VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 6 Kết nối tri thức

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 KNTT Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài Rủ bạn học

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Thông hiểu
Tìm hàm số thỏa mãn hình vẽ

Hình bên là đồ thị hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
- A.
  $y = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} ight)^{x}$
- B.
  $y = \left( \sqrt{2} ight)^{x}$
- C.
  $y = \left( \frac{1}{3} ight)^{x}$
- D.
  $y = 3^{x}$
Đồ thị đã cho là của một hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó.

Trong bốn phương án đã cho, chỉ có hàm số $y = \left( \frac{1}{3} ight)^{x}$ thỏa mãn.
Câu 2: Nhận biết
Tính giá trị biểu thức

Giá trị của $\log_{a}\frac{1}{\sqrt[3]{a}}$ với $a > 0;a eq 1$ bằng:
- A.
  $- \frac{3}{2}$
- B.
  $\frac{3}{2}$
- C.
  $- \frac{2}{3}$
- D.
  $\frac{2}{3}$
Ta có: $\log_{a}\frac{1}{\sqrt[3]{a}} =\log_{a}a^{\frac{- 3}{2}} = - \frac{3}{2}$
Câu 3: Nhận biết
Tìm các nghiệm của phương trình

Tích tất cả các nghiệm của phương trình $3^{x^{2} + x} = 9$ là:
- A.
  $- 2$
- B.
  $- 1$
- C.
  $2$
- D.
  $1$
Ta có: $3^{x^{2} + x} = 3^{2}$

$\Leftrightarrow x^{2} + x = 2$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 2 \\ \end{matrix}(tm) ight.$

Vậy tích các nghiệm phương trình là -2
Câu 4: Thông hiểu
Tìm tập xác định hàm số

Tìm tập xác định của hàm số $y = \sqrt[3]{2x - 9} + (x - 3)^{\frac{5}{3}}$ .
- A.
  $D = (3; + \infty)$
- B.
  $D=\mathbb{ R}\backslash\left\{ 3ight\}$
- C.
  $D = \left( \frac{9}{2}; + \infty ight)$
- D.
  $D=\mathbb{ R}\backslash\left\{3;\frac{9}{3} ight\}$
Điều kiện xác định của hàm số $x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3$

Vậy tập xác định của hàm số là $D = (3; + \infty)$ .
Câu 5: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Cho hàm số $f(x) = \frac{x^{\frac{2}{3}}.\left( \sqrt[3]{x^{- 2}} - \sqrt[3]{x} ight)}{x^{\frac{1}{8}}.\left( \sqrt[8]{x^{3}} - \sqrt[8]{x} ight)}$ với $x > 0;x eq 1$ . Hãy xác định giá trị $f\left( 2021^{2022} ight)$ ?
- A.
  $2021^{1011}$
- B.
  $2021^{1011} + 1$
- C.
  $- 2021^{1011} + 1$
- D.
  $- 2021^{1011} - 1$
Ta có:

$f(x) = \frac{x^{\frac{2}{3}}.\left( \sqrt[3]{x^{- 2}} - \sqrt[3]{x} ight)}{x^{\frac{1}{8}}.\left( \sqrt[8]{x^{3}} - \sqrt[8]{x} ight)} = \frac{x^{\frac{2}{3}}.\left( x^{- \frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}} ight)}{x^{\frac{1}{8}}.\left( x^{\frac{3}{8}} - x^{\frac{1}{8}} ight)}$

$= \frac{- \left( x^{\frac{1}{2}} - 1 ight)\left( x^{\frac{1}{2}} + 1 ight)}{x^{\frac{1}{2}} - 1} = - x^{\frac{1}{2}} - 1$

Khi đó: $f\left( 2021^{2022} ight) = \left( 2021^{2022} ight)^{\frac{1}{2}} - 1 = - 2021^{1011} - 1$
Câu 6: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Biết $\log_{2}\sqrt{m} - \log_{2}n = 3$ với $m,n > 0$ . Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $m = 64n^{2}$
- B.
  $m.n^{2} = 64$
- C.
  $\sqrt{m} - n = 8$
- D.
  $\frac{\sqrt{m}}{n} = 3$
Ta có:

$\log_{2}\sqrt{m} - \log_{2}n =3$

$\Leftrightarrow \log_{2}\dfrac{\sqrt{m}}{n} = 3 \Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{m}}{n} =2^{3}$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{m}}{n} = 8 \Leftrightarrow m = 64n^{2}$
Câu 7: Nhận biết
Chọn đáp án chính xác

