VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 6 Kết nối tri thức

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 KNTT Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài Rủ bạn học

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức M

Biết khi rút gọn biểu thức $\frac{6 + 3\left( 3^{x} + 3^{- x} ight)}{2 - 3^{x + 1} - 3^{1 - x}}$ thu được phân số $\frac{a}{b}$ tối giản và $9^{x} + 9^{- x} = 14$ . Tính giá trị biểu thức $M = a.b$ .
- A.
  $M = 10$
- B.
  $M = - 10$
- C.
  $M = - 45$
- D.
  $M = 45$
Ta có:

$9^{x} + 9^{- x} = 14 \Leftrightarrow \left( 3^{x} + 3^{- x} ight)^{2} = 16$

$\Leftrightarrow 3^{x} + 3^{- x} = 4$

Ta lại có:

$\frac{6 + 3\left( 3^{x} + 3^{- x} ight)}{2 - 3^{x + 1} - 3^{1 - x}} = \frac{6 + 3.4}{2 - 3.4} = \frac{18}{- 10} = \frac{9}{- 5}$

$\Rightarrow M = a.b = - 45$
Câu 2: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức theo a và b

Cho $a =\log_{7}12;b = \log_{12}14$ . Tính $\log_{54}168$ theo $a$ và $b$ .
- A.
  $\log_{54}168 = \frac{ab - a}{a - 3ab +2}$
- B.
  $\log_{54}168 = \frac{ab + 2a}{2a - ab- 1}$
- C.
  $\log_{54}168 = \frac{ab - a}{3a - 5ab+ 5}$
- D.
  $\log_{54}168 = \frac{ab + a}{3a - 5ab+ 5}$
Ta có: $a = \log_{7}12 \Leftrightarrow a =\log_{7}3 + 2\log_{7}2$
Mặt khác $ab = \log_{7}12.\log_{12}14 =\log_{7}14 = \log_{7}2 + 1$
$\Rightarrow \log_{7}2 = ab -1$
Thay vào trên ta được
$\log_{7}3 = a - 2\log_{7}2 = a - 2(ab - 1)= a - 2ab + 2$
Từ đó ta biến đổi biểu thức về cơ số 7 ta được:
$\log_{54}168 =\frac{\log_{7}168}{\log_{7}54} = \frac{3\log_{7}2 + \log_{7}3 + 1}{3\log_{7}3+ \log_{7}2}$
$= \frac{3ab - 3 + a - 2ab + 2 + 1}{3a -6ab + 6 + ab - 1} = \frac{ab + a}{3a - 5ab + 5}$
Câu 3: Vận dụng
Tìm mệnh đề đúng

Cho hàm số $y = x^{\alpha};y = x^{\beta};y = x^{\gamma}$ trên $(0; + \infty)$ trên cùng một hệ trục tọa độ như hình vẽ. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
- A.
  $\gamma < \beta < \alpha < 0$
- B.
  $0 < \gamma < \beta < \alpha < 1$
- C.
  $0 < \alpha < \beta < \gamma < 1$
- D.
  $1 < \gamma < \beta < \alpha$
Ta có:

$\alpha < x < 1$ thì $x^{\alpha} < x^{\beta} < x^{\gamma} < x^{2}$

$\Rightarrow \alpha > \beta > \gamma > 1$

Với $x > 1$ thì $a^{1} < x^{\gamma} < x^{\beta} < x^{\alpha}$

$\Rightarrow 1 < \gamma < \beta < \alpha$
Câu 4: Vận dụng

Điền lời giải bài toán vào chỗ trống

Chị Minh đến ngân hàng để gửi tiết kiệm 400 triệu đồng theo hai loại kỳ hạn khác nhau. Với loại kỳ hạn 3 tháng lãi suất x% một quý chị gửi 250 triệu đồng, số tiền còn lại chị gửi theo kỳ hạn 1 tháng lãi suất 0,25% một tháng. Sau một năm số tiền cả gốc và lãi chị Minh nhận được là 416,78 triệu đồng. Biết rằng nếu không rút lãi suất thì số lãi sẽ được nhập vào số gốc để tính lãi cho kỳ hạn tiếp theo. Tìm giá trị của x.

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Chị Minh đến ngân hàng để gửi tiết kiệm 400 triệu đồng theo hai loại kỳ hạn khác nhau. Với loại kỳ hạn 3 tháng lãi suất x% một quý chị gửi 250 triệu đồng, số tiền còn lại chị gửi theo kỳ hạn 1 tháng lãi suất 0,25% một tháng. Sau một năm số tiền cả gốc và lãi chị Minh nhận được là 416,78 triệu đồng. Biết rằng nếu không rút lãi suất thì số lãi sẽ được nhập vào số gốc để tính lãi cho kỳ hạn tiếp theo. Tìm giá trị của x.

