VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 3

Mô tả thêm:

Mời các bạn học cùng thử sức với Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức nha!

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Nhận biết
Bổ sung thêm giá trị của f(0)

Cho $f(x)=\frac{x^{2}+5x}{7x}$ với $xeq 0$ . Phải bổ sung thêm giá trị $f(0)$ bằng bao nhiêu thì hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ ?
- A.
  $\frac{5}{7}$
- B.
  $\frac{1}{7}$
- C.
  $0$
- D.
  $\frac{-5}{7}$
Ta có:
Với $xeq 0$ hàm số xác định => Hàm số liên tục khi x > 0 và x < 0
Với x = 0 ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2} + 5x}}{{7x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{x + 5}}{7} = \dfrac{5}{7} \hfill \\ \end{matrix}$
Để hàm số liên tục tại x = 0 thì
$\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) \Rightarrow f\left( 0 ight) = \frac{5}{7}$
Câu 2: Thông hiểu
Tìm y

Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là $x - 6;x$ và $y$ . Tìm $y$ biết rằng công bội của cấp số nhân là $6$ ?
- A.
  $y = 216$
- B.
  $y = \frac{324}{5}$
- C.
  $y = \frac{1296}{5}$
- D.
  $y = 12$
Ta có:

Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là $x - 6;x$ và $y$ có công bội $q = 6$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = x - 6;q = 6 \\x = u_{2} = u_{1}q = 6(x - 6) \\y = u_{3} = u_{2}q^{2} = 36x \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{36}{5} \\y = 36.\dfrac{36}{5} = \dfrac{1296}{5} \\\end{matrix} ight.$
Câu 3: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x - 2 & \ khi\ x < - 1 \\ \sqrt{x^{2} + 1} & \ khi\ x \geq - 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Khi đó:

a) Giới hạn $\lim_{x ightarrow - 2}f(x) = \sqrt{5}$ . Sai||Đúng

b) Giới hạn $\lim_{x ightarrow - 1^{-}}f(x) = - 3$ . Đúng||Sai

c) Giới hạn $\lim_{x ightarrow - 1^{+}}f(x) = \sqrt{2}$ . Đúng||Sai

d) Hàm số tồn tại giới hạn khi $x ightarrow - 1$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x - 2 & \ khi\ x < - 1 \\ \sqrt{x^{2} + 1} & \ khi\ x \geq - 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Khi đó:

a) Giới hạn $\lim_{x ightarrow - 2}f(x) = \sqrt{5}$ . Sai||Đúng

b) Giới hạn $\lim_{x ightarrow - 1^{-}}f(x) = - 3$ . Đúng||Sai

c) Giới hạn $\lim_{x ightarrow - 1^{+}}f(x) = \sqrt{2}$ . Đúng||Sai

d) Hàm số tồn tại giới hạn khi $x ightarrow - 1$ . Sai||Đúng

a) Ta có: Giới hạn $\lim_{x ightarrow - 2}f(x) = - 4$

b) Xét dãy số $\left( x_{n} ight)$ bất kì sao cho $x_{n} < - 1$ và $x_{n} ightarrow - 1$ , ta có: $f\left( x_{n} ight) = x_{n} - 2$ .

Khi đó: $\lim_{x ightarrow - 1^{-}}f(x) = \lim f\left( x_{n} ight) = - 1 - 2 = - 3$ .

c) Xét dãy số $\left( x_{n} ight)$ bất kì sao cho $x_{n} > - 1$ và $x_{n} ightarrow - 1$ , ta có: $f\left( x_{n} ight) = \sqrt{x_{n}^{2} + 1}$ .

Khi đó: $\lim_{x ightarrow - 1^{+}}f(x) = \lim f\left( x_{n} ight) = \sqrt{( - 1)^{2} + 1} = \sqrt{2}$ .

d) Vì $\lim_{x ightarrow - 1^{-}}f(x) eq \lim_{x ightarrow - 1^{+}}f(x)$ (hay $- 3 eq \sqrt{2}$ ) nên không tồn tại $\lim_{x ightarrow - 1}f(x)$ .

Kết luận:

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai
Câu 4: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Đổi số đo của góc $72^{0}$ sang radian được kết quả là:
- A.
  $\frac{3\pi}{5}$
- B.
  $\frac{2\pi}{5}$
- C.
  $\frac{2\pi}{3}$
- D.
  $\frac{4\pi}{5}$
Ta có: $1^{0} = \frac{\pi}{180}rad \Rightarrow 72^{0} = 72.\frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{5}rad$
Câu 5: Thông hiểu
Xác định các giao tuyến của tứ diện và mặt phẳng cho trước

Cho tứ diện $ABCD$ . Lấy $I\in AD,J \in BC$ sao cho $AI = 2DI;BJ= 2CJ$ . Giả sử $(\beta)$ là mặt phẳng qua $IJ$ song song với $AB$ . Xác định các giao tuyến của tứ diện $ABCD$ và mặt phẳng $(\beta)$ . Hình tạo bởi các giao tuyến đó là hình gì?
- A.
  Hình thang
- B.
  Hình bình hành
- C.
  Hình tam giác
- D.
  Hình chữ nhật
Giả sử $(\beta)$ cắt các mặt của tứ diện $(ABC)$ và $(ABD)$ theo hai giao tuyến $JH$ và $IK$ .
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}(\beta) \cap (ABC) = JH \\(\beta) \cap (ABD) = IK \\(ABC) \cap (ABD) = AB \\(\beta)//AB \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow JH//IK//AB$
Theo định lí Ta – lét ta có:
$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{HJ}{AB} = \dfrac{CJ}{CB} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow HJ =\dfrac{1}{3}AB \\\dfrac{IK}{AB} = \dfrac{DJ}{DA} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow KI =\dfrac{1}{3}AB \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow HJ = KI$
=> $HIKJ$ là hình bình hành
Do đó hình tạo bởi các giao tuyến của tứ diện $ABCD$ và mặt phẳng $(\beta)$ là hình bình hành $HIKJ$ .
Câu 6: Thông hiểu
Tìm điều kiện xác định của hàm số

