VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 3

Mô tả thêm:

Mời các bạn học cùng thử sức với Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức nha!

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Câu 1: Thông hiểu
Dãy số giảm?

Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm?
- A.
  $u_{n} = \frac{n - 3}{n + 1}$
- B.
  $u_{n} = \frac{n}{2}$
- C.
  $u_{n} = \frac{2}{n^{2}}$
- D.
  $u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{3^{n}}$
Xét đáp án $u_{n} = \frac{n - 3}{n + 1}$ :

Ta có $u_{n} = \frac{n - 3}{n + 1};u_{n + 1} = \frac{n - 2}{n + 2}$ . Khi đó:

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{n - 2}{n + 2} - \frac{n - 3}{n + 1} = \frac{4}{(n + 1)(n + 1)} > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*}$

Vậy (u_n) là dãy số tăng.

Xét đáp án $u_{n} = \frac{n}{2}$ :

Ta có $u_{n} = \frac{n}{2};u_{n + 1} = \frac{n + 1}{2}$ . Khi đó $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{n + 1}{2} - \frac{n}{2} = \frac{1}{2} > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*}$

Vậy (u_n) là dãy số tăng.

Xét đáp án $u_{n} = \frac{2}{n^{2}}$ :

Ta có $u_{n} = \frac{2}{n^{2}};u_{n + 1} = \frac{2}{(n + 1)^{2}} \Rightarrow \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{n^{2}}{(n + 1)^{2}} < \frac{n^{2}}{n^{2}} = 1,\forall n \in \mathbb{N}^{*}$

Vậy (u_n) là dãy số giảm.

Xét đáp án $u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{3^{n}}$ :

Ta có $u_{1} = \frac{- 1}{3};u_{2} = \frac{1}{9};u_{3} = \frac{- 1}{27}$

Vậy (u_n) là dãy số không tăng, không giảm.
Câu 2: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai

Cho lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có $G,G'$ lần lượt là trọng tâm tam giác $ABC$ và $A'B'C'$ , $M \in AC$ sao cho $\frac{AM}{MC} = 2$ . Mệnh đề nào sai?
- A.
  $GG'//(ACC'A')$
- B.
  $GG'//(ABB'A')$
- C.
  $GA//(BCC'B')$
- D.
  $(MGG')//(BCC'B')$
Hình vẽ minh họa

$GA//(BCC'B')$ sai vì $\left\{ \begin{matrix} GA \cap BC = N \\ BC \subset (BCC'B') \\ \end{matrix} ight.$
Câu 3: Nhận biết
Tìm đẳng thức đúng

Với $x$ là góc bất kì và các biểu thức có nghĩa. Đẳng thức nào dưới đây đúng?
- A.
  $sin2x = 2sinx\cos x$ .
- B.
  $sin2x = \sin x\cos x$ .
- C.
  $sin2x = 2cosx$ .
- D.
  $sin2x = 2sinx$ .
Đẳng thức đúng: $sin2x = 2sinx\cos x$ .
Câu 4: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Cho hàm số $f(x) = \frac{2x - 3}{x^{2} - 1}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Hàm số liên tục tại $x = 1$ .
- B.
  Hàm số không liên tục tại các điểm $x = \pm 1$ .
- C.
  Hàm số liên tục tại mọi $x\mathbb{\in R}$ .
- D.
  Hàm số liên tục tại $x = - 1$ .
Điều kiện xác định của hàm số $f(x) = \frac{2x - 3}{x^{2} - 1}$ là:

$x^{2} - 1 eq 0 \Rightarrow x eq \pm 1$

Suy ra tập xác định của hàm số là: $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \pm 1 ight\}$

Nên hàm số không liên tục tại các điểm $x eq \pm 1$ .
Câu 5: Nhận biết
Tìm nhóm chứa mốt của mẫu dữ liệu

Tìm nhóm chứa mốt của mẫu dữ liệu dưới đây:
Nhóm dữ liệu
Tần số
(0; 15]
4
(15; 30]
12
(30; 45]
17
(45; 60]
7
- A.
  (15; 30]
- B.
  (0; 15]
- C.
  (45; 60]
- D.
  (30; 45]
Nhóm chứa mốt là: (30; 45] vì có tần số cao nhất.
Câu 6: Nhận biết
Tìm giới hạn?

Giá trị của $\lim\frac{\sqrt{n + 1}}{n + 2}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  1
Với mọi số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn $n_{a} = \left\lbrack \frac{1}{a^{2}} - 1 ightbrack + 1$

Ta có:

$\frac{\sqrt{n + 1}}{n + 2} < \frac{1}{\sqrt{n + 1}} < a$ với mọi $n > n_{a}$

Suy ra $\lim\frac{\sqrt{n + 1}}{n + 2} = 0$
Câu 7: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng?

Với $x \in \left( \frac{31\pi}{4};\frac{33\pi}{4} ight)$ , mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Hàm số y = cotx nghịch biến
- B.
  Hàm số y = tanx nghịch biến
- C.
  Hàm số y = sinx đồng biến
- D.
  Hàm số y = cosx nghịch biến
Ta có: $x \in \left( \frac{31\pi}{4};\frac{33\pi}{4} ight) = \left( - \frac{\pi}{4} + 8\pi;\frac{\pi}{4} + 8\pi ight)$ thuộc góc phần tư thứ I và thứ II.
Câu 8: Vận dụng
Tính giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: lần lượt là:
- A. 3 và 1
- B. 3 và 2
- C. 9 và 1
- D. 3 và 0
Ta có:
$\begin{matrix} - 1 \leqslant \sin x \leqslant 1 \hfill \\ \Rightarrow - 4 \leqslant 4\sin x \leqslant 4 \hfill \\ \Rightarrow - 4 + 5 \leqslant 4\sin x + 5 \leqslant 4 + 5 \hfill \\ \Rightarrow 1 \leqslant 4\sin x + 5 \leqslant 9 \hfill \\ \Rightarrow 1 \leqslant \sqrt {4\sin x + 5} \leqslant 3 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 9: Nhận biết
Chọn kết luận đúng