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 5: Thông hiểu
Rút gọn biểu thức G

Với điều kiện $a \in \mathbb{R}^{+}$ , đơn giản biểu thức $G = \frac{a^{\frac{4}{3}}.\left( a^{- \frac{1}{3}} + a^{\frac{2}{3}} ight)}{a^{\frac{1}{4}}.\left( a^{\frac{3}{4}} + a^{- \frac{1}{4}} ight)}$ thu được kết quả là:
- A.
  $G = a(a + 1)$
- B.
  $G = a - 1$
- C.
  $G = a$
- D.
  $G = a + 1$
Ta có:

$G = \frac{a^{\frac{4}{3}}.\left( a^{- \frac{1}{3}} + a^{\frac{2}{3}} ight)}{a^{\frac{1}{4}}.\left( a^{\frac{3}{4}} + a^{- \frac{1}{4}} ight)} = \frac{a^{\frac{4}{3}}.a^{- \frac{1}{3}} + a^{\frac{4}{3}}.a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{4}}.a^{\frac{3}{4}} + a^{\frac{1}{4}}.a^{- \frac{1}{4}}}$

$= \frac{a + a^{2}}{a + 1} = \frac{a(a + 1)}{a - 1} = a$
Câu 6: Thông hiểu

Phân tích sự đúng sai của mỗi phát biểu

Xét tính đúng, sai của các phát biểu sau?

a) Hàm số $y = \left( \sqrt{5} - 2 ight)^{x}$ luôn nghịch biến trên tập số thực. Đúng||Sai

b) Tập xác định của hàm số $y = \ln(x - 2) + \sqrt{9 - x}$ là $D = (2;9)$ Sai||Đúng

c) Ta có: $a = 3^{\sqrt{5}};b = 3^{2};c = 3^{\sqrt{6}}$ suy ra $a < c < b$ Sai||Đúng

d) Với $\forall m \geq 0$ thì hàm số $y = log_{2020}(mx - m + 2)$ xác định trên $\lbrack 1; + \infty)$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Xét tính đúng, sai của các phát biểu sau?

a) Hàm số $y = \left( \sqrt{5} - 2 ight)^{x}$ luôn nghịch biến trên tập số thực. Đúng||Sai

b) Tập xác định của hàm số $y = \ln(x - 2) + \sqrt{9 - x}$ là $D = (2;9)$ Sai||Đúng

c) Ta có: $a = 3^{\sqrt{5}};b = 3^{2};c = 3^{\sqrt{6}}$ suy ra $a < c < b$ Sai||Đúng

d) Với $\forall m \geq 0$ thì hàm số $y = log_{2020}(mx - m + 2)$ xác định trên $\lbrack 1; + \infty)$ . Đúng||Sai

a) Vì $0 < \sqrt{5} - 2 < 1$ nên hàm số $y = \left( \sqrt{5} - 2 ight)^{x}$ luôn nghịch biến trên tập số thực đúng.

b) Điều kiện xác định của hàm số:

$\left\{ \begin{matrix} x - 2 > 0 \\ 9 - x \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow x \in (2;9brack$

Vậy tập xác định của hàm số là $D = (2;9brack$

c) Ta có: $2 < \sqrt{5} < \sqrt{6}$ nên $3^{2} < 3^{\sqrt{5}} < 3^{\sqrt{6}}$ hay $b < a < c$

d) Điều kiện xác định:

$mx - m + 2 > 0 \Leftrightarrow mx > m - 2\ \ (*)$

TH1: $m = 0 \Rightarrow (*)0 > - 1(tm)$

TH2: $m > 0 \Rightarrow (*) \Leftrightarrow x > \frac{m - 2}{m}$

Suy ra tập xác định của hàm số $D = \left( \frac{m - 2}{2}; + \infty ight)$

Khi đó yêu cầu bài toán trở thành $\frac{m - 2}{2} < 1 \Leftrightarrow m - 2 < m \Leftrightarrow - 2 < 0(tm)$

Th3: $m < 0 \Rightarrow (*) \Leftrightarrow x < \frac{m - 2}{m}$

Suy ra tập xác định của hàm số $D = \left( - \infty;\frac{m - 2}{2} ight)$

Do đó không tồn tại giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 7: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Với a là số thực dương tùy ý, $a^{\frac{5}{3}}$ tương ứng với:
- A.
  $\sqrt[5]{a^{3}}$
- B.
  $\sqrt[3]{a^{5}}$
- C.
  $a^{8}$
- D.
  $a^{2}$
Với $a > 0$ ta có: $a^{\frac{5}{3}} = \sqrt[3]{a^{5}}$
Câu 8: Thông hiểu
Tìm các giá trị thực của m

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $f(x) = \left( 1 + \ln might)^{x}$ đồng biến trên tập số thực.
- A.
  $\frac{1}{e} < m < 1$
- B.
  $m> 1$
- C.
  $m > 0$
- D.
  $m > e$
Ta có hàm số $f(x) = \left( 1 + \ln m ight)^{x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$

Khi và chỉ khi $1 + \ln m > 1\Leftrightarrow m > 1$
Câu 9: Nhận biết
Tìm tập xác định của hàm số