Với điều kiện xác định của các giá trị lượng giác, cho $P = \dfrac{\sin2a + \sin5a - \sin3a}{1+ \cos a - 2\sin^{2}2a}$ . Đơn giản biểu thức P ta được:
- A.
  $P = 2\tan a$
- B.
  $P = 2\sin a$
- C.
  $P = 2\cot a$
- D.
  $P = 2\cos a$
Ta có:

$P = \dfrac{\sin2a + \sin5a - \sin3a}{1 +\cos a - 2\sin^{2}2a}$

$P = \frac{\sin2a + 2\cos4a.\sin a}{\cos4a +\cos a}$

$P = \frac{2\sin a\cos a +2\cos4a.\sin a}{\cos4a + \cos a}$

$P = \frac{2\sin a\left( \cos a + \cos4aight)}{\cos a + \cos4a}$

$P = 2\sin a$
Câu 7: Vận dụng
Tính b+d?

Biến đổi phương trình $\cos 3x - \sin x = \sqrt 3 \left( {\cos x - \sin 3x} ight)$ về dạng $\sin \left( {ax + b} ight) = \sin \left( {cx + d} ight)$ với b, d thuộc khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} ight)$ . Tính b+d?
- A. $b + d = \frac{\pi }{{12}}$
- B. $b + d = \frac{\pi }{{4}}$
- C. $b + d = -\frac{\pi }{{3}}$
- D. $b + d = \frac{\pi }{{2}}$
Phương trình $\Leftrightarrow \sqrt 3 \sin 3x + \cos 3x = \sin x + \sqrt 3 \cos x$
$\Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 3x + \frac{1}{2}\cos 3x = \frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x$
$\Leftrightarrow \sin \left( {3x + \frac{\pi }{6}} ight) = \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} ight)$
Suy ra $b + d = \frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2}$ .
Câu 8: Vận dụng cao
Tính giá trị biểu thức

Cho tứ diện $ABCD$ có $AC =6;BD = 3;BC = 9$ . Lấy một điểm $M$ bất kì trên cạnh $BC$ . Gọi mặt phẳng $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ song song với $AC$ và $BD$ . Biết các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm $M$ di chuyển đến vị trí $M'$ hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức $M'B.M'C$ .
- A.
  $16$
- B.
  $\frac{37}{5}$
- C.
  $\frac{85}{2}$
- D.
  $18$
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABC)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $AB$ tại $Q$ .
=> $MQ//AC$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABD)$ là đường thẳng qua $Q$ và song song với $BD$ , đường thẳng này cắt $AD$ tại $P$ .
=> $QP//BD$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ACD)$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $CD$ tại $N$ .
=> $NP//AC$
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành $MNPQ$ .
Do đó $\Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}$
Chứng minh tương tự ta được $\frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}$
Do đó: $\frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1$
Khi $M$ trùng với $M'$ ta có: $M'N = M'Q$
Suy ra $\frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2$
$\Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3$
Vậy $M'B.M'C = 18$
Câu 9: Thông hiểu

Xác định tính đúng sai của các phát biểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang $AD//BC;AD = 2BC$ . Gọi O là giao điểm của AC và BD, các điểm $E,F$ lần lượt là trung điểm các cạnh $SA,AD$ . Lấy điểm $K$ thuộc $SC$ sao cho $SK = 2CK$ . Hãy xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

a) $EF//(SCD)$ Đúng||Sai

b) $(BEF)//(SCD)$ Đúng||Sai

c) $\frac{CO}{CA} = \frac{2}{3}$ Sai||Đúng

d) $SA//(KBD)$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang $AD//BC;AD = 2BC$ . Gọi O là giao điểm của AC và BD, các điểm $E,F$ lần lượt là trung điểm các cạnh $SA,AD$ . Lấy điểm $K$ thuộc $SC$ sao cho $SK = 2CK$ . Hãy xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

a) $EF//(SCD)$ Đúng||Sai

b) $(BEF)//(SCD)$ Đúng||Sai

c) $\frac{CO}{CA} = \frac{2}{3}$ Sai||Đúng

d) $SA//(KBD)$ Đúng||Sai

Hình vẽ minh họa

Ta có EF là đường trung bình tam giác SAD nên EF // SD

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} EF//SD \\ SD \subset (SCD) \\ EF ⊄ (SCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow EF//(SCD)$

Xét tứ giác BFDC có: $\left\{ \begin{matrix} BC//DF \\ BC = DF = \frac{1}{2}AD \\ \end{matrix} ight.$ suy ra tứ giác BFDC là hình bình hành

=> BF // DC

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BF//CD \\ CD \subset (SCD) \\ BF ⊄ (SCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BF//(SCD)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} EF//(SCD) \\ BF//(SCD) \\ EF \cap BF \\ EF;BF \subset (BEF) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (BEF)//(SCD)$

Do AD // BC nên theo định lí Ta- let ta có: $\frac{OB}{OD} = \frac{OC}{OA} = \frac{BC}{AD} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow OA = 2OC \Rightarrow \frac{CO}{CA} = \frac{1}{3}$

Mặt khác $SK = 2CK \Rightarrow \frac{CK}{CS} = \frac{1}{3}$

Xét tam giác SAC có $\frac{CO}{CA} = \frac{CK}{CS} = \frac{1}{3} \Rightarrow OK//SA$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} OK//SA \\ OK \subset (KBD) \\ SA ⊄ (KBD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SA//(KBD)$
Câu 10: Thông hiểu
Xác định hình tạo bởi các giao tuyến

Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại A, $\widehat{B} = 60^{0},AB = SB = a$ . Gọi I là trung điểm của BC, SB ⊥ AI. Giả sử mặt phẳng $(P)$ là mặt phẳng đi qua M và song song với SB, AI. Xác định hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(P)$ với các mặt của hình chóp.
- A.
  Tam giác
- B.
  Tứ giác
- C.
  Ngũ giác
- D.
  Lục giác
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} (P) \cap (ABC) = M \\ (P)//AI \\ AI \subset (ABC) \\ \end{matrix} ight.$

Do đó giao tuyến của $(P)$ với (ABC) là đường thẳng đi qua M và song song với AI cắt BC tại N.