Tìm tập xác định của hàm số $y = \left( \frac{5\sqrt{3}}{2} ight)^{x}$ ?
- A.
  $D=\mathbb{ R}\backslash\left\{ 0ight\}$
- B.
  $D = \lbrack 0; + \infty)$
- C.
  $D = (0; + \infty)$
- D.
  $D=\mathbb{R}$
Tập xác định của hàm số $y = \left( \frac{5\sqrt{3}}{2} ight)^{x}$ là $D=\mathbb{R}$ .
Câu 8: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Biết $A = \left( \frac{a^{12}}{\sqrt[5]{b^{3}}} ight)^{- 0,3}$ với $a > 0;b > 0$ . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.
- A.
  $\log A = - \frac{18}{5}\log a - \frac{9}{50}\log b$
- B.
  $\log A = - \frac{18}{5}\log a + \frac{9}{50}\log b$
- C.
  $\log A = \frac{18}{5}\log a - \frac{9}{50}\log b$
- D.
  $\log A = \frac{18}{5}\log a + \frac{9}{50}\log b$
Ta có:

$A = \left( \frac{a^{12}}{\sqrt[5]{b^{3}}} ight)^{- 0,3} = a^{- \frac{18}{5}}.b^{\frac{9}{50}}$

$\Rightarrow \log A = - \frac{18}{5}\log a + \frac{9}{50}\log b$
Câu 9: Nhận biết
Tìm tập xác định hàm số

Tìm giá trị của x để hàm số $y = e^{x^{2} - 2x}$ có nghĩa.
- A.
  $D=\mathbb{ R}$
- B.
  $D = \lbrack 0;2brack$
- C.
  $D= \mathbb{R}\backslash\left\{ 0;2ight\}$
- D.
  $D = \varnothing$
Hàm số $y = e^{x^{2} - 2x}$ xác định với mọi $x\in\mathbb{ R}$

Vật tập xác định của hàm số là: $D=\mathbb{ R}$ .
Câu 10: Vận dụng cao
Biểu thức liên hệ giữa n và m

Cho các số thực dương phân biệt a và b. Biểu thức thu gọn của biểu thức
$P = \frac{{\sqrt a - \sqrt b }}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \frac{{\sqrt {4a} + \sqrt[4]{{16ab}}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}$
có dạng $P = m\sqrt[4]{a} + n\sqrt[4]{b}$ . Khi đó biểu thức liên hệ giữa n và m là:
- A. $2m - n = - 3$
- B. $m + n = - 2$
- C. $m - n = 0$
- D. $m + 3n = - 1$
Ta có:
$\begin{matrix} P = \dfrac{{\sqrt a - \sqrt b }}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \dfrac{{\sqrt {4a} + \sqrt[4]{{16ab}}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}} \hfill \\ P = \dfrac{{{{\left( {\sqrt[4]{a}} ight)}^2} - {{\left( {\sqrt[4]{b}} ight)}^2}}}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \dfrac{{2\sqrt[4]{a}\sqrt[4]{a} + 2\sqrt[4]{a}\sqrt[4]{b}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}} \hfill \\ P = \dfrac{{\left( {\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}} ight)\left( {\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} ight)}}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \dfrac{{2\sqrt[4]{a}\left( {\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} ight)}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}} \hfill \\ P = \sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b} - 2\sqrt[4]{a} = \sqrt[4]{b} - \sqrt[4]{a} \hfill \\ \Rightarrow m = - 1;n = 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 11: Thông hiểu
Rút gọn biểu thức H

Thu gọn biểu thức $H = \frac{a^{\frac{4}{3}}.b + a.b^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}$ với $a,b$ là các số thực dương:
- A.
  $H = ab$
- B.
  $H = a^{4}b + ab^{4}$
- C.
  $H = a + b$
- D.
  $H = ab(a + b)$
Ta có:

$H = \frac{a^{\frac{4}{3}}.b + a.b^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} = \frac{ab\left( a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} ight)}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} = ab$
Câu 12: Thông hiểu

Tìm mệnh đề đúng, mệnh đề sai

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

a) Biết $\log_{3}a = x;\log_{3}b =y$ với $a,b \in \mathbb{R}^{+}$ . Khi đó $\log_{3}\left( 3a^{4}b^{5} ight) = 1 + 4x +5y$ Đúng||Sai

b) Tập xác định của hàm số $y = \sqrt{(x- 2)^{0}} + \log_{2}\left( 9 - x^{2} ight)$ là $D = (2;3)$ Sai||Đúng

c) Hàm số $y = \ln( - x)$ nghịch biến trên khoảng $( - \infty;0)$ Sai||Đúng

d) Có 31 giá trị nguyên của x thỏa mãn $\left( 3^{x^{2}} - 9^{x} ight)\left\lbrack\log_{2}(x + 30) - 5 ightbrack \leq 0$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

a) Biết $\log_{3}a = x;\log_{3}b =y$ với $a,b \in \mathbb{R}^{+}$ . Khi đó $\log_{3}\left( 3a^{4}b^{5} ight) = 1 + 4x +5y$ Đúng||Sai

b) Tập xác định của hàm số $y = \sqrt{(x- 2)^{0}} + \log_{2}\left( 9 - x^{2} ight)$ là $D = (2;3)$ Sai||Đúng

c) Hàm số $y = \ln( - x)$ nghịch biến trên khoảng $( - \infty;0)$ Sai||Đúng

d) Có 31 giá trị nguyên của x thỏa mãn $\left( 3^{x^{2}} - 9^{x} ight)\left\lbrack\log_{2}(x + 30) - 5 ightbrack \leq 0$ Đúng||Sai

a) Ta có:

