Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm Kết nối tri thức
Bộ tài liệu Lí thuyết Toán 11 Kết nối tri thức: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm bao gồm cách tính số trung bình, trung vị, mốt và các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm. Ngoài ra có các bài tập ứng dụng có hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 11 KNTT giúp các em dễ dàng ôn tập củng cố.
1. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm
Cho mẫu số liệu ghép nhóm
|
Nhóm |
 \(\left[ {{a_1};{a_2}} \right)\) |
… |
\(\left[ {{a_i};{a_{i + 1}}} \right)\) |
… |
\(\left[ {{a_k};{a_{k + 1}}} \right)\) |
|
Tần số |
\({m_1}\) |
… |
\({m_i}\) |
… |
\({m_k}\) |
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm kí hiệu là \(\overline x\) được tính bởi công thức:
\(\overline x = \frac{{{m_1}{x_1} + ... + {m_k}{x_k}}}{n}\)
Trong đó:
- \(n = {m_1} + {m_2} + ... + {m_k}\) là cỡ mẫu
- \({x_i} = \frac{{{a_i} + {a_{i + 1}}}}{2};\left( {i = \overline {1;k} } \right)\) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {{a_1};{a_{i + 1}}} \right)\).
Ví dụ: Chị A lập bảng doanh thu bán hải sản của cửa hàng trong 20 ngày (đơn vị: triệu đồng) như sau:
|
Doanh thu |
|
|
|
|
|
|
Số ngày |
|
|
|
|
|
Tính mức doanh thu trung bình của cửa hàng?
Hướng dẫn giải
Ta có:
|
Doanh thu |
|
|
|
|
|
|
|
Giá trị đại diện |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
|
|
Số ngày |
2 |
7 |
7 |
3 |
1 |
N = 20 |
Do đó doanh thu trung bình của cửa hàng là:
\(\overline x = \frac{{6.2 + 8.7 + 10.7 + 12.3 + 14.1}}{{20}} = 9,4\) (triệu đồng)
Vậy doanh thu trung bình của cửa hàng là 9,4 triệu đồng.
2. Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Cho mẫu số liệu ghép nhóm
|
Nhóm |
\(\left[ {{a_1};{a_2}} \right)\) |
… |
\(\left[ {{a_i};{a_{i + 1}}} \right)\) |
… |
\(\left[ {{a_k};{a_{k + 1}}} \right)\) |
|
Tần số |
\({m_1}\) |
… |
\({m_i}\) |
… |
\({m_k}\) |
Để tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm ta làm như sau:
Bước 1: Xác định nhóm chứa trung vị. Giả sử đó là nhóm thứ \(p:\left[ {{a_p};{a_{p + 1}}} \right)\).
Bước 2: Trung vị là \({M_e} = {a_p} + \dfrac{{\dfrac{n}{2} - \left( {{m_1} + ... + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}}.\left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)\)
Trong đó n là cỡ mẫu; \({m_p}\) là tần số nhóm p.
Với \(p = 1\) ta quy ước \({m_1} + ... + {m_{p - 1}} = 0\).
Ví dụ: Chị A lập bảng doanh thu bán hải sản của cửa hàng trong 20 ngày (đơn vị: triệu đồng) như sau:
|
Doanh thu |
|
|
|
|
|
|
Số ngày |
|
|
|
|
|
Tính giá trị trung vị của mẫu dữ liệu ghép nhóm trên?
Hướng dẫn giải
Ta có:
|
Doanh thu |
|
|
|
|
|
|
|
Số ngày |
|
|
|
|
|
|
|
Tần số tích lũy |
|
|
|
|
|
|
Cỡ mẫu \(N = 20 \Rightarrow \frac{N}{2} = 10\)
=> Nhóm chứa trung vị là [9; 11) (vì 10 nằm giữa hai tần số tích lũy 9 và 16)
Do đó: \(l = 9;\frac{N}{2} = 10;m = 9;f = 7,c = 11 - 9 = 2\)
Khi đó trung vị là:
\({M_e} = l + \dfrac{{\left( {\dfrac{N}{2} - m} \right)}}{f}.c\)\(= 9 + \frac{{10 - 9}}{7}.2 = \frac{{65}}{7}\)
3. Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Cho mẫu số liệu ghép nhóm
|
Nhóm |
\(\left[ {{a_1};{a_2}} \right)\) |
… |
\(\left[ {{a_i};{a_{i + 1}}} \right)\) |
… |
\(\left[ {{a_k};{a_{k + 1}}} \right)\) |
|
Tần số |
\({m_1}\) |
… |
\({m_i}\) |
… |
\({m_k}\) |
Công thức tính tứ phân vị thứ nhất
Để tính tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa \({Q_1}\) giả sử nhóm đó là nhóm thứ \(p:\left[ {{a_p};{a_{p + 1}}} \right)\). Khi đó:
\({Q_1} = {a_p} + \dfrac{{\dfrac{n}{4} - \left( {{m_1} + ... + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}}.\left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)\)
Trong đó n là cỡ mẫu; \({m_p}\) là tần số nhóm p.
