Các quy tắc tính đạo hàm Kết nối tri thức
Bộ tài liệu Lí thuyết Toán 11 Kết nối tri thức: Các quy tắc tính đạo hàm bao gồm các công thức tính đạo hàm các hàm số thường gặp. Ngoài ra có các bài tập ứng dụng có hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 11 KNTT giúp các em dễ dàng ôn tập củng cố.
1. Đạo hàm của một số hàm thường gặp
a) Đạo hàm của hàm số mũ 
\(y = {x^n},\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)
Hàm số \(y = {x^n},\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và \(\left( {{x^n}} \right)' = n.{x^{n - 1}}\).
\(\left( x \right)' = 1;\left( {{x^2}} \right)' = 2x\)
b) Đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt x\)
Hàm số \(y = \sqrt x\) có đạo hàm trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) và \(\left( {\sqrt x } \right)' = \frac{1}{{2\sqrt x }}\).
2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
Giả sử các hàm số \(u = u\left( x \right);v = v\left( x \right)\) có đạo hàm trên khoảng \(\left( {a,b} \right)\). Khi đó:
| \(\left( {u + v} \right)' = u' + v'\) |
\(\left( {u - v} \right)' = u' - v'\) |
| \(\left( {uv} \right)' = u'v + uv'\) |
\(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}};\left( {v = v\left( x \right) \ne 0} \right)\) |
Chú ý:
- Quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu có thể áp dụng cho tổng, hiệu của hai hay nhiều hàm số.
- Với k là một hằng số ta có: \(\left( {k.u} \right)' = k.u'\)
- Đạo hàm của hàm số nghịch đảo: \(\left( {\frac{1}{v}} \right)' = \frac{{ - v'}}{{{v^2}}};\left( {v = v\left( x \right) \ne 0} \right)\)
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số:
|
a) |
b) |
c) |
Hướng dẫn giải
a) \(y' = {x^2} + 2x - 2\)
b) \(y' = \left( {\sqrt x + 2} \right)'\left( {{x^2} + 1} \right) + \left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)'\)
\(y' = \frac{1}{{2\sqrt x }}\left( {{x^2} + 1} \right) + \left( {\sqrt x + 2} \right).2x\)
\(y' = \frac{{{x^2} + 1}}{{2\sqrt x }} + 2x\left( {\sqrt x + 2} \right)\)
c)
\(y' = \frac{{{x^2} + 1 - 2x.\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\)
\(y' = \frac{{ - {x^2} + 2x + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\)
3. Đạo hàm của hàm số hợp
a) Hàm số hợp
Giả sử \(u = g\left( x \right)\) là hàm số xác định trên khoảng \(\left( {a,b} \right)\) có tập giá trị chứa trong khoảng \(\left( {c,d} \right)\) và \(y = f\left( u \right)\) là hàm số xác định trên khoảng \(\left( {c,d} \right)\). Hàm số \(y = f\left( {g\left( x \right)} \right)\) được gọi là hàm số hợp của hàm số \(y = f\left( u \right)\) và \(u = g\left( x \right)\).
b) Đạo hàm của hàm số hợp
Nếu hàm số \(u = g\left( x \right)\) có đạo hàm \(u{'_x}\) tại \(x\) và hàm số \(y = f\left( u \right)\) có đạo hàm \(y{'_u}\) tại \(u\) thì hàm số hợp \(y = f\left( {g\left( x \right)} \right)\) có đạo hàm tại \(y{'_x}\) là \(y{'_x} = y{'_u}.u{'_x}\).
Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số sau:
|
a) |
b) |
Hướng dẫn giải
a) \(y' = 2\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) + 2x{\left( {x + 1} \right)^2}\)
\(y' = 2\left( {x + 1} \right)\left( {2{x^2} + x - 1} \right)\)
b) \(y' = 3.{\left( {{x^2} - \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)^2}.\left( {{x^2} - \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)'\)
\(y' = 3.{\left( {{x^2} - \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)^2}.\left( {2x + \frac{1}{{x\sqrt x }}} \right)\)
4. Đạo hàm của hàm số lượng giác
a) Đạo hàm của hàm số \(y = \sin x\)
Hàm số \(y = \sin x\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và \(\left( {\sin x} \right)' = \cos x\)
Hàm số \(y = \sin u\) hợp với \(u = u\left( x \right)\) ta có: \(\left( {\sin u} \right)' = u'.\cos u\)
Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số:
|
a) y = sin 2x – 3sinx |
b) |
Hướng dẫn giải
a) Ta có: y = sin 2x – 3sinx
=> y’ = (sin 2x – 3sinx)’
=> y’ = (sin2x)’ – (3sinx)’
=> y’ = (2x)’. cos2x – 3.(sinx)’
=> y’ = 2.cos2x – 3.cosx
=> y’ = 2cos2x – 3cosx
b) Ta có:
\(y' = \left( {\sin \sqrt {2 + {x^2}} } \right)'\)
\(y' = \left( {\sqrt {2 + {x^2}} } \right)'\cos \sqrt {2 + {x^2}}\)
\(y' = \frac{{\left( {2 + {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {2 + {x^2}} }}\cos \sqrt {2 + {x^2}}\)
\(y' = \frac{x}{{\sqrt {2 + {x^2}} }}\cos \sqrt {2 + {x^2}}\)
b) Đạo hàm của hàm số \(y = \cos x\)
Hàm số \(y = \cos x\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và \(\left( {\cos x} \right)' = - \sin x\)
Hàm số hợp \(y = \cos u\) với \(u = u\left( x \right)\) ta có: \(\left( {\cos u} \right)' = - u'.\sin u\)
Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số:
|
a) y = cos3x – 4cosx |
b) |
Hướng dẫn giải
a) Ta có: y = cos3x – 4cosx
=> y’ = (cos3x – 4cosx)’
=> y’ = (cos3x)’ – (4cosx)’
=> y’ = - (3x)’. sin3x – 4.(cosx)’
=> y’ = -3sin3x – 4.(-sinx)
=> y’ = -3sinx + 4.sinx
b) Ta có: \(y' = \left[ {\cos \left( {\frac{\pi }{3} - 3x} \right)} \right]'\)
\(= - \left( {\frac{\pi }{3} - 3x} \right)'.\sin \left( {\frac{\pi }{3} - 3x} \right)\)
\(= - \left( { - 3} \right).\sin \left( {\frac{\pi }{3} - 3x} \right) = 3\sin \left( {\frac{\pi }{3} - 3x} \right)\)
b) Đạo hàm của hàm số \(y = \tan x,y = \cot x\)
Hàm số \(y = \tan x\) có đạo hàm tại mọi \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) và \(\left( {\tan x} \right)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)
Hàm số \(y = \cot x\) có đạo hàm tại mọi \(x \ne k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) và \(\left( {\cot x} \right)' = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\)
Hàm số hợp \(y = \tan u,y = \cot u\) với \(u = u\left( x \right)\) ta có:
\(\left( {\tan u} \right)' = \frac{{u'}}{{{{\cos }^2}u}};\left( {\cot u} \right)' = - \frac{{u'}}{{{{\sin }^2}u}}\) với điều kiện \(\tan u,\cot u\) có nghĩa.
Ví dụ: Tính đạo hàm hàm số y = tan3x + cot2x.