$\log_{3}\left( 3a^{4}b^{5} ight) =\log_{3}(3) + \log_{3}\left( a^{4} ight) + \log_{3}\left( b^{5}ight)$

$= 1 + 4\log_{3}a + 5\log_{3}b = 1 + 4x +5y$

b) Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix} x - 2 eq 0 \\ 9 - x^{2} > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x eq 2 \\ - 3 < x < 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow D = ( - 3;3)\backslash\left\{ 2 ight\}$

c) Điều kiện xác định: $x < 0$

Cơ số $a = e > 1$ do đó hàm số đồng biến trên $( - \infty;0)$ .

d) Xét hàm số $\left( 3^{x^{2}} - 9^{x}ight)\left\lbrack \log_{2}(x + 30) - 5 ightbrack = f(x)$ với $x > - 30$

Cho $f(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}3^{x^{2}} - 9^{x} = 0 \\\log_{2}(x + 30) - 5 = 0 \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 3^{x^{2}} = 3^{2x} \\ x + 30 = 2^{5} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 2 \\ x = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bảng xét dấu như sau:

Suy ra $f(x) \leq 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 30 < x \leq 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Mặt khác $x\mathbb{\in Z \Rightarrow}x \in \left\{ - 29; - 28; - 27;...; - 2; - 1;0;2 ight\}$

Vậy có 31 số nguyên của x thỏa mãn bất phương trình $\left( 3^{x^{2}} - 9^{x} ight)\left\lbrack\log_{2}(x + 30) - 5 ightbrack \leq 0$ .
Câu 13: Thông hiểu
Tìm các giá trị của tham số m

Cho hàm số $y =f(x) = \log_{3}\left( x^{2} - 4x - m + 1 ight)$ với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số đã $y = f(x)$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ ?
- A.
  $m \in ( - \infty; - 3)$
- B.
  $m \in (3; + \infty)$
- C.
  $m \in ( - 3; + \infty)$
- D.
  $m \in ( - \infty;3)$
Hàm số $y =f(x) = \log_{3}\left( x^{2} - 4x - m + 1 ight)$ xác định với mọi $x\mathbb{\in R}$ khi và chỉ khi

$x^{2} - 4x - m + 1 > 0;\forall x\mathbb{\in R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a > 0 \\ \Delta' < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 > 0 \\ 4 + m - 1 < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m < - 3$

Vậy $m \in ( - \infty; - 3)$
Câu 14: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Một người gửi vào ngân hàng 200 triệu đồng vào tài khoản tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 0,6%/ tháng, cứ sau mỗi tháng người đó rút ra 500 nghìn đồng. Hỏi sau đúng 36 lần rút tiền thì số tiền còn lại trong tài khoản của người đó gần nhất với phương án nào sau đây? (Biết rằng lãi suất không thay đổi và tiền lại mỗi tháng tính theo số tiền thực tế trong tài khoản của tháng đó?
- A.
  228 triệu đồng
- B.
  224 triệu đồng
- C.
  222 triệu đồng
- D.
  220 triệu đồng
Số tiền còn lại trong tài khoản sau tháng thứ 1 là: $200.1,006 - 0,5$ (triệu đồng)

Số tiền còn lại trong tài khoản sau tháng thứ 2 là:

$(200.1,006 - 0,5).1,006 - 0,5 = 200.(1,006)^{2} - 0,5(1 + 1,006)$ (triệu đồng)

Số tiền còn lại trong tài khoản sau tháng thứ 3 là:

$200.(1,006)^{3} - 0,5\left\lbrack 1 + 1,006 + (1,006)^{2} ightbrack$ (triệu đồng)

Cứ tiếp tục quá trình thì số tiền còn lại trong tài khoản sau tháng thứ 36 là:

$200.(1,006)^{3} - 0,5\left\lbrack 1 + 1,006 + (1,006)^{2} + ... + (1,006)^{35} ightbrack$

$= 200.(1,006)^{36} - 0,5.\frac{1 - (1,006)^{36}}{1 - 1,006} = 228,035$ (triệu đồng).
Câu 15: Thông hiểu
Tìm nghiệm của phương trình

Xác định nghiệm của phương trình $4^{2x + 1} = 64$ ?
- A.
  $x = 2$
- B.
  $x = 1$
- C.
  $x = \frac{15}{2}$
- D.
  $x = 5$
Ta có:

$4^{2x + 1} = 64 \Leftrightarrow 4^{2x + 1} = 4^{3}$

$\Leftrightarrow 2x + 1 = 3 \Leftrightarrow x = 1(tm)$

Vậy phương trình có nghiệm x = 1.
Câu 16: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức S

Giải phương trình $\log_{2}\left( x^{2} + x + 1 ight) = 2 +\log_{2}x$ . Gọi S là tổng tất cả các nghiệm của phương trình. Giá trị của S là:
- A.
  $S = 1$
- B.
  $S = 3$
- C.
  $S = 4$
- D.
  $S = 0$
Điều kiện xác định:

$\left\{ \begin{matrix} x^{2} + x + 1 > 0 \\ x > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \forall x\mathbb{\in R} \\ x > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow x > 0$

Phương trình đã cho tương đương:

$\Leftrightarrow \log_{2}\left( x^{2} + x+ 1 ight) = \log_{2}4 + \log_{2}x$

$\Leftrightarrow \log_{2}\left( x^{2} + x+ 1 ight) = \log_{2}(4x)$

$\Leftrightarrow x^{2} + x + 1 = 4x$

$\Leftrightarrow x^{2} - 3x + 1 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}(tm) \\x = \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}(tm) \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow S = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} + \frac{3 - \sqrt{5}}{2} = 3$

Vậy $S = 3$
Câu 17: Nhận biết
Tìm điều kiện của x để hàm số có nghĩa

Tìm điều kiện xác định của hàm số $y = f(x) = \frac{1}{\log_{2}x - 1}$ ?
- A.
  $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 2 ight\}$
- B.
  $D = (0; + \infty)$
- C.
  $D = (0; + \infty)\backslash\left\{ 2 ight\}$
- D.
  $D = (0; + \infty)\backslash\left\{ 1 ight\}$
Điều kiện xác định của hàm số $y = f(x) = \frac{1}{\log_{2}x - 1}$ là:

$\left\{ \begin{matrix}x > 0 \\ \log_{2}x - 1 eq 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x > 0 \\ \log_{2}x eq 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x > 0 \\x eq 2 \\\end{matrix} ight.$

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là $D = (0; + \infty)\backslash\left\{ 2 ight\}$ .
Câu 18: Nhận biết
Giải phương trình

Xác định nghiệm của phương trình $3^{x + 1} = \left( \frac{1}{9} ight)^{2x}$ ?
- A.
  $x = 1$
- B.
  $x = - 1$
- C.
  $x = \frac{1}{5}$
- D.
  $x = - \frac{1}{5}$
Ta có:

$3^{x + 1} = \left( \frac{1}{9} ight)^{2x} \Leftrightarrow 3^{x + 1} = \left( 3^{- 2} ight)^{2x}$

$\Leftrightarrow 3^{x + 1} = 3^{- 2.2x} \Leftrightarrow 3^{x + 1} = 3^{- 4x}$

$\Leftrightarrow x + 1 = - 4x \Leftrightarrow x = - \frac{1}{5}(tm)$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = - \frac{1}{5}$
Câu 19: Vận dụng

Điền lời giải bài toán vào chỗ trống

Theo dự định số lượng thức ăn dự trữ của nông trại B sẽ hết sau 100 ngày, nhưng thực tế mức tiêu thụ của vật nuôi tăng thêm 4% mỗi ngày (ngày sau tăng 4% so với ngày trước đó). Hỏi lượng thức ăn dữ trữ thực tế sẽ hết sau khoảng bao nhiêu ngày? (làm tròn đến hàng đơn vị)

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Theo dự định số lượng thức ăn dự trữ của nông trại B sẽ hết sau 100 ngày, nhưng thực tế mức tiêu thụ của vật nuôi tăng thêm 4% mỗi ngày (ngày sau tăng 4% so với ngày trước đó). Hỏi lượng thức ăn dữ trữ thực tế sẽ hết sau khoảng bao nhiêu ngày? (làm tròn đến hàng đơn vị)

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 20: Vận dụng
Chọn khẳng định đúng

Cho a và b là các số thực thỏa mãn điều kiện ${\left( {\frac{3}{4}} ight)^a} > {\left( {\frac{4}{5}} ight)^a}$ và ${b^{\dfrac{5}{4}}} > {b^{\dfrac{4}{3}}}$ . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
- A. $a > 0;b > 1$
- B. $a > 0;0 < b < 1$
- C. $a > 0;0 < b < 1$
- D. $a < 0;b > 1$
Ta có:
${\left( {\frac{3}{4}} ight)^a} > {\left( {\frac{4}{5}} ight)^a} \Rightarrow a < 0$
${b^{\frac{5}{4}}} > {b^{\frac{4}{3}}} \Rightarrow 0 < b < 1$
Câu 21: Nhận biết
Tính giá trị biểu thức