Với p = 1 ta quy ước \({m_1} + ... + {m_{p - 1}} = 0\).
Công thức tính tứ phân vị thứ ba
Để tính tứ phân vị thứ ba \(Q_3\) của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa \(Q_3\) giả sử nhóm đó là nhóm thứ \(p:\left[ {{a_p};{a_{p + 1}}} \right)\). Khi đó:
\({Q_3} = {a_p} + \dfrac{{\dfrac{{3n}}{4} - \left( {{m_1} + ... + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}}.\left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)\)
Trong đó n là cỡ mẫu; \({m_p}\) là tần số nhóm p.
Với ta quy ước \({m_1} + ... + {m_{p - 1}} = 0\).
Ví dụ: Chị A lập bảng doanh thu bán hải sản của cửa hàng trong 20 ngày (đơn vị: triệu đồng) như sau:
|
Doanh thu |
|
|
|
|
|
|
Số ngày |
|
|
|
|
|
Tính giá trị \({Q_1};{Q_3}\) của mẫu dữ liệu ghép nhóm trên?
Hướng dẫn giải
Ta có:
|
Doanh thu |
|
|
|
|
|
|
|
Số ngày |
|
|
|
|
|
|
|
Tần số tích lũy |
|
|
|
|
|
|
Cỡ mẫu \(N = 20 \Rightarrow \frac{N}{4} = 5\)
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [7; 9)
(Vì 5 nằm giữa hai tần số tích lũy 2 và 9)
Do đó: \(l = 7;m = 2,f = 7;c = 9 - 7 = 2\)
Khi đó tứ phân vị thứ nhất là:
\(\Rightarrow {Q_1} = l + \dfrac{{\dfrac{N}{4} - m}}{f}.c\)\(= 7 + \frac{{5 - 2}}{7}.2 = \frac{{55}}{7}\)
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [9; 11)
(Vì 15 nằm giữa hai tần số tích lũy 9 và 16)
Do đó: \(l = 9;m = 9,f = 7;c = 11 - 9 = 2\)
Khi đó tứ phân vị thứ ba là:
\(\Rightarrow {Q_3} = l + \frac{{\frac{{3N}}{4} - m}}{f}.c\)
\(= 9 + \frac{{15 - 9}}{7}.2 = \frac{{75}}{7} \approx 10,7\)
4. Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm
Cho mẫu số liệu ghép nhóm
|
Nhóm |
\(\left[ {{a_1};{a_2}} \right)\) |
… |
\(\left[ {{a_i};{a_{i + 1}}} \right)\) |
… |
\(\left[ {{a_k};{a_{k + 1}}} \right)\) |
|
Tần số |
\({m_1}\) |
… |
\({m_i}\) |
… |
\({m_k}\) |
Để tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Xác định nhóm có tần số lơn nhất (gọi là nhóm chứa mốt); giả sử là nhóm \(j:\left[ {{a_j};{a_{j + 1}}} \right)\)
Bước 2: Mốt được xác định là:
\({M_0} = {a_j} + \frac{{{m_j} - {m_{j - 1}}}}{{\left( {{m_j} - {m_{j - 1}}} \right) + \left( {{m_j} - {m_{j + 1}}} \right)}}.h\)
Trong đó là tần số của nhóm j (quy ước \({m_0} = {m_{k + 1}} = 0\)) và \(h\) là độ dài của nhóm.
Chú ý: Người ta chỉ định nghĩa mốt cho mẫu ghép nhóm có độ dài các nhóm bằng nhau. Một mẫu có thể không có mốt hoặc có nhiều hơn 1 mốt.
Khi tần số của các nhóm số liệu bằng nhau thì mẫu số liệu đó không có mốt.
Ví dụ: Chị A lập bảng doanh thu bán hải sản của cửa hàng trong 20 ngày (đơn vị: triệu đồng) như sau:
|
Doanh thu |
|
|
|
|
|
|
Số ngày |
|
|
|
|
|
Tìm mốt của mẫu dữ liệu ghép nhóm?
Hướng dẫn giải
Có hai nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên đó là [7; 9) và [9; 11) do đó:
Xét nhóm [7; 9) ta có:
\({M_0} = 7 + \frac{{7 - 2}}{{\left( {7 - 2} \right) + \left( {7 - 7} \right)}}.\left( {9 - 7} \right) = 9\)
Xét nhóm [9; 11) ta có:
\(M{'_0} = 9 + \frac{{7 - 7}}{{\left( {7 - 7} \right) + \left( {7 - 3} \right)}}.\left( {11 - 9} \right) = 9\)
Vậy mốt của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là 9.