Hướng dẫn giải
y = tan3x + cot2x
=> y’ = (tan3x + cot2x)’
=> \(y' = 3{\tan ^2}x.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{2}{{{{\sin }^2}2x}}\)
5. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit
a) Giới hạn liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit
Các giới hạn cơ bản của hàm số mũ và hàm số lôgarit
| \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } {\left( {1 + \frac{1}{t}} \right)^t} = e\) |
\(\mathop {\lim }\limits_{t \to - \infty } {\left( {1 + \frac{1}{t}} \right)^t} = e\) |
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}} = e\) |
| \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x} = 1\) |
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x} = 1\) |
|
b) Đạo hàm của hàm số mũ
Hàm số \(y = {e^x}\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và \(\left( {{e^x}} \right)' = {e^x}\)
Hàm số hợp \(y = {e^u}\) với \(u = u\left( x \right)\) ta có: \(\left( {{e^u}} \right)' = {e^u}.u'\)
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số \(y = {e^{2 - x}}\).
Hướng dẫn giải
Ta có: \(f\left( x \right) = {e^{2 - x}}\)
\(\Rightarrow f'\left( x \right) = \left( {2 - x} \right)'.{e^{2 - x}} = - {e^{2 - x}}\)
Hàm số \(y = {a^x};\left( {0 < a \ne 1} \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và \(\left( {{a^x}} \right)' = {a^x}\ln a\)
Hàm số hợp với \(u = u\left( x \right)\) ta có: \(\left( {{a^u}} \right)' = {a^u}.u'.\ln a\)
Ví dụ: Xác định đạo hàm của hàm số:
|
a) |
b) |
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(y = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} \Rightarrow y' = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x}.\ln \left( {2 - \sqrt 3 } \right)\)
\(\Rightarrow y' = \frac{1}{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^x}}}.\ln \left( {2 - \sqrt 3 } \right)\)
\(\Rightarrow y' = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - x}}.\ln \left( {2 - \sqrt 3 } \right)\)
b) Ta có:
\(f'\left( x \right) = \left( {\frac{{x + 1}}{{{4^x}}}} \right)' = \frac{{\left( {x + 1} \right)'{{.4}^x} - \left( {x + 1} \right).\left( {{4^x}} \right)'}}{{{{\left( {{4^x}} \right)}^2}}}\)
\(= \frac{{{4^x} - \left( {x + 1} \right){{.4}^x}.\ln 4}}{{{{\left( {{4^x}} \right)}^2}}} = \frac{{{4^x}\left( {1 - x.\ln 4 - \ln 4} \right)}}{{{{\left( {{4^x}} \right)}^2}}}\)
\(= \frac{{1 - 2x\ln 2 - 2\ln 2}}{{{4^x}}} = \frac{{1 - 2\left( {x + 1} \right)\ln 2}}{{{2^{2x}}}}\)
c) Đạo hàm của hàm số lôgarit
Hàm số \(y = \ln x\) có đạo hàm trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) và \(\left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{x}\)
Hàm số hợp \(y = \ln u\) với \(u = u\left( x \right)\) ta có: \(\left( {\ln u} \right)' = \frac{{u'}}{u}\)
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right) = \ln \left( {\frac{x}{{x + 1}}} \right)\)?
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(f'\left( x \right) = \left[ {\ln \left( {\dfrac{x}{{x + 1}}} \right)} \right]' = \dfrac{{\dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}}}{{\dfrac{x}{{x + 1}}}} = \dfrac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}}\)
Hàm số \(y = {\log _a}x\) có đạo hàm trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) và \(\left( {{{\log }_a}x} \right)' = \frac{1}{{x\ln a}}\)
Hàm số \(y = {\log _a}u\) hợp với \(u = u\left( x \right)\) ta có: \(\left( {{{\log }_a}u} \right)' = \frac{{u'}}{{u.\ln a}}\).
Ví dụ: Xác định đạo hàm của hàm số \(y = {\log _4}\left( {2{x^2} - 3} \right)\).
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(y' = \frac{{4x}}{{\left( {2{x^2} - 3} \right).\ln 4}} = \frac{{4x}}{{\left( {2{x^2} - 3} \right).2.\ln 2}} = \frac{{2x}}{{\left( {2{x^2} - 3} \right).\ln 2}}\)