Trong không gian, cho ba đường thẳng $a,\ \ b,\ \ c$ . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
- A.
  Nếu $a$ và $b$ không cắt nhau thì $a$ và $b$ song song.
- B.
  Nếu $b$ và $c$ chéo nhau thì $b$ và $c$ không cùng thuộc một mặt phẳng.
- C.
  Nếu $a$ và $b$ cùng chéo nhau với $c$ thì $a$ song song với $b$ .
- D.
  Nếu $a$ và $b$ cắt nhau, $b$ và $c$ cắt nhau thì $a$ và $c$ cắt nhau.
Nếu $b$ và $c$ chéo nhau thì $b$ và $c$ không cùng thuộc một mặt phẳng.
Câu 10: Thông hiểu
Xác định giá trị thực của tham số k

Cho hàm số $y =f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}\ khi\ x eq 1 \\k + 1\ \ \ \ \ \ khi\ x = 2 \\\end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = 1$ . Xác định giá trị thực của tham số k.
- A.
  $k = \frac{3}{2}$
- B.
  $k = 1$
- C.
  $k = - \frac{1}{2}$
- D.
  $k = 0$
Tập xác định $D = \lbrack 0; + \infty)$

Theo giả thiết ta có:

$k + 1 = f(1) = \lim_{x ightarrow 1}f(x)$

$\Rightarrow k + 1 = \lim_{x ightarrow 1}\left( \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} ight)$

$\Leftrightarrow k + 1 = \lim_{x ightarrow 1}\left( \frac{1}{\sqrt{x} + 1} ight)$

$\Leftrightarrow k + 1 = \frac{1}{2} \Leftrightarrow k = - \frac{1}{2}$
Câu 11: Thông hiểu

Xác định tính đúng sai của các phát biểu

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân. Đúng||Sai

b) Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ được xác định bởi công thức $u_{n} = \frac{5n + 2}{19n + 1}$ có số hạng thứ 3 là: $u_{3} = \frac{17}{58}$ . Đúng||Sai

c) Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ được xác định bởi công thức $u_{n} = 9 - 2n$ là dãy số giảm và bị chặn dưới. Sai||Đúng

d) Tổng $S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{3^{n}} + ... = \frac{1}{3}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân. Đúng||Sai

b) Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ được xác định bởi công thức $u_{n} = \frac{5n + 2}{19n + 1}$ có số hạng thứ 3 là: $u_{3} = \frac{17}{58}$ . Đúng||Sai

c) Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ được xác định bởi công thức $u_{n} = 9 - 2n$ là dãy số giảm và bị chặn dưới. Sai||Đúng

d) Tổng $S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{3^{n}} + ... = \frac{1}{3}$ . Đúng||Sai

Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân đúng vì dãy số đã cho là cấp số nhân với công bội q = 1.

Số hạng thứ ba của dãy số $\left( u_{n} ight)$ là: $u_{3} = \frac{5.3 + 2}{19.3 + 1} = \frac{17}{58}$ .

Xét $u_{n} = 9 - 2n$ ta có: $u_{n + 1} - u_{n} = - 2 < 0,\forall n\mathbb{\in N}$ suy ra $\left( u_{n} ight)$ là dãy số giảm

Lại có $n\mathbb{\in N \Rightarrow}n \geq 0 \Rightarrow u_{n} = 9 - 2n \leq 9$ suy ra $\left( u_{n} ight)$ là dãy số bị chặn trên.

Suy ra phát biểu “Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ được xác định bởi công thức $u_{n} = 9 - 2n$ là dãy số giảm và bị chặn dưới.” là phát biểu sai.

Ta có: $S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{3^{n}} + ...$ là tổng cấp số nhân lùi vô hạn $\left( u_{n} ight)$ với $u_{n} = \frac{1}{3^{n}}$ có số hạng đầu và công bội lần lượt là: $u_{1} = \frac{1}{3};q = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow S = \dfrac{u_{1}}{1 - q} =\dfrac{\dfrac{1}{3}}{1 - \dfrac{1}{3}} = \dfrac{1}{2}$
Câu 12: Vận dụng cao
Tính tổng S

Tính tổng $S = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} ight) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} ight) + ... + \left( \frac{1}{2^{n}} - \frac{1}{3^{n}} ight) + ...$ :
- A.
  $1$
- B.
  $\frac{2}{3}$
- C.
  $\frac{3}{4}$
- D.
  $\frac{1}{2}$
Ta có:

$S = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} ight) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} ight) + ... + \left( \frac{1}{2^{n}} - \frac{1}{3^{n}} ight) + ...$

$= \left( {\underbrace {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + ... + \dfrac{1}{{{2^n}}} + ...}_{CSN:{u_1} = q = \dfrac{1}{2}}} ight) - \left( {\underbrace {\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} + .... + \dfrac{1}{{{3^n}}}}_{CSN:{u_1} = q = \dfrac{1}{3}}} ight)$

$= \dfrac{\dfrac{1}{2}}{1 - \dfrac{1}{2}} -\dfrac{\dfrac{1}{3}}{1 - \dfrac{1}{3}} = 1 - \dfrac{1}{2} =\dfrac{1}{2}$
Câu 13: Thông hiểu
Xác định mệnh đề đúng

Biết $A,B,C$ là các góc của tam giác $ABC$ , mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $sin(A + C) = - sinB$ .
- B.
  $cos(A + C) = - cosB$ .
- C.
  $tan(A + C) = tanB$ .
- D.
  $cot(A + C) = cotB$ .
Vì $A,B,C$ là các góc của tam giác $ABC$ nên $A + B + C = \pi \Rightarrow A + C = \pi - B$ .

Khi đó $sin(A + C) = sin(\pi - B) = sinB;cos(A + C) = cos(\pi - B) = - cosB$ .

$tan(A + C) = tan(\pi - B) = - tanB;cot(A + C) = cot(\pi - B) = - cotB$ .
Câu 14: Thông hiểu
Tìm các đường thẳng chéo nhau với AB

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Số đường thẳng chứa cạnh của hình lập phương chéo nhau với đường thẳng $AB$ là:
- A.
  $3$
- B.
  $1$
- C.
  $2$
- D.
  $4$
Các đường thẳng chéo nhau với cạnh AB là $CC',DD',C'B',D'A'$ .
Câu 15: Thông hiểu
Tính giá trị trung bình của mẫu số liệu

Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Số tiền (nghìn đồng)
Số người
[0; 50)
5
[50; 100)
12
[100; 150)
23
[150; 200)
17
[200; 250)
3
Tính giá trị trung bình của mẫu số liệu đã cho?
- A.
  $\overline{x} =124,71$
- B.
  $\overline{x} =123,15$
- C.
  $\overline{x} = 125,83$
- D.
  $\overline{x} =124,03$
Ta có:
Số tiền (nghìn đồng)
Giá trị đại diện
Số người
[0; 50)
25
5
[50; 100)
75
12
[100; 150)
125
23
[150; 200)
175
17
[200; 250)
225
3

