Thể tích Kết nối tri thức
Bộ tài liệu Lí thuyết Toán 11 Kết nối tri thức: Thể tích bao gồm các công thức tính thể tích khối chóp, khối chóp cụt, khối lăng trụ và khối hộp. Ngoài ra có các bài tập ứng dụng có hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 11 KNTT giúp các em dễ dàng ôn tập củng cố.
1. Định nghĩa các hình khối
- Phần không gian được giới hạn bởi hình chóp, hình chóp cụt đều, hình lăng trụ, hình hộp tương ứng được gọi là khối chóp, khối chóp cụt đều, khối lăng trụ, khối hộp.
- Đỉnh, mặt, cạnh, đường cao của các khối hình đó lần lượt là đỉnh, mặt, cạnh, đường cao của hình chóp, hình chóp cụt đều, hình lăng trụ, hình hộp tương ứng.
2. Công thức tính thể tích khối chóp, khối chóp cụt đều
Thể tích của khối chóp bằng một phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao.
Khối chóp: 
\(V = \frac{1}{3}.S.h\)
Trong đó S là diện tích đáy, h là chiều cao.
Khối chóp cụt đều: \(V = \frac{1}{3}.h.\left( {S + S' + \sqrt {S.S'} } \right)\)
Trong đó S là diện tích đáy lớn, S’ là diện tích đáy nhỏ, h là chiều cao
Ví dụ: Một hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc giữa \(SA\) và mặt phẳng\(\left( {SBC} \right)\) bằng \({45^0}\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\) đã cho.
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của BC thì \(\left\{ \begin{gathered}
AM \bot BC \hfill \\
SA \bot BC \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right)\)
Từ đây dễ thấy góc cần tìm là \(\alpha = \widehat {ASM} = {45^0}\)
Do đó tam giác SAM vuông cân tại A và \(SA = AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
\(\Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}}}{8}\)
Ví dụ: Cho khối chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\); đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật \(AB = a;AD = a\sqrt 3\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\), biết mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng \(60^0\).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Ta có: \({S_{ABCD}} = {a^2}\sqrt 3\)
Vì \(\left\{ \begin{gathered}
\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC \hfill \\
BC \bot SB \subset \left( {SBC} \right) \hfill \\
BC \bot AB \subset \left( {ABCD} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
\(\Rightarrow \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SB;AB} \right) = \widehat {SBA}\)
Vậy \(\widehat {SBA} = {60^0}\)
Xét tam giác vuông SAB có
\(\tan {60^0} = \frac{{SA}}{{AB}} \Rightarrow SA = AB.\tan {60^0} = a\sqrt 3\)
Vậy \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{1}{3}.{a^2}\sqrt 3 .a\sqrt 3 = {a^3}\)
Ví dụ: Cho hình chóp cụt tam giác đều \(ABC.A’B’C’\) có đường cao \(HH’ = 2a\). Biết \(AB=2a, A’B’=a\). Tính thể tích hình chóp cụt \(ABC.A’B’C’\).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Áp dụng công thức \(V = \frac{1}{3}.h.\left( {S + S' + \sqrt {S.S'} } \right)\)
Với \(\left\{ \begin{gathered}
S = {a^2}.\sqrt 3 \hfill \\
S' = \frac{{{a^2}.\sqrt 3 }}{4} \hfill \\
h = 2a \hfill \\
\end{gathered} \right.\), khi đó:
\(V = \frac{1}{3}.2a.\left( {{a^2}\sqrt 3 + \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} + \sqrt {{a^2}\sqrt 3 .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}} } \right)\)
\(= \frac{{7{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)
Một số công thức tính thể tích hình trụ đặc biệt
3. Công thức tính thể tích khối lăng trụ
Thể tích khối lăng trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.
\(V = S.h\)
Trong đó S là diện tích đáy, h là chiều cao
Hình vẽ minh họa
Ví dụ: Cho khối hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy là hình vuông, đường chéo \(BD = 2a\). Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \({30^0}\). Khi đó thể tích hình hộp chữ nhật bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Gọi góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\alpha\) và \(O = AC \cap BD\)
Ta có: \(\left\{ \begin{gathered}
AO \bot BD \hfill \\
AA' \bot BD \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow A'O \bot BD\)
\(\Rightarrow \alpha = \left( {AO;A'O} \right) = \widehat {AOA'} = {30^0}\)
Ta có ABCD là hình vuông, BD = 2a nên \(AB = AD = a\sqrt 2\)
Ta có: \(AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD = a\)
Xét tam giác AOA’ có \(AA' = AO.\tan {30^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
\(\Rightarrow {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = AA'.{S_{ABCD}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.2{a^2} = \frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
Ví dụ: Khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại A. Biết \(AB = 2a\) và góc giữa đường thẳng \(BC'\) và mặt phẳng \(\left( {ACC'A'} \right)\) bằng \({30^0}\). Tính thể tích khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Ta có: \(\left\{ \begin{gathered}
AB \bot AC \hfill \\
AB \bot AA\prime \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {ACC'A'} \right)\)
Suy ra \(\left( {BC';\left( {ACC'A'} \right)} \right) = \left( {BC';AC'} \right) = \widehat {AC'B} = {30^0}\)
Ta có: \(AC' = \frac{{AB}}{{\tan {{30}^0}}} = 2\sqrt 3 a\)
\(\Rightarrow AA' = \sqrt {12{a^2} - 4{a^2}} = 2\sqrt 2 a\)
Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = 2\sqrt 2 a.\frac{1}{2}.2a.2a = 4\sqrt 2 {a^3}\)