Cho hàm số $y = \ln(x - 2) + \sqrt{9 - x}$ . Tìm tập xác định của hàm số?
- A.
  $D = (9; + \infty)$
- B.
  $D = \lbrack 2;9brack$
- C.
  $D = (2;9brack$
- D.
  $D = (2;9)$
Điều kiện xác định của hàm số $y = \ln(x - 2) + \sqrt{9 - x}$ là:

$\left\{ \begin{matrix} x - 2 > 0 \\ 9 - x \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x \in (2;9brack$

Vậy tập xác định của hàm số là: $D = (2;9brack$
Câu 10: Vận dụng
Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

Cho phương trình $(m + 3)9^{x} + (2m - 1)3^{x} + m + 1 = 0$ . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
- A.
  $m \in ( - 3; - 1)$
- B.
  $m \in \left( - 3; - \frac{3}{4} ight)$
- C.
  $m \in \left( - 1; - \frac{3}{4} ight)$
- D.
  $m \in \lbrack 3; + \infty)$
Đặt $t = 3^{x}$ ta có phương trình $(m + 3)t^{2} + (2m - 1)t + m + 1 = 0(*)$

Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu (giả sử $x_{1} < 0 < x_{2}$ )

Phương trình (*) tương đương $0 < t_{1} = 3^{x_{1}} < 1 < 3^{x_{2}} = t_{2}$ nghĩa là $0 < t_{1} < 1 < t_{2}$ .

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m + 3 e 0 \hfill \\ \Delta > 0 \hfill \\ \left( {{t_1} - 1} ight)\left( {{t_2} - 1} ight) < 0 \hfill \\ {t_1}{t_2} > 0 \hfill \\ {t_1} + {t_2} > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m e - 3 \hfill \\ - 20m - 11 > 0 \hfill \\ {t_1}{t_2} - \left( {{t_1} + {t_2}} ight) + 1 < 0 \hfill \\ {t_1}{t_2} > 0 \hfill \\ {t_1} + {t_2} > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m e - 3 \hfill \\ m < \dfrac{{ - 11}}{{20}} \hfill \\ \dfrac{{m + 1}}{{m + 3}} + \dfrac{{2m - 1}}{{m + 3}} + 1 < 0 \hfill \\ \dfrac{{m + 1}}{{m + 3}} > 0 \hfill \\ - \dfrac{{2m - 1}}{{m + 3}} > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m e - 3 \hfill \\ m < \dfrac{{ - 11}}{{20}} \hfill \\ - 3 < m < - \dfrac{3}{4} \hfill \\ \left[ \begin{gathered} m < 3 \hfill \\ m > - 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ - 3 < m < \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow - 1 < m < - \dfrac{3}{4}$
Câu 11: Nhận biết
Tính giá trị biểu thức

Cho số thực dương $a eq 1$ . Tính $\log_{a\sqrt{a}}a\sqrt[3]{a}$ .
- A.
  $\frac{8}{9}$
- B.
  $2$
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  $\frac{9}{8}$
Ta có:

$\log_{a\sqrt{a}}a\sqrt[3]{a} =\log_{a^{\frac{3}{2}}}a^{\frac{4}{3}} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3}{2}} =\frac{8}{9}$
Câu 12: Nhận biết
Chọn khẳng định sai

Cho $a,b,c > 0,a eq 1,b eq 1$ . Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?
- A.
  $\log_{a}(bc) = \log_{a}b +\log_{a}c$
- B.
  $\log_{a}b.\log_{b}c =\log_{a}c$
- C.
  $\log_{a}b =\frac{1}{\log_{b}a}$
- D.
  $\log_{a^{c}}b =c\log_{a}b$
$\log_{a^{c}}b = c\log_{a}b$ sai vì $\log_{a^{c}}b =\frac{1}{c}\log_{a}b$
Câu 13: Nhận biết
Viết biểu thức dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho $m$ là số thực dương. Viết $m^{2}.\sqrt[3]{m}$ dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ ta được:
- A.
  $m^{\frac{4}{3}}$
- B.
  $m^{\frac{4}{3}}$
- C.
  $m^{\frac{5}{6}}$
- D.
  $m^{\frac{7}{6}}$
Ta có: $m^{2}.\sqrt[3]{m} = m^{2}.m^{\frac{1}{3}} = m^{2 + \frac{1}{3}} = m^{\frac{7}{3}}$
Câu 14: Thông hiểu
Biến đổi biểu thức A

Viết biểu thức $A = \sqrt[3]{x\sqrt[4]{x}};(x > 0)$ dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ?
- A.
  $A = x^{\frac{5}{4}}$
- B.
  $A = x^{\frac{1}{12}}$
- C.
  $A = x^{\frac{1}{7}}$
- D.
  $A = x^{\frac{5}{12}}$
Ta có:

$A = \sqrt[3]{x\sqrt[4]{x}} = \sqrt[3]{x.x^{\frac{1}{4}}} = \sqrt[3]{x^{\frac{5}{4}}} = x^{\frac{5}{12}}$
Câu 15: Nhận biết
Tìm tập xác định của hàm số

Cho hàm số $y =\log_{\frac{1}{2}}(x + 1)$ . Tìm tập xác định của hàm số.
- A.
  $D = ( - 1; + \infty)$
- B.
  $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1 ight\}$
- C.
  $D = (0; + \infty)$
- D.
  $D = ( - \infty; - 1)$
Điều kiện xác định của hàm số $y =\log_{\frac{1}{2}}(x + 1)$ là:

$x + 1 > 0 \Rightarrow x > - 1$

Vậy tập xác định của hàm số là: $D = ( - 1; + \infty)$
Câu 16: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Ta có: $4^{x} +4^{- x} = 14$ . Biểu thức $2^{x} +2^{- x}$ có giá trị là:
- A.
  $4$
- B.
  $16$
- C.
  $\sqrt{14}$
- D.
  $\pm 4$
Ta có:
$4^{x} + 4^{- x} = 14 \Leftrightarrow\left( 2^{x} + 2^{- x} ight)^{2} = 16$
$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}2^{x} + 2^{- x} = 4(tm) \\2^{x} + 2^{- x} = - 4(ktm) \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow 2^{x} + 2^{- x} =4$
Câu 17: Thông hiểu
Giải bất phương trình

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{3}\left( 36 - x^{2} ight) \geq 3$ là:
- A.
  $( - \infty; - 3brack \cup \lbrack 3; + \infty)$
- B.
  $( - \infty;3brack$
- C.
  $\lbrack - 3;3brack$
- D.
  $(0;3brack$
Ta có:

${\log _3}\left( {36 - {x^2}} ight) \geqslant 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 36 - {x^2} > 0 \hfill \\ 36 - {x^2} \geqslant {3^3} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} < 36 \hfill \\ {x^2} \leqslant 9 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 6 < x < 6 \\ - 3 \leq x \leq 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow - 3 \leq x \leq 3$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S = \lbrack - 3;3brack$ .
Câu 18: Thông hiểu
Tìm các mệnh đề đúng

Cho các mệnh đề sau:
(i) Cơ số của logarit phải là số dương.
(ii) Chỉ số thực dương mới có logarit.
(iii) $\ln(A + B) = \ln A + \lnB$ với mọi $A > 0;B >0$ .
(iv) $\log_{a}b.\log_{b}c.\log_{c}a =1$ với mọi $a,b,c\in\mathbb{R}$
Số mệnh đề đúng là:
- A.
  1
- B.
  3
- C.
  4
- D.
  2
(i) Sai vì cơ số của $\log_{a}b$ chỉ cần thỏa mãn $0 < a eq0$
(ii) Đúng vì điều kiện có nghĩa của $\log_{a}b$ là $b> 0$
(iii) Sai vì $\ln(A + B) = \ln A.\ln B$ với mọi $A > 0;B >0$ .
(iv) Sai vì nếu $a,b,c < 0$ thì các biểu thức $\log_{a}b;\log_{b}c;\log_{c}a$ không có nghĩa.
Câu 19: Nhận biết
Giải phương trình

Xác định nghiệm phương trình $\log_{2}x + 1 = 0$ ?
- A.
  $x = 2$
- B.
  $x = - 2$
- C.
  $x = \frac{1}{2}$
- D.
  $x = - \frac{1}{2}$
Điều kiện xác định: $x > 0$

$\log_{2}x + 1 = 0 \Leftrightarrow \log_{2}x = - 1$

$\Leftrightarrow x = 2^{- 1} = \frac{1}{2}(tm)$

Vậy phương trình có nghiệm $x = \frac{1}{2}$ .
Câu 20: Thông hiểu

Chọn đáp án đúng

Giả sử phương trình $\log_{\sqrt{3}}(x - 2) + \log_{3}(x - 4)^{2} =0$ có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ với $x_{1} > x_{2}$ . Khi đó giá trị của biểu thức $T = \left( x_{1} - x_{2} ight)^{2}=$ 2||9||-1||-7

Đáp án là:

Giả sử phương trình $\log_{\sqrt{3}}(x - 2) + \log_{3}(x - 4)^{2} =0$ có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ với $x_{1} > x_{2}$ . Khi đó giá trị của biểu thức $T = \left( x_{1} - x_{2} ight)^{2}=$ 2||9||-1||-7