Tính giá trị biểu thức $a^{log_{\sqrt{a}}4}$ với $a > 0,a eq 1$ .
- A.
  $8$
- B.
  $4$
- C.
  $16$
- D.
  $2$
Ta có:

$a^{log_{\sqrt{a}}4} = a^{2log_{a}4} = a^{log_{a}4^{2}} = 16$
Câu 22: Nhận biết
Đơn giản biểu thức D

Rút gọn biểu thức: $D = x^{\frac{2}{5}}.\sqrt[6]{x}$ với $x > 0$ ta được kết quả là:
- A.
  $D = x^{\frac{1}{15}}$
- B.
  $D = x^{\frac{17}{15}}$
- C.
  $D = x^{\frac{17}{30}}$
- D.
  $D = \sqrt{x}$
Ta có: $D = x^{\frac{2}{5}}.\sqrt[6]{x} = x^{\frac{2}{5}}.x^{\frac{1}{6}} = x^{\frac{2}{5} + \frac{1}{6}} = x^{\frac{17}{30}}$ .
Câu 23: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức A

Cho ${5^x} = 2$ . Tính $A = {25^x} + {5^{2 - x}}$
- A. $A = \frac{{13}}{2}$
- B. $A = \frac{{75}}{2}$
- C. $A = \frac{{33}}{2}$
- D. $A = 29$
Ta có: $A = {25^x} + {5^{2 - x}} = {\left( {{5^x}} ight)^2} + \frac{{25}}{{{5^x}}} = \frac{{33}}{2}$
Câu 24: Thông hiểu
Biểu diễn biểu thức theo a và b

Cho $a =\log_{7}11;b = \log_{2}7$ . Biểu diễn $\log_{\sqrt[3]{7}}\frac{121}{8}$ theo $a,b$ .
- A.
  $\log_{\sqrt[3]{7}}\frac{121}{8} = 6a +\frac{9}{b}$
- B.
  $\log_{\sqrt[3]{7}}\frac{121}{8} = 6a -\frac{9}{b}$
- C.
  $\log_{\sqrt[3]{7}}\frac{121}{8} = 6a -9b$
- D.
  $\log_{\sqrt[3]{7}}\frac{121}{8} =\frac{2}{3}a - \frac{9}{b}$
Ta có:
$\log_{\sqrt[3]{7}}\frac{121}{8} = 3\left(\log_{7}121 - \log_{7}8 ight)$
$= 6\log_{7}11 - 9\log_{7}2$
$= 6\log_{7}11 - 9.\frac{1}{\log_{2}7} = 6a- \frac{9}{b}$
Câu 25: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức D

Tính giá trị biểu thức $D = \log\left( \tan 1^{0} ight) + \log\left( \tan 2^{0} ight) + ... + \log\left( tan89^{0} ight)$ .
- A.
  $D = 0$
- B.
  $D = 2$
- C.
  $D = \frac{1}{2}$
- D.
  $D = 1$
Ta có:

$D = \log\left( \tan 1^{0} ight) +\log\left( \tan 2^{0} ight) + ... + \log\left( \tan89^{0}ight)$

$D = \log\left( \tan1^{0}.\tan2^{0}...\tan89^{0} ight)$

$D = \log\left\lbrack \tan1^{0}.\tan2^{0}...\tan\left( 90^{0} - 2^{0} ight).\tan\left( 90^{0} -1^{0} ight) ightbrack$

$D = \log\left( \tan1^{0}.\tan2^{0}...\cot2^{0}.\cot1^{0} ight)$

$D = \log\left\lbrack \left( \tan1^{0}..\cot1^{0} ight)\left( \tan 2^{0}.\cot2^{0} ight)...ightbrack$

$D = \log1 = 0$
Câu 26: Nhận biết
Tìm khẳng định đúng

Với $\forall m\mathbb{\in R}$ , khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\ln m^{4} =4\ln m$
- B.
  $\ln(4m) = 4\ln m$
- C.
  $\ln(4m) = \frac{1}{4}\ln m$
- D.
  $\ln m^{3} = \frac{1}{3}\ln m$
Mệnh đề đúng là: $\ln m^{4} =4\ln m$
Câu 27: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các nhận định

So sánh được các cặp số sau. Khi đó các mệnh đề dưới đây đúng hay sai?

a) $a^{6,2} > a^{6,32} \Rightarrow a < 1$ . Sai||Đúng

b) $log_{a}(\sqrt{3} - 1) < log_{a}(\sqrt{2} + 1) \Rightarrow a > 1$ . Đúng||Sai

c) $(2 - a)^{\frac{3}{4}} > (2 - a)^{2} \Rightarrow a > 1$ . Sai||Đúng

d) $(2 - a)^{- \frac{1}{3}} > (2 - a)^{- \frac{1}{2}} \Rightarrow a < 1$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

So sánh được các cặp số sau. Khi đó các mệnh đề dưới đây đúng hay sai?