Tương tự $\left\{ \begin{matrix} (\alpha) \cap (SAB) = MQ//SB;(M \in SA) \\ (\alpha) \cap (SBC) = NP//SB;(P \in SC) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy giao tuyến của $(P)$ với hình chóp S.ABC là tứ giác $MNPQ$ .
Câu 11: Thông hiểu
Số hạng tổng quát

Cho dãy số (u_n) với $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 5 \\ u_{n + 1} = u_{n} + n \\ \end{matrix} ight.$ . Số hạng tổng quát u_n của dãy số là số hạng nào dưới đây?
- A.
  $u_{n} = \frac{(n - 1)n}{2}$
- B.
  $u_{n} = 5 + \frac{(n - 1)n}{2}$
- C.
  $u_{n} = 5 + \frac{(n + 1)n}{2}$
- D.
  $u_{n} = 5 + \frac{(n + 1)(n + 2)}{2}$
Ta có $u_{n} = 5 + 1 + 2 + 3 + \ldots + n - 1 = 5 + \frac{n(n - 1)}{2}$
Câu 12: Thông hiểu
Tính tứ phân vị thứ ba

Cho bảng dữ liệu như sau:
Đại diện X
[10; 15)
[15; 20)
[20; 25)
[25; 30)
[30; 35)
Tần số
8
12
14
10
6
Tính tứ phân vị thứ ba của mẫu dữ liệu đã cho?
- A.
  $27,05$
- B.
  $26,75$
- C.
  $27,8$
- D.
  $26,34$
Đại diện X
[10; 15)
[15; 20)
[20; 25)
[25; 30)
[30; 35)
Tần số
8
12
14
10
6
Tần số tích lũy
8
20
34
44
50
Ta có: $\frac{3.N}{4} = \frac{3.50}{4} =37,5$
=> Nhóm chứa $Q_{3}$ là [25; 30)
Khi đó ta tìm được các giá trị:
$\Rightarrow l = 25;m = 34,f = 10;c =5$
$\Rightarrow Q_{3} = l +\dfrac{\dfrac{3N}{4} - m}{f}.c$ $= 25 + \dfrac{37,5 - 34}{10}.5 =26,75$
Câu 13: Vận dụng cao
Tính giới hạn hàm số

Tính $\lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2018} + x^{2017} + .... + x - 2018}{x^{2018} + 1}$
- A.
  $2018$
- B.
  $\frac{2019}{2018}$
- C.
  $\frac{2019}{2}$
- D.
  $\frac{2018}{2019}$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}\dfrac{x^{2018} +x^{2017} + .... + x - 2018}{x^{2018} + 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\dfrac{(x -1)\left( x^{2017} + 2x^{2016} + 3.x^{2015} + .... + 2017x + 2018ight)}{(x - 1)\left( x^{2017} + x^{2016} + x^{2015} + .... + x + 1ight)}$

$= \dfrac{\dfrac{2018.2019}{2}}{2018} =\dfrac{2019}{2}$

Vậy $\lim_{x ightarrow 1}\dfrac{x^{2018}+ x^{2017} + .... + x - 2018}{x^{2018} + 1} =\frac{2019}{2}$
Câu 14: Nhận biết
Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Với $x \in \left( {0;\frac{\pi }{4}} ight)$ , mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A. Cả hai hàm số $y = - \sin 2x$ và $y = - 1 + \cos 2x$ đều nghịch biến.
- B. Cả hai hàm số $y = - \sin 2x$ và $y = - 1 + \cos 2x$ đều đồng biến.
- C. Hàm số $y = - \sin 2x$ nghịch biến, hàm số $y = - 1 + \cos 2x$ đồng biến.
- D. Hàm số $y = - \sin 2x$ đồng biến, hàm số $y = - 1 + \cos 2x$ nghịch biến.
Ta có $x \in \left( {0;\frac{\pi }{4}} ight) \to 2x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} ight)$ thuộc góc phần tư thứ I. Do đó
$y = \sin 2x$ đồng biến $\to y = - \sin 2x$ nghịch biến.
$y = \cos 2x$ nghịch biến $\to y = - 1 + \cos 2x$ nghịch biến.
Câu 15: Nhận biết
Tính giá trị?

Giá trị của $\lim\frac{1}{n + 1}$ bằng:
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  2
- D.
  3
Với a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn $n_{a} > \frac{1}{a} - 1$

Suy ra:

$\frac{1}{n + 1} < \frac{1}{n_{a} + 1} < a\ \forall n > n_{0}$

Vậy $\lim\frac{1}{n + 1}$ = 0.
Câu 16: Thông hiểu
Tìm giao điểm đường thẳng và mặt phẳng

Cho tứ giác $ABCD$ có $O$ là giao điểm của $AC;BD$ . Lấy một điểm $S$ bất kì không thuộc $(ABCD)$ , một điểm $M$ bất kì thuộc cạnh $SC$ $(M eqS,M eq C)$ . Gọi $K$ là giao điểm của $SO$ và $AM$ . Khi đó giao điểm của $SD$ và mặt phẳng $(ABM)$ là:
- A.
  Giao điểm của $SD;AB$
- B.
  Giao điểm của $SD;AM$
- C.
  Giao điểm của $SD;BK$
- D.
  Giao điểm của $SD;MK$
Hình vẽ minh họa
Chọn mặt phẳng phụ (SBD) chứa SD.
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBD) và ( ABM ).
Ta có B là điểm chung thứ nhất của (SBD) và ( ABM ).
Trong mặt phẳng ( ABCD) có $O = AC \capBD$
Trong mặt phẳng (SAC) có $K = AM \capSO$
Suy ra $BK = (SBD) \cap (ABM)$
Trong mặt phẳng (SBD) gọi $N = SD \capBK$ và do $BK \subset(ABM)$
$N = SD \cap (ABM)$
Câu 17: Nhận biết
Tính giới hạn của hàm số