N = 60
Giá trị trung bình cần tìm là:
$\overline{x} = \frac{25.5 + 75.12 +125.23 + 175.17 + 225.3}{60} = 125,83$
Câu 16: Vận dụng
Tìm tích các tần số còn thiếu

Tìm tích các tần số còn thiếu trong bảng dữ liệu dưới đây biết số trung bình là 56.
Khoảng dữ liệu
Tần số
[0; 20)
16
[20; 40)
x
[40; 60)
25
[60; 80)
y
[80; 100)
12
[100; 120)
10
Tổng
N = 90
- A.
  $125$
- B.
  $131$
- C.
  $176$
- D.
  $165$
Ta có:
Dữ liệu đại diện
Tần số
Tích các số liệu
10
16
160
30
x
30x
50
25
1250
70
y
70y
90
12
1080
110
10
1100
Tổng
63 + x + y
3590 + 30x + 70y
Theo bài ra ta có số trung bình bằng 56 nghĩa là:
$\overline{x} = 56$
$\Leftrightarrow \frac{3590 + 30x +70y}{90} = 56$
$\Leftrightarrow \frac{3590 + 30x +70y}{90} = 56(*)$
Mặt khác $63 + x + y = 90 \Rightarrow x +y = 27(**)$
Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{matrix}x + y = 27 \\3x + 7y = 145 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 11 \\y = 16 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow x.y = 176$
Câu 17: Vận dụng

Điền nội dung lời giải vào chỗ trống

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác ABC thỏa mãn $AB = AC = 4;\widehat {BAC} = {30^0}$ . Mặt phẳng $\left( P ight)$ song song với $\left( {ABC} ight)$ cắt đoạn $SA$ tại $M$ sao cho $\frac{{SM}}{{SA}} = 2$ . Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng $\left( P ight)$ và hình chóp $S.ABC$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác ABC thỏa mãn $AB = AC = 4;\widehat {BAC} = {30^0}$ . Mặt phẳng $\left( P ight)$ song song với $\left( {ABC} ight)$ cắt đoạn $SA$ tại $M$ sao cho $\frac{{SM}}{{SA}} = 2$ . Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng $\left( P ight)$ và hình chóp $S.ABC$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 18: Thông hiểu

Kiểm tra tính đúng sai của các phát biểu

Điểm kiểm tra khảo sát môn Tiếng Anh của lớp 11A được ghi trong bảng số liệu ghép nhóm như sau:

Điểm

[0; 20)

[20; 40)

[40; 60)

[60; 80)

[80; 100)

Số học sinh

5

9

12

10

6

a) Điểm kiểm tra trung bình của học sinh lớp 11A khoảng 51 điểm. Đúng||Sai

b) Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu là $\lbrack 60;80)$ . Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: $\lbrack 20;40)$ . Đúng||Sai

d) Giá trị tứ phân vị thứ ba và mốt của mẫu dữ liệu lần lượt là $52;71$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Điểm kiểm tra khảo sát môn Tiếng Anh của lớp 11A được ghi trong bảng số liệu ghép nhóm như sau:

Điểm

[0; 20)

[20; 40)

[40; 60)

[60; 80)

[80; 100)

Số học sinh

5

9

12

10

6

a) Điểm kiểm tra trung bình của học sinh lớp 11A khoảng 51 điểm. Đúng||Sai

b) Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu là $\lbrack 60;80)$ . Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: $\lbrack 20;40)$ . Đúng||Sai

d) Giá trị tứ phân vị thứ ba và mốt của mẫu dữ liệu lần lượt là $52;71$ . Sai||Đúng

a) Điểm trung bình của lớp 11A là:

$\overline{x} = \frac{5.10 + 9.30 + 12.50 + 10.70 + 6.90}{42} \approx 51,43$

b) Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu là $\lbrack 40;60)$

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: $\lbrack 20;40)$

Ta có:

Điểm

[0; 20)

[20; 40)

[40; 60)

[60; 80)

[80; 100)

Số học sinh

5

9

12

10

6

N = 42

Tần số tích lũy

5

14

26

36

42

Cỡ mẫu $N = 42 \Rightarrow \frac{3N}{4} = 31,5$

=> Nhóm chứa $Q_{3}$ là [60; 80)

(Vì 31,5 nằm giữa hai tần số tích lũy 26 và 36)

Khi đó ta tìm được các giá trị:

$\Rightarrow l = 60;m = 26,f = 10;c = 80 - 60 = 20$

$\Rightarrow Q_{3} = l +\dfrac{\dfrac{3N}{4} - m}{f}.c = 60 + \frac{31,5 - 26}{10}.20 =71$

Mốt $M_{0}$ thuộc nhóm $\lbrack 40;60)$

Ta có:

Điểm

[0; 20)

[20; 40)

[40; 60)

[60; 80)

[80; 100)

Số học sinh

5

9

12

10

6

$f_{0}$ $f_{1}$ $f_{2}$

$\Rightarrow l = 40;f_{0} = 9;f_{1} = 12;f_{2} = 10;c = 60 - 40 = 20$

Khi đó mốt của dữ liệu được tính như sau:

$M_{0} = l + \frac{f_{1} - f_{0}}{\left( f_{1} - f_{0} ight) + \left( f_{1} - f_{2} ight)}.c$

$\Rightarrow M_{0} = 40 + \frac{12 - 9}{12 - 9 + 12 - 10}.20 = 52$
Câu 19: Vận dụng cao
Tính giá trị biểu thức

Cho tứ diện $ABCD$ có $AC =6;BD = 3;BC = 9$ . Lấy một điểm $M$ bất kì trên cạnh $BC$ . Gọi mặt phẳng $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ song song với $AC$ và $BD$ . Biết các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm $M$ di chuyển đến vị trí $M'$ hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức $M'B.M'C$ .
- A.
  $16$
- B.
  $\frac{37}{5}$
- C.
  $\frac{85}{2}$
- D.
  $18$
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABC)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $AB$ tại $Q$ .
=> $MQ//AC$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABD)$ là đường thẳng qua $Q$ và song song với $BD$ , đường thẳng này cắt $AD$ tại $P$ .
=> $QP//BD$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ACD)$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $CD$ tại $N$ .
=> $NP//AC$
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành $MNPQ$ .
Do đó $\Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}$
Chứng minh tương tự ta được $\frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}$
Do đó: $\frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1$
Khi $M$ trùng với $M'$ ta có: $M'N = M'Q$
Suy ra $\frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2$
$\Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3$
Vậy $M'B.M'C = 18$
Câu 20: Vận dụng
Tổng n số hạng đầu của CNS

Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân(u_n) có ${u_1} = - 3;q = - 2$
- A. ${S_{10}} = - 511$
- B. ${S_{10}} = - 1025$
- C. ${S_{10}} = 1025$
- D. ${S_{10}} = 1023$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = - 3} \\ {q = - 2} \end{array}} ight. \Rightarrow {S_{10}} = {u_1}.\frac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} = - 3.\frac{{1 - {{\left( { - 2} ight)}^{10}}}}{{1 + 2}} = 1023$
Câu 21: Vận dụng
Phát biểu nào sau đây là đúng

Cho hình chóp S.ABCD, M là điểm nằm trong tam giác SAD. Phát biểu nào sau đây là đúng?
- A.
  Giao điểm của (SMC) với BD là giao điểm của CN với BD, trong đó N là giao điểm của SM và AD.
- B.
  Giao điểm của (SAC) với BD là giao điểm của SA và BD.
- C.
  Giao điểm của (SAB) với CM là giao điểm của SA và CM.
- D.
  Đường thẳng DM không cắt mặt phẳng (SBC).
Đáp án "Giao điểm của (SMC) với BD là giao điểm của CN với BD, trong đó N là giao điểm của SM và AD." đúng.
Đáp án "Giao điểm của (SAC) với BD là giao điểm của SA và BD." sai vì giao điểm của BD và (SAC) là giao điểm của BD và AC.
Đáp án "Giao điểm của (SAB) với CM là giao điểm của SA và CM." sai vì CM không cắt SA.
Đáp án "Đường thẳng DM không cắt mặt phẳng (SBC)." sai vì DM cắt mặt phẳng (SBC) tại giao điểm của DM và giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
Câu 22: Vận dụng
Có tất cả bao nhiêu nghiệm?

Hỏi trên đoạn [-2023; 2023], phương trình $(\sin x+1)(\sin x-\sqrt2)=0$ có tất cả bao nhiêu nghiệm?
- A. 643
- B. 642
- C. 641
- D. 644
Ta xét phương trình $\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \sin x = - 1 \hfill \\ \sin x = \sqrt 2 \left( {{\text{VN}}} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Leftrightarrow \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} ight).$
Theo giả thiết $- 2023 \leqslant - \frac{\pi }{2} + k2\pi \leqslant 2023 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2023 + \dfrac{\pi }{2}}}{{2\pi }} \leqslant k \leqslant \dfrac{{2023 + \dfrac{\pi }{2}}}{{2\pi }}$
$\xrightarrow{{{\text{xấp xỉ}}}} - 321,720 \leqslant k \leqslant 322,220\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k \in \left\{ { - 321; - 320;...;321;322} ight\}$
Vậy có tất cả 644 giá trị nguyên của k tương úng có 644 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 23: Nhận biết
Tính tổng các giá trị của m

Biết ba số $m;2;m + 3$ lập thành một cấp số nhân. Tính tổng các giá trị của m thỏa mãn?
- A.
  $S = 3$
- B.
  $S = - 3$
- C.
  $S = 4$
- D.
  $S = - 4$
Để ba số $m;2;m + 3$ lập thành một cấp số nhân thì $m.(m + 3) = 2^{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = - 4 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tổng các giá trị của m là $S = - 3$
Câu 24: Vận dụng
Tìm các giá trị thực của m

Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m^2}{x^2}{\text{ khi }}x \leqslant 2} \\ {\left( {1 - m} ight)x{\text{ khi }}x > 2} \end{array}} ight.$ liên tục trên $\mathbb{R}$ ?
- A.
  $2$
- B.
  $3$
- C.
  $0$
- D.
  $4$
Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Hàm số liên tục trên mỗi khoảng $( - \infty;2);(2; + \infty)$

Khi đó hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $f(x)$ liên tục tại $x = 2$

Hay $\lim_{x ightarrow 2}f(x) = f(2)$

$\lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = f(2)\ \ (*)$

Ta lại có:

$f(2) = 4m^{2}$

$\lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{+}}\left\lbrack (1 - m)x ightbrack = 2(1 - m)$

$\lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( m^{2}x^{2} ight) = 4m^{2}$

Khi đó $(*) \Leftrightarrow 4m^{2} = 2(1 - m)$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}m = 1 \\m = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.$

Vậy có hai giá trị thực của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 25: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với $AB$ là đáy lớn. Biết $AB = 5a,\ CD = 2a$ . Gọi $E$ là điểm thuộc cạnh $SB$ thỏa mãn $\frac{ES}{EB} = \frac{m}{n}$ với $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Biết rằng $CE$ song song với mặt phẳng $(SAD)$ . Giá trị của $2m + 3n$ bằng

Đáp án: 13

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với $AB$ là đáy lớn. Biết $AB = 5a,\ CD = 2a$ . Gọi $E$ là điểm thuộc cạnh $SB$ thỏa mãn $\frac{ES}{EB} = \frac{m}{n}$ với $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Biết rằng $CE$ song song với mặt phẳng $(SAD)$ . Giá trị của $2m + 3n$ bằng

Đáp án: 13

Hình vẽ minh họa

Gọi $H$ là giao điểm của $AD$ và $BC$ trong mặt phẳng $(ABCD)$ .