a) $a^{6,2} > a^{6,32} \Rightarrow a < 1$ . Sai||Đúng

b) $log_{a}(\sqrt{3} - 1) < log_{a}(\sqrt{2} + 1) \Rightarrow a > 1$ . Đúng||Sai

c) $(2 - a)^{\frac{3}{4}} > (2 - a)^{2} \Rightarrow a > 1$ . Sai||Đúng

d) $(2 - a)^{- \frac{1}{3}} > (2 - a)^{- \frac{1}{2}} \Rightarrow a < 1$ . Đúng||Sai

a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

a) Ta có: $a^{6,2} > a^{6,32} \Rightarrow 0 < a < 1$

b) Ta có: $log_{a}(\sqrt{3} - 1) < log_{a}(\sqrt{2} + 1) \Rightarrow a > 1$

c) Xét hàm số mũ $y = (2 - a)^{x}$ , trong đó $2 - a > 0,\forall a < 2$ .

Ta biết hàm số này đơn điệu trên $\mathbb{R}$ (hoặc đồng biến, hoặc nghịch biến trên $\mathbb{R}$ ) và $(2 - a)^{\frac{3}{4}} > (2 - a)^{2}$ mà $\frac{3}{4} < 2$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ .

Suy ra $(2 - a) \in (0;1) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 2 - a > 0 \\ 2 - a < 1 \end{matrix} \Rightarrow 1 < a < 2 \right.$ .

d) Xét hàm số mũ $y = (2 - a)^{x}$ , trong đó $2 - a > 0,\forall a < 2$ .

Ta biết hàm số này đơn điệu trên $\mathbb{R}$ và $(2 - a)^{- \frac{1}{3}} > (2 - a)^{- \frac{1}{2}}$ mà $- \frac{1}{3} > - \frac{1}{2}$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ . Suy ra $2 - a > 1 \Rightarrow a < 1$ .
Câu 28: Nhận biết
Giải bất phương trình

Tìm tập nghiệm của bất phương trình: $\log_{2}(3 - x) < 2$ .
- A.
  $( - \infty;1)$
- B.
  $( - 1;3)$
- C.
  $(1;3)$
- D.
  $(3; + \infty)$
Điều kiện $3 - x > 0 \Leftrightarrow x < 3$

Bất phương trình tương đương

$\Leftrightarrow 3 - x < 4 \Leftrightarrow x > - 1$

Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm bất phương trình là: $( - 1;3)$
Câu 29: Vận dụng
Giải bất phương trình mũ

Tìm tập nghiệm của bất phương trình $4x^{2} + x.2^{x^{2} + 1} + 3.2^{x^{2}} > x^{2}.2^{x^{2}} + 8x + 12$ .
- A.
  $S = \left( - \sqrt{2}; - 1 ight)$
- B.
  $S = \left( - \sqrt{2}; - 1 ight) \cup \left( \sqrt{2};3 ight)$
- C.
  $S = ( - 1;3)$
- D.
  $S = \lbrack - 1;3brack$
Ta có:

$4x^{2} + x.2^{x^{2} + 1} + 3.2^{x^{2}} > x^{2}.2^{x^{2}} + 8x + 12$

$\Leftrightarrow \left( 4 - 2^{x^{2}} ight)\left( x^{2} - 2x - 3 ight) > 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} 4 - 2^{x^{2}} > 0 \\ x^{2} - 2x - 3 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} 4 - 2^{x^{2}} < 0 \\ x^{2} - 2x - 3 < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} \sqrt{2} > x > - \sqrt{2} \\ \left\lbrack \begin{matrix} x < - 1 \\ x > 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} x < - \sqrt{2} \\ x > \sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.\ \\ - 1 < x < 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - \sqrt{2} < x < - 1 \\ \sqrt{2} < x < 3 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tập nghiệm bất phương trình là: $S = \left( - \sqrt{2}; - 1 ight) \cup \left( \sqrt{2};3 ight)$
Câu 30: Vận dụng cao
Tính giá trị biểu thức

Cho $f\left( x ight) = {5^{\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}} }}$ biết rằng $f\left( 1 ight).f\left( 2 ight).....f\left( {2020} ight) = {5^{\dfrac{m}{n}}}$ với m và n là các số nguyên dương và phân số $\frac{m}{n}$ tối giản. Tính giá trị biểu thức $m - {n^2}$ .
- A. 2021
- B. -1
- C. 1
- D. 2020
Ta có:
$f\left( x ight) = {5^{\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}} }}$
$= {5^{\sqrt {\dfrac{{{x^2}.{{\left( {x + 1} ight)}^2} + {x^2} + {{\left( {x + 1} ight)}^2}}}{{{x^2}.{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}} }}$
$= {5^{\dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{x\left( {x + 1} ight)}}}} = {5^{1 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 1}}}}$
$\begin{matrix} f\left( 1 ight).f\left( 2 ight).....f\left( {2020} ight) = {5^{\dfrac{m}{n}}} \hfill \\ \Leftrightarrow {5^{\sum\limits_{x = 1}^{2020} {\left( {1 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 1}}} ight)} }} = {5^{\dfrac{m}{n}}} \hfill \\ \Leftrightarrow \sum\limits_{x = 1}^{2020} {\left( {1 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 1}}} ight)} = \dfrac{m}{n} \hfill \\ \Leftrightarrow 2021 - \dfrac{1}{{2021}} = \dfrac{m}{n} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{4084440}}{{2021}} = \dfrac{m}{n} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 4084440} \\ {n = 2021} \end{array}} ight. \Rightarrow m - {n^2} = - 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 31: Nhận biết
Tính giá trị biểu thức C