Tính giới hạn $\lim_{x ightarrow 1}\frac{2x^{3} + 3x - 1}{x^{2} + 1}$ ta được kết quả bằng
- A.
  $1$ .
- B.
  $2$
- C.
  $3$ .
- D.
  $4$ .
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{2x^{3} + 3x - 1}{x^{2} + 1}$

$= \frac{2.1^{3} + 3.1 - 1}{1^{2} + 1} = \frac{4}{2} = 2$ .
Câu 18: Nhận biết
Tính công bội của cấp số nhân

Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ với $u_{1} = 3$ và $u_{2} = 12$ . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
- A.
  $4$ .
- B.
  $9$ .
- C.
  $\frac{1}{4}$ .
- D.
  $2$ .
Ta có $u_{2} = u_{1}.q \Rightarrow q = \frac{u_{2}}{u_{1}} = \frac{12}{3} = 4$ .
Câu 19: Vận dụng cao
Tính giá trị biểu thức Q

Số thập phân vô hạn tuần hoàn 5,231231… được biểu diễn bởi phân số tối giản $\frac{a}{b}$ . Tính tổng $Q = a - b$ .
- A.
  $Q = 1409$
- B.
  $Q = 1490$
- C.
  $Q = 1049$
- D.
  $Q = 1904$
Ta có:

$\begin{matrix} 5,231231... = 5 + 0,231 + 0,000231 + ... \hfill \\ = 5 + \dfrac{{231}}{{{{10}^3}}} + \dfrac{{231}}{{{{10}^6}}} + ... \hfill \\ \end{matrix}$

Dãy số $\frac{231}{10^{3}};\frac{231}{10^{6}};...$ là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là $u_{1} = \frac{231}{10^{3}}$ , công sai là $q = 10^{- 3}$

$\begin{matrix} \Rightarrow Q = 5 + \dfrac{{\dfrac{{231}}{{{{10}^3}}}}}{{1 - \dfrac{1}{{{{10}^{ - 3}}}}}} = 5 + \dfrac{{231}}{{999}} = \dfrac{{1742}}{{333}} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 1742} \\ {b = 333} \end{array}} ight. \Rightarrow Q = 1409 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 20: Vận dụng

Điền lời giải bài toán vào ô trống

Vào mùa thu hoạch dưa hấu, bác T bán cho những người vào vườn mua dưa như sau:

Người thứ nhất mua bác bán nửa số dưa thu hoạch được và tặng thêm 1 quả.

Người thứ hai mua bác bán nửa số dưa còn lại và tặng thêm 1 quả.

…

Bác cứ tiếp tục bán như trên, đến người mua thứ 15 thì bác bán hết.

Tính số dưa mà bác T thu hoạch được.

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Vào mùa thu hoạch dưa hấu, bác T bán cho những người vào vườn mua dưa như sau:

Người thứ nhất mua bác bán nửa số dưa thu hoạch được và tặng thêm 1 quả.

Người thứ hai mua bác bán nửa số dưa còn lại và tặng thêm 1 quả.

…

Bác cứ tiếp tục bán như trên, đến người mua thứ 15 thì bác bán hết.

Tính số dưa mà bác T thu hoạch được.

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 21: Vận dụng

Khảo sát tính đúng sai của các phát biểu

Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:

Cân nặng (kg)	Số học sinh
[45; 50)	5
[50; 55)	12
[55; 60)	10
[60; 65)	6
[65; 70)	5
[70; 75)	8

a) Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H bằng $59,46kg$ . Đúng||Sai

b) $60 \leq M_{e} < 65$ Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất và nhóm chưa tứ phân vị thứ ba lần lượt là: $\lbrack 50;55),\lbrack 65;70)$ Đúng||Sai

d) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gần nhất với 53 kg. Đúng||Sai

Đáp án là:

Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:

Cân nặng (kg)	Số học sinh
[45; 50)	5
[50; 55)	12
[55; 60)	10
[60; 65)	6
[65; 70)	5
[70; 75)	8

a) Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H bằng $59,46kg$ . Đúng||Sai

b) $60 \leq M_{e} < 65$ Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất và nhóm chưa tứ phân vị thứ ba lần lượt là: $\lbrack 50;55),\lbrack 65;70)$ Đúng||Sai

d) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gần nhất với 53 kg. Đúng||Sai

Ta có: $N = 46$

Cân nặng (kg)	Giá trị đại diện	Số học sinh
[45; 50)	47,5	5
[50; 55)	52,5	12
[55; 60)	57,5	10
[60; 65)	62,5	6
[65; 70)	67,5	5
[70; 75)	72,5	8

Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H là:

$\overline{x} = \frac{47,5.5 + 52,5.12 + 57,5.10 + 62,5.6 + 67,5.5 + 72,5.8}{46} \approx 59,46(kg)$

Nhóm chứa mốt là: [50; 55) suy ra $50 \leq M_{e} < 55$ .

Ta có:

$\frac{N}{4} = 11,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 55)

$\frac{3N}{4} = 34,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là: [65; 70)

Cân nặng (kg)	Số học sinh	Tần số tích lũy
[45; 50)	5	5
[50; 55)	12	17
[55; 60)	10	27
[60; 65)	6	33
[65; 70)	5	38
[70; 75)	8	46

$\frac{N}{4} = 11,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 55)

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}l = 50,\dfrac{N}{4} = 11,5,m = 5,f = 12 \\c = 55 - 50 = 5 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow Q_{1} = l +\dfrac{\dfrac{N}{4} - m}{f}.c$

$\Rightarrow Q_{1} = 50 + \frac{11,5 - 5}{12}.5 \approx 53$

Câu 22: Thông hiểu
Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là tứ giác lồi. Gọi $O = AC \cap BD;$ $M = AB \cap CD;$ $N = AD \cap BC$ . Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ ?
- A.
  $SA$
- B.
  $SN$
- C.
  $SM$
- D.
  $SO$
Hình vẽ minh họa

Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.
Câu 23: Vận dụng
Tìm hình chiếu của điểm N qua phép chiếu song song

Cho hình chóp $S.ABC$ có các mặt bên là tam giác đều. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ , lấy $N \in SA$ sao cho $NA = 2NS$ . Hình chiếu của điểm $N$ qua phép chiếu song song phương $SM$ , mặt phẳng chiếu $(ABC)$ là:
- A.
  Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $SAB$ .
- B.
  Tâm đường tròn nội tiếp tam giác $SBC$ .
- C.
  Trọng tâm tam giác $ABC$
- D.
  Trọng tâm tam giác $SBC$
Hình vẽ minh họa

Do các mặt bên của hình chóp $S.ABC$ là các tam giác đều nên tam giác $ABC$ đều.