Điều kiện xác định $\left\{ \begin{matrix}(x - 4)^{2} > 0 \\x - 2 > 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x eq 4 \\x > 2 \\\end{matrix} ight.$
Phương trình đã cho tương đương:
$\Leftrightarrow \log_{3^{\frac{1}{2}}}(x- 2) + 2\log_{3}|x - 4| = 0$
$\Leftrightarrow 2\log_{3}(x - 2) +2\log_{3}|x - 4| = 0$
$\Leftrightarrow \log_{3}\left\lbrack (x -2).|x - 4| ightbrack = \log_{3}1$
$\Leftrightarrow (x - 2).|x - 4| =1$
$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}x \geq 4 \\(x - 2)(x - 4) = 1 \\\end{matrix} ight.\ \\\left\{ \begin{matrix}x < 4 \\(x - 2)(x - 4) = - 1 \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.$
$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}x \geq 4 \\x^{2} - 6x + 7 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \\\left\{ \begin{matrix}x < 4 \\x^{2} - 6x + 9 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.$
$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x_{1} = 3 + \sqrt{2} \\x_{2} = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow S = 2$
Câu 21: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Biết $x > 0;x eq 1$ . Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $\log_{x}\sqrt[5]{x} =\frac{1}{5}$
- B.
  $\log_{x}\sqrt[5]{x} = -5$
- C.
  $\log_{x}\sqrt[5]{x} =5$
- D.
  $\log_{x}\sqrt[5]{x} = -\frac{1}{5}$
Ta có: $\log_{x}\sqrt[5]{x} =\log_{x}(x)^{\frac{1}{5}} = \frac{1}{5}\log_{x}x =\frac{1}{5}$
Câu 22: Thông hiểu
Tính lãi suất ngân hàng

Vào dịp sinh nhật con gái tròn 18 tuổi, gia đình anh B gửi vào ngân hàng 200 triệu đồng với lãi suất x%/năm (theo hình thức lãi kép), số tiền này chỉ được thanh toán khi con gái anh kết thúc chương trình 4 năm học đại học. Tính lãi suất kì hạn 1 năm của ngân hàng biết năm 22 tuổi con gái anh B nhận được tổng số tiền là 252 495 392 đồng.
- A.
  $8\%$
- B.
  $6\%$
- C.
  $7\%$
- D.
  $5\%$
Áp dụng công thức tính lãi kép ta có:

$T = a.(1 + x\%)^{n}$

$\Leftrightarrow 252495392 = 2.10^{8}.(1 + x\%)^{4}$

$\Leftrightarrow x = 6(tm)$

Vậy lãi suất ngân hàng là 6%.
Câu 23: Nhận biết
Đơn giản biểu thức W

Rút gọn biểu thức $W = b^{\frac{5}{3}}:\sqrt[3]{b}$ với $b > 0$ ta được:
- A.
  $W = b^{\frac{- 4}{3}}$
- B.
  $W = b^{\frac{4}{3}}$
- C.
  $W = b^{\frac{5}{9}}$
- D.
  $W = b^{2}$
Ta có:

$W = b^{\frac{5}{3}}:\sqrt[3]{b} = b^{\frac{5}{3}}:b^{\frac{1}{3}} = b^{\frac{5}{3} - \frac{1}{3}} = b^{\frac{4}{3}}$
Câu 24: Thông hiểu
Tìm hàm số nghịch biến

Tìm hàm số nghịch biến trên tập số thực?
- A.
  $y = \log_{- 3 +\sqrt{10}}x$
- B.
  $y = \log_{2}\left( x^{2} - xight)$
- C.
  $y = \left( \frac{e}{3} ight)^{2x}$
- D.
  $y = \left( \frac{\pi}{3} ight)^{x}$
Ta có:

Hàm số $y = \log_{- 3 +\sqrt{10}}x$ có cơ số $a = - 3 + \sqrt{10}$ nên hàm số nghịch biến trên $(0; + \infty)$

Hàm số $y = \log_{2}\left( x^{2} - xight)$ có tập xác định $D = ( - \infty;0) \cup (1; + \infty)$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$

Hàm số $y = \left( \frac{e}{3} ight)^{2x}$ có $\frac{e}{3} < 1$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ .

Hàm số $y = \left( \frac{\pi}{3} ight)^{x}$ có $\frac{\pi}{3} > 1$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ .
Câu 25: Vận dụng
Tìm số các chữ số của một số tự nhiên

Số $20172018^{20162017}$ có bao nhiêu chữ số?
- A.
  $147278481$
- B.
  $147278480$
- C.
  $147347190$
- D.
  $147347191$
Số tự nhiên $M$ có $k$ chữ số khi

$10^{k - 1} \leq M \leq 10^{k}$

Đặt $M = 20172018^{20162017}$ suy ra

$\log M = \log\left( 20172018^{20162017} ight)$

$\Leftrightarrow M = 10^{\log\left( 20172018^{20162017} ight)}$

$\Leftrightarrow M = 10^{20162017.log(20172018)}$

$\Leftrightarrow M \approx 10^{1147278480,5} < 10^{147278481}$

Vậy số các chữ số của $20172018^{20162017}$ là 147278481.
Câu 26: Thông hiểu
Tìm giá trị của x

Tìm giá trị của x biết $\log_{7}\frac{1}{x} = 2\log_{7}a -6\log_{49}b$ .
- A.
  $x = \frac{b}{a}$
- B.
  $x = \frac{b^{3}}{a^{2}}$
- C.
  $x = ab^{2}$
- D.
  $x = b\sqrt{a}$
Ta có:

$\log_{7}\frac{1}{x} = 2\log_{7}a -6\log_{49}b$

$\Leftrightarrow \log_{7}\frac{1}{x} =\log_{7}a^{2} - 6\log_{7^{2}}b$

$\Leftrightarrow \log_{7}\frac{1}{x} =\log_{7}a^{2} - 3\log_{7}b$

$\Leftrightarrow \log_{7}\frac{1}{x} =\log_{7}a^{2} - \log_{7}b^{3}$

$\Leftrightarrow \log_{7}\frac{1}{x} =\log_{7}\frac{a^{2}}{b^{3}}$

$\Leftrightarrow x = \frac{b^{3}}{a^{2}}$
Câu 27: Thông hiểu
Rút gọn biểu thức H

Thu gọn biểu thức $H = \frac{a^{\frac{4}{3}}.b + a.b^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}$ với $a,b$ là các số thực dương:
- A.
  $H = ab$
- B.
  $H = a^{4}b + ab^{4}$
- C.
  $H = a + b$
- D.
  $H = ab(a + b)$
Ta có:

$H = \frac{a^{\frac{4}{3}}.b + a.b^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} = \frac{ab\left( a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} ight)}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} = ab$
Câu 28: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức P

Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn $log_{9}a^{4} + log_{3}b = 8$ và $log_{3}a + log_{\sqrt[3]{3}}b = 9$ . Giá trị của biểu thức $P = ab + 1$ là:
- A.
  $82$
- B.
  $27$
- C.
  $243$
- D.
  $244$
Theo điều kiện ta có:

$\left\{ \begin{matrix}\log_{9}a^{4} + \log_{3}b = 8 \\\log_{3}a + \log_{\sqrt[3]{3}}b = 9 \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2\log_{9}a + \log_{3}b = 8 \\\log_{3}a + 3\log_{3}b = 9 \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\log_{9}a = 3 \\\log_{3}b = 2 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 27 \\b = 9 \\\end{matrix} ight.$ $\Rightarrow P = ab + 1 = 244$
Câu 29: Vận dụng cao
Xác định cặp số (a; b)

Tích $2017!{\left( {1 + \frac{1}{1}} ight)^1}{\left( {1 + \frac{1}{2}} ight)^2}...{\left( {1 + \frac{1}{{2017}}} ight)^{2017}}$ được viết dưới dạng ${a^b}$ , khi đó $\left( {a;b} ight)$ là cặp nào trong các cặp số sau?
- A. $\left( {2018;2017} ight)$
- B. $\left( {2019;2018} ight)$
- C. $\left( {2015;2014} ight)$
- D. $\left( {2016;2015} ight)$
Ta có:
$\begin{matrix} 2017!{\left( {1 + \dfrac{1}{1}} ight)^1}{\left( {1 + \dfrac{1}{2}} ight)^2}...{\left( {1 + \dfrac{1}{{2017}}} ight)^{2017}} \hfill \\ = 2017!{\left( {\dfrac{2}{1}} ight)^1}{\left( {\dfrac{3}{2}} ight)^2}...{\left( {\dfrac{{2017}}{{2016}}} ight)^{2016}}.{\left( {\dfrac{{2018}}{{2017}}} ight)^{2017}} \hfill \\ = 2017!\dfrac{1}{1}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}....\dfrac{1}{{2016}}.\dfrac{{{{2018}^{2017}}}}{{2017}} = {2018^{2017}} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 2018} \\ {b = 2017} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 30: Vận dụng

Điền các bước giải toán vào ô trống

Một người vay ngân hàng số tiền 400 triệu đồng, mỗi tháng trả góp 10 triệu đồng và lãi suất cho số tiền chưa trả là $1\%$ mỗi tháng. Kỳ trả đầu tiên là cuối tháng thứ nhất. Biết lãi suất không đổi trong suốt quá trình gửi, hỏi số tiền còn phải trả ở kỳ cuối là bao nhiêu để người này hết nợ ngân hàng? (làm tròn đến hàng nghìn).

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Một người vay ngân hàng số tiền 400 triệu đồng, mỗi tháng trả góp 10 triệu đồng và lãi suất cho số tiền chưa trả là $1\%$ mỗi tháng. Kỳ trả đầu tiên là cuối tháng thứ nhất. Biết lãi suất không đổi trong suốt quá trình gửi, hỏi số tiền còn phải trả ở kỳ cuối là bao nhiêu để người này hết nợ ngân hàng? (làm tròn đến hàng nghìn).