Với $a$ là một số thực dương, biểu thức $C = a^{\frac{1}{3}}.\sqrt{a}$ có giá trị là:
- A.
  $C = a^{\frac{1}{6}}$
- B.
  $C = a^{\frac{2}{5}}$
- C.
  $C = a^{\frac{5}{6}}$
- D.
  $C = a^{\frac{4}{3}}$
Ta có: $C = a^{\frac{1}{3}}.\sqrt{a} = a^{\frac{1}{3}}.a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}} = a^{\frac{5}{6}}$

NB
Câu 32: Thông hiểu
Giải phương trình

Xác định nghiệm của phương trình $(2,5)^{5x - 7} = \left( \frac{2}{5} ight)^{x + 1}$ ?
- A.
  $x \geq 1$
- B.
  $x = 1$
- C.
  $x < 1$
- D.
  $x = 2$
Ta có:

$(2,5)^{5x - 7} = \left( \frac{2}{5} ight)^{x + 1} \Leftrightarrow \left( \frac{5}{2} ight)^{5x - 7} = \left( \frac{5}{2} ight)^{- (x + 1)}$

$\Leftrightarrow 5x - 7 = - (x + 1)$

$\Leftrightarrow x = 1(tm)$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 1$ .
Câu 33: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Xác định các nghiệm phương trình $\log_{2}(2x - 5)^{2} = 2\log_{2}(x - 2)$ rồi tính tổng tất cả các giá trị đó ta được kết quả là: 16/3

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Đáp án là:

Xác định các nghiệm phương trình $\log_{2}(2x - 5)^{2} = 2\log_{2}(x - 2)$ rồi tính tổng tất cả các giá trị đó ta được kết quả là: 16/3

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Điều kiện

$\left\{ \begin{matrix} (2x - 5)^{2} > 0 \\ x - 2 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (2x - 5)^{2} > 0\forall x\mathbb{\in R} \\ x > 2 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow x > 2$

Ta có:

$\log_{2}(2x - 5)^{2} = 2\log_{2}(x -2)$

$\Leftrightarrow \log_{2}(2x - 5)^{2} =\log_{2}(x - 2)^{2}$

$\Leftrightarrow (2x - 5)^{2} = (x - 2)^{2}$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}2x - 5 = x - 2 \\2x - 5 = - x + 2 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 3 \\x = \dfrac{7}{3} \\\end{matrix} ight.\ (tm)$

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là: $S = 3 + \frac{7}{3} = \frac{16}{3}$ .
Câu 34: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Đơn giản biểu thức $F = \frac{\sqrt[3]{a^{7}}.a^{\frac{11}{3}}}{a^{4}.\sqrt[7]{a^{- 5}}};(a > 0)$ ta được $F = a^{\frac{m}{n}};\left( m,n \in \mathbb{N}^{*} ight)$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?
- A.
  $m^{2} - n^{2} = 312$
- B.
  $m^{2} + n^{2} = 543$
- C.
  $m^{2} - n^{2} = - 125$
- D.
  $m^{2} + n^{2} = 409$
Ta có:

$F = \frac{\sqrt[3]{a^{7}}.a^{\frac{11}{3}}}{a^{4}.\sqrt[7]{a^{- 5}}} = \frac{a^{\frac{7}{3}}.a^{\frac{11}{3}}}{a^{4}.a^{\frac{- 5}{7}}} = \frac{a^{6}}{a^{\frac{23}{7}}} = a^{6 - \frac{23}{7}} = a^{\frac{19}{7}}$

$\Rightarrow m^{2} - n^{2} = 312$
Câu 35: Nhận biết
Điền kết quả vào chỗ trống

Với a là số thực dương tùy ý, điền biểu thức thích hợp vào chỗ chấm: $\sqrt{a^{3}.\sqrt[4]{a}} = ...$
- A.
  $a^{\frac{17}{6}}$
- B.
  $a^{\frac{13}{8}}$
- C.
  $a^{\frac{13}{6}}$
- D.
  $a^{\frac{17}{4}}$
Ta có:

$\sqrt{a^{3}.\sqrt[4]{a}} = \sqrt{a^{3}.a^{\frac{1}{4}}} = \sqrt{a^{3 + \frac{1}{4}}} = \sqrt{a^{\frac{13}{4}}} = a^{\frac{13}{8}}$ .
Câu 36: Thông hiểu
Tìm x

Tìm giá trị của x biết $\log_{3}\left( x^{2} - 1 ight) + \log_{9}\left(x^{2} - 1 ight) = \frac{3}{2}$ .
- A.
  $x = 2$
- B.
  $x = \pm 1$
- C.
  $x = 0$
- D.
  $x = \pm 2$
Điều kiện $x^{2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < - 1 \\ x > 1 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có:

$\log_{3}\left( x^{2} - 1 ight) +\log_{9}\left( x^{2} - 1 ight) = \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \log_{3}\left( x^{2} - 1ight) + \frac{1}{2}\log_{3}\left( x^{2} - 1 ight) =\frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \log_{3}\left( x^{2} - 1ight) = 1$

$\Leftrightarrow x^{2} - 1 = 3$

$\Leftrightarrow x^{2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2$
Câu 37: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức Q

Cho $4^{x} + 4^{- x} = 14$ , khi đó $Q = \frac{2 + 2^{x} + 2^{- x}}{7 - 2^{x} - 2^{- x}}$ có giá trị bằng:
- A.
  $Q = \frac{1}{2}$
- B.
  $Q = 3$
- C.
  $Q = \frac{3}{2}$
- D.
  $Q = 2$
Ta có:

$4^{x} + 4^{- x} = 14$

$\Leftrightarrow \left( 2^{x} + 2^{- x} ight)^{2} - 2.2^{x}.2^{- x} = 14$

$\Leftrightarrow \left( 2^{x} + 2^{- x} ight)^{2} = 16$

$\Leftrightarrow 2^{x} + 2^{- x} = 4$

Vậy $Q = \frac{2 + 2^{x} + 2^{- x}}{7 - 2^{x} - 2^{- x}} = \frac{2 + 4}{7 - 4} = 2$
Câu 38: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Tìm điều kiện xác định của hàm số $y = \log_{3}(2x)$
- A.
  $x \in ( - \infty;0)$
- B.
  $x \in (0; + \infty)$
- C.
  $x\in\mathbb{ R}$
- D.
  $x \in (1; + \infty)$
Điều kiện xác định của hàm số $y =\log_{3}(2x)$ là:

$2x > 0 \Rightarrow x > 0 \Rightarrow x \in (0; + \infty)$
Câu 39: Nhận biết
Rút gọn biểu thức E

Đơn giản biểu thức $E = a^{\sqrt{2}}.\left( \frac{1}{a} ight)^{\sqrt{2} - 1}$ với $a > 0$ được kết quả là:
- A.
  $E = a^{\sqrt{2}}$
- B.
  $E = a^{2\sqrt{2} - 1}$
- C.
  $E = a^{1 - \sqrt{2}}$
- D.
  $E = a$
Ta có:

$E = a^{\sqrt{2}}.\left( \frac{1}{a} ight)^{\sqrt{2} - 1} = a^{\sqrt{2}}.a^{- \sqrt{2} + 1} = a^{\sqrt{2} - \sqrt{2} + 1} = a$
Câu 40: Vận dụng

Điền lời giải bài toán vào chỗ trống

Chị Minh đến ngân hàng để gửi tiết kiệm 400 triệu đồng theo hai loại kỳ hạn khác nhau. Với loại kỳ hạn 3 tháng lãi suất x% một quý chị gửi 250 triệu đồng, số tiền còn lại chị gửi theo kỳ hạn 1 tháng lãi suất 0,25% một tháng. Sau một năm số tiền cả gốc và lãi chị Minh nhận được là 416,78 triệu đồng. Biết rằng nếu không rút lãi suất thì số lãi sẽ được nhập vào số gốc để tính lãi cho kỳ hạn tiếp theo. Tìm giá trị của x.

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Chị Minh đến ngân hàng để gửi tiết kiệm 400 triệu đồng theo hai loại kỳ hạn khác nhau. Với loại kỳ hạn 3 tháng lãi suất x% một quý chị gửi 250 triệu đồng, số tiền còn lại chị gửi theo kỳ hạn 1 tháng lãi suất 0,25% một tháng. Sau một năm số tiền cả gốc và lãi chị Minh nhận được là 416,78 triệu đồng. Biết rằng nếu không rút lãi suất thì số lãi sẽ được nhập vào số gốc để tính lãi cho kỳ hạn tiếp theo. Tìm giá trị của x.

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 6 Kết nối tri thức Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

80 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 6 Kết nối tri thức

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 KNTT
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 8: Các quy tắc tính xác suất
Chương 9: Đạo hàm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 6 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 KNTT

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương 4: Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 8: Các quy tắc tính xác suất

Chương 9: Đạo hàm