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ .

Ta có $NA = 2NS \Rightarrow \frac{NS}{NA} = \frac{MG}{GA} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow NG//SM$

Nên $G$ là hình chiếu song song theo phương $SM$ của $N$ trên $(ABC)$ .

Lại do tam giác $ABC$ đều nên $G$ vừa là trọng tâm, vừa là tâm đường tròn ngoại tiếp, vừa là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$ .
Câu 24: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Phương trình $sinx = \frac{\sqrt{3}}{2}$ có hai họ nghiệm có dạng $x = \alpha + k\pi$ và $x = \beta + k\pi$ , $k \in \mathbb{Z}(0 < \alpha < \beta < \pi)$ . Khi đó, tính $\beta - \alpha$ ?
- A.
  $\frac{\pi}{3}$ .
- B.
  $\frac{- \pi}{3}$ .
- C.
  $\frac{2\pi}{3}$ .
- D.
  $\frac{- 2\pi}{3}$ .
Ta có $\ sinx = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\x = \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi \\\end{matrix}\ (k \in \mathbb{Z}) ight.$ .

$\Rightarrow \beta = \frac{2\pi}{3},\alpha = \frac{\pi}{3} \Rightarrow \beta - \alpha = \frac{\pi}{3}$ .
Câu 25: Thông hiểu

Kiểm tra tính đúng sai của các phát biểu

Điểm kiểm tra khảo sát môn Tiếng Anh của lớp 11A được ghi trong bảng số liệu ghép nhóm như sau:

Điểm

[0; 20)

[20; 40)

[40; 60)

[60; 80)

[80; 100)

Số học sinh

5

9

12

10

6

a) Điểm kiểm tra trung bình của học sinh lớp 11A khoảng 51 điểm. Đúng||Sai

b) Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu là $\lbrack 60;80)$ . Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: $\lbrack 20;40)$ . Đúng||Sai

d) Giá trị tứ phân vị thứ ba và mốt của mẫu dữ liệu lần lượt là $52;71$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Điểm kiểm tra khảo sát môn Tiếng Anh của lớp 11A được ghi trong bảng số liệu ghép nhóm như sau:

Điểm

[0; 20)

[20; 40)

[40; 60)

[60; 80)

[80; 100)

Số học sinh

5

9

12

10

6

a) Điểm kiểm tra trung bình của học sinh lớp 11A khoảng 51 điểm. Đúng||Sai

b) Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu là $\lbrack 60;80)$ . Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: $\lbrack 20;40)$ . Đúng||Sai

d) Giá trị tứ phân vị thứ ba và mốt của mẫu dữ liệu lần lượt là $52;71$ . Sai||Đúng

a) Điểm trung bình của lớp 11A là:

$\overline{x} = \frac{5.10 + 9.30 + 12.50 + 10.70 + 6.90}{42} \approx 51,43$

b) Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu là $\lbrack 40;60)$

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: $\lbrack 20;40)$

Ta có:

Điểm

[0; 20)

[20; 40)

[40; 60)

[60; 80)

[80; 100)

Số học sinh

5

9

12

10

6

N = 42

Tần số tích lũy

5

14

26

36

42

Cỡ mẫu $N = 42 \Rightarrow \frac{3N}{4} = 31,5$

=> Nhóm chứa $Q_{3}$ là [60; 80)

(Vì 31,5 nằm giữa hai tần số tích lũy 26 và 36)

Khi đó ta tìm được các giá trị:

$\Rightarrow l = 60;m = 26,f = 10;c = 80 - 60 = 20$

$\Rightarrow Q_{3} = l +\dfrac{\dfrac{3N}{4} - m}{f}.c = 60 + \frac{31,5 - 26}{10}.20 =71$

Mốt $M_{0}$ thuộc nhóm $\lbrack 40;60)$

Ta có:

Điểm

[0; 20)

[20; 40)

[40; 60)

[60; 80)

[80; 100)

Số học sinh

5

9

12

10

6

$f_{0}$ $f_{1}$ $f_{2}$

$\Rightarrow l = 40;f_{0} = 9;f_{1} = 12;f_{2} = 10;c = 60 - 40 = 20$

Khi đó mốt của dữ liệu được tính như sau:

$M_{0} = l + \frac{f_{1} - f_{0}}{\left( f_{1} - f_{0} ight) + \left( f_{1} - f_{2} ight)}.c$

$\Rightarrow M_{0} = 40 + \frac{12 - 9}{12 - 9 + 12 - 10}.20 = 52$
Câu 26: Vận dụng
Xác định phát biểu đúng

Cho hình chóp S.ABCD, các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các cạnh SA, SB, SC. Phát biểu nào sau đây là đúng?
- A.
  Thiết diện của (A’B’C’) với hình chóp S.ABCD là tam giác A’B’C’.
- B.
  Thiết diện của (A’B’C’) với hình chóp S.ABCD là tứ giác A’B’C’D’ với D’ là giao điểm của B’I với SD, trong đó I là giao điểm của A’C’ với SO, O là giao điểm của AC và BD.
- C.
  Thiết diện của (A’B’C’) với hình chóp S.ABCD là tứ giác SA’B’C’.
- D.
  Thiết diện của (A’B’C’) với hình chóp S.ABCD là tứ giác A’B’C’D.
Hình vẽ minh họa
Ta có: (SAB) ∩ (A’B’C’) = A’B’
(SBC) ∩ (A’B’C’) = B’C’
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Trong mặt phẳng (SAC) gọi I là giao điểm của A’C’ và SO
Trong mặt phẳng (SBD) gọi D’ là giao điểm của B’I và SD
Khi đó ta có: (SCD) ∩ (A’B’C’) = C’D’
(SAD) ∩ (A’B’C’) = A’D’
=> Thiết diện của mặt phẳng (A’B’C’) với hình chóp S.ABCD là tứ giác A’B’C’D’.
Câu 27: Nhận biết
Hình biểu diễn của một tam giác đều