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 31: Nhận biết
Tìm tập xác định của hàm số

Cho hàm số $y =\log_{3}(x + 3)$ . Tìm tập xác định $D$ của hàm số?
- A.
  $( - 3; + \infty)$
- B.
  $\lbrack - 3; + \infty)$
- C.
  $(0; + \infty)$
- D.
  $\mathbb{R}\backslash\left\{ - 3 ight\}$
Điều kiện xác định của hàm số $y =\log_{3}(x + 3)$ là:

$x + 3 > 0 \Rightarrow x > - 3$

Vậy tập xác định của hàm số là $D = ( - 3; + \infty)$
Câu 32: Thông hiểu

Phân tích sự đúng sai của các mệnh đề

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

a) Biết $a = \log_{3}2$ khi đó $\log_{6}48 = \frac{4a + 1}{a + 1}$ Đúng||Sai

b) Tập xác định của hàm số $y = 2^{\sqrt{x}} + \log(3 - x)$ là $D = (0;3)$ Sai||Đúng

c) Hàm số $y = \log_{1 -\sqrt{\frac{2018}{2019}}}x$ là hàm nghịch biến. Đúng||Sai

d) Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_{\sqrt{5}}^{2}x^{5} - 25\log_{\sqrt{5}}x^{2} -75 \leq 0$ bằng $62$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

a) Biết $a = \log_{3}2$ khi đó $\log_{6}48 = \frac{4a + 1}{a + 1}$ Đúng||Sai

b) Tập xác định của hàm số $y = 2^{\sqrt{x}} + \log(3 - x)$ là $D = (0;3)$ Sai||Đúng

c) Hàm số $y = \log_{1 -\sqrt{\frac{2018}{2019}}}x$ là hàm nghịch biến. Đúng||Sai

d) Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_{\sqrt{5}}^{2}x^{5} - 25\log_{\sqrt{5}}x^{2} -75 \leq 0$ bằng $62$ . Sai||Đúng

a) Ta có:

$\log_{6}48 = \log_{6}(6.8) = \log_{6}(6) +\log_{6}(8)$

$= 1 + \frac{1}{\log_{8}6} = 1 +\frac{1}{\log_{8}(2.3)} = 1 + \frac{1}{\dfrac{1}{3}\left( 1 + \log_{2}3ight)}$

$= \dfrac{1 + \log_{2}3 + 3}{1 + \log_{2}3}= \dfrac{4 + \dfrac{1}{a}}{1 + \dfrac{1}{a}} = \dfrac{4a + 1}{a +1}$

b) Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ 3 - x > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ x < 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow D = \lbrack 0;3)$

c) Tập xác định $D = (0; + \infty)$

$0 < \sqrt{\frac{2018}{2019}} < 1 \Rightarrow 0 < 1 - \sqrt{\frac{2018}{2019}} < 1$

Suy ra hàm số $y = \log_{1 -\sqrt{\frac{2018}{2019}}}x$ là hàm nghịch biến.

d) Ta có:

Điều kiện xác định $x > 0$

$\log_{\sqrt{5}}^{2}x^{5} -25\log_{\sqrt{5}}x^{2} - 75 \leq 0$

$\Leftrightarrow 4\log_{5}^{2}x -4\log_{5}x - 3 \leq 0$

$\Leftrightarrow - \frac{1}{2} \leq\log_{5}x \leq \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{5}} \leq x \leq\sqrt{125}$

Nghiệm nguyên của bất phương trình là: $0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11$

Vậy tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình đã cho là:

$S = 1 + 2 + ... + 11 = \frac{11(11 + 1)}{2} = 66$
Câu 33: Nhận biết
Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình

Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}}(x - 3) \geq \log_{\frac{1}{2}}4$ là:
- A.
  $6$
- B.
  $5$
- C.
  $3$
- D.
  $4$
Ta có:

$\log_{\frac{1}{2}}(x - 3) \geq \log_{\frac{1}{2}}4$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 3 > 0 \\ x - 3 \leq 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x > 3 \\ x \leq 7 \\ \end{matrix} ight.$

Tập nghiệm của bất phương trình là S = (3; 7].

Từ đó suy ra bất phương trình có 4 nghiệm nguyên.
Câu 34: Nhận biết
Chọn khẳng định sai

Biết các số $a,b,c$ là các số thực dương và $a,b eq 1$ . Tìm khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây?
- A.
  $\log_{a}b.\log_{b}a =1$
- B.
  $\log_{a}c = -\log_{c}a$
- C.
  $\log_{a}c =\frac{\log_{b}c}{\log_{b}a}$
- D.
  $\log_{a}c =\log_{a}b.\log_{b}c$
Ta có:

$\log_{a}c = \frac{1}{\log_{c}a} eq -\log_{c}a$

Vậy khẳng định sai là: $\log_{a}c = -\log_{c}a$
Câu 35: Thông hiểu
Tìm tập nghiệm của phương trình

Phương trình $\log_{2}(x - 1) = \log_{2}(2x + 1)$ có tập nghiệm là:
- A.
  $S = \left\{ 0 ight\}$
- B.
  $S = \left\{ - 2 ight\}$
- C.
  $S = \left\{ 0; - 2 ight\}$
- D.
  $S = \varnothing$
Điều kiện $\left\{ \begin{matrix}x - 1 > 0 \\2x + 1 > 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x > 1 \\x > - \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x > 1$

