Giới hạn của hàm số Kết nối tri thức
Bộ tài liệu Lí thuyết Toán 11 Kết nối tri thức: Giới hạn của hàm số bao gồm định nghĩa, cách tính giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực của hàm số. Ngoài ra có các bài tập ứng dụng có hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 11 KNTT giúp các em dễ dàng ôn tập củng cố.
1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
a) Giới hạn tại một điểm
Cho khoảng 
\(\left( {a,b} \right)\) chứa điểm \({x_0}\).
Ta nói rằng hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định trên \(\left( {a,b} \right)\) có giới hạn là \(L\) khi \(x \to {x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì, \({x_n} \in \left( {a,b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\},{x_n} \to {x_0}\), ta có: \(f\left( {{x_n}} \right) \to L\)
Ta kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) hay \(f\left( x \right) \to L\) khi \(x \to {x_0}\)
b) Quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm
Định lí 1: Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương khi \(x \to {x_0}\) bằng tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn đó khi \(x \to {x_0}\).
Nói cách khác: Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = P\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = Q\). Ta có:
| \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = P + Q\) |
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = P.Q\) |
| \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = P - Q\) |
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{P}{Q},Q \ne 0\) |
Chú ý:
- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c = c\) với c là hằng số
- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {x^n} = x_0^n;\forall n \in \mathbb{N}\)
Định lí 2: Nếu \(\left\{ \begin{gathered}
f\left( x \right) \geqslant 0;\forall x \in \left( {a,b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\} \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = P \hfill \\
\end{gathered} \right.\) thì \(\left\{ \begin{gathered}
P \geqslant 0 \hfill \\
\lim \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt P \hfill \\
\end{gathered} \right.\).
Định lí 3: Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = P\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left| {f\left( x \right)} \right| = \left| P \right|\).
Ví dụ: Tính giới hạn
|
a) |
b) |
c) |
Hướng dẫn giải
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^4} - 16}}{{{x^3} + 2{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}}{{{x^2}\left( {x + 2} \right)}}\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}}{{{x^2}}} = - 8\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 4} \frac{{{x^2} + 3x - 4}}{{{x^2} + 4x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 4} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{x\left( {x + 4} \right)}}\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - 4} \frac{{x - 1}}{x} = \frac{5}{4}\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + 2x} - 1}}{{3x}}\)\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt {1 + 2x} - 1} \right)\left( {\sqrt {1 + 2x} + 1} \right)}}{{3x\left( {\sqrt {1 + 2x} + 1} \right)}}\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x}}{{3x\left( {\sqrt {1 + 2x} + 1} \right)}}\) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{{3\left( {\sqrt {1 + 2x} + 1} \right)}} = \frac{1}{3}\)
c) Giới hạn một bên
Giới hạn phải: Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định trên \(\left( {{x_0},b} \right)\).
Số \(L\) gọi là giới hạn bên phải của hàm số \(y=f\left( x \right)\) khi \(x \to {x_0}\) nếu với mọi dãy \(\left( {{x_n}} \right):{x_0} < {x_n} < b\) mà \({x_n} \to {x_0}\) thì ta có: \(f\left( {{x_n}} \right) \to L\).
Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = L\).
Giới hạn trái: Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định trên \(\left( {a,{x_0}} \right)\).
Số \(L\) gọi là giới hạn bên trái của hàm số \(y=f\left( x \right)\) khi \(x \to {x_0}\) nếu với mọi dãy \(\left( {{x_n}} \right):a < {x_0} < {x_n}\) mà \({x_n} \to {x_0}\) thì ta có: \(f\left( {{x_n}} \right) \to L\).
Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f\left( x \right) = L\).
Ví dụ: Tính các giới hạn sau:
|
a) |
b) |
|
c) |
|
Hướng dẫn giải
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {\sqrt {3 - x} + x} \right) =3\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\left| {2 - x} \right|}}{{2{x^2} - 5x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{2 - x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {2x - 1} \right)}}\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{ - 1}}{{2x - 1}}} \right) = - \frac{1}{3}\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \left[ {\left( {4 - x} \right)\sqrt {\frac{{2x + 1}}{{{x^3} - 64}}} } \right]\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \sqrt {\frac{{\left( {2x + 1} \right){{\left( {4 - x} \right)}^2}}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {{x^2} + 4x + 16} \right)}}}\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \sqrt {\frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {4 - x} \right)}}{{\left( {{x^2} + 4x + 16} \right)}}} = 0\)
Chú ý: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f\left( x \right) = L\)
Ví dụ: Tìm giới hạn của hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}{\text{ khi }}x > 1} \\
{ - \dfrac{x}{2}{\text{ khi }}x \leqslant 1}
\end{array}} \right.\).
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - \frac{x}{2}} \right) = - \frac{1}{2}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}} \right)\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = - \frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = - \frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = - \frac{1}{2}\)
2. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
Giới hạn tại vô cực
Hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định trên \(\left( {a, + \infty } \right)\) có giới hạn L khi \({x_n} \to + \infty\) nếu với mọi dãy số \(\left( {{x_n}} \right):{x_n} > a\) và \({x_n} \to + \infty\) thì \(f\left( {{x_n}} \right) \to L\).
Kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L\)
Hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định trên \(\left( { - \infty ,b} \right)\) có giới hạn L khi \({x_n} \to - \infty\) nếu với mọi dãy số \(\left( {{x_n}} \right):{x_n} < b\) và \({x_n} \to - \infty\) thì \(f\left( {{x_n}} \right) \to L\).
Kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = L\)
Chú ý:
- Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.
- Với c là hằng số ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } c = c;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } c = c\)
- Với k là một số nguyên dương ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{{x^k}}} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{{x^k}}} = 0\)
Ví dụ: Tính giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{x^2} - 3x + 1}}{{ - 2 + 3x - 4{x^2}}}\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{x^2} - 3x + 1}}{{ - 2 + 3x - 4{x^2}}}\)\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{2 - \dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}}}{{ - \dfrac{2}{{{x^2}}} + \dfrac{3}{x} - 4}} = - \dfrac{1}{2}\)
3. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm
a) Giới hạn vô cực
Cho khoảng \(\left( {a,b} \right)\) chứa điểm \(x_0\) và hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\left( {a,b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có giới hạn dần tới dương vô cực khi \(x \to {x_0}\) nếu với mọi dãy số \(\left( {{x_n}} \right);{x_n} \in \left( {a,b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}:{x_n} \to {x_0}\) thì \(f\left( {{x_n}} \right) \to + \infty\). Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = + \infty\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có giới hạn dần tới âm vô cực khi \(x \to {x_0}\) nếu với mọi dãy số \(\left( {{x_n}} \right);{x_n} \in \left( {a,b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}:{x_n} \to {x_0}\) thì \(- f\left( {{x_n}} \right) \to + \infty\). Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ { - f\left( x \right)} \right] = + \infty\).
b) Giới hạn về bên trái, giới hạn về bên phải
Giới hạn phải: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\left( {{x_0},b} \right)\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có giới hạn dần tới dương vô cực khi \(x \to {x_0}\) về bên phải với mọi dãy \(\left( {{x_n}} \right):{x_0} < {x_n} < b\) mà \({x_n} \to {x_0}\) thì ta có: \(f\left( {{x_n}} \right) \to + \infty\).
Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = + \infty\).
Giới hạn trái: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\left( {a,{x_0}} \right)\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có giới hạn dần tới dương vô cực khi \(x \to {x_0}\) về bên trái với mọi dãy \(\left( {{x_n}} \right):a < {x_0} < {x_n}\) mà \({x_n} \to {x_0}\) thì ta có: \(f\left( {{x_n}} \right) \to + \infty\).
Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f\left( x \right) = + \infty\).
Các giới hạn một bên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f\left( x \right) = - \infty\) cũng được định nghĩa tương tự.
c) Một số giới hạn đặc biệt
| \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^k} = + \infty\) |
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = 0\) |
| \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ + \infty {\text{ }}\forall {\text{k = 2n}}} \\
{ - \infty {\text{ }}\forall {\text{k = 2n + 1}}}
\end{array}} \right.\left( {n \in \mathbb{R}} \right)\) |
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{x} = - \infty\) |
| \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c = c\) |
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x} = + \infty\) |
| \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left| {\frac{1}{x}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left| {\frac{1}{x}} \right| = + \infty\) |
|
d) Một số quy tắc tính giới hạn vô cực
Quy tắc 1: Tính giới hạn tích biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = P \ne 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = \pm \infty\)
| \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\) |
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right)\) |
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right).g\left( x \right)\) |
| \(P > 0\) |
\(+ \infty\) |
\(+ \infty\) |
| \(- \infty\) |
\(- \infty\) |
|
| \(P < 0\) |
\(+ \infty\) |
\(- \infty\) |
| \(- \infty\) |
\(+ \infty\) |
Quy tắc 2: Tính giới hạn thương
| \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\) |
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right)\) |
Dấu của g(x) |
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) |
| \(P > 0\) |
0 |
+ |
\(+ \infty\) |
|
- |
\(- \infty\) |
||
| \(P > 0\) |
0 |
+ |
\(- \infty\) |
|
- |
\(+ \infty\) |
||
| \(P\) |
\(\pm \infty\) |
Tùy ý |
0 |
Ví dụ: Tính giới hạn:
|
a) |
b) |
Hướng dẫn giải
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - {x^3} + {x^2} - x + 1} \right)\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^3}\left( { - 1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right]\)
Vì \(\left\{ \begin{gathered}
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3}} \right) = - \infty \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - 1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right) = - 1 < 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - {x^3} + {x^2} - x + 1} \right) = + \infty\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2x - \sqrt {4{x^2} + 2x - 1} } \right)\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2x - \left| x \right|\sqrt {4 + \frac{2}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} } \right)\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2x + x\sqrt {4 + \frac{2}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} } \right)\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {x\left( {2 + \sqrt {4 + \frac{2}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} } \right)} \right]\)
Vì \(\left\{ \begin{gathered}
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( x \right) = - \infty \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2 + \sqrt {4 + \frac{2}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} } \right) = 4 > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2x - \sqrt {4{x^2} + 2x - 1} } \right) = - \infty\)