Theo hệ quả Talet, ta có: $\frac{HC}{HB} = \frac{CD}{AB} = \frac{2}{5}$

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} CE \subset (SBH) \\ CE//(SAD) \\ (SBH) \cap (SAD) = SH \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow CE//SH$

$\Rightarrow \frac{SE}{SB} = \frac{HC}{HB} = \frac{2}{5} \Rightarrow SE = \frac{2}{5}SB$

$\Rightarrow \frac{ES}{EB} = \frac{2}{3} \Rightarrow 2m + 3n = 13$ .
Câu 26: Thông hiểu
Tính công sai

Cho một cấp số cộng (U_n) có ${u_1} = \frac{1}{3};{u_8} = 26$ . Công sai d của cấp số cộng là:
- A. $d = \frac{{11}}{3}$
- B. $d = \frac{{10}}{3}$
- C. $d = \frac{3}{{10}}$
- D. $d = \frac{3}{{11}}$
Ta có:
$\begin{matrix} {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d \hfill \\ \Rightarrow {u_8} = {u_1} + 7d \hfill \\ \Rightarrow 26 = \dfrac{1}{3} + 7.d \hfill \\ \Rightarrow d = \dfrac{{11}}{3} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 27: Thông hiểu
Tìm hình biểu diễn của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều

Cho tam giác $ABC$ là hình biểu diễn của một tam giác đều. Hình biểu diễn của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là:
- A.
  Giao điểm của hai đường trung tuyến của tam giác $ABC$ .
- B.
  Giao điểm của hai đường trung trực của tam giác $ABC$ .
- C.
  Giao điểm của hai đường cao của tam giác $ABC$ .
- D.
  Giao điểm của hai đường phân giác của tam giác $ABC$ .
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều đồng thời là trọng tâm tam giác đó.

Do tam giác ABC là hình biểu diễn của tam giác đều, kết hợp với tính chất bảo toàn thứ tự của ba điểm thẳng hàng và bảo toàn tỉ số hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc nằm trên cùng một đường thẳng ta được hình biểu diễn của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là trọng tâm của tam giác $ABC$ .
Câu 28: Thông hiểu
Tính thời gian lái xe trung bình

Thời gian lái xe của 25 nhân viên trong công ty được ghi lại trong bảng sau:
Thời gian (phút)
Số nhân viên
(0; 10]
3
(10; 20]
10
(20; 30]
6
(30; 40]
4
(40; 50]
2
Tính thời gian lái xe trung bình của các nhân viên đó.
- A.
  $24,1$
- B.
  $23,5$
- C.
  $22,7$
- D.
  $21,8$
Ta có:
Thời gian đại diện (phút)
Số nhân viên
Tích các giá trị
5
3
15
15
10
150
25
6
150
35
4
140
45
2
90
Tổng
N = 25
545
Thời gian lái xe trung bình là:
$\overline{x} = \frac{545}{25} =21,8$ (phút)
Câu 29: Thông hiểu
Đây là nghiệm của PT?

Cho $x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$ là nghiệm của phương trình nào sau đây?
- A. $2\cos x - \sqrt 3 = 0$
- B. $\cos 2x = -1$
- C. $2\sin x - \sqrt 3 = 0$
- D. $2\cos x + \sqrt 3 = 0$
Giải PT, ta có: $2 \sin x - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sin \frac{\pi }{3}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ x = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
Câu 30: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?
- A.
  $AC$
- B.
  $DC$
- C.
  $AD$
- D.
  $BD$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} S \in (SAD) \cap (SBC) \\ AD//BC \\ AD \subset (SAD) \\ BC \subset (SBC) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (SAD) \cap (SBC) = d$ , d đi qua S và $d // AD // BC$ .
Câu 31: Nhận biết

Điền kết quả vào ô trống

Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Số tiền (nghìn đồng)
Số người
[0; 50)
5
[50; 100)
12
[100; 150)
23
[150; 200)
17
[200; 250)
3
Số cư dân phải thanh toán cước phí không quá 150 nghìn đồng trong tháng là: 40 cư dân

Đáp án là:

Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Số tiền (nghìn đồng)
Số người
[0; 50)
5
[50; 100)
12
[100; 150)
23
[150; 200)
17
[200; 250)
3
Số cư dân phải thanh toán cước phí không quá 150 nghìn đồng trong tháng là: 40 cư dân

Số cư dân phải thanh toán cước phí không quá 150 nghìn đồng mỗi tháng là:
5 + 12 + 23 = 40 (cư dân)
Câu 32: Thông hiểu
Tìm giao tuyến hai mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Giao tuyến của mặt phẳng $(SAB)$ và mặt phẳng $(SCD)$ là đường thẳng
- A.
  đi qua S và song song với các đường thẳng AD và BC.
- B.
  đi qua S và song song với các đường thẳng AB và BD.
- C.
  đi qua S và song song với các đường thẳng AD và AB.
- D.
  đi qua S và song song với các đường thẳng CD và AB.
Hình vẽ minh họa:

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AB//DC \\ AB \subset (SAB) \\ DC \subset (SCD) \\ S \in (SAB) \cap (SCD) \\ \end{matrix} ight.$ suy ra giao tuyến của mặt phẳng $(SAB)$ và mặt phẳng $(SCD)$ là đường thẳng đi qua điểm S và song song với AB và DC.
Câu 33: Nhận biết
Tìm mệnh đề đúng

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A.
  Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau.
- B.
  Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
- C.
  Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.
- D.
  Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
Mệnh đề: “Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau” sai vì có thể cắt nhau.

Mệnh đề: “Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung” đúng.

Mệnh đề: “Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau” sai vì có thể trùng nhau.

Mệnh đề: “Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau” sai vì có thể song song.
Câu 34: Nhận biết
Khẳng định đúng?

Gọi S là tập nghiệm của phương trình $2\cos x - \sqrt 3 = 0$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A. $\frac{{5\pi }}{6} \in S$
- B. $\frac{{11\pi }}{6} \in S$
- C. $\frac{{13\pi }}{6} \in S$
- D. $-\frac{{13\pi }}{6} \in S$
Ta có $2\cos x - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{\pi }{6}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ x = - \,\frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
Nhận thấy với nghiệm $x = - \,\frac{\pi }{6} + k2\pi \xrightarrow{{k = 1}}x = \frac{{11\pi }}{6} \in S$ .
Câu 35: Vận dụng cao
Chọn mệnh đề đúng?