Hình biểu diễn của một tam giác đều là hình nào sau đây?
- A.
  Tam giác đều
- B.
  Tam giác cân
- C.
  Tam giác vuông
- D.
  Tam giác
Hình biểu diễn của một tam giác đều là hình tam giác.
Câu 28: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian đi làm muộn tháng 10/2023 của các nhân viên trong công ty X như sau:
Thời gian (phút)
Số nhân viên
[0; 5)
25
[5; 10)
14
[10; 15)
21
[15; 20)
13
[20; 25)
8
[25; 30)
6
Mẫu số liệu được chia thành bao nhiêu nhóm?
- A.
  $8$
- B.
  $5$
- C.
  $7$
- D.
  $6$
Mẫu số liệu được chia thành 7 nhóm.
Câu 29: Thông hiểu
Xác định giới hạn dưới

Trong một mẫu dữ liệu ghép nhóm có nhóm (0; 10]; (10; 20]; … độ dài một nhóm là 10. Khi đó giới hạn dưới của mẫu thuộc vào nhóm thứ tư là:
- A.
  $40$
- B.
  $50$
- C.
  $20$
- D.
  $30$
Theo cách chia nhóm như đề bài đã cho ta có được các nhóm như sau:
(0; 10]; (10; 20]; (20; 30]; (30; 40]; …
Mẫu nhóm thứ tư là (30; 40]
=> Giới hạn dưới của nhóm thứ tư là 30.
Câu 30: Vận dụng cao
Tìm giá trị nguyên của hàm số

Hàm số $y = \sin\left( x + \frac{\pi}{3}ight) - \sin x$ có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?
- A.
  1
- B.
  2
- C.
  3
- D.
  4
Áp dụng công thức $\sin a - \sin b =2cos\frac{a + b}{2}\sin\frac{a - b}{2}$
Ta có
$\sin\left( x + \frac{\pi}{3} ight) -\sin x = 2cos\left( x + \frac{\pi}{6} ight)\sin\frac{\pi}{6} =\cos\left( x + \frac{\pi}{6} ight).$
Ta có $- 1 \leq \cos\left( x +\frac{\pi}{6} ight) \leq 1 ightarrow - 1 \leq y \leq1\overset{y\mathbb{\in Z}}{ightarrow}y \in \left\{ - 1;0;1ight\}.$
Câu 31: Nhận biết
Tìm nhóm chứa mốt của mẫu dữ liệu

Tìm nhóm chứa mốt của mẫu dữ liệu dưới đây:
Nhóm dữ liệu
Tần số
(0; 15]
4
(15; 30]
12
(30; 45]
17
(45; 60]
7
- A.
  (15; 30]
- B.
  (0; 15]
- C.
  (45; 60]
- D.
  (30; 45]
Nhóm chứa mốt là: (30; 45] vì có tần số cao nhất.
Câu 32: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Tại một xưởng sản xuất bột đá thạch anh, giá bán (tính theo nghìn đồng) của $x$ (kg) bột đá thạch anh được tính theo công thức sau: $P(x) = \left\{ \begin{matrix} 4,5x & \ khi\ 0 < x \leq 400 \\ 4x + k & \ khi\ x > 400 \\ \end{matrix}\ ight.$ ( $k$ là một hằng số). Với giá trị nào của $k$ thì hàm số $P(x)$ liên tục trên $(0; + \infty)$ ?

Đáp án: 200

Đáp án là:

Tại một xưởng sản xuất bột đá thạch anh, giá bán (tính theo nghìn đồng) của $x$ (kg) bột đá thạch anh được tính theo công thức sau: $P(x) = \left\{ \begin{matrix} 4,5x & \ khi\ 0 < x \leq 400 \\ 4x + k & \ khi\ x > 400 \\ \end{matrix}\ ight.$ ( $k$ là một hằng số). Với giá trị nào của $k$ thì hàm số $P(x)$ liên tục trên $(0; + \infty)$ ?

Đáp án: 200

Để hàm số $P(x)$ liên tục trên $(0; + \infty)$ thì hàm số phải liên tục tại $x_{0} = 400$ hay $\lim_{xightarrow 400} P(x)=P( 400 )$

Ta có:

$\lim_{x ightarrow 400^{-}}P(x) = \lim_{x ightarrow 400^{-}}4,5x = 4,5.400 = 1800$

$\lim_{x ightarrow 400^{+}}P(x) = \lim_{x ightarrow 400^{-}}(4x + k) = 4.400 + k = 1600 + k$

Để tồn tại $\lim_{xightarrow 400} P( x )$ thì $1800 = 1600 + k$ .

Suy ra $k = 200$
Câu 33: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai

Mệnh đề nào sau đây sai?
- A. $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi$
- B. $\sin 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{{k\pi }}{2}$
- C. $\sin x = 0 \Rightarrow x = k2\pi$
- D. $\sin x = - 1 \Rightarrow x = \frac{{ - \pi }}{2} + k2\pi$
Mệnh đề sai: $\sin x = 0 \Rightarrow x = k2\pi$
Sửa lại:
$\sin x = 0 \Rightarrow x = k\pi ;(k \in \mathbb{Z})$
Câu 34: Vận dụng cao
Thu gọn tổng S

