Dãy số Kết nối tri thức
Bộ tài liệu Lí thuyết Toán 11 Kết nối tri thức: Dãy số bao gồm định nghĩa và cách xác định, chứng minh dãy số. Ngoài ra có các bài tập ứng dụng có hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 11 KNTT giúp các em dễ dàng ôn tập củng cố.
1. Định nghĩa dãy số
a) Dãy số vô hạn
- Mỗi hàm số
\(u\) xác định trên tập các số nguyên dương \({\mathbb{N}^*}\) được gọi là một dãy số vô hạn (dãy số), kí hiệu là \(u = u\left( n \right)\) (hoặc có thể viết là \(u = {u_n}\)). - Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được viết dưới dạng khai triển là \({u_1};{u_2};{u_3};...;{u_n};....\)
- Gọi số hạng đầu là \({u_1}\) và \({u_n}\) là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.
Chú ý: Nếu \(\forall n \in {\mathbb{N}^*};{u_n} = c\) thì \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số không đổi.
Ví dụ: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi công thức \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}\). Số \(\frac{{167}}{{84}}\) là số hạng thứ mấy trong dãy số?
Hướng dẫn giải
Giả sử \({u_k} = \frac{{167}}{{84}};\left( {k \leqslant n} \right) \Leftrightarrow \frac{{2k + 1}}{{k + 2}} = \frac{{167}}{{84}}\)
\(\Leftrightarrow 84\left( {2k + 1} \right) = 167\left( {k + 2} \right) \Rightarrow k = 250\)
Vậy số \(\frac{{167}}{{84}}\) là số hạng thứ 250 của dãy số đã cho.
b) Dãy số hữu hạn
- Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương \(M = \left\{ {1;2;3;...;m} \right\},\left( {m \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) được gọi là một dãy số hữu hạn.
- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) hữu hạn được viết dưới dạng khai triển là \({u_1};{u_2};{u_3};...;{u_m}\)
- Gọi số hạng đầu là \({u_1}\) và \({u_m}\) là số hạng thứ cuối của dãy số.
2. Các cách cho một dãy số
- Một dãy số thường xác định bằng cách:
+ Liệt kê các số hạng.
+ Công thức số hạng tổng quát \({u_n} = f(n)\), tức là tính mỗi số hạng theo \(n\).
+ Công thức truy hồi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1} = a} \\
{{u_{n + 1}} = g\left( {{u_n}} \right)}
\end{array}} \right.\) tức là tính mỗi số hạng đứng trước nó.
+ Dựa vào mô tả dãy số.
Ví dụ: Tìm 5 số hạng đầu và tìm công thức tính số hạng tổng quát theo của dãy số \(\left\{ \begin{gathered}
{u_1} = 2 \hfill \\
{u_{n + 1}} = 2{u_n} \hfill \\
\end{gathered} \right.\)?
Hướng dẫn giải
Ta có:
\({u_2} = 2{u_1} = 2.2 = 4 = {2^2}\)
\({u_3} = 2{u_2} = {2.2^2} = {2^3}\)
\({u_4} = 2{u_3} = {2.2^3} = {2^4}\)
\({u_5} = 2{u_4} = {2.2^4} = {2^5}\)
Từ các số hạng đầu tiên ta dự đoán số hạng tổng quát \({u_n}\) có dạng \({u_n} = {2^n};\left( {\forall n \geqslant 1} \right)\left( * \right)\)
Dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh công thức (*) đúng
Với n = 1 ta có \({u_1} = {2^1} = 2\) đúng
Vậy (*) đúng với n = 1
Giả sử (*) đúng với n = k có nghĩa là \({u_k} = {2^k}\left( {**} \right)\)
Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k + 1. Nghĩa là ta phải chứng minh \({u_{k + 1}} = {2^{k + 1}}\)
Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo (**) ta có:
\({u_{k + 1}} = 2.{u_k} = {2.2^k} = {2^{k + 1}}\)
Vậy (*) đúng với n = k + 1. Vậy (*) đúng với mọi số nguyên dương n.
3. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn
- Dãy số \(\left\{ {{u_n}} \right\}\) được gọi là dãy tăng nếu như \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:
\({u_{n + 1}} > {u_n}\)
- Dãy số \(\left\{ {{u_n}} \right\}\) được gọi là dãy giảm, nếu như \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:
\({u_{n + 1}} < {u_n}\)
Ví dụ: Xét tính tăng giảm của các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được cho bởi công thức:
a) \({u_n} = \frac{n}{{{n^2} + 1}}\)
b) \({u_n} = \frac{{3{n^2} - 2n + 1}}{{n + 1}}\)
Hướng dẫn giải
a) \({u_n} = \frac{n}{{{n^2} + 1}}\)
Với mỗi \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:
\({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n + 1}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1}} - \frac{n}{{{n^2} + 1}}\)
\(= \frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {{n^2} + 1} \right) - n\left[ {{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1} \right]}}{{\left[ {{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1} \right].\left( {{n^2} + 1} \right)}}\)
\(= \frac{{{n^3} + n + {n^2} + 1 - \left( {{n^3} + 2{n^2} + 2n} \right)}}{{\left[ {{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1} \right].\left( {{n^2} + 1} \right)}}\)
\(= \frac{{ - {n^2} - n + 1}}{{\left[ {{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1} \right].\left( {{n^2} + 1} \right)}} < 0\)
Vì \(- {n^2} - n + 1 > 0;\forall n \geqslant 1\) và \(\left[ {{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1} \right].\left( {{n^2} + 1} \right) > 0;\forall n \geqslant 1\)
Vậy dãy số đã cho là một dãy số giảm.
b) \({u_n} = \frac{{3{n^2} - 2n + 1}}{{n + 1}}\)
Ta có: \({u_n} = \frac{{3{n^2} - 2n + 1}}{{n + 1}} = 3n - 5 + \frac{6}{{n + 1}}\)
Với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:
\({u_{n + 1}} - {u_n}\)
\(= \left[ {3\left( {n + 1} \right) - 5 + \frac{6}{{n + 2}}} \right] - \left( {3n - 5 + \frac{6}{{n + 1}}} \right)\)
\(= 3 + \frac{6}{{n + 2}} - \frac{6}{{n + 1}}\)
\(= 3\left[ {\frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) + 2\left( {n + 1} \right) - 2\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}} \right]\)
\(= \frac{{3\left( {{n^2} + 3n} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0;\forall n \geqslant 1\)
- Dãy số \(\left\{ {{u_n}} \right\}\) được gọi là bị chặn trên, nếu như tồn tại hằng số T sao cho \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) thì:
\({u_n} \leqslant T\)
- Dãy số \(\left\{ {{u_n}} \right\}\) được gọi là bị chặn dưới, nếu như tồn tại hằng số D sao cho \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) thì:
\({u_n} \geqslant D\)
- Dãy số \(\left\{ {{u_n}} \right\}\) vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn, tức là tồn tại các số \(T,D\) sao cho \(D \leqslant {u_n} \leqslant T\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Ví dụ: Xét tính bị chặn của dãy số sau: \({u_n} = \frac{1}{{2{n^2} - 1}}\)
Hướng dẫn giải
Xét \({u_n} = \frac{1}{{2{n^2} - 1}}\) ta có
\(2{n^2} - 1 \geqslant 1 \Rightarrow {u_n} = \frac{1}{{2{n^2} - 1}} \leqslant 1;\forall n \geqslant 1\)
Vậy dãy số bị chặn trên bởi 1.