Hàm số $y = sin^{4}x - cos^{4}x$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = x_{0}$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A.
  $x_{0} = k2\pi,\ \ k\mathbb{\inZ}.$
- B.
  $x_{0} = k\pi,\ \ k\mathbb{\inZ}.$
- C.
  $x_{0} = \pi + k2\pi,\ \ k\mathbb{\inZ}.$
- D.
  $x_{0} = \frac{\pi}{2} + k\pi,\ \k\mathbb{\in Z}.$
Ta có $y = sin^{4}x - cos^{4}x$
$= \left(sin^{2}x + cos^{2}x ight)\left( sin^{2}x - cos^{2}x ight) = -cos2x.$
Mà $- 1 \leq cos2x \leq 1 \Rightarrow - 1\geq - cos2x \geq 1$
$\Rightarrow - 1 \geq y \geq 1$
Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là $-1$ .
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow cos2x =1 \Leftrightarrow 2x = k2\pi \Leftrightarrow x = k\pi\ \left(k\mathbb{\in Z} ight).$
Câu 36: Thông hiểu

Xác định sự đúng sai của các kết luận

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Có hai trong ba hàm số $y = \sin;y =\cos\sqrt{x};y = \tan x$ liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng

b) $\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x - 1 ight) = - 1$ Đúng||Sai

c) Phương trình $2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = 0$ có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng $(0;2)$ .Đúng||Sai

d) Biết hàm số $f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \dfrac{{{x^2} + 1}}{{1 - x}}{\text{ khi x < 1}} \hfill \\ \sqrt {2x - 2} {\text{ khi x}} \geqslant {\text{1}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$ . Khi đó $\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = - \infty$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Có hai trong ba hàm số $y = \sin;y =\cos\sqrt{x};y = \tan x$ liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng

b) $\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x - 1 ight) = - 1$ Đúng||Sai

c) Phương trình $2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = 0$ có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng $(0;2)$ .Đúng||Sai

d) Biết hàm số $f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \dfrac{{{x^2} + 1}}{{1 - x}}{\text{ khi x < 1}} \hfill \\ \sqrt {2x - 2} {\text{ khi x}} \geqslant {\text{1}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$ . Khi đó $\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = - \infty$ . Sai||Đúng

a) Ta có hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của nó.

Hàm số $y = \sin$ xác định trên tập số thực suy ra hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$

Hàm số $y = \cos\sqrt{x}$ xác định trên $D = \lbrack 0; + \infty)$

Hàm số $y = \tan x$ xác định trên $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$

Vậy chỉ có suy nhất một hàm số liên tục trên tập số thực.

b) Ta có:

$\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x - 1 ight) = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x ight) - \lim_{x ightarrow - \infty}1$

$= \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} - x} ight) - 1 = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{\frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{1}{x}} - 1} ight) - 1 = - 1$

c) Xét hàm số $2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} f( - 2) = 11;f( - 1) = - 3 \\ f(0) = 1;f(1) = - 1;f(2) = 15 \\ \end{matrix} ight.$

Vì $\left\{ \begin{matrix} f(0).f( - 1) < 0 \\ f(1).f(2) < 0 \\ \end{matrix} ight.$ nên phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng $(0;2)$ .

d) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( x^{2} + 1 ight) = 2 > 0 \\ \lim_{x ightarrow 1^{-}}(1 - x) = 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Khi $x ightarrow 1^{-} \Leftrightarrow x < 1 \Leftrightarrow 1 - x > 0$

$\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{x^{2} + 1}{1 - x} = + \infty$ .
Câu 37: Thông hiểu

Xác định sự đúng sai của các kết luận

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Phương trình $\cos^{2}x - \sqrt{x} =0$ vô nghiệm. Sai||Đúng

b) Hàm số $y = \frac{1}{x^{4} - 3x^{2} + 2}$ có 4 điểm gián đoạn. Đúng||Sai

c) $\lim_{x ightarrow 0}\dfrac{1 -\cos2x}{2\sin\dfrac{3x}{2}} = 0$ Đúng||Sai

d) Để hàm số $f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{x^{2} + 4x}{2x}\ \ \ khi\ x eq 0 \\f(0)\ \ \ \ \ \ \ khi\ x = \ 0 \\\end{matrix} ight.$ liên tục trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ thì $f(0)$ nhận giá trị bằng 2. Đúng||Sai

Đáp án là:

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Phương trình $\cos^{2}x - \sqrt{x} =0$ vô nghiệm. Sai||Đúng

b) Hàm số $y = \frac{1}{x^{4} - 3x^{2} + 2}$ có 4 điểm gián đoạn. Đúng||Sai

c) $\lim_{x ightarrow 0}\dfrac{1 -\cos2x}{2\sin\dfrac{3x}{2}} = 0$ Đúng||Sai

d) Để hàm số $f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{x^{2} + 4x}{2x}\ \ \ khi\ x eq 0 \\f(0)\ \ \ \ \ \ \ khi\ x = \ 0 \\\end{matrix} ight.$ liên tục trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ thì $f(0)$ nhận giá trị bằng 2. Đúng||Sai

a) Xét hàm số $\cos^{2}x - \sqrt{x} =f(x)$ có tập xác định $D = \lbrack 0; + \infty)$

Hàm số liên tục trên $\left\lbrack 0;\frac{\pi}{2} ightbrack$ ta có: $f(0) = 1;f\left( \frac{\pi}{2} ight) = - \sqrt{\frac{\pi}{2}}$

Vì $f(0).f\left( \frac{\pi}{2} ight) < 0$ nên phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm trên $\left( 0;\frac{\pi}{2} ight)$ .

b) Ta có:

$x^{4} - 3x^{2} + 2 = 0 \Leftrightarrow \left( x^{2} - 1 ight)\left( x^{2} - 2 ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 1 = 0 \\ x^{2} - 2 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} = 1 \\ x^{2} = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \pm 1 \\ x = \pm 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hàm số đã cho có 4 điểm gián đoạn.

c) Ta có:

$\lim_{x ightarrow 0}\dfrac{1 -\cos2x}{2\sin\dfrac{3x}{2}} = \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack x.\left(\dfrac{\sin x}{x} ight)^{2}.\dfrac{3}{2}.\left(\dfrac{\sin\dfrac{3x}{2}}{\dfrac{3x}{2}} ight) ightbrack =0$

d) Ta có: $D = \mathbb{R}$

với $x eq 0$ thì $f(x) = \frac{x^{2} + 4x}{2x}$ là hàm phân thức hữu tỉ xác định với mọi $x eq 0$ . Do đó hàm số liên tục trên các khoảng $( - \infty;0),(0; + \infty)$

Tại $x = 0$ ta có: $\lim_{x ightarrow 0}f(x) = \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{x^{2} + 4x}{2x} ight) = \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{x + 4}{2} ight) = 2$

Để hàm số liên tục trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ thì hàm số phải liên tục tại x = 0 khi đó:

$\lim_{x ightarrow 0}f(x) = f(0) = 2$ .