Tổng S = sin(x) + sin(2x) + … + sin(nx) (với x ≠ kπ ) có công thức thu gọn là?
- A.
  $S = \frac{cos\frac{x}{2} - cos\frac{2n+ 1}{2}x}{2sin\frac{x}{2}}$
- B.
  $S = \frac{cos\frac{x}{2} - cos\frac{2n- 1}{2}x}{2sin\frac{x}{2}}$
- C.
  $S = \frac{cos\frac{x}{2} - cos\frac{2n+ 1}{2}x}{2cos\frac{x}{2}}$
- D.
  $S = \frac{cos\frac{x}{2} - cos\frac{2n- 1}{2}x}{2cos\frac{x}{2}}$
Ta có $2sin\frac{x}{2} \cdot S = 2sinx\cdot sin\frac{x}{2} + 2sin2x \cdot sin\frac{x}{2} + .. + 2sinnx \cdotsin\frac{x}{2}$
$= \cos\frac{x}{2} - \cos\frac{3x}{2} +\cos\frac{3x}{2} - \cos{x\frac{5x}{2}} + \ldots + \cos{x\frac{2n -1}{2}x} - \cos{\frac{2n + 1}{2}x}$
$= cos\frac{x}{2} - cos\frac{2n +1}{2}x$
Vậy $S = \frac{cos\frac{x}{2} - cos\frac{2n+ 1}{2}x}{2sin\frac{x}{2}}$
Câu 35: Nhận biết
Tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ với $u_{1} = 2;d = - 3$ . Tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy là:
- A.
  $S_{10} = 115$
- B.
  $S_{10} = - 155$
- C.
  $S_{10} = - 115$
- D.
  $S_{10} = 155$
Tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy là:

$S_{10} = \frac{10}{2}\left( 2u_{1} + 9d ight) = 5(4 - 27) = - 115$
Câu 36: Vận dụng
Xác định hàm số lượng giác

Cho hình vẽ:

Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
- A.
  $y = \sin\left( x - \frac{\pi}{4} ight)$
- B.
  $y = \cos\left( x - \frac{\pi}{4} ight)$
- C.
  $y = \sqrt{2}\sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight)$
- D.
  $y = \sqrt{2}\cos\left( x + \frac{\pi}{4} ight)$
Ta thấy hàm số có giá trị lớn nhất là $\sqrt{2}$ và giá trị nhỏ nhất là $- \sqrt{2}$ => loại hàm số $y = \sin\left( x - \frac{\pi}{4} ight)$ và $y = \cos\left( x - \frac{\pi}{4} ight)$

Tại $x = \frac{3\pi}{4} \Rightarrow y = - \sqrt{2}$ ta thấy chỉ có $y = \sqrt{2}\cos\left( x + \frac{\pi}{4} ight)$ thỏa mãn
Câu 37: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của mỗi kết luận

Biết giới hạn $\lim\frac{- 3n^{3} + 1}{2n + 5} = a$ và $\lim\frac{( - 1)^{n} \cdot 5^{n}}{2^{n} + 5^{2n}} = b$ . Khi đó:

a) $\lim\left( - 3n^{2} + \frac{1}{n} ight) = a$ Đúng||Sai

b) $x = b$ là hoành độ giao điểm của đường thẳng $y = 2x$ với trục hoành Đúng||Sai

c) $\lim\left( \frac{1}{2024} ight)^{n} = b$ Đúng||Sai

d) Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ với công sai $d = \frac{1}{2}$ và $u_{1} = b$ , thì $u_{3} = 2$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Biết giới hạn $\lim\frac{- 3n^{3} + 1}{2n + 5} = a$ và $\lim\frac{( - 1)^{n} \cdot 5^{n}}{2^{n} + 5^{2n}} = b$ . Khi đó:

a) $\lim\left( - 3n^{2} + \frac{1}{n} ight) = a$ Đúng||Sai

b) $x = b$ là hoành độ giao điểm của đường thẳng $y = 2x$ với trục hoành Đúng||Sai

c) $\lim\left( \frac{1}{2024} ight)^{n} = b$ Đúng||Sai

d) Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ với công sai $d = \frac{1}{2}$ và $u_{1} = b$ , thì $u_{3} = 2$ Sai||Đúng

Ta có:

$\lim\dfrac{- 3n^{3} + 1}{2n + 5} =\lim\dfrac{n\left( - 3n^{2} + \dfrac{1}{n} ight)}{n\left( 2 +\dfrac{5}{n} ight)}$

$= \lim\dfrac{- 3n^{2} + \dfrac{1}{n}}{2 +\dfrac{5}{n}} = - \infty$

Do $\left\{ \begin{matrix}\lim\left( - 3n^{2} + \dfrac{1}{n} ight) = - \infty \\\lim\left( 2 + \dfrac{5}{n} ight) = 2 \\\end{matrix} ight.$

$\lim\frac{( - 1)^{n} \cdot 5^{n}}{2^{n} + 5^{2n}} = \lim\frac{( - 1)^{n} \cdot 5^{n}}{2^{n} + 25^{n}}$

$= \lim \dfrac{{{{25}^n} \cdot {{\left( {\dfrac{{ - 1}}{5}} ight)}^n}}}{{{{25}^n}\left[ {{{\left( {\dfrac{2}{{25}}} ight)}^n} + 1} ight]}}$ $= \lim \dfrac{{{{\left( {\dfrac{{ - 1}}{5}} ight)}^n}}}{{{{\left( {\dfrac{2}{{25}}} ight)}^n} + 1}} = 0$

Kết luận:

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai
Câu 38: Thông hiểu
Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ với $\left\{ \begin{matrix} u_{2} + u_{3} - u_{6} = 7 \\ u_{4} + u_{8} = - 14 \\ \end{matrix} ight.$ . Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng này là:
- A.
  $u_{n} = 5 - 2n$
- B.
  $u_{n} = 2 + n$
- C.
  $u_{n} = 3n + 2$
- D.
  $u_{n} = - 3n + 1$
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} u_{2} + u_{3} - u_{6} = 7 \\ u_{4} + u_{8} = - 14 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left( u_{1} + d ight) + \left( u_{1} + 2d ight) - \left( u_{1} + 5d ight) = 7 \\ \left( u_{1} + 3d ight) + \left( u_{1} + 7d ight) = - 14 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} - 2d = 7 \\ 2u_{1} + 10d = - 14 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 3 \\ d = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow u_{n} = 3 + (n - 1)( - 2) = 5 - 2n$
Câu 39: Nhận biết
Chọn kết luận đúng