Ta có:

$\log_{2}(x - 1) = \log_{2}(2x +1)$

$\Leftrightarrow x - 1 = 2x + 1 \Leftrightarrow x = - 2(ktm)$

Vậy phương trình vô nghiệm hay $S = \varnothing$ .
Câu 36: Vận dụng cao
Biểu thức liên hệ giữa n và m

Cho các số thực dương phân biệt a và b. Biểu thức thu gọn của biểu thức
$P = \frac{{\sqrt a - \sqrt b }}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \frac{{\sqrt {4a} + \sqrt[4]{{16ab}}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}$
có dạng $P = m\sqrt[4]{a} + n\sqrt[4]{b}$ . Khi đó biểu thức liên hệ giữa n và m là:
- A. $2m - n = - 3$
- B. $m + n = - 2$
- C. $m - n = 0$
- D. $m + 3n = - 1$
Ta có:
$\begin{matrix} P = \dfrac{{\sqrt a - \sqrt b }}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \dfrac{{\sqrt {4a} + \sqrt[4]{{16ab}}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}} \hfill \\ P = \dfrac{{{{\left( {\sqrt[4]{a}} ight)}^2} - {{\left( {\sqrt[4]{b}} ight)}^2}}}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \dfrac{{2\sqrt[4]{a}\sqrt[4]{a} + 2\sqrt[4]{a}\sqrt[4]{b}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}} \hfill \\ P = \dfrac{{\left( {\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}} ight)\left( {\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} ight)}}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \dfrac{{2\sqrt[4]{a}\left( {\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} ight)}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}} \hfill \\ P = \sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b} - 2\sqrt[4]{a} = \sqrt[4]{b} - \sqrt[4]{a} \hfill \\ \Rightarrow m = - 1;n = 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 37: Nhận biết
Giải phương trình logarit

Tìm tập nghiệm của phương trình $\log_{2}\left( x^{2} - 2x + 4 ight) =0$ ?
- A.
  $S = \left\{ 0; - 2 ight\}$
- B.
  $S = \left\{ 2 ight\}$
- C.
  $S = \left\{ 0 ight\}$
- D.
  $S = \left\{ 0;2 ight\}$
Điều kiện xác định:

$x^{2} - 2x + 4 > 0$

Ta có:

$\log_{2}\left( x^{2} - 2x + 4 ight) =0$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2x + 4 = 2^{2}$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.\ (tm)$

Vậy tập nghiệm phương trình là $S = \left\{ 0;2 ight\}$
Câu 38: Nhận biết
Chọn kết quả đúng

Với a là số thực dương tùy ý, $a^{4}.a^{\frac{1}{2}}$ bằng:
- A.
  $a^{8}$
- B.
  $a^{2}$
- C.
  $a^{\frac{7}{2}}$
- D.
  $a^{\frac{9}{2}}$
Ta có:

$a^{4}.a^{\frac{1}{2}} = a^{4 + \frac{1}{2}} = a^{\frac{9}{2}}$
Câu 39: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Rút gọn biểu thức $P =\frac{\sqrt[3]{a^{5}}.a^{\frac{7}{3}}}{a^{4}.\sqrt[7]{a^{- 2}}};(a >0)$ thu được kết quả $a^{\frac{m}{n}}$ , trong đó $m,n \in \mathbb{N}^{*}$ và phân số $\frac{m}{n}$ tối giản. Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $m^{2} - n^{2} = 25$
- B.
  $m^{2} + n^{2} = 43$
- C.
  $3m^{2} - 2n = 2$
- D.
  $2m^{2} + n = 15$
Ta có:
$P =\frac{\sqrt[3]{a^{5}}.a^{\frac{7}{3}}}{a^{4}.\sqrt[7]{a^{- 2}}} =\frac{a^{\frac{5}{3}}.a^{\frac{7}{3}}}{a^{4}.a^{- \frac{2}{7}}} =\frac{a^{4}}{a^{4}.a^{- \frac{2}{7}}} = a^{\frac{2}{7}}$
$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}m = 2 \\n = 7 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow 2m^{2} + n = 15$ .
Câu 40: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Kết luận nào đúng khi biểu diễn tập xác định của hàm số $y = \log\left( x^{4} ight)$ ?
- A.
  $D = \lbrack 0; + \infty)$
- B.
  $D=\mathbb{ R}$
- C.
  $D = ( - \infty;0)$
- D.
  $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 0 ight\}$
Điều kiện xác định của hàm số $y = \log\left( x^{4} ight)$ là:

$x^{4} > 0 \Rightarrow x eq 0$

Vậy tập xác định của hàm số là $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 0 ight\}$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 6 Kết nối tri thức Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

68 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 6 Kết nối tri thức

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 KNTT
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 8: Các quy tắc tính xác suất
Chương 9: Đạo hàm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 6 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 KNTT

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương 4: Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 8: Các quy tắc tính xác suất

Chương 9: Đạo hàm