Vậy để hàm số $f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{x^{2} + 4x}{2x}\ \ \ khi\ x eq 0 \\f(0)\ \ \ \ \ \ \ khi\ x = \ 0 \\\end{matrix} ight.$ liên tục trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ thì $f(0)$ nhận giá trị là $2$ .
Câu 38: Nhận biết
Tính giới hạn B

Tính giới hạn $B = \lim_{x ightarrow ( - 2)^{-}}\left( \frac{3 + 2x}{x + 2} ight)$ .
- A.
  $- \infty$
- B.
  $2$
- C.
  $+ \infty$
- D.
  $\frac{3}{2}$
Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ - }} \left( {3 + 2x} ight) = - 1 < 0$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ - }} \left( {x + 2} ight) = 0} \\ {x \mapsto {{\left( { - 2} ight)}^ - } \Rightarrow x + 2 < 0} \end{array}} ight.$

$\Rightarrow B = \lim_{x ightarrow ( - 2)^{-}}\left( \frac{3 + 2x}{x + 2} ight) = + \infty$
Câu 39: Vận dụng cao
Tính giới hạn hàm số tại một điểm

Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \dfrac{{\sqrt[3]{{4x - 1}} - \sqrt {x + 2} }}{{\sqrt[4]{{2x + 2}} - 2}}$
- A. $+ \infty$
- B. $- \infty$
- C. $\dfrac{{ - 8}}{{27}}$
- D. 1
Ta có:
$\begin{matrix} f\left( x ight) = \sqrt[3]{{4x - 1}} - 3 \hfill \\ = \dfrac{{4x - 28}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{4x - 1}}} ight)}^2} + 3\sqrt[3]{{4x - 1}} + 9}} \hfill \\ \end{matrix}$
$= \frac{{4\left( {x - 7} ight)}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{4x - 1}}} ight)}^2} + 3\sqrt[3]{{4x - 1}} + 9}}$
$g\left( x ight) = \sqrt {x + 2} - 3 = \frac{{x + 2 - 9}}{{\sqrt {x + 2} + 3}} = \frac{{x - 7}}{{\sqrt {x + 2} + 3}}$
$\begin{matrix} h\left( x ight) = \dfrac{1}{{\sqrt[4]{{2x + 2}} - 2}} \hfill \\ = \dfrac{{\sqrt[4]{{2x + 2}} + 2}}{{\left( {\sqrt[4]{{2x + 2}} - 2} ight)\left( {\sqrt[4]{{2x + 2}} + 2} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}$
$= \frac{{\sqrt[4]{{2x + 2}} + 2}}{{\sqrt {2x + 2} - 4}} = \frac{{\left( {\sqrt[4]{{2x + 2}} + 2} ight)\left( {\sqrt {2x + 2} + 4} ight)}}{{\left( {\sqrt {2x + 2} - 4} ight)\left( {\sqrt {2x + 2} + 4} ight)}}$
$\begin{matrix} = \dfrac{{\left( {\sqrt[4]{{2x + 2}} + 2} ight)\left( {\sqrt {2x + 2} + 4} ight)}}{{2x - 14}} \hfill \\ = \dfrac{{\left( {\sqrt[4]{{2x + 2}} + 2} ight)\left( {\sqrt {2x + 2} + 4} ight)}}{{2\left( {x - 7} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}$
$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \left\{ {\left[ {f\left( x ight) - g\left( x ight)} ight].h\left( x ight)} ight\}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \{ \left[ {\frac{4}{{{{\left( {\sqrt[3]{{4x - 1}}} ight)}^2} + 3\sqrt[3]{{4x - 1}} + 9}} - \frac{1}{{\sqrt {x + 2} + 3}}} ight]$
$.\frac{{\left( {\sqrt[4]{{2x + 2}} + 2} ight)\left( {\sqrt {2x + 2} + 4} ight)}}{x}\}$
$= \left( {\frac{4}{{27}} - \frac{1}{6}} ight).\frac{{32}}{2} = - \frac{8}{{27}}$
Vậy $\mathop {\lim Ư}\limits_{x \to 7} \dfrac{{\sqrt[3]{{4x - 1}} - \sqrt {x + 2} }}{{\sqrt[4]{{2x + 2}} - 2}}=\dfrac{-8}{27}$
Câu 40: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai

Với $\pi < x< \frac{3\pi}{2}$ mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  $\cot a > 0$
- B.
  $\cos a < 0$
- C.
  $\tan a > 0$
- D.
  $\sin a > 0$
Ta có: $\pi < x <\frac{3\pi}{2}$
=> $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin < 0} \\ {\tan a > 0} \\ {\cos a < 0} \\ {\cot a > 0} \end{array}} ight.$
Câu 41: Vận dụng
Tính giới hạn của dãy số

Tính giới hạn của hàm số $\lim\left( \frac{1}{n^{2}} + \frac{2}{n^{2}} + ... + \frac{n - 1}{n^{2}} ight)$ .
- A.
  $0$
- B.
  $\frac{1}{3}$
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  $1$
Ta có:

$\frac{1}{n^{2}} + \frac{2}{n^{2}} + ... + \frac{n - 1}{n^{2}}$

$= \frac{1}{n^{2}}(1 + 2 + .. + n - 1)$

$= \frac{1}{n^{2}}.\frac{(n - 1)(1 + n - 1)}{2}$

$= \frac{n^{2} - n}{2n^{2}}$

$\Rightarrow \lim\left( \frac{1}{n^{2}} + \frac{2}{n^{2}} + ... + \frac{n - 1}{n^{2}} ight) = \lim\frac{n^{2} - n}{2n} = \frac{1}{2}$
Câu 42: Vận dụng cao
Chọn khẳng định đúng