Trong không gian, cho ba đường thẳng $a,\ \ b,\ \ c$ . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
- A.
  Nếu $a$ và $b$ không cắt nhau thì $a$ và $b$ song song.
- B.
  Nếu $b$ và $c$ chéo nhau thì $b$ và $c$ không cùng thuộc một mặt phẳng.
- C.
  Nếu $a$ và $b$ cùng chéo nhau với $c$ thì $a$ song song với $b$ .
- D.
  Nếu $a$ và $b$ cắt nhau, $b$ và $c$ cắt nhau thì $a$ và $c$ cắt nhau.
Nếu $b$ và $c$ chéo nhau thì $b$ và $c$ không cùng thuộc một mặt phẳng.
Câu 40: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của SA, SD và AB. Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  (NOM) cắt (OPM).
- B.
  (MON) // (SBC).
- C.
  (PON) ∩ (MNP) = NP.
- D.
  (NMP) // (SBD).
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
$MN // AD$ (đường trung bình 4SAD)
$OP // AD$ (đường trung bình 4BAD)
$=> MN // OP$
=> O, N, M, P cùng nằm trong một mặt phẳng.
$\left\{ \begin{matrix}MN//AD//BC \subset (SBC) \\OM//SC \subset (SBC) \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow (OMN)//(SBC)$
Câu 41: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Góc $\frac{2\pi}{5}$ đổi sang độ bằng bao nhiêu?
- A.
  $72^{0}$ .
- B.
  $72$ .
- C.
  $144^{0}$ .
- D.
  $144$ .
Ta có: $\frac{2\pi}{5} = \frac{2\pi}{5}\left( \frac{180}{\pi} ight)^{0} = 72^{0}$ .
Câu 42: Thông hiểu
Tính giới hạn hàm số đã cho

Tính giới hạn của hàm số $f(x) = \frac{\sqrt{4x^{2} + 1}}{x + 1}$ khi $x \mapsto - \infty$ .
- A.
  $0$
- B.
  $1$
- C.
  $- 2$
- D.
  $4$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\sqrt{4x^{2} + 1}}{x + 1}$

$= \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{|x|\sqrt{4 + \dfrac{1}{x^{2}}}}{x + 1} = \lim_{x ightarrow- \infty}\dfrac{- x\sqrt{4 + \dfrac{1}{x^{2}}}}{x + 1}$

$= \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{-\sqrt{4 + \dfrac{1}{x^{2}}}}{1 + \dfrac{1}{x}} = \dfrac{- \sqrt{4}}{1} = -2$
Câu 43: Nhận biết
Tìm lỗi sai?

Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu u_n = 5.2^3n − 2 + 3^3n − 1

Một học sinh chứng minh u_n luôn chia hết cho 19 như sau:

Bước 1: Khi n = 1, ta có u₁ = 5.2¹ + 3² = 19 ⇒ u₁⋮19

Bước 2: Giả sử u_k = 5.2^3k − 2 + 3^3k + 1 chia hết cho 19 với k ≥ 1.

Khi đó ta có u_k + 1 = 5.2^3k + 1 + 3^3k + 2 = 8(5.2^3k − 2+3^3k − 1) + 19.3^3k − 1

Bước 3: Vì 5.2^3k − 2 + 3^3k − 1 và 19.3^3k − 1 chia hết cho 19 nên u_k + 1 chia hết cho 19, ∀n ∈ ℕ^*

Vậy u_n chia hết cho 19, ∀n ∈ ℕ^*

Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?
- A.
  Sai từ bước 1
- B.
  Sai từ bước 3
- C.
  Sai từ bước 2
- D.
  Lập luận hoàn toàn đúng
Lập luận hoàn toàn đúng!
Câu 44: Vận dụng
Chọn mệnh đề đúng

Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ với $u_{n} = \sqrt{2} + \left( \sqrt{2} ight)^{2} + ... + \left( \sqrt{2} ight)^{n}$ . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây?
- A.
  $\lim u_{n} = - \infty$
- B.
  $\lim u_{n} = \frac{\sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}}$
- C.
  $\lim u_{n} = + \infty$
- D.
  Không tồn tại giới hạn
Ta có:

$\sqrt{2};\left( \sqrt{2} ight)^{2};...;\left( \sqrt{2} ight)^{n}$ lập thành một cấp số nhân có nên

$u_{n} = \sqrt{2}.\frac{1 - \left( \sqrt{2} ight)^{n}}{1 - \sqrt{2}}$

$= \left( 2 - \sqrt{2} ight).\left\lbrack \left( \sqrt{2} ight)^{n} - 1 ightbrack$

$\Rightarrow \lim u_{n} = + \infty$ vì $\left\{ \begin{matrix} a = 2 - \sqrt{2} > 0 \\ q = \sqrt{2} > 1 \\ \end{matrix} ight.$
Câu 45: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho hai đường thẳng phân biệt $a$ và $b$ trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa $a$ và $b$ ?
- A.
  $4$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $1$ .
Hai đường thẳng trong không gian có 4 VTTĐ: trùng nhau, cắt nhau, song song, chéo nhau.

Vì hai đường thẳng phân biệt nên hai đường thẳng có 3 vị trí tương đối: cắt nhau, song song, chéo nhau.

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 3 Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Xem đáp án Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

28 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 3

Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 KNTT
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 8: Các quy tắc tính xác suất
Chương 9: Đạo hàm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 3

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 KNTT

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương 4: Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 8: Các quy tắc tính xác suất

Chương 9: Đạo hàm

Đại diện X	[10; 15)	[15; 20)	[20; 25)	[25; 30)	[30; 35)
Tần số	8	12	14	10	6

Điểm	[0; 20)	[20; 40)	[40; 60)	[60; 80)	[80; 100)
Số học sinh	5	9	12	10	6

Thời gian (phút)	Số nhân viên
[0; 5)	25
[5; 10)	14
[10; 15)	21
[15; 20)	13
[20; 25)	8
[25; 30)	6

Nhóm dữ liệu	Tần số
(0; 15]	4
(15; 30]	12
(30; 45]	17
(45; 60]	7