính thể tích phần còn lại, viết kết quả dưới dạng đa thức?
Lời giải
Từ một khối lập phương có cạnh bằng x + 1, ta cắt bỏ một khối lập phương có cạnh bằng x. Thể tích phần còn lại là:
(x + 1)3 - x3 = x3 + 3x2 + 3x + 1 - x3
= 3x2 + 3x + 1.
3. Bài toán liên quan đến tổng và hiệu hai lập phương
Phương pháp: Vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ:
Tổng hai lập phương:
A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2).
Hiệu hai lập phương:
A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) .
Ví dụ 3: Mảnh vườn trồng hoa nhà bác An có dạng hình chữ nhật với chiều rộng là 2y (m), chiều dài là 4y2 (m). Năm nay kinh tế dư giả, hoa bán được nhiều, bác An quyết định mua thêm đất nhà bên cạnh để cho mảnh vườn rộng ra và trồng được nhiều hoa hơn. Tuy nhiên, nhà bên cạnh chỉ bán cho bác thêm x m chiều rộng và thêm 4y + x2 m chiều dài (x, y > 0). Hỏi mảnh vườn nhà bác An có diện tích tăng thêm bao nhiêu mét vuông. Viết biểu thức dạng tích biểu thị phần diện tích tăng thêm đó theo x và y.
Lời giải
Diện tích mảnh vườn ban đầu là: 2y.4y2 = (2y)3 (m2).
Chiều rộng của mảnh vườn khi tăng thêm x m là: 2y + x (m).
Chiều dài của mảnh vườn khi tăng thêm 4xy + x2 (m) là:
4y2 + 4xy + x2 = (2y + x)2 (m).
Nếu tăng chiều rộng thêm x m và chiều dài thêm 4xy + x2 (m) thì được mảnh vườn mới có diện tích là:
(2y + x)(2y + x)2 = (2y + x)3 (m2).
Biểu thức dạng tích biểu thị phần diện tích tăng thêm của mảnh vườn mới so với mảnh vườn ban đầu là:
(2y + x)3 - (2y)3
= (2y + x - 2y)[(2y + x)2 + 2y(2y + x) + (2y)]
= x(12y2 + 6xy + x2) (m2).
B. Bài tập tự rèn luyện
Bài 1:
a) An đi chợ mua gạo. An mua 16 kg với giá 14.000 đồng một kg. Côbán hàng đọc ngay kết quả sốtiền gạo An phải trả là 224.000 đồng. Vậy cô bán hàng tính tiền như thế nào nhanh như vậy?
b) Lan đi chợ mua cam. Lan mua 29 kg với giá 31.000 đồng một kg.Lan phải trả số tiền bao nhiêunghìn đồng? Em hãy tính giúp bạn một cách nhanh nhất.
c) Bác Hoa cần mua 49 linh kiện điện tử với giá 102.000 đồng một linh kiện. Em hãy tính nhẩmgiúp bác số tiền phải trả.
d) Lan cần mua 98 linh kiện điện tử với giá 102.000 đồng một linh kiện. Em hãy tính nhẩm giúpLan số tiền phải trả.
Bài 2:
a) Một mảnh vườn có dạng một tam giác vuông ABC (hình a). Biết độ dài các cạnh AB =x,BC = x + 2. Tính cạnh AC.
b) Một mảnh vườn hình thang vuông ABCD (hình b). Kích thước như hình vẽ. Tính độ dài đoạn AB theo x.
Bài 4: Biết số inch màn hình tivi bằng độ dài đường chéo của tivi (cm) chia cho 2,54. Nhà bạn Linh có một chiếc tivi 55 inch. Bạn Linh đo được một cạnh của tivi là 70 cm. Em hãy tính giúp bạn cạnh còn lại của tivi dài bao nhiêu cm.
Bài 5: Cô Hoài gửi vào ngân hàng 400 triệu đồng theo thể thức lãi kép theo định kỳ với lãi suất x mỗi năm (tức là nếu đến kỳ hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kỳ kế tiếp). Biểu thức S = 400(1 + x)3 (triệu đồng) là số tiền cô Hoài nhận được sau 3 năm.
a) Tính số tiền cô Hoài nhận được sau 3 năm khi lãi suất là x = 5%.
b) Khai triển S thành đa thức theo x và xác định bậc của đa thức.
Bài 6: Tết năm nay, Hiếu được mừng tuổi (2a + 3b)(4a2 + 9b2 + 9b - 6a - 6ab + 3) + 20000 đồng. Hiếu đưa bố nhưng bố không cầm, bố bảo với Hiếu: “Con hãy cầm số tiền này để mua dụng cụ học tập.” Hiếu cầm số tiền đó vào cửa hàng mua 4a2 - 4a + 1 cái bút giá 2a - 1 đồng một cái bút và mua 1+ 6b + 9b2 quyển vở giá 1 + 3b đồng một quyển vở. Hỏi Hiếu có mua hết số tiền mừng tuổi không? Số tiền mà Hiếu còn thừa sau khi mua bút và vở là bao nhiêu?
------------------------------------------------------