Cho $xeq 0$ và $x+\frac{1}{x}$ là một số nguyên. Khi đó với mọi số nguyên dương $n$ , có kết luận gì về $T(n,x)=x^{n}+\frac{1}{x^{n}}$ ?
- A.
  $T(n,x)$ là số vô tỉ
- B.
  $T(n,x)$ là số không nguyên
- C.
  $T(n,x)$ là số nguyên
- D.
  Các kết luận trên đều sai
Ta có:
$T\left( {1;x} ight) = x + \frac{1}{x}$ là một số nguyên
$T\left( {2;x} ight) = {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {\left( {x + \frac{1}{x}} ight)^2} - 2$ cũng là một số nguyên
Ta sẽ chứng minh $T(n,x)=x^{n}+\frac{1}{x^{n}}$ là một số nguyên.
Ta có:
$T\left( {1;x} ight)$ là một số nguyên
Giả sử $T(n,x)$ là số nguyên với $n \ge1$ . Ta sẽ chứng minh $T\left( {n + 1;x} ight)$ cũng là số nguyên.
Ta có:
$\begin{matrix} T\left( {n + 1;x} ight) = {x^{n + 1}} + \dfrac{1}{{{x^{n + 1}}}} \hfill \\ = \left( {x + \dfrac{1}{x}} ight).\left( {{x^n} + \dfrac{1}{{{x^n}}}} ight) - \left( {{x^{n - 1}} + \dfrac{1}{{{x^{n - 1}}}}} ight) \hfill \\ = T\left( {1;x} ight).T\left( {n;x} ight) - T\left( {n - 1;x} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Theo giả thiết quy nạp ta có:
$\left\{ \begin{gathered} T\left( {1;x} ight) \in \mathbb{Z} \hfill \\ T\left( {n;x} ight) \in \mathbb{Z} \hfill \\ T\left( {n - 1;x} ight) \in \mathbb{Z} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow T\left( {n + 1;x} ight) \in \mathbb{Z}$
Vậy $T(n,x)=x^{n}+\frac{1}{x^{n}}$ là một số nguyên.
Câu 43: Nhận biết
Số hạng thứ 2020?

Cho dãy số (u_n) xác định bởi $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = cos\alpha(0 < \alpha < \pi) \\ u_{n + 1} = \sqrt{\frac{1 + u_{n}}{2}},\forall n \geq 1 \\ \end{matrix} ight.$ .

Số hạng thứ 2020 của dãy số đã cho là?
- A.
  $u_{2020} = cos\left( \frac{\alpha}{2^{2020}} ight)$
- B.
  $u_{2020} = cos\left( \frac{\alpha}{2^{2019}} ight)$
- C.
  $u_{2020} = sin\left( \frac{\alpha}{2^{2021}} ight)$
- D.
  $u_{2020} = sin\left( \frac{\alpha}{2^{2020}} ight)$
Do 0 < α < π nên
$u_{2} = \sqrt{\frac{1 + cos\alpha}{2}} =\sqrt{\cos^{2}\frac{\alpha}{2}} = cos\frac{\alpha}{2};$

$u_{3} =\sqrt{\frac{1 + cos\frac{\alpha}{2}}{2}} =\sqrt{\cos^{2}\frac{\alpha}{2}} = cos\frac{\alpha}{4}$

Vậy $u = cos\left( \frac{\alpha}{2^{n - 1}} ight)$ với mọi n ∈ ℕ^*. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp.

Với n = 1 thì u₁ = cosα (đúng).

Giả sử với n = k ∈ ℕ^* ta có $u_{k} = cos\left( \frac{\alpha}{2^{k - 1}} ight)$ .

Ta chứng minh $u_{k + 1} = cos\left( \frac{\alpha}{2^{k - 1}} ight)$

Thật vậy,

$u_{k + 1} = \sqrt{\frac{1 +u_{k}}{2}} = \sqrt{\frac{1 + cos\left( \frac{\alpha}{2^{k - 1}}ight)}{2}}$

$= \sqrt{\cos^{2}\left( \frac{\alpha}{2^{k}} ight)} =cos\left( \frac{\alpha}{2^{k}} ight)$

Từ đó ta có $u_{2020} = cos\left( \frac{\alpha}{2^{2019}} ight)$
Câu 44: Nhận biết
Tìm số hạng thứ 11 của cấp số cộng

Tìm số hạng thứ 11 của cấp số cộng có số hạng đầu bằng 3 và công sai d = −2?
- A.
  $- 21$
- B.
  $23$
- C.
  $- 17$
- D.
  $- 19$
Ta có: $u_{11} = u_{1} + 10d = - 17$
Câu 45: Thông hiểu
Chọn phát biểu đúng

Cho hình chóp S. ABCD, đáy là hình bình hành ABCD, điểm N thuộc cạnh SC sao cho 2NC = NS, M là trọng tâm của tam giác CBD. Phát biểu nào sau đây là đúng?
- A.
  MN song song với SA
- B.
  MN và SA cắt nhau
- C.
  MN và SA chéo nhau
- D.
  MN và SA không đồng phẳng.
Hình vẽ minh họa
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD
Ta có: $2NC = SN \Rightarrow \frac{{NC}}{{SC}} = \frac{1}{3}$
M là trọng tâm tam giác BCD => $\frac{{MC}}{{OC}} = \frac{2}{3}$
ABCD là hình bình hành => $AO = OC$
=> $\frac{{MC}}{{AC}} = \frac{{MC}}{{2OC}} = \frac{2}{{2.3}} = \frac{1}{3}$
Xét tam giác SAC có:
$\frac{{MC}}{{AC}} = \frac{{NC}}{{SC}} = \frac{1}{3}$
Theo định lí Ta - lét suy ra $MN // SA$

Thời gian (phút)	Số nhân viên
(0; 10]	3
(10; 20]	10
(20; 30]	6
(30; 40]	4
(40; 50]	2

Thời gian đại diện (phút)	Số nhân viên	Tích các giá trị
5	3	15
15	10	150
25	6	150
35	4	140
45	2	90
Tổng	N = 25	545

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45

Chưa làm Đã làm

Tìm bài trong mục này

Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Xem thêm

Nhóm dữ liệu	Tần số
(0; 15]	4
(15; 30]	12
(30; 45]	17
(45; 60]	7

Số tiền (nghìn đồng)	Số người
[0; 50)	5
[50; 100)	12
[100; 150)	23
[150; 200)	17
[200; 250)	3

Số tiền (nghìn đồng)	Giá trị đại diện	Số người
[0; 50)	25	5
[50; 100)	75	12
[100; 150)	125	23
[150; 200)	175	17
[200; 250)	225	3
		N = 60

Khoảng dữ liệu	Tần số
[0; 20)	16
[20; 40)	x
[40; 60)	25
[60; 80)	y
[80; 100)	12
[100; 120)	10
Tổng	N = 90

Dữ liệu đại diện	Tần số	Tích các số liệu
10	16	160
30	x	30x
50	25	1250
70	y	70y
90	12	1080
110	10	1100
Tổng	63 + x + y	3590 + 30x + 70y

Điểm	[0; 20)	[20; 40)	[40; 60)	[60; 80)	[80; 100)
Số học sinh	5	9	12	10	6

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 3

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 6

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 KNTT tháng 4

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 4

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 7

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 5

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 KNTT tháng 4 - Đề